1、一、 三重積分的概念 設(shè)有一物體,在直角坐標(biāo)系中,占有一個(gè)有界閉區(qū)域V,在點(diǎn)(x,y,z)處的密度為(x,y,z).這里的(x,y,z)0且在V上連續(xù),現(xiàn)在要計(jì)算該物體的質(zhì)量. 由于(x,y,z)在V上連續(xù),把V任意分為n個(gè)小塊,只要小塊所占的閉區(qū)域 Vk的直徑很小,這小塊就可以看作是均勻體,在Vk上任取一點(diǎn)(k,k,k),設(shè)Vk 的體積為Vk 則 (k,k,k) Vk (k=1,2,.n) 可看作第k個(gè)小塊的質(zhì)量之近似值,通過(guò)求和,取極限,便得到質(zhì)量 這里|T|=maxd(V1），d(V2),d(Vn).為了使這種和式的極限能得到廣泛的應(yīng)用,拋開(kāi)其物理意義,抽象出數(shù)學(xué)形式,于是得到三重積分的

2、一般定義.定義: 設(shè)f(x,y,z)是空間閉區(qū)域V上的有界函數(shù),把V任意分成n個(gè)小區(qū)域 V1, V2,. Vn 其中Vk表示第k個(gè)小區(qū)域,其體積為Vk 。在每個(gè)小區(qū)域Vk上任取一點(diǎn)(k,k,k) ,作和 一、 三重積分的概念如果|T|0 時(shí)，這和式的極限存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域V上的三重積分,記作其中dV叫做體積元素,在直角坐標(biāo)系中,體積元素dV也記dxdydz稱(chēng)為直角坐標(biāo)系中的體積元素,從而三重積分也記作（1）一、 三重積分的概念 當(dāng)函數(shù)f(x,y,z)在V上連續(xù)時(shí),(1)式右端的和式極限必定存在,也就是函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域V上的三重積分必定存在,以后我們總假設(shè)函數(shù)

3、f(x,y,z)在V上是連續(xù)的. 三重積分的性質(zhì)和二重積分的性質(zhì)類(lèi)似,這里不再重復(fù).例如一、 三重積分的概念其中 V 表示區(qū)域 W 的體積直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分一、化三重積分為三次積分如圖，注意三重積分化為三次積分的過(guò)程：得到事實(shí)上，得到事實(shí)上，得到解于是，于是，得到解原式因此，二、 三重積分的變量替換解:作變換1、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分規(guī)定：簡(jiǎn)單地說(shuō)，柱面坐標(biāo)就是xoy 面上的極坐標(biāo) + z 坐標(biāo)柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平 面所以如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為于是，再根據(jù) V 中 z，r， 的關(guān)系，化為三次積分。一般，先對(duì) z 積分，再對(duì)

4、r ，最后對(duì) 積分。例6 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分其中解(1) 畫(huà) 圖(2) 確定 z，r， 的上下限將 向 xoy 面投影，得或過(guò) (r, )D 做平行于 z 軸的直線(xiàn)，得即過(guò) (r, )D 做平行于 z 軸的直線(xiàn)，得于是，解求交線(xiàn)：將 向 xoy 面投影，得或即過(guò) (r, )D 做平行于 z 軸的直線(xiàn)，得或例8 計(jì)算三重積分其中 是由曲解將 向 xoy 面投影，得或過(guò) (r, )D 做平行于 z 軸的直線(xiàn)，得即或過(guò) (r, )D 做平行于 z 軸的直線(xiàn)，得即規(guī)定：2. 球面坐標(biāo)如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球 面；半平面球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為由所以球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，再根據(jù)再 V 中 ， ， 的關(guān)系，化為三次積分。一般，先對(duì)積分，再對(duì) ，最后對(duì) 積分。例9 用球面坐標(biāo)計(jì)算其中解畫(huà) 圖。確定 r， ， 的上下限。(1) 將 向 xoy 面投影，得(2) 任取一過(guò) z 軸作半平面，得(3) 在半平面上，任取一過(guò)原點(diǎn)作射線(xiàn)，得(3) 在半平面上，任取一過(guò)原點(diǎn)作射線(xiàn)，得即例10 計(jì)算其中 由曲面和圍成。將 向 xoy 面投影，得 任取一過(guò) z在半平面上，任取一過(guò)原點(diǎn)作射線(xiàn)，得解軸作半平面，得即在半平面上，任取一