1、統計統計(tngj)方法方法描述統計描述統計推斷(tudun)統計參數估計參數估計假設檢驗假設檢驗第一頁，共100頁。第七章、參數估計第一節：點估計第一節：點估計第三節：估計量的評選標準第三節：估計量的評選標準(biozhn)第四節：區間估計第四節：區間估計第五節：正太總體均值與方差的區間估計第五節：正太總體均值與方差的區間估計第六節：（第六節：（01）分布參數的區間估計）分布參數的區間估計第七節：單側置信區間第七節：單側置信區間第二頁，共100頁。現在我們來介紹一類(y li)重要的統計推斷問題:參數估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數或者參數的某些函數.參數估計估計(gj

2、)廢品率估計(gj)湖中魚數估計平均降雨量第三頁，共100頁。參數估計點估計區間估計在參數估計問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個(y )或幾個參數.第四頁，共100頁。第一節第一節 點點 估估 計計一、點估計問題(wnt)的提法二、估計量的求法三、估計量的評選(pngxun)標準第五頁，共100頁。設總體X的分布函數 形式已知, 是待估參數, 是 X 的一個樣本(yngbn)， 是相應的一個樣本(yngbn)值.一、點估計問題一、點估計問題(wnt)的提法的提法( ; )F x12,nx xx12,nXXX.),(),(2121 來估計未知參數來估計未知參數用它的觀察值用它的觀察值

3、一個適當的統計量一個適當的統計量點估計問題就是要構造點估計問題就是要構造nnxxxXXX.),(21的估計量的估計量稱為稱為 nXXX.),(21的估計值的估計值稱為稱為 nxxx., 簡記為簡記為通稱估計通稱估計 第六頁，共100頁。15011293260456543210knkk次的紗錠數次的紗錠數斷頭斷頭斷頭次數斷頭次數.,的估計值的估計值作為參數作為參數把把的觀察值的觀察值再計算出再計算出先確定一個統計量先確定一個統計量 xxXX解.133. 1 x.133. 1的的估估計計值值為為 .,150,0, 試試估估計計參參數數數數據據如如下下內內斷斷頭頭的的次次數數只只紗紗錠錠在在某某一一

4、時時間間段段現現檢檢查查了了為為未未知知參參數數為為參參數數的的泊泊松松分分布布假假設設它它服服從從以以隨隨機機變變量量是是一一個個斷斷頭頭次次數數在在某某紡紡織織廠廠細細紗紗機機上上的的 X例1第七頁，共100頁。二、估計量的求法二、估計量的求法 由于估計量是樣本的函數, 是隨機變量(su j bin lin), 故對不同的樣本值, 得到的參數值往往不同, 求估計量的問題是關鍵問題.估計量的求法: (兩種)矩估計(gj)法和最大似然估計(gj)法.第八頁，共100頁。1. 矩估計(gj)法 它是基于一種簡單的“替換”思想(sxing)建立起來的一種估計方法 .是英國統計學家K.皮爾遜最早提出

5、的 .其基本思想(sxing)是用樣本矩估計總體矩 . 理論依據: 大數定律11niiXXn ()PE X 第九頁，共100頁。其中(qzhng) 為未知參數，現在從總體X 中抽取樣本 . 由辛欽大數定律設總體(zngt)X的分布函數為11lim0.nkkiniPXEXn可以推廣為，.lim,011 nkknXnP有有則則對對于于任任意意正正數數.lim,011 nkknXnP有有則則對對于于任任意意正正數數11lim0.niniPXEXn12, , r12(, , )nXXX12( ;, , )rF x第十頁，共100頁。設設 X1, X2, , Xn 來自來自(li z)總體總體X的樣本的

6、樣本記總體k階矩為)(kkXE 樣本k階矩為11nkkiiAXn 用樣本矩來估計總體(zngt)矩, 用樣本矩的連續函數來估計總體(zngt)矩的連續函數, 從而得出參數估計，這種估計法稱為矩估計法.記總體k階中心矩為kkXEXE)( 樣本k階中心矩為11()nkkiiBXXn第十一頁，共100頁。矩估計(gj)法的具體步驟:11(2),;1,2,nlllliiAAXlkn令令.,21的的方方程程組組個個未未知知參參數數這這是是一一個個包包含含kk 12(1)()( ,)1,2,llkE Xlk 求求出出12(3),k 解解出出其其中中12 ,k .用用表表示示(4) 用方程組的解 分別作為(

