1、2020年數學中考重難點打破之特別四邊形的動向研究題2020年數學中考重難點打破之特別四邊形的動向研究題30/302020年數學中考重難點打破之特別四邊形的動向研究題特別四邊形的動向研究題1.已知ABC，以AB為直徑的O交AC于點D，交BC于點E，連接ED，若EDEC.(1)求證：ABAC；(2)若AB4，BC23，則CD_；當A_時，四邊形ODEB是菱形第1題圖1(1)證明：EDEC，EDCC，EDCADE180，BADE180，EDCB，BC，ABAC；3(2)解：2；【解法提示】如解圖，連接BD，第1題解圖AB為O的直徑，BDAC，設CDa，由(1)知ACAB4，則AD4a，1在RtAB

2、D中，由勾股定理可得BD2AB2AD242(4a)2，在RtCBD中，由勾股定理可得BD2BC2CD2(23)2a2，22(222334(4a)3)a，解得a2，即CD2.60.【解法提示】如解圖，連接OD、OE，四邊形ODEB是菱形，OBBE，又OBOE，OBE是等邊三角形，OBE60，1ODBE，BOD120，A2BOD60.如圖，在?ABCD中，AD4，AB5，延長AD到點E，連接EC，過點B作BFCE交AD于點F，交CD的延長線于點G.(1)求證：四邊形BCEF是平行四邊形；(2)當DF_時，四邊形BCEF是正方形；GF當GD_時，四邊形BCEF是菱形第2題圖(1)證明：四邊形ABCD

3、是平行四邊形，EFBC.BFCE，四邊形BCEF是平行四邊形；(2)解：1;2【解法提示】四邊形BCEF是正方形，BFBCAD4，FBCAFB90，AFAB2BF252423.AD4，DFADAF431.45.【解法提示】四邊形BCEF是菱形，BFBCAD4.四邊形ABCD是平行四邊形，CDAB，GDGF，即GFBF4ABBFGD.AB53.如圖，AB是半圓O的直徑，射線AMAB，點P在AM上，連接OP交半圓O于點D，PC切半圓O于點C，連接BC.(1)求證：BCOP；(2)若半圓O的半徑等于2，填空：當AP_時，四邊形OAPC是正方形；當AP_時，四邊形BODC是菱形3第3題圖3.解：(1)

4、證明：連接OC，AC，如解圖所示，AB是直徑，AMAB，BCAC，AP是半O的切線，又PC是半O的切線，PAPC，又OAOC，OPAC，BCOP；(2)2；23.【解法提示】若四邊形OAPC是正方形，則OAAP，OA2，AP2；若四邊形BODC是菱形，則CBBOODDC，AB2OB，ACB90，AB2BC，BAC30，ABC60，BCOP，AOPABC60，又OAP90，OA2，OPA30，OP4，APOP2OA2422223.第3題解圖44.如圖，在ABC中，ACB90，線段BC的垂直均分線DE交BC于點D，交AB于點E，點F在DE的延長線上，AFCE且F不與E重合(1)求證：EFAACE；

5、(2)填空：當B_時，四邊形ACEF是菱形；當B_時，線段AF與AB垂直第4題圖4.(1)證明：如解圖，第4題解圖ED是BC的垂直均分線，EBEC，EDBC，34，5ACB90，FEAC，15，2與4互余，1與3互余，125，AECE.又AFCE，AEAF，5F，在EFA和ACE中，AFAEEC，125F，EFAACE.(2)解：30；45.【解法提示】四邊形ACEF是菱形，ACCE，CE是RtABC斜邊AB的中線，CEAEBE，AEACCE，ACE是等邊三角形,160，則B30,當B30時，四邊形ACEF是菱形；由(1)知EFAACE，AECEAF，AFCE，AFAB，CEAB，CEEB，3

6、445，當B45時，線段AF與AB垂直5.如圖，AB是O的直徑，E是O外一點，過點E作O的兩條切線ED，EB，切點分別為點D，B.連接AD并延長交BE延長線于點C，連接OE.(1)試判斷OE與AC的關系，并說明原由；(2)填空：當BAC_時，四邊形ODEB為正方形；6當BAC30時，AD的值為_DE第5題圖5.解：(1)OEAC，OE1AC.2原由：連接OD，如解圖，第5題解圖DE，BE是O的切線，ODDE，ABBC，ODEABC90，ODOB，OEOE，RtODERtOBE(HL)，12.BODA3，OAOD，A3，2A，OEAC；OAOB，ECEB，OE是ABC的中位線，OE1AC.2(2

