1、對于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中應(yīng)用對于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中應(yīng)用對于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中應(yīng)用-對于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特別狀況，（對于“一線三等角”模型詳見比例與相像高級教程（六）：相像三角形的“一線三等角”模型），即三個等角角度為90o，于是有三組邊互相垂直，因此稱為“一線三垂直”模型。“一線三垂直”的性質(zhì)：1，模型中必定存在最少兩個三角形相像，三同樣角，三對成比率的邊長；2，當(dāng)模型中有一組對應(yīng)邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形。“一線三垂直”模型在平面幾何中有著及其重要的地位，常出現(xiàn)的圖例有以

2、下幾種：此中，在“變形2”模型下，依據(jù)相像原理，推理出了有名“射影定理”這里主要討論的有一對對應(yīng)邊相等的狀況。【1】如圖，在等腰直角三角ABC中，ACB=Rt，AC=BC，AE于E，例形CE點BDCE于點D，AE=5cm，BD=2cm，則DE的長為多少？-【提示】依據(jù)“一線三垂直”模型的性質(zhì)，ACECBD，于是CD=AE=5cm，CE=BD=2cm，DE=5-2=3（cm）【例2】如圖，在ABC中，CA=CB，點D為BC中點，CEAD于點E，交AB于點F，連結(jié)DF。求證：AD=CF+DF.【解析】本題乍一看起來和【例從要證明的結(jié)論來看，需要把BGCB，交CF的延伸線于點1】同樣，卻不可以照搬照

3、抄。CF上。如圖，過B作AD這條線段“轉(zhuǎn)變”到點直線G。則易證ACDCBG，于是AD=CG=CF+FG；BG=CD=BD，BF=BF，DBF=GBF=45o，故BDFBGF，于是FD=FG，因此AD=CF+DF。-對于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（二）“一線三垂直”的性質(zhì)：1，模型中必定存在最少兩個三角形相像，三同樣角，三對成比率的邊長；2，當(dāng)模型中有一組對應(yīng)邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形。【例3】如圖，在垂線，垂足分別為1）如圖1，過點2）如圖2，過點EF的長。ABC中，AB=AC，BAC=90o，分別過B，C向過A點的直線作E，F(xiàn)。A的直線與斜邊BC不訂交時，求證：EF

4、=EB+CF；A的直線與斜邊BC訂交時，其余條件不變，若BE=10，CF=3.求【提示】1）圖1是“一線三”的基礎(chǔ)模型，ABECAF；（垂直是“一線三垂直”】同樣。4，和【例12）圖的變形2【例4】如圖，已知AEB中，AEB=90o，以AB為邊向外作正方形ABCD，連結(jié)AC、BD，交于點O，連結(jié)EO。BE=2，EO=32，求五邊形AEBCD的面積。若【解析】由于ABC=AEB=90o，故結(jié)構(gòu)“一線三垂直”模型，如圖。-過點C作CPEB，交EB延伸線于點P，連結(jié)OP。則依據(jù)“一線三垂直”模型的性質(zhì)，AEBBPC，BP=AE；AOB=AEB=90o，A、E、B、O四點共圓（詳見“四點共圓”在解），

5、題中的妙用（一）BEO=BAO=45o；同理BPO=BCO=45o，故EOP為等腰直角三角形；EO=32，EP=6，BP=4，依據(jù)勾股定理，AB2=16+4=20，即S正方形ABCD=20，SAEB=422=4，S五邊形AEBCD=20+4=24.-對于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（三）【例5】已知ABC中，ACB=90o，AC=BC，CD為AB邊上的中線，點E為BC邊上隨意一點（不與A、D、B重合），BFCE于點F，交CD于點G，AHCE，交CE延伸線于點H，交CD延伸線于點M。求證：（1）CG=AE；（2）DE=DM。【提示】（1）依據(jù)“一線三垂直”模型，ACHCBF，ACE=

6、CBG，又CAE=BCG=45o，AC=BC，ACEBCG；（2）由“一線三垂直”模型可知，ACE=CBG，BF=CH，HCM=FBE，又BFE=CHM=90o，CHMBFE，BE=CM，進(jìn)而DE=DM。同時我們也應(yīng)當(dāng)注意到：ACMCBE；ADMCDEBDG；AHECFG；DM=DG=DE；GEM為等腰直角三角形等。結(jié)構(gòu)“一線三垂直”模型，是作協(xié)助線常用的一種手段。【例6】如圖，直線l1l2l3，且l1到l2的距離為3，l2到l3的距離為4，等腰直角ABC的直角極點C在l2上，點A、B分別在l1、l3上。求ABC的面積。【提示】過點C作l2的垂線，分別交l1和l3于點D、E，結(jié)構(gòu)“一線三垂直”

7、模型，則CD=3，AD=CE=4，AC=5.-對于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（四）【例7】（2018初二希望杯練習(xí)題）如圖，四邊形ABCD為直角梯形，ADBC，BCD=90o，AB=BC+AD，DAC=45o，E為CD上一點，且BAE=45o，若CD=4，求ABE的面積。【解析】如圖，過點E作EGAE，交AB延伸線于點，過點G作，交，GGHDCKDC延伸線于點H，結(jié)構(gòu)“一線三垂直”模GKBC于點過點B作型；過點G作BFAD于點F。則ADEEHG，DE=GH；AD=EH=CD，DE=CH，故四邊形CKGH為正方形。AF=4-BC，AB=4+BC，BF=4，（4+BC）2=（4-BC

