1、第五章 微分方程模型5.1 傳染病模型5.6 人口的預測和控制動態模型 描述對象特征隨時間(空間)的演變過程. 分析對象特征的變化規律. 預測對象特征的未來性態. 研究控制對象特征的手段. 根據函數及其變化率之間的關系確定函數.微分方程建模 本章的模型主要是非物理領域的實際問題，要分析具體情況或進行類比才能給出假設條件. 假設不同，就得到不同的方程。5.1 傳染病模型 描述傳染病的傳播過程. 分析受感染人數的變化規律. 預報傳染病高潮到來的時刻. 預防傳染病蔓延的手段.不是從醫學角度分析各種傳染病的特殊機理,而是按照一般的傳播機理建立數學模型.背景 與問題傳染病的極大危害(艾滋病、SARS、)

2、基本方法2009 NATURE: 利用查詢數據探測流感傳播流言1. t 時刻已感染人數 (病人) i(t) 是連續，可微函數.2.每個病人每天有效接觸(足以使人致病的接觸)的人數為 常數 0.模型1假設建模?t 到 t + t 病人增加的人數：建模失敗原因在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在模型中必須區別這兩種人.模型2人群分為易感染者(S, 健康者)和已感染者(I, 病人)假設1. 總人數 N 不變，病人和健康 人的 比例分別為 2. 每個病人每天有效接觸的平均人數為常數（日接觸率）, 且使接觸的健康人致病.建模SI 模型病人的增加率：模型3傳

3、染病無免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設SIS 模型3. 每天被治愈的病人數占病人總數的比例為常數 （日治愈率）. 顯然，1/ 為平均傳染期（染病后平均1/ 天后被治愈）.建模 一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱為接觸數.mls/=病人的增加率：模型3i0i01-1/idi/dtO1 1Oti 11-1/有解析解，以下為圖形分析 = 1是一個閾值i(t)按S形曲線增長i0iOt 1di/dt 1/ : i(t)先升后降至 0When s0 1/ : i(t)單調降至 0傳染病不蔓延傳染病蔓延1/ 閾值 的估計忽略i0Why: 當同樣的傳染病到來時，如果估計 和 沒有多大

4、變化，則可用之前得到的 分析這次傳染病的蔓延過程.當一次傳染病結束以后，可獲得s0和s模型4SIR模型模型4SIR模型被傳染比例的估計對數函數Taylor展開前2項sii0 0, s0 1s0 - 1/ = 0, 隨著時間增加，人口按指數規律無限增長. 與最簡單模型一致指數增長模型的應用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合. 適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代. 可用于短期人口增長預測. 不符合19世紀后多數地區人口增長規律. 不能預測較長期的人口增長過程.19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)阻滯增長模型邏輯斯蒂(Logistic)模型人口增長到一定數量后，

5、增長率會下降，原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r固有增長率(x很小時)xm人口容量（資源、環境能容納的最大數量）r是x的減函數dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0 xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)指數增長模型Logistic 模型的應用 經濟領域中的增長規律(耐用消費品的售量). 種群數量模型 (魚塘中的魚群, 森林中的樹木).S形曲線參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數 r 或 r, xm .模型的參數估計、檢驗和預報 指數增長模型阻滯增長模型由統計數據用線性最小二乘法作參數估計例：美國

6、人口數據(百萬) t 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000 x 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 用模型計算2000年美國人口誤差約2.5%與實際數據比較(2000年281.4)=274.5模型的參數估計、檢驗和預報 為作模型檢驗在參數估計時未用2000年實際數據加入2000年數據重估模型參數r=0.2490，xm=434.0 x(2010)=306.0 預報美國2010年人口 美國人口普查局2010年12月21日公布：截止到2010年4月1日美國總人口為3.087億.預報誤差不到1%！考慮年齡結構和生育模式的人口模型 年齡分布對于人口預測的重要性. 只考慮自然出生與死亡，不計遷移.人口發展方程F(r,t)人口分布函數 (年齡r的人口)p(r,t)人口密度函數N(t)人口總數rm() 最高年齡人口發展方程Otr定解條件已知函數(人口調查)生育率(控制手段)生育率 f(t) 的分解總和生育率h生育模式Ok(r,t) (女性)性別比函數b(r,t) (女性)生育數r1,r2(女性)育齡區間人口控制系統總和生育率控制生育的多少生育模式控制生育的早