7、)45；3.【解法提示】要使四邊形ODEB是正方形，由EDEB，ODEABC90,只需DOB90，A45；過O作OHAD于H,A30，OA7OD,3A30，OD3AD，ODE90，1330，OD33DE,3AD3DE，AD3.3DE6.如圖，將O的內接矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把ACD沿CA方向平移獲取A1C1D1，連接BC1，ACB30，AB1，CC1x.(1)若點O與點C1重合，求證：A1D1為O的切線；(2)當x_時，四邊形ABC1D1是菱形；當x_時，BDD1為等邊三角形第6題圖(1)證明：四邊形ABCD為矩形，D90，把ACD沿CA方向平移獲取A1C1D1，A1D1OD90，A

8、1D1OD1，A1D1為O的切線；(2)解：1；2.【解法提示】如解圖，連接AD1，當x1時，四邊形ABC1D1是菱形；第6題解圖原由：由平移得：ABD1C1，且ABD1C1，四邊形ABC1D1是平行四邊形，8ACB30，CAB60，AB1，AC2，x1，AC11，ABAC1，AC1B是等邊三角形，ABBC1，四邊形ABC1D1是菱形；如解圖所示，當x2時，BDD1為等邊三角形，第6題解圖則可得BDDD1BD12，即當x2時，BDD1為等邊三角形如圖，AB是半圓O的直徑，點C是半圓上的一個動點，BAC的均分線交圓弧于點D，半圓O在點D處的切線與直線AC交于點E.(1)求證：ADEABD；(2)

9、填空：若EDDB32，則AEAB_；連接OC、CD，當BAC的度數為_時，四邊形BDCO是菱形第7題圖97.(1)證明：如解圖，連接OD，AD是BAC的均分線，EADDAB，AOOD，OADODA，EADODA，ODAE，DE是半圓O的切線，ODDE，E90，AB是半圓O的直徑，ADB90，EADDAB，EADB，ADEABD；第7題解圖(2)解：34；EDAE【解法提示】由(1)得ADEABD，BDAD，EDDB32，AEAD32，EAD30，DAB30，ADAB32，AEAB34.60.【解法提示】如解圖，連接OC，CD，OD，當四邊形BDCO是菱形時，ODBD，ODB為等邊三角形，DOB

10、60，由(1)得，ODAC，BAC60.10第7題解圖8.如圖，以ABC一邊AB為直徑作O，與其余兩邊分別交于點D、E，且點D為BC的中點，連接DE.(1)證明：ABC是等腰三角形；(2)填空：當B_時，四邊形BDEO是菱形；當B_時，AOE是直角三角形第8題圖8.(1)證明：連接AD，如解圖，AB是O的直徑，BDA90.D為BC的中點,BDDC，ABAC，ABC是等腰三角形；11第8題解圖(2)解：60；67.5.【解法提示】當B60時，四邊形BDEO是菱形連接OD，如解圖，B60，ABC是等邊三角形，OBD是等邊三角形，AOE是等邊三角形，DOE是等邊三角形，OBBDDEEO,四邊形BDE

11、O是菱形；若AOE是直角三角形，只有一種情況，即AOE90，OAOE，OAEAEO45，由(1)知ABC是等腰三角形，BC4567.5.29.如圖，在ABC中，ABBC8，O是AB的中點，以O為圓心，OA為半徑的圓交AC于D，E是AB上的一點，C45，連接BE，DE.AF切圓O于點A，交BE的延長線于點F.(1)求證：BC是圓O的切線；(2)填空：當BE_時，四邊形BDAE是正方形；當BF_時，四邊形ODAF是平行四邊形第9題圖9.(1)證明：ABBC，C45，BACC45，12在ABC中，ABC180BACC180454590，又AB是過圓心O的直徑，OBBC，BC是圓O的切線；(2)解：4

12、2；45.【解法提示】當DE經過圓心時四邊形BDAE是正方形，連接BD，AE，如解圖，AB是圓O的直徑，ADB90，又ABBC，BDAC，ADDCBD，又ADB90，ADBD，DOAB，ABED，ABED，OAOB，OEOD，四邊形BDAE是正方形AB8，EOOB4，BEEO2BO2161642，當BE42時，四邊形BDAE是正方形；如解圖，四邊形ODAF是平行四邊形，AFOD4，BFAF2AB2428245，當BF45時，四邊形ODAF是平行四邊形第9題解圖第9題解圖10.如圖，已知平行四邊形ABCD中，AD8cm，AB10cm，BD12cm.點P從點A出發，以1cm/s的速度向點B運動，同時點Q從點C出發以相同的速度向點D運動設運動時間為t.(1)連接DP、BQ，求證：DPBQ；(2)填空：當t為_s時，四邊形PBQD是矩形；當t為_s時，四邊形PBQD是菱形13第10題圖10.解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AC，ADBC.又APCQt，APDCQB(SAS)，DPBQ；(2)1；2.【解法提示】如解圖，APDCQB，DPBQ.四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD，ABAPCDCQ，即BPDQ，四邊形PBQD是平行四邊形當DPB90時，則四邊形PBQD就是矩