1、經濟數學 （第五版）高職高專專業基礎課教材新系完整版ppt課件1第1章函數2第2章極限與連續3第3章導數與微分4第4章導數的應用5第5章不定積分6第6章定積分目錄CONTENTS7第7章多元函數的微積分CHAPTER01第1章函數數學中的轉折點是笛卡爾的變數.有了變數,運動進入了數學;有了變數,辯證法進入了數學;有了變數,微分和積分也就立刻成為必要的了初等數學,即常數的數學,至少總的說來,是在形式邏輯的范圍內活動的,而變數的數學其中最重要的部分是微積分按其本質來說也不是別的,而是辯證法在數學方面的運用。恩格斯01學習目標知識目標通過本章的學習,了解集合與實數集、函數、復合函數、初等函數以及分段

2、函數的概念.0102通過本章的學習,掌握求函數的定義域、值域的方法,并能利用Mathematica軟件計算函數值,繪制函數圖形.03通過本章的學習,認識現實生活中的許多變量之間存在著函數關系,用函數描述簡單的實際問題.技能目標能力目標01PART1.1集合與實數集點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本“集合”是一個重要的數學概念,它在現代數學的發展中起著非常重要的作用.我們一般把具有某種特定屬性對象的全體叫做集合.組成這個集合的對象稱為該集合的元素.下面舉幾個集合的例子:集合的概念 1. 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例1-1】某班級的全體學生組成一個集合

3、.該班的學生都是這個集合的元素.【例1-2】自然數的全體組成一個集合.每一個自然數都是這個集合的元素.【例1-3】直線x+3y+3=0上所有的點組成一個集合.這里直線的每個點是這個集合的元素.習慣上,我們用英文大寫字母 A 、B、C、X、Y等表示集合,用英文小寫字母a、b、c、x、y等表示集合的元素.如果a是集合A的元素,則記作aA,讀作a屬于A.如果a不是集合A的元素,則記作aA,讀作a不屬于A.對于一個給定的集合,其元素是確定的.某元素要么屬于這個集合,要么不屬于這個集合.集合的概念 1. 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本集合的表示法 1. 1. 21)列舉法：把屬

4、于某個集合的所有元素一一列舉出來,寫在大括號()內.【例1-4】由不大于4的正整數組成的集合A.用列舉法可表示為:A=1,2,3,4或A=3,2,1, 4.【例1-5】所有的奇自然數所組成的集合B.用列舉法可表示為: B=1,3,5,2n-1,.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)描述法：把屬于某個集合的元素所具有的某種共同屬性描述出來寫在大括號內.通常表示為:A=x|x具有的共同屬性.【例1-6】設A為由方程x2-5x+4=0的實根所組成的集合.用描述法可表示為:A=x|x2-5x+4=0,x為實數.【例1-7】設B為由平面直角坐標系中第一、三象限內的點所組成的集合.用描述法

5、表示為: A=(x,y)| xy0;x,y為實數.由研究的所有對象構成的集合稱為全集,記為I或U.不含任何元素的集合稱為空集,記為.注意:集合0不是空集,它含有一個元素“0”.【例1-8】I=x|x20,x為實數為全集, A=x|x2+1=0,x為實數為空集.集合的表示法 1. 1. 2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1)包含關系：設有集合A、B,如果集合A的每一個元素都是集合B的元素,即“若aA,有aB”,則稱集合A是集合B的子集,記為AB或 BA,讀作A包含于B或B包含A.如果A是B的子集,并且B中至少有一個元素不屬于A,則稱A是B的真子集,記為AB或BA,集合與集合的包含

6、關系可用圖形(文氏圖)來表示(如圖1-1 所示). 一般規定空集是任何集合A的子集,即A;子集有以下性質:若AB,BC,則AC.集合與集合的關系 1. 1. 3點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)相等關系：設有集合A、B,若AB且BA,則稱集合A與B相等,記作A=B.【例1-9】設A=x|x0,B= x|x20 ,則有AB.【例1-10】設A= x|x2-2x+1=0 ,x為實數,B= 1,則A=B.集合與集合的關系 1. 1. 3點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1)集合的并：設有集合A、B,由A與B的所有元素構成的集合稱為A與B的并,記為AB,即AB= x|

7、xA 或xB,具體如圖1-2所示.【例1-11】設A=1,3,5,7,B=2,4,6,則:AB=1,2,3,4,5,6,7集合的并有以下性質:(1)AAB,BAB;(2)對任何集合A,有:A=A,AA=A.集合的運算 1. 1. 4點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)集合的交：設有集合A、B,由A與B的公共元素構成的集合稱為A與B的交,記為AB,即:AB = x| xA 且xB,如圖1-3所示.集合的交有以下性質:(1) ABA,ABB;(2) 對任何集合A,有 A= , AA=A.【例1-12】 設A=x|-10,則:AB=x|x-1,AB=x|0 x3.【例1-13】 設A

8、為全體有理數集合,B為全體無理數集合,則:AB為全體實數集合,而AB為空集.集合的運算 1. 1. 4點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本3)集合的差：設有集合A和B,屬于A而不屬于B的所有元素構成的集合稱為A與B的差集,記為A-B.4)補集：設I為全集,A為I 的子集,由全集I 中不屬于A的元素所組成的集合,稱為A的補集,記為A ,如圖1-4所示.即:A =x|xI且xA補集有以下性質:AA =I;(2)AA = .【例1-14】設全體學生為全集I,如果男生為集合A,則A 表示為女生集合.集合的運算 1. 1. 4點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本集合的運算律 1.