7、zuwi) 的估計量，這種估計量稱為矩估計量. 矩估計量的觀察值稱為矩估計值.12 ,k 12,k 第十二頁，共100頁。.,),( ,21的的矩矩估估計計量量求求的的樣樣本本是是來來自自總總體體未未知知其其中中上上服服從從均均勻勻分分布布在在設設總總體體baXXXXbabaXn解)(XE1 ,2ba )(22XE ,41222baba 2)()(XEXD ,1211 niiXnAba令令2224)(12)(Ababa ,112 niiXn例2第十三頁，共100頁。 )(1222121AAabAba即即解方程組得到(d do)a, b的矩估計量分別為)(32121AAAa ,)(312 nii

8、XXnX)(32121AAAb ,)(312 niiXXnX第十四頁，共100頁。., 0,221222的矩估計量的矩估計量和和求求一個樣本一個樣本是是又設又設均為未知均為未知和和但但且有且有都存在都存在和方差和方差的均值的均值設總體設總體 nXXXX 解)(XE1 , 2221AA 令令解方程組得到矩估計量分別為,1XA 2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn例3,22 2)()(XEXD )(22XE 第十五頁，共100頁。上例表明(biomng): 總體均值與方差(fn ch)的矩估計量的表達式，不因不同的總體分布而異.的矩估計量的矩估計量即得即得未知未知例例222

9、, ,),( NX,X 2 .)(112 niiXXn矩法的優點是簡單易行. 缺點是，當總體類型已知時，沒有 充分利用分布提供(tgng)的信息. 一般場合下,矩估計量不具有唯一性 .第十六頁，共100頁。2. 最大（極大(j d)）似然估計法 最大似然法是在總體(zngt)類型已知條件下使用的一種參數估計方法 . 它首先是由德國數學家高斯在1821年提出的. 然而，這個方法常歸功于英國(yn u)統計學家費歇. 費歇在1922年重新發現了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質 .GaussFisher Fisher第十七頁，共100頁。極大極大(j d)似然法的基本似然法的基本思想：思想：

10、一只野兔一只野兔(yt)從前方從前方竄過竄過 .是誰打中的呢？是誰打中的呢？ 某位同學某位同學(tng xu)與一位獵人與一位獵人一起外出打獵一起外出打獵 .如果要你推測，如果要你推測，你會如何想呢你會如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應聲倒下只聽一聲槍響，野兔應聲倒下 .第十八頁，共100頁。 你就會想，獵人命中的概率一般大于這位同你就會想，獵人命中的概率一般大于這位同學學(tng xu)命中的概率命中的概率 . 看來這一槍是獵人射中的看來這一槍是獵人射中的 . 這個例子所作的推斷已經體現了極大這個例子所作的推斷已經體現了極大(j d)似然似然法的基本思想法的基本思想 .第十九頁，共100頁。 設

11、有外形完全相同的兩個箱子設有外形完全相同的兩個箱子, ,甲箱有甲箱有9999個白球個白球1 1個個黑球黑球, ,乙箱有乙箱有1 1個白球個白球9999個黑球個黑球. .今隨機地抽取今隨機地抽取(chu q)(chu q)一箱一箱, ,然后再從這箱中任取一球然后再從這箱中任取一球, ,結果發現是白球結果發現是白球. .問這問這球是從哪一個箱子中取出的球是從哪一個箱子中取出的? ?分析分析 導致結果是白球的原因有兩個導致結果是白球的原因有兩個, ,一個是這球一個是這球從甲箱取的從甲箱取的, ,另一個就是另一個就是(jish)(jish)這球從乙箱取的這球從乙箱取的. .如果是從甲箱取的如果是從甲箱

12、取的, ,則取得白球的概率為則取得白球的概率為99%;99%;如如果是從乙箱取的果是從乙箱取的, ,則取得白球的概率為則取得白球的概率為1%,1%,由此看由此看到到, ,這球是從甲箱中取出的概率比從乙箱中取出的這球是從甲箱中取出的概率比從乙箱中取出的概率要大得多概率要大得多, ,因此很自然的因此很自然的, ,我們認為結論我們認為結論“這這球是從甲箱中取出的球是從甲箱中取出的”比結論比結論“這球是從乙箱中這球是從乙箱中取出的取出的”要合理得多要合理得多. .最后我們作出推斷最后我們作出推斷, ,這球是這球是從甲箱取出的從甲箱取出的. . 第二十頁，共100頁。最大似然估計(gj)法，是建立在最大

