1、第三節 向量組的線性相關性二、關于線性組合與線性相關 的定理一、線性相關與線性無關三、小結、思考題第三節 向量組的線性相關性二、關于線性組合與線性相關一、線的向量形式為當且僅當時關系式成立存在一組不全為零的數使得關系式成立向量組的關系由上節內容知道，齊次線性方程組因此，齊次線性方程組只有零解齊次線性方程組有非零解的向量形式為當且僅當時關系式成立存在一組不全為零的數使得關系一、線性相關與線性無關成立定義3.7一、線性相關與線性無關成立定義3.7注意3. 包含零向量的任何向量組是線性相關的.線性相關，若則說線性無關. 4. 對于含有兩個向量的向量組, 它線性相關的充要條件是兩向量的分量對應成比例,

2、 幾何意義是兩向量共線; 三個向量線性相關的幾何意義是三向量共面.對于任一向量組而言, 不是線性無關的就是線性相關的.2.向量組只包含一個向量時，則說2.向量組只包含一個向量時，則說2.向量組只包含一個向量時，則說2.向量組只包含一個向量時，若則說2.向量組只包含一個向量時，注意3. 包含零向量的任何向量組是線性相關的.線性相關，若則由定義3.7可知有非零解定理3.5 列向量組a1, a2, , am線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣A=(a1, a2, , am)的秩r(A) m (小于向量個數 ) ; 向量組線性無關的充分必要條件是r(A)=m.由定義3.7可知有非零解定理3.5 列向

3、量組a1, a2推論1（線性無關）推論2當向量組中所含向量的個數m大于向量的維數n時，此向量組線性相關 線性相關推論1（線性無關）推論2當向量組中所含向量的個數m大于向量的例1解法一例1解法一解法二較解法一簡單解法二較解法一簡單解法二解法二證明利用推論1例2證明利用推論1例2證法一：利用定義 例3 已知向量組a1, a2, a3線性無關, 試證向量組設有k1, k2, k3, 使 k1 b1 + k2 b2 + k3b3 =0由于此方程組的系數行列式故方程組只有零解, k1=k2=k3=0, 由此知b1, b2, b3線性無關.因向量組a1, a2, a3線性無關, 所以線性無關.亦即即證法一

4、：利用定義 例3 已知向量組a1, a2, a3線性法二：齊次方程記為B=AK, 并代入3元齊次線性方程組Bx=0, 得討論b1, b2, b3線性相關性，只需討論齊次方程Bx=0的解的狀況 .將表示為矩陣等式AK即法二：齊次方程記為B=AK, 并代入3元齊次線性方程組Bx=由于a1,a2, a3線性無關, 即R(A)=3,從而Kx=0,又因為| K |= 2 0知, 齊次方程組Kx=0只有零解.因此, 齊次方程組Bx=0只有零解. 故R(B)=3.因此由定理3.5得, 向量組b1, b2, b3線性無關.由于a1,a2, a3線性無關, 即R(A)=3,從而Kx=法三：矩陣的秩由證二得B=A

5、K, 因為| K |= 2 0, 知K可逆,由矩陣秩的性質得: R(B)=R(AK)=R(A)=3因此由定理3.5得, 向量組b1, b2, b3線性無關.證明抽象向量組線性無關的方法.一是依據定義的證明方法, 即向量組的線性組合為零的組合系數只能都為零; 二是利用定理3.5, 證明向量組構成的矩陣的秩等于向量組向量的個數法三：矩陣的秩由證二得B=AK, 因為| K |= 2 三仍是利用定理3.5, 但過程利用了矩陣秩的性質.（小組相關，則大組相關）（大組無關，則小組無關）證明證明（見課本定理3.6）三仍是利用定理3.5, 但過程利用了矩陣秩的性質.（小組相關例4解t取何值時下列向量組線性相關

6、t=2或t=-1時線性相關例4解t取何值時下列向量組線性相關t=2或t=-1時線性相關定理3.7證明于是二、關于線性組合與線性相關的定理必要性定理3.7證明于是二、關于線性組合與線性相關的定理必要性 證畢注：此定理給出了線性相關與線性組合的關系定義 若向量組A是向量組B的一部分，則稱A組是B組的部分組.的線性組合， 證畢注：此定理給出了線性相關與線性組合的關系定義 若向定理3.8證明這時定理3.8證明這時例如，任意n維向量可由初始單位向量組唯一的線性表示 證畢例如，任意n維向量可由初始單位向量組唯一的線性表示 證畢向量組的線性表示設有向量組如果向量組A中每一個向量都可由組B線性表示，則稱向量組

7、A可由向量組B線性表示.定理3.9（大組被小組表示，則大組相關）向量組的線性表示設有向量組如果向量組A中每一個向量都可由組B證明：只需證明不全為零設（1）由已知（2）將（2）代入（1）得（3）證明：只需證明不全為零設（1）由已知（2）將（2）代入（1）整理為令因為st,故該齊次線性方程組有非零解（4）整理為令因為st,故該齊次線性方程組有非零解（4）從而使（4）成立，（3）也成立，(1)必成立，故向量組（B）線性相關即存在不全為零的使方程組成立推論證畢定理3.9又可敘述為：若B可由A線性表示，且B線性無關，則從而使（4）成立，（3）也成立，(1)必成立，故向量組（B）證(2)反證法與題設矛盾.

8、例5向量組線性無關，證明：已知向量組線性相關，大組無關，則小組無關定理3.8證(2)反證法與題設矛盾.例5向量組線性無關，證明：已知向量1. 線性相關與線性無關的概念3. 線性相關與線性無關的判定三、小結2.線性相關性在線性方程組中的應用3. 線性相關與線性無關的判定總結各種充要條件1. 線性相關與線性無關的概念3. 線性相關與線性無關的判定思考題下列命題是否正確？思考題下列命題是否正確？向量組的線性相關性課件向量組的線性相關性課件 P160 10.（1） 11. （2） 12. 13. 14. 15作業 P160作業證明證畢證明證畢證畢證畢向量組線性相關性的判定（重點、難點）向量組 A：a1

9、, a2, , am 線性相關存在不全為零的實數 k1, k2, , km ，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量） m 元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解矩陣A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的個數 m 向量組 A 中至少有一個向量能由其余 m1 個向量線性表示向量組線性無關性的判定（重點、難點）向量組 A：a1, a2, , am 線性無關如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），則必有k1 = k2 = = km =0 m 元齊次線性方程組 Ax = 0 只有零解矩陣A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的個數 m 向量組 A 中任何一個向量都不能由其余 m1 個向量線性表示向量組線性相關性的判定（重點、難點）向量組線性無關性的判定（向量組線性相關性的判定（重點、難點）向量組 A：a1, a2, , am 線性相關存在不全為零的實數