9、 1. 5運算律 3)分配律1)交換律4)對偶律(德摩根公式)2)結合律點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本人們對數的認識從自然數發展到有理數(包括正負整數,正負分數及零),再由有理數發展到無理數(例如e,3等),如果令p,q為整數,且q0,則一般有理數可用p/q表示,無理數不能用p/q表示.1)常用數集:實數集R,有理數集Q,整數集Z,自然數集N【例1-15】設I=R,A=x |1x8, B=x |-1x4,則有:實數集1. 1. 6點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)絕對值在研究一些問題時,我們需要用到實數的絕對值的概念.實數x的絕對值記為|x|,定義為|x|=

10、|x|的幾何意義為數軸上點x到原點的距離.絕對值及其運算有以下性質:實數集1. 1. 6點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本3)區間設a,b為實數,且ab,則有下列定義:實數集1. 1. 6點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例1-16】解下列不等式,并用區間表示解集.(1)|x+2|2(3)|x2-3x+2|2解:(1)由|x+2|3可得-3x+23,所以-5x2可得x-12.得解為x3,即(-,-1)(3,+).(3)由|x2-3x-2|2得:-2x2-3x-22,即 .由x2-3x-40得-1x0得x3或x0.所以得交集為x|-1x0或3x4,用區間表示為:(-

11、1,0)(3,4).實數集1. 1. 601PART1.2函數概述點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1)幾個實例：在很多實際問題中,一個量的大小會依賴于另一個量.例如,消費者對牛肉的需求量依賴于市場上的牛肉的價格;市場上某種飲料的供應量依賴于氣溫的變化;一瓶葡萄酒的價格依賴于它的年份;等等.再看下面幾個實際問題.問題1：某銷售員的月收入由兩部分構成,第一部分是底薪:4 500元,第二部分是銷售提成,設銷售一件產品的提成是該產品銷售價格的1%,則如果該產品銷售價格為2萬元,那么該銷售員月收入y與月銷售產品的件數x之間可以用一個關系式y=4500+200001%x(x0)表示.函數的

12、概念1. 2. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本問題2：20年夏天,上海出現了罕見的持續30天的高溫天氣.表1-1給出了當年8月11日至20日每天的最高氣溫,其中13日出現了40的極端高溫.從表1-1中我們可以看到,有日期t和氣溫T兩個變量,當變量t在某一范圍內變化時,最高氣溫T依賴于日期t的變化,并且當t取某一日期時,就有唯一的最高氣溫T與之對應.要注意的是:這里不存在任何可以計算溫度的公式,否則我們就不需要氣象局了.函數的概念1. 2. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本問題3：圖1-5反映了上海證券交易所的上證指數從201年10月1日到201年12月31

13、日的60個交易日的變化情形,由此圖可以看出在這段時間中上證指數隨時間的變化.從圖1-5中我們可以看到,有日期t和指數I兩個變量,當變量t在某一范圍內變化時(201年第四季度有60個交易日),指數I隨著日期t的變化而變化,并且當t取某一日期時,有唯一上證指數I與之相對應.函數的概念1. 2. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)函數的定義：在以上各實際問題中,撇開各個變量的實際意義,可以發現它們的共同點是:這些問題均涉及兩個變量,而且兩個變量之間都有一個確定的依賴關系(我們稱之為對應規則),雖然這種依賴關系的表達方式不同,但當其中一個變量在某一范圍內取值時,另一變量按照對應規則

14、就有確定的值與之對應.兩個變量的這種對應關系,實質上就是函數關系.定義1-1設有兩個變量x和y,D是一個給定的數集,xD.若對D中的每一個確定值x,變量y按照一定的法則總有唯一確定的數值與之對應,則稱y為x的函數,記做y=f(x).數集D叫做這個函數的定義域,x叫做自變量,y叫做因變量或函數值.當x取數值x0D時,與x0對應的y的數值稱為函數y=f(x)在點x0處的函數值,記做f(x0).當x取遍D的各個數值時,對應的函數值全體組成的數集為:W=y|y=f(x),xD我們將該數集稱為函數的值域.在平面直角坐標系中,自變量x在橫軸上變化,因變量y在縱軸上變化,則平面點集(x,y)|y=f(x),