13、似然原理的基礎上的求點估計(gj)量的方法。最大似然原理的直觀想法是：在試驗中概率最大的事件最有可能出現。例如，一個試驗如有若干個可能的結果 ，若在一次試驗中，結果A出現，則一般認為A出現的概率最大。,A B C 第二十一頁，共100頁。 極大極大(j d)似然估計似然估計法：法： 當給定樣本當給定樣本(yngbn)X1,X2,Xn時，定義似時，定義似然函數為：然函數為：這里這里 x1, x2 , xn 是樣本是樣本(yngbn)的觀察值的觀察值 .);();();(),;()(22111nnnxXPxXPxXPxxLL);();();(),;()(211nnxfxfxfxxLL 看作參數看作

14、參數 的函數，它可作為的函數，它可作為 將以多大可將以多大可能產生樣本值能產生樣本值 x1, x2, ,xn 的一種度量的一種度量 .( )L 選擇選擇 ,使使 達到最大值達到最大值. ( )L 第二十二頁，共100頁。若總體X屬離散型, 其分布律為( ; ),P Xxp x1( ; )niip x, 當給定樣本值12( ,)nx xx分布律為似然函數似然函數(hnsh)形式已知,為待估參數,12(,)nXXX是總體X的一個樣本，則樣本12,nXXX的它是 的函數, 稱( )L為樣本的似然函數.的概率(gil)為1( )(;) ,niiLp x后, 則樣本取到觀察值12,nXXX12,nx x

15、x第二十三頁，共100頁。若總體X屬連續型, 其概率密度函數為( ; ),f x12,nx xx形式已知,為待估參數,12(,)nXXX是總體X的一個樣本，則12,nXXX的聯合1(;)d,niiif xx1( ; )niif x, 設密度為 是相應于樣本的一個樣本值, 則12,nXXX12(,)nXXX的鄰域內的概率近似為12( ,)nx xx落在點因 不隨 而變，故只需考慮1dniix1(;)niif x第二十四頁，共100頁。若1212( ,; )max ( ,; )nnL x xxL x xx則稱12( ,)nx xx為 的最大似然估計值. 替換成樣為參數的最大似然估計量. 若將上式中

16、樣本(yngbn)值12( ,)nx xx12(,)nXXX,則得12(,)nXXX本稱稱為(chn wi)似然方程dln ( )0dL為最大似然估計的必要條件為 因此，由于與在同一 處達到最大值， ( )Lln( )L第二十五頁，共100頁。求最大似然估計量的一般步驟為： （1）求似然函數( )L（2）一般地，求出ln( )L及似然方程 （3）解似然方程得到最大似然估計值 12( ,)nx xx（4）最后得到最大似然估計量 12(,)nXXXdln ( )0dL第二十六頁，共100頁。.,), 1(21的最大似然估計量的最大似然估計量求求個樣本個樣本的一的一是來自是來自設設pXXXXpBXn

17、,2121一個樣本值一個樣本值的的為相應于樣本為相應于樣本設設nnXXXxxx解1 , 0,)1(1 xppxXPXxx的分布律為的分布律為似然函數(hnsh)iixnixpppL 11)1()(,)1(11 niiniixnxpp例4第二十七頁，共100頁。),1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii , 01)(lndd11 pxnpxpLpniinii令令的最大似然估計值的最大似然估計值解得解得 p.11xxnpnii 的最大似然估計量為的最大似然估計量為p.11XXnpnii 這一估計量與矩估計量是相同(xin tn)的.第二十八頁，共100頁。.,),(22122的的最最大

18、大似似然然估估計計量量和和求求的的一一個個樣樣本本值值是是來來自自為為未未知知參參數數設設總總體體 XxxxNXn解的概率密度為的概率密度為X,),;()(222221 xexpX 的似然函數(hnsh)為,21),(222)(12 ixnieL例5第二十九頁，共100頁。,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnL 0),(ln0),(ln222 LL令令,0112 niinx ,0)()(21212222 niixn 第三十頁，共100頁。解得解得由由0112 niinx ,11xxnnii 解得解得由由0)()(21212222 niixn ,)(1212xxnnii

19、 為為的最大似然估計量分別的最大似然估計量分別和和故故2 ,X .)(1212XXnnii 它們(t men)與相應的矩估計量相同.第三十一頁，共100頁。.,21的的最最大大似似然然估估計計量量求求的的一一個個樣樣本本值值是是來來自自總總體體未未知知其其中中上上服服從從均均勻勻分分布布在在設設總總體體baXxxxbabaXn解),min()(nxxxx211 記記),max()(nnxxxx21 的概率密度為的概率密度為X 其它,),;(01bxaabbaxp例6第三十二頁，共100頁。,)()(bxxabxxxann 121等價于因為的函數的似然函數為的函數的似然函數為作為作為ba, 其它

