1、第九章統計9.2用樣本估計總體9.2.3總體集中趨勢的估計9.2.4總體離散程度的估計學習目標素養要求1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(平均數、中位數、眾數)，理解集中趨勢參數的統計含義數據分析、數學運算2.結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(標準差、方差、極差)，理解離散程度參數的統計含義數據分析、數學運算3.結合實例，能用樣本估計總體的取值規律數據分析自 學 導 引眾數、中位數、平均數的定義最多中間平均數2三種數字特征與頻率分布直方圖的關系眾數眾數是_的中點所對應的數據，表示樣本數據的中心值中位數(1)在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖面積_，由此可以估計中位數

2、的值，但是有偏差；(2)表示樣本數據所占頻率的等分線平均數(1)平均數等于每個小矩形的面積乘_之和；(2)平均數是頻率分布直方圖的重心，是頻率分布直方圖的平衡點最高長方形相等小矩形底邊中點的橫坐標【預習自測】判斷下列命題是否正確(正確的畫“”，錯誤的畫“”)(1)一個樣本的眾數、平均數和中位數都是唯一的()(2)樣本的平均數是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應的數據()(3)若改變一組數據中一個數，則這組數據的平均數、中位數、眾數都會發生改變()【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)一個樣本的平均數和中位數是唯一的若數據中有兩個或兩個以上出現得最多，且出現次數一樣多，則這些數據都叫眾數，若

3、一組數據中每個數據出現的次數一樣多，則沒有眾數，可見一個樣本的眾數可能多個，也可能沒有(2)樣本的平均數等于每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和(3)若改變一組數據中的一個數，則這組數據的平均數一定會改變，而中位數與眾數可能不變玉方差與標準差【預習自測】1判斷判斷下列命題是否正確(正確的畫“”，錯誤的畫“”)(1)數據5，4，4，3，5，2的眾數為4.()(2)數據2，3，4，5的標準差是數據4，6，8，10的標準差的一半()(3)方差與標準差具有相同的單位()(4)如果一組數中每個數減去同一個非零常數，則這組數的平均數改變，方差不變()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)該

4、數據中的眾數應為4和5.(3)二者單位不一致(4)平均數也應減去該常數，方差不變2已知一組數據4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數據的方差是_【答案】0.1課 堂 互 動某工廠人員及月工資構成如下：題型1眾數、中位數、平均數的計算及應用人員經理管理人員高級技工工人學徒合計月工資/元22 0002 5002 2002 0001 00029 700人數16510123合計22 00015 00011 00020 0001 00069 000(1)指出該工廠所有人員工資的眾數、中位數、平均數；(2)這個表格中，平均數能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？素養點睛：本題考查了數學抽象與

5、數據分析的核心素養解：(1)由表格可知，眾數為2 000元把23個數據按從小到大(或從大到小)的順序排列，排在中間的數應是第12個數，其值為2 200，故中位數為2 200元平均數為69 000233 000(元)(2)雖然平均數為3 000元/月，但由表格中所列出的數據可見，只有經理在平均數以上，其余的人都在平均數以下，故用平均數不能客觀真實地反映該工廠的工資水平眾數、中位數、平均數之間的關系(1)如果樣本平均數大于樣本中位數，說明數據中存在較大的極端值在實際應用中，如果同時知道樣本中位數和樣本平均數，可以使我們了解樣本數據中的極端數據信息，幫助我們作出決策(2)眾數、中位數、平均數三者比較

6、，平均數更能體現每個數據的特征，它是各個數據的重心1(2021年張家口期末)已知甲組數據：156，170a，165，174，162，乙組數據：159，178，160b，161，167，其中a，bxN|x9若這兩組數據的中位數相等，平均數也相等，則ab( )A8B10C11D12【答案】A【解析】根據題意，甲組數據：156，170a，165，174，162，其中位數必為165，則乙組數據：159，178，160b，161，167的中位數也為165，則有160b165，解可得b5；又由兩組數據的平均數相等，則有(156170a165174162)(159178165161167)，解得a3，則ab

7、358.故選A從高三抽出50名學生參加數學競賽，由成績得到如下的頻率分布直方圖題型2利用頻率分布直方圖求眾數、中位數、平均數由于一些數據丟失，試利用頻率分布直方圖求：(1)這50名學生成績的眾數與中位數；(2)這50名學生的平均成績素養點睛：本題考查了數據分析和數學抽象的核心素養解：(1)由眾數的概念可知，眾數是出現次數最多的數在直方圖中高度最高的小長方形的底邊中點的橫坐標即為所求，所以眾數應為75.由于中位數是所有數據中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現的是中位數的左右兩邊頻數應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等因此在頻率分布直方圖中將所有小矩形的面積一分為二的垂直于橫軸的直線與

