1、定積分計算方法1第1頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三定積分的換元法定積分換元法：設函數f(x)在區間a,b上連續,而x=(t)滿足下列條件： x=(t)在區間,上單調且有連續導數； ()=a,()=b，且當t在區間,上變化時, x=(t)的值在a,b上變化，則有換元公式口訣：“換元”同時要“換限”！(不換元就不要換限)2第2頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三換元法證明證：3第3頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三換元法注意點1：定理中要求函數在閉區間上連續，是保證相應的定積分存在，而初等函數在其定義域是連續的；2：變換函數在變換

2、后的區間內是單調的；3：變換后，積分上限、下限要發生變化。4第4頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：計算解：5第5頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：計算解6第6頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解*例：計算解原式7第7頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：計算解：令原式注：此題也可以從幾何意義來解，較為方便！8第8頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三由奇偶函數的對稱性以及定積分的幾何意義也可說明結論正確例題與講解例：設f(x)在-a,a上連續,

3、則證9第9頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三奇函數在對稱區間上的積分若f(x)是對稱區間-a , a上的奇函數(如右圖)由于奇函數關于原點對稱,結合定積分的幾何意義，可以得出yxOy = f (x)-aaAA10第10頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三偶函數在對稱區間上的積分若f(x)是對稱區間-a , a上的偶函數(如右圖)由于偶函數關于y 軸對稱,結合定積分的幾何意義，可以得出y = f (x)yxO-aaAA11第11頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：利用對稱性，計算解：由于sinx在-, 上為奇函數,故12

4、第12頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：計算因為為奇函數，解：為偶函數，因此：13第13頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：計算 解：設換元必換限14第14頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解*例：計算解注意：此例用的是第一換元法，原積分變量 并未消失，因此,這種情形的換元，積分上、下限不變。*例：計算解15第15頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：若f(x)在0,1上連續,試證明：并由此計算證16第16頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三續

5、上頁移項,整理得17第17頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三定積分的分部積分法設函數u(x)、v(x)以下簡記為u、v在a,b上有連續的導數,則有即把先積出來的那一部分代上、下限求值,余下的部分繼續積分,這樣做比完全把原函數求出來再代上、下限簡便一些。推導18第18頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：計算解令則19第19頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：計算解20第20頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：計算解21第21頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，

6、星期三例題與講解例：計算解22第22頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解例：計算解分別用定積分的分部積分法求右端兩個積分于是23第23頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解(換元法結合分部積分法)例：計算解設24第24頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三例題與講解25第25頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三小結定積分的換元法對稱性的應用、幾個特殊積分等式定積分的分部積分公式（注意與不定積分公式的區別）26第26頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三練習解答解答解答解答27第27

7、頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三練習解答解答解答解答解答28第28頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三解答返回習題29第29頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三解答返回習題30第30頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三解答x=asinty=acost2t=u31第31頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三解答x=1-tdx=-dt返回習題32第32頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三解答33第33頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三解答34第34頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三解答35第35頁，共38頁，2022年，5月20日，0點53分，星期三解答36第36頁，共38頁，2022年，5月20日