20、,)(),()()(011nnxbxaabbaL有的任意于是對于滿足條件baxbxan,)()( 1,)()(),()()(nnnxxabbaL111 第三十三頁，共100頁。,nnnxxxbxabaL )(,),()()()()(11取到最大值時在即似然函數的最大似然估計值的最大似然估計值ba,min)(inixxa 11,max)(ininxxb 1的最大似然估計量的最大似然估計量ba,min1iniXa .max1iniXb 說明：用求導方法求參數(cnsh)的最大似然估計有時行不通，這時要用極大似然原則來求 .第三十四頁，共100頁。小結小結(xioji)兩種求點估計的方法(fngf)

21、: 矩估計(gj)法最大似然估計法在統計問題中往往先使用最大似然估計法, 在最大似然估計法使用不方便時, 再用矩估計法.);();,()( niinxpxxxLL121似然函數似然函數第三十五頁，共100頁。費希爾資料費希爾資料(zlio)Ronald Aylmer FisherBorn: 17 Feb 1890 in London, EnglandDied: 29 July 1962 in Adelaide, Australia第三十六頁，共100頁。第三節第三節 估計量的評價估計量的評價(pngji)(pngji)標標準準一、無偏性二、有效性三、相合(xin h)性第三十七頁，共100頁。

22、問題問題(wnt)的提出的提出 從前一節可以看到, 對于同一個參數, 用不同的估計方法求出的估計量可能(knng)不相同,那么那一個估計量好？好壞的標準是什么?下面(xi mian)介紹幾個常用標準.第三十八頁，共100頁。一、無偏一、無偏(w pin)性（無性（無偏偏(w pin)估計）估計）的的一一個個樣樣本本，為為總總體體若若XXXXn,21 ,的的分分布布中中的的待待估估參參數數是是包包含含在在總總體體 X )(的的取取值值范范圍圍是是 無偏(w pin)估計的實際意義: 無系統誤差.無偏性是對估計量的一個常見(chn jin)而重要的要求 . ,)(的無偏估計量是則稱有且對于任意存在

23、的數學期望若估計量定義,)()(,. EEXXXn2126. ,)(的無偏估計量是則稱有且對于任意存在的數學期望若估計量定義,)()(,. EEXXXn2126第三十九頁，共100頁。.1 , ,)1()(121的的無無偏偏估估計計階階總總體體矩矩是是階階樣樣本本矩矩總總體體服服從從什什么么分分布布論論的的一一個個樣樣本本，試試證證明明不不是是又又設設存存在在階階矩矩的的設設總總體體knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX 證同分布，同分布，與與因為因為XXXXn,21)()(kkiXEXE 故有故有., 2 , 1,nik nikikXEnAE1)(1)(即即.k 例1. 的無偏估計的

24、無偏估計階總體矩階總體矩是是階樣本矩階樣本矩故故kkkAk 第四十頁，共100頁。特別(tbi)地:.)(1估估計計量量的的無無偏偏的的數數學學期期望望總總是是總總體體 XEXX 不論總體(zngt) X 服從什么分布,只要它的數學期望(qwng)存在,第四十一頁，共100頁。. 0, , ,1/ 的的無無偏偏估估計計都都是是和和的的樣樣本本，試試證證是是來來自自總總體體又又設設其其中中參參數數其其它它度度概概率率密密的的指指數數分分布布服服從從參參數數為為設設總總體體 ),min(, 00,1);(21)1(21nnxXXXnnXXXXXXxexpX證)(XE因為因為,)( XE. 的無偏估

25、計量的無偏估計量是是所以所以 X例2第四十二頁，共100頁。min,0( ; )0,nxnexpx其其它它(1) (),E Xn故故知知(1)(),E nX. 的無偏估計量也是所以)(1nX 由以上兩例可知,同一個參數可以(ky)有不同的無偏估計量.(1)12 min(,) nXXXX而而具有概率密度第四十三頁，共100頁。 無偏(w pin)性雖然是評價估計量的一個重要標準，而且在許多場合是合理的、必要的。然而，有時一個參數的無偏(w pin)估計可能不存在或者不合理。 于是，人們又在無偏性的基礎上增加了對方差的要求。若估計量的方差越小。表明該估計量的取值（即估計值）圍繞著待估參數(cnsh

26、)的波動就越小，也就是更為理想的估計量。為此，引入最小方差無偏計。第四十四頁，共100頁。設二、有效性（最小方差無偏二、有效性（最小方差無偏(w pin)估估計）計） 由于方差是隨機變量取值與其數學期望的偏離(pinl)程度, 所以無偏估計以方差小者為好.11122212(,)(,)nnXXXXXX與都是 的無偏估計量，若有 ，則稱 比 有效.12()()DD12第四十五頁，共100頁。 .X ,有效較的無偏估計量時試證當)(11nXn 證明(zhngmng),)( 2 XD由于由于,)( 2nXD 故有故有,)()(221nXD 又因為,)()(21 nXD 故有 ,1時時當當 n),()(