8、橫軸交點的橫坐標所對應的成績即為所求(2)樣本平均值應是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數據的平均值，即每個小矩形底邊的中點的橫坐標乘以每個小矩形的面積求和即可所以平均成績為45(0.00410)55(0.00610)65(0.0210)75(0.0310)85(0.02410)95(0.01610)76.2.頻率分布直方圖的數字特征(1)眾數：眾數一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來顯示，即在樣本數據的頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標；(2)中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；(3)平均數：平均數在頻率分布表中等于每組中值與對應頻率之積的和2

9、(2021年武漢月考)某次考試后，對全班同學的數學成績進行整理，并得到如表：分數段70，90)90，110)110，130)130，150人數5152010將以上數據繪制成頻率分布直方圖后，可估計出本次考試數學成績的中位數是( )A110B115C120D125【答案】B【解析】由題意得，頻率分布直方圖中四個小矩形的面積從左向右依次為0.1，0.3，0.4，0.2，中位數位于第3個小矩形處，而前兩個小矩形面積之和為0.4，故第三個小矩形在中位數左側的面積為0.1，故中位數在區間110，130)的靠左的四等分點處，故中位數為115.故選B甲、乙兩機床同時加工直徑為100 cm的零件，為檢驗質量，

10、從中抽取6件測量數據為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數據的平均數及方差；(2)根據計算說明哪臺機床加工零件的質量更穩定素養點睛：本題考查了數學運算與數學抽象的核心素養題型3標準差、方差的計算及應用用樣本的標準差、方差估計總體的方法(1)用樣本估計總體時，樣本的平均數、標準差只是總體的平均數、標準差的近似值實際應用中，需先分析平均水平，當所得數據的平均數相等時，再計算標準差(方差)分析穩定情況(2)標準差、方差的取值范圍是0，)(3)因為標準差與原始數據的單位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的離散

11、程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差3一組數據中的每一個數據都乘2，再都減80，得一組新數據，若求得新數據的平均數是1.2，方差是4.4，則原來數據的平均數和方差分別是()A40.6，1.1B48.8，4.4C81.2，44.4D78.8，75.6【答案】A在了解全校學生每年平均閱讀了多少本文學經典名著時，甲同學抽取了一個容量為10的樣本，并算得樣本的平均數為5，方差為9；乙同學抽取了一個容量為8的樣本，并算得樣本的平均數為6，方差為16.已知甲、乙兩同學抽取的樣本合在一起組成一個容量為18的樣本，求合在一起后的樣本平均數與方差(精確到0.1)題型4分層隨機抽樣的方差4甲、乙兩

12、支田徑隊體檢結果為：甲隊的體重的平均數為60 kg，方差為200，乙隊體重的平均數為70 kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊的隊員人數之比為14，那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是多少？甲、乙兩種冬小麥實驗品種連續5年的平均單位面積產量如下(單位：t/hm2)：易錯警示忽略方差的統計意義致誤品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8若某村要從中引進一種冬小麥大量種植，給出你的建議易錯防范：平均數反映的是樣本的平均水平，方差和標準差則反映了樣本的波動、離散程度對于形如“誰最適合”“誰更穩定”的題目，除了比較數據的平均值之外

13、，還要比較方差或標準差的大小，做出更合理的判斷素 養 達 成1一組數據中的眾數可能不止一個，平均數與中位數是唯一的，求中位數時，必須先排序2利用頻率分布直方圖求數字特征(1)眾數是最高的矩形的底邊的中點(2)中位數左右兩邊直方圖的面積應相等(3)平均數等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和3標準差的平方s2稱為方差，有時用方差代替標準差測量樣本數據的離散程度方差與標準差的測量效果是一致的，在實際應用中一般多采用標準差(體現數學運算的核心素養)1(題型1)下列數字特征一定會在原始數據中出現的是()A眾數B中位數C平均數D都不會【答案】A【解析】眾數是在一組數據中出現次數最多的數，所以

14、一定會在原始數據中出現2(題型1)對于數據3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，有下列結論：這組數據的眾數是3；這組數據的眾數與中位數的數值不相等；這組數據的中位數與平均數的數值相等；這組數據的平均數與眾數的數值相等其中正確的結論的個數為()A1B2C3D4【答案】A【解析】第一組數據的頻率為0.0250.1，第二組數據的頻率為0.0650.3，第三組數據的頻率為0.0850.4，中位數在第三組內，設中位數為25x，則x0.080.50.10.30.1，x1.25，中位數為26.25，故A錯誤；第三組數據所在的矩形最高，第三組數據的中間值為27.5，眾數為27.5，故B錯誤；1分鐘仰臥起坐的次數超過30的頻率為0.2，超過30次的人數為4000.280，故C正確；1分鐘仰臥起坐的次數少于20的頻率為0.1，1分鐘仰臥起坐的次數少于20的人數為4000.140，故D錯誤故選C4(題型2)某校100名高二學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100(1)圖中a的