8、）2+42，解得：BC=1，因此AB=5；設(shè)DE=x，則BK=1-x，GK=x，AE2=x2+42AEG為等腰直角三角形，AG2=2AE2，5+BG）2=2（x2+42），將BG代入，化簡得：7x-4）2=0，x=4/7，ABE面積=梯形ABCD面積-ADE面-BCE面積=（1+4）42-44/72-1積(4-4/7)2=50/7。在直角坐標(biāo)系中結(jié)構(gòu)“一線三垂直【例8】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點直角三角形，求點C的坐標(biāo)。”模型，是解決坐標(biāo)問題的一種有效手段。A（1，2），點B（0，-1），ABC為等腰已知-【解析】設(shè)C（m，p）。（1）當(dāng)BAC為直角時：當(dāng)點C在AB右邊時，如圖1。過點A作DEx

9、軸，交y軸于點D，過點C作CEDE于點E。依據(jù)“一線三垂直”模型，ABDACE，DB=AE，CE=DA，即：m-1=3，2-p=1，解得：m=4，p=1，C（4，1）；當(dāng)點C在AB左邊時，如圖2。過點A作DE軸，交y軸于點D，過點C作CEx于點E。依據(jù)“一線三垂直”模型，ABDDE，DB=AE，CE=DA，即：1-m=3，ACE-2=1，解得：m=-2，p=3，pC（-2，3）；（或許用以下方法：此時，點C和中的C對于點A對稱，故m=21-4=-2，p=221=3.）（2）當(dāng)ABC為直角時：當(dāng)點C在AB右邊時，如圖3。過點A作AEx軸，交y軸于點E，過點C作CDy軸于點D。依據(jù)“一線三垂直”模

10、型，ABEBCD，DB=AE，BE=CD，即：-1-p=1，m=3，解得：m=3，p=-2，C（3，-2）；-當(dāng)點C在AB左邊時，如圖4。過點B作DEx軸，過點C作CDDE于點D，過點A作AEDE于點E。依據(jù)“一線三垂直”模型，ABEBCD，BE=CD，BD=AE，即：0-m=3，p-（-1）=1，解得：m=-3，p=0，C（-3，0）；（或許用以下方法：此時，點C和中的C對于點B對稱，故m=20-3=-3，p=-12（-2）=0.）（3）當(dāng)ACB為直角時：當(dāng)點C在AB右邊時，如圖5。過點C作CDx軸，過點CD交y軸于點E。依據(jù)“一線三垂直”模型，ACDCBE，BE=CD，CE=DA，即：m=

11、2-p，p-（-1）=m-1，解得：m=2，p=0，即CD與x軸重合，點C（2，0）；A作ADCD于，點DE與O重合，當(dāng)點C在AB左邊時，如圖6。過點C作CDx軸，過點A作ADCD于點D，CD交y軸于點E。依據(jù)“一線三垂直”模型，ACDCBE，BE=CD，CE=DA，即：1-m=p-（-1），2-p=0-m，解得：m=-1，p=1，C（-1，1）。（或許用以下方法：此時，點C和中的C對于AB的中點對稱，AB的中點坐標(biāo)為（0.5，0.5），故m=20.5-2=-1，p=0.520=1.）綜上所述：符合條件的點C的坐標(biāo)有6個：4，1）；（-2，3）；（3，-2）；-3，0）；（2，0）；（-1，1

12、）。-對于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（五）前面討論的是對于“一線三垂直模型”有兩條邊相等時的狀況。假如不存在兩條邊相等，那么“一線三垂直模型”的性質(zhì)是必定存在一對或幾對相像三角形，這個性質(zhì)在初中平面幾何中的應(yīng)用也是十分寬泛，特別在直角坐標(biāo)系中的函數(shù)圖像與平面幾何的綜合應(yīng)用題或壓軸題常常獲得應(yīng)用，也是作協(xié)助線的思想方法。常常出現(xiàn)的圖例跟前面介紹的同樣（對于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（一），但是直角的兩條邊不用然相等。【例9】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A（1，3），點B（2，-1），坐標(biāo)軸上能否存在點C，使得ACB為直角？若存在，懇求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因。【

13、解析】（1）當(dāng)點C在y軸上時：如圖1，設(shè)C（0，c），分別過點A、B作x軸的平行線，交y軸于點D、E。則依據(jù)“一線三垂直模型”，ACDCBE，ADCE=CDBE，即：1(c+1)=(3-c)2，解得：c1=1+2，c2=1-2，故C（0，1+2）；或C（0，1-2）；（2）當(dāng)點C在x軸上時：-如圖2，設(shè)C（c，0），分別過點A、B作y軸的平行x軸于D、E。線，交點則依據(jù)“一線三垂直模型”，ACDCBE，ADCE=CDBE，即：3（2-c）=（1-c）2，或3（c-2）=（c-1）2，綜上所述，符合條件的點C的坐標(biāo)有4個，分別為：（0，1+2）；（0，1-2）；【例10】如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（1，3），點B（2，-1），在