27、)(XDnXD 1 .X 有效較的無偏估計量故)(1nX例3 (續例2)第四十六頁，共100頁。說明說明(shumng).),()()(,MVUEDD縮寫為量的最小方差無偏估計是則稱都有的任意無偏估計量使得對于的一個無偏估計量如果存在000 最小方差(fn ch)無偏估計是一種最優估計.定義(dngy)第四十七頁，共100頁。 有時候我們不僅要求估計(gj)量有較小的方差，還希望當樣本容量n充分大時，估計(gj)量能在某種意義下收斂于被估計(gj)參數，這就是所謂相合性（或一致性）概念。 定義 設 是未知參數 估計序列(xli)，如果 依概率收斂于 ，即對任有 12(,)nnnXXXn01|l

28、im nnP三、相合(xin h)性（相合(xin h)估計）0|lim nnP或則 稱是 的相合估計量（或一致估計）。n第四十八頁，共100頁。定理 設 是 的一個估計量，若n則 是 的相合估計（或一致估計）。n nP0221nE證明(zhngmng)：由于且lim()nnElim()0nnD221()()nnDE22)()(1 nnnEEE令 且由定理的假設，得 n即 是 的相合估計nlim0nnP第四十九頁，共100頁。小結小結(xioji)估計量的評選(pngxun)的三個標準 無偏(w pin)估計最小方差無偏估計相合估計 相合性是對估計量的一個基本要求, 不具備相合性的估計量是不予

29、以考慮的. 由最大似然估計法得到的估計量, 在一定條件下也具有相合性.估計量的相合性只有當樣本容量相當大時,才能顯示出優越性, 這在實際中往往難以做到,因此,在工程中往往使用無偏性和有效性這兩個標準.第五十頁，共100頁。第四節第四節 區間區間(q jin)(q jin)估計估計一、區間(q jin)估計基本概念二、正態總體均值與方差 的區間(q jin)估計第五十一頁，共100頁。引言(ynyn) 前面，我們討論了參數點估計. 它是用樣本算得的一個值去估計未知參數. 但是，點估計值僅僅是未知參數的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大(b d). 區間估計正好彌補了點

30、估計的這個缺陷 .第五十二頁，共100頁。一、區間一、區間(q jin)估計基本概念估計基本概念1. 置信區間的定義(dngy),11),(),(,)10(,);(212122211121 PXXXXXXXXXxFXnnn滿滿足足和和確確定定的的兩兩個個統統計計量量若若由由樣樣本本對對于于給給定定值值數數含含有有一一個個未未知知參參的的分分布布函函數數設設總總體體.1 ,1 ,1 ,2121為置信度為置信度的置信下限和置信上限的置信下限和置信上限的雙側置信區間的雙側置信區間分別稱為置信度為分別稱為置信度為和和間間的置信區的置信區的置信度為的置信度為是是則稱隨機區間則稱隨機區間 12P1 第五十

31、三頁，共100頁。關于定義(dngy)的說明. , , , , 21是是隨隨機機的的而而區區間間沒沒有有隨隨機機性性但但它它是是一一個個常常數數雖雖然然未未知知被被估估計計的的參參數數. , , ,2121 11的的概概率率落落入入隨隨機機區區間間以以而而不不能能說說參參數數的的真真值值的的概概率率包包含含著著參參數數以以隨隨機機區區間間121 P 因因此此定定 中中以以下下表表 式式的的本本 是是: : 義達質第五十四頁，共100頁。例如(lr) , 1000 0.01, 次次反復抽樣反復抽樣若若 .10 1000 個個真真值值的的約約為為個個區區間間中中不不包包含含則則得得到到的的 第五十

32、五頁，共100頁。這里(zhl)有兩個要求:由定義(dngy)可見， 對參數 作區間估計，就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限(構造統計量)1112(,)nXXX2212(,)nXXX12() 一旦有了樣本，就把 估計在區間 內.12 , 第五十六頁，共100頁。即要求估計盡量可靠. 內，就是說，概率 要盡可能大.1. 要求 以很大的可能被包含在區間12 , 12P2. 估計的精度要盡可能的高. 如要求區間長度 盡可能短，或能體現該要求的其它準則.21可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件(tiojin)下盡可能提高精度.第五十七頁，共100頁。2. 求置信區間的一般(ybn)步驟(

33、共3步). )( ,);,(:, )1(2121 包包括括數數且且不不依依賴賴于于任任何何未未知知參參的的分分布布已已知知并并且且其其中中僅僅包包含含待待估估參參數數的的函函數數尋尋求求一一個個樣樣本本ZXXXZZXXXnn .1);,(,)2(21 bXXXZaPban使使決決定定出出兩兩個個常常數數對對于于給給定定的的置置信信度度 ,1 . , ,),(, ),( , );,( )(11的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為就是就是那么那么都是統計量都是統計量其中其中不等式不等式得到等價的得到等價的若能從若能從 13212122211221nnnXXXXXXbXXXZa第五十八頁

34、，共100頁。.,1,區區間間估估計計精精度度降降低低可可信信程程度度增增大大長長度度增增大大置置信信區區間間增增大大置置信信度度固固定定樣樣本本容容量量 n.,1區區間間估估計計精精度度提提高高可可信信程程度度不不變變長長度度減減小小置置信信區區間間增增大大樣樣本本容容量量固固定定置置信信度度n 第五十九頁，共100頁。12n22n1, X ,X ,X N( ,), X,S. 設給定置信度為并設為總體的樣本分別是樣本均值和樣本方差二、正態總體均值與方差的區間二、正態總體均值與方差的區間(q jin)(q jin)估計估計 1 的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為 .unX 2/

35、,)1(2為為已已知知 的置信區間的置信區間均值均值 1.),(2 NI 單個總體的情況第六十頁，共100頁。 , 的無偏估計的無偏估計是是因為因為 X),1 , 0(/ NnXU 且且 ,)1 , 0(/數的數的是不依賴于任何未知參是不依賴于任何未知參NnX 推導(tudo)過程如下:第六十一頁，共100頁。 ,/ 12unXP, / 122unXunXP即即 分位點的定義知分位點的定義知由標準正態分布的上由標準正態分布的上 第六十二頁，共100頁。., / 221unXunX的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得這樣(zhyng)的置信區間常寫成.2 /unX其置信區

36、間的長度(chngd)為. 22/un 第六十三頁，共100頁。 包糖機某日開工(ki gng)包了12包糖,稱得重量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 假設重量(zhngling)服從正態分布,解,12,10 n ,92.502 x計算得計算得,10. 0)1(時時當當 0502 ./uu查表得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分別取分別取置信區間置信區間的的試求糖包的平均重量試求糖包的平均重量且標準差為且標準差為附表2-1,95. 021 ,645. 1例1第六十四頁，共100頁。 2/unx645.

37、 1121092.502 ,67.507 2/unx645. 1121092.502 ,17.498 90% 的置信區間為的置信區間為的置信度為的置信度為即即 .,.6750717498,05. 0)2(時時當當 ,975. 021 第六十五頁，共100頁。 02502./uu 95% 的置信區間為的置信區間為的置信度為的置信度為同理可得同理可得 .,.5850826497.,1 ;,1 ,置置信信區區間間也也較較小小較較小小時時當當置置信信度度置置信信區區間間也也較較大大較較大大時時當當置置信信度度從從此此例例可可以以看看出出 附表2-2,96. 1查表得第六十六頁，共100頁。 ,)2(2

38、為未知為未知 , , 2直接使用此區間不能中含有未知參數由于區間 /unX 1 的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為 /2(1) .nSXtnn推導過程(guchng)如下:考慮 是 的無偏估計，可用 替換2 nS22nnSS第六十七頁，共100頁。/2/2 (1)(1)1,nnSSP XtnXtnnn 即即 1 的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為于是得于是得 /2(1) .nSXtnn (1), /nXt nSn又又知知/ 2/ 2(1)(1)1, /nXPtntnSn故故第六十八頁，共100頁。 有一大批糖果(tnggu),現從中隨機地取16袋, 稱得重量(克)如下: 49650

39、9502506496493505514512497510504503499508506設袋裝糖果的重量(zhngling)服從正態分布, 試求總體均值解,151 0.05, n 503.75,6.2022,nxs得得 . 0.95 的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為 附表3-1 : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )15(025. 0t,1315. 2例2第六十九頁，共100頁。 5%9 的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為得得 1315. 2162022. 675.503.,.15074500即即就是說估計袋裝糖果(tnggu)重量的均值在500.4克與507.1克之間,

40、這個估計的可信程度為95%. ).( 61. 621315. 2162022. 6 克克其誤差不大于其誤差不大于 , 的近似值的近似值為為若依此區間內任一值作若依此區間內任一值作 這個(zh ge)誤差的可信度為95%.第七十頁，共100頁。 . 95% , ),(2的置信區間的置信區間的的試求糖包重量試求糖包重量 N解 ,12, n未知未知此時此時 ,92.502 0.05, x ,.*3512 ns : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )11(025. 0t/212.35 (1)2.2017.85,12nstnn于于是是 5%9 的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為得得 .,.

41、7751007495,201. 2附表3-2例3(續例1)如果只假設糖包的重量(zhngling)服從正態分布第七十一頁，共100頁。推導(tudo)過程如下:222(1)(1),nnSn又知 1 2的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為方差方差 2222/21/2(1)(1),. (1)(1)nnnSnSnn . ,未知的情況未知的情況只介紹只介紹根據實際需要根據實際需要 2的的置置信信區區間間方方差差 II.因為 是 的無偏估計2 nS2第七十二頁，共100頁。 1 2的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為于是得方差于是得方差 2221/2/22(1) (1)(1)1, nnSPnn

42、故故22222/21/2(1)(1) 1, (1)(1)nnnSnSPnn 即即2222/21/2(1)(1),. (1)(1)nnnSnSnn第七十三頁，共100頁。 1 的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為標準差標準差 22/21/211,.(1)(1)nnnSnSnn進一步可得:注意: 在密度(md)函數不對稱時, , 2分布分布分布和分布和如如F 習慣(xgun)上仍取對稱的分位點來確定置信區間(如圖).第七十四頁，共100頁。解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n 6.2022,ns 得得代入公式(gngsh)得標準差

43、的置信區間.,.609584附表4-1 (續例2) 求例2中總體標準差 的置信度為0.95的置信區間. )15(2025. 0 )15(2975. 0 ,488.27,262. 6附表4-2例4第七十五頁，共100頁。2、兩個總體、兩個總體(zngt) 的情況的情況),(),(222211 NN兩兩總總體體相相互互獨獨立立的的修修正正樣樣本本方方差差分分別別是是第第一一、二二個個總總體體總總體體的的樣樣本本均均值值分分別別是是第第一一、二二個個的的樣樣本本個個總總體體為為第第二二的的樣樣本本第第一一個個總總體體為為并并設設給給定定置置信信度度為為.,),(,),(,12*22*12222121

44、12121SSYXNYYYNXXXnn 討論兩個總體均值差和方差(fn ch)比的估計問題.第七十六頁，共100頁。 ,)1(2221均為已知均為已知和和 1 21的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為 .nnuYX 2221212/ , , , 21的無偏估計的無偏估計分別是分別是因為因為 YX推導(tudo)過程如下: , 21的無偏估計的無偏估計是是所以所以 YX 21的置信區間的置信區間兩個總體均值差兩個總體均值差 I.第七十七頁，共100頁。 , 的獨立性及的獨立性及由由YX,1211 nNX ,2222 nNY , 22212121 nnNYX 可知可知 ,1, 0 22

45、212121NnnYX 或或第七十八頁，共100頁。 1 21的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得 .nnuYX 2221212/ ,)2(2221均為未知均為未知和和 ),50(21則有則有即可即可實用上實用上都很大都很大和和只要只要 nn 1 21的的近近似似置置信信區區間間的的一一個個置置信信度度為為 .nSnSuYX 2221212*/第七十九頁，共100頁。 , ,)3(222221為未知為未知但但 1 21的的置置信信區區間間的的一一個個置置信信度度為為 .11)2(21212/ nnSnntYXw .,)()(*2212222112211wwwSSnnSn

46、SnS 其中第八十頁，共100頁。例6機床廠某日從兩臺機床加工(ji gng)的零件中,分別抽取若干個樣品,測得零件尺寸分別如下(單位:cm): 第一臺機器 6.2, 5.7, 6.5, 6.0, 6.3, 5.8 5.7, 6.0, 6.0, 5.8, 6.0 第二臺機器 5.6, 5.9, 5.6, 5.7, 5.8 6.0, 5.5, 5.7, 5.5 假設兩臺機器加工(ji gng)的零件尺寸均服從正態分布,且方差相等,試求兩機床加工(ji gng)的零件平均尺寸之差的區間估計)05. 0( 第八十一頁，共100頁。解解 用用 X 表示第一臺機床加工表示第一臺機床加工(ji gng)的

47、零的零件尺寸件尺寸,用用 Y表示第二臺機床加工表示第二臺機床加工(ji gng)的零件尺寸的零件尺寸,由題設由題設,111n, 92n,05. 01009. 2)18(025. 0t64. 0) 1(2112*111xnxSnnii24. 0) 1(2212*221ynySnnii2) 1() 1(212*222*11nnSnSnS經計算(j sun)，得2211. 0291124. 064. 00 . 6x7 . 5y第八十二頁，共100頁。0912. 011)18(21025. 0nnStyx5088. 011)18(21025. 0nnStyx置信下限置信上限故所求 的置信度為95%的置

48、信區間為 0.0912,0.5088.21第八十三頁，共100頁。 . , 21為未知的情況為未知的情況僅討論總體均值僅討論總體均值 1 2221的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為 .),(,),(/*/* 111111212122212122221nnFSSnnFSS推導過程(guchng)如下: nSn ),()(*111221211 由于 nSn),()(*112222222 2221的置信區間的置信區間兩個總體方差比兩個總體方差比 II.第八十四頁，共100頁。 Sn Sn 22,)()(*相互獨立與且由假設知2222121111 根據(gnj)F分布的定義, 知 nnF

49、SS),(*112122222121 SS 22222121*即 nSnnSn)()()()(*1111222222121211 ),1, 1(21 nnF第八十五頁，共100頁。, ),(),(/*/ 11111212222221212121nnFSSnnFP ,),(),(/*/* 11111112121222122212122221nnFSSnnFSSP 1 2221的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得 .),(,),(/*/* 111111212122212122221nnFSSnnFSS第八十六頁，共100頁。解,181 n,132 n例7研究由機器A和機器B

50、生產的鋼管內徑, 隨機抽取機器A生產的管子18只, 測得樣本方差為均未知, 求方差比 .900 的置的置的置信度為的置信度為區間.設兩樣本相互獨);(. *221340mms ).(. *222290mms 抽取機器B生產的管子13只,測得樣本方差為立,且設由機器A和機器B生產的鋼管內徑分別服從正態分布),(),(222211 NN)2 , 1(,2 iii 2221 信,10. 0 ),(.*221340mms ),(.*222290mms 第八十七頁，共100頁。,59. 2)12,17()1, 1(05. 0212/ FnnF )12,17()12,17(95. 02/1FF ,38.

51、21)17,12(105. 0 F .900 2221的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得 38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0 .79. 2,45. 0 第八十八頁，共100頁。解, 91 n, 62 n,02. 0 例8的置甲、乙兩臺機床加工同一種零件, 在機床甲加工的零件中抽取9個樣品, 在機床乙加工的零件信區間. 假定測量值都服從正態分布, 方差分別為在置信度,. *245021 s,. *357022 s由所給數據算得0.98下, 試求這兩臺機床加工精度之比.,2221 21 中抽取6個樣品,并分別測得它們的長度(單位:mm), 3

52、 .10)5, 8()1, 1(99. 0212/1 FnnF 第八十九頁，共100頁。)5, 8()5, 8(01. 02/FF ,63. 61)8, 5(199. 0 F .980 21的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得 ),(,),(/*/* 111111212122212122221nnFSSnnFSS .,. 3570636245031035702450 .,.13322580 第九十頁，共100頁。三、小結三、小結(xioji) 點估計不能反映(fnyng)估計的精度, 故而本節引入了區間估計.求置信區間的一般(ybn)步驟(分三步). 1)()(,212

53、1P ，有，有意的意的，即對于任，即對于任置信度置信度率率數具有預先給定的高概數具有預先給定的高概它覆蓋未知參它覆蓋未知參間間置信區間是一個隨機區置信區間是一個隨機區第九十一頁，共100頁。 . 1的置信區間的置信區間單個總體均值單個總體均值 ,)1(2為已知為已知 .unX 2/ ,)2(2為未知為未知 .)(/* 12ntnSXn . 22的置信區間的置信區間單個總體方差單個總體方差 nSnnSnnn.)()(,)()(/*/* 11112212222正態總體均值(jn zh)與方差的區間估計第九十二頁，共100頁。 . 321的置信區間的置信區間兩個總體均值差兩個總體均值差 ,2221均

54、均為為已已知知和和 .nnuYX 2221212/ ,2221均均為為未未知知和和 .nSnSuYX 2221212*/但n充分(chngfn)大時近似置信區間第九十三頁，共100頁。 . 42221的置信區間的置信區間兩個總體方差比兩個總體方差比 , 21為未知為未知總體均值總體均值 nnFSSnnFSS.),(,),(/*/* 111111212122212122221 , ,222221為未知為未知但但 .11)2(21212/ nnSnntYXw 第九十四頁，共100頁。附表附表2-12-1標準(biozhn)正態分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.07

55、0.080.090.01.00.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850

56、.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360

57、.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800

58、.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645第九十五頁，共100頁。z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.01.92.03.00.94520.95540.9641

59、0.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.9901

60、0.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.9979