15、xD即為定義在D上的函數y=f(x)的圖形.構成函數的兩個基本要素是對應法則和定義域,而對應法則的表示方法一般有三種:解析式法(公式法)(如問題1)、表格法(如問題2)和圖形法(如問題3).函數的概念1. 2. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本下面是幾個函數的例子:【例1-17】常數函數y=9,其定義域是(-,+),值域是9.【例1-18】絕對值函數y=|x|,其定義域是(-,+),值域是0,+).【例1-19】確定函數 的定義域.且x2時,函數 才能取確定實數,因此 的定義域為 .求函數定義域時,通常應遵循以下規則:(1)分式函數的分母表達式不等于零;(2)偶次根式函數的根

16、式內表達式大于等于零;(3)對數函數的真數內表達式大于零.函數的概念1. 2. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例1-20】確定函數 的定義域.解:因此, 的定義域為D=(-2,1)(1,3.類似【例1-20】的題目可按以下步驟求解:(1)根據上述規則列出不等式或不等式組;(2)解不等式或不等式組;(3)用解集表示所求定義域.函數的概念1. 2. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1)函數的奇偶性定義1-2 函數f(x)在對稱域D上有定義(D關于O點對稱)且滿足:(1)f(-x)=-f(x) 則稱函數f(x)為奇函數;(2)f(-x)=f(x)則稱函數f(x

17、)為偶函數. 很明顯,偶函數圖像(如圖1-6所示)關于Y軸對稱,奇函數圖像(如圖1-7所示)關于O點對稱.函數的特性1. 2. 2 點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本函數的特性1. 2. 2 【例1-21】判別下列函數的奇偶性.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)函數的單調性定義1-3 設函數f(x)的定義域為D,區間ID,如果對于區間I上任意兩點x1,x2,當x1x2恒有f(x1)f(x2),則稱函數f(x)在區間I上單調增加,如圖1-8所示.定義1-4 設函數f(x)的定義域為D,區間ID,如果對于區間I上任意兩點x1,x2,當x1f(x2),則稱函數f(x)

18、在區間I上單調減少,如圖1-9所示.函數的特性1. 2. 2 點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本函數的特性1. 2. 2 【例1-22】討論下列函數的單調性.(1)y=x (2)y=x2解:當x0,f(x2)-f(x1)0,函數單調增加.所以,函數在定義域上不單調.在本書第4章中我們有更有效的方法討論函數的單調性.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本3)函數的周期性定義1-5設函數f(x)的定義域為D,如果存在一個不為零的實數l,使得對于任意xD,x+lD恒有f(x+l)=f(x),稱f(x)為周期函數,如圖1-10所示,l為f(x)的周期(但通常所說的“周期函數”的

19、“周期”是指其最小正周期用T表示).4)函數的有界性定義1-6設函數y=f(x)在區間I(I可以是整個定義域,也可以是定義域的一部分)上有定義,如果存在一個正數M,對于任意的xI,總有|f(x)|M,則稱函數y=f(x)在I上有界,否則稱y=f(x)在I上無界.函數的特性1. 2. 2 01PART1.3初等函數點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定義1-7設y=f(x)是定義在D上的函數,值域為R,如果對每一個yR有一個確定的xD,且滿足y=f(x),若將其對應規則記為f-1,則函數x=f-1(y)稱為y=f(x)的反函數.在x=f-1(y)中,y為自變量, x為因變量,習慣上,

20、用x作為自變量,y作為因變量,所以通常將y=f-1(x)作為y=f(x)的反函數.反函數y=f-1(x)與y=f(x)的圖形關于y=x對稱,如圖1-11所示.反函數1. 3. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本反函數1. 3. 1【例1-23】求函數 的反函數.【例1-24】求 的反函數.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1)常數函數：y=c定義域為(-,+),圖形為平行于x軸的一條直線,值域為c,由圖形得知常數函數不增不減,是關于y軸對稱的有界函數.2)冪函數y=x(是實常數)：該函數如圖1-12所示.基本初等函數1. 3. 2 點擊添加文本點擊添加文本點擊添加

21、文本點擊添加文本3)指數函數 y=ax(a0,a1)：定義域為(-,+),值域為(0,+),圖形均過點(0,1),當a1單調增加時,0a0,a1)：定義域為(0,+),都經過點(1,0),當a1單調增加,0a0),供給函數為Q=cP-d(c,d0),求均衡價格Pe.解:由b-aPe=cPe-d,(a+c)Pe=b+d,可得點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本供給函數與需求函數1.5.2總收益是指生產者出售一定量產品所得到的全部收入.設商品的價格為P,商品量為Q,總收益為R.而商品價格是商品量的函數P=P(Q),則R=R(Q)=QP(Q)稱為總收益函數. 稱為平均收益函數.總利潤是指

22、總收益減去總成本的差.L=L(Q)=R(Q)-C(Q)稱為利潤函數(其中Q為銷售量).點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本收益函數和利潤函數1.5.3點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本收益函數和利潤函數1.5.3【例1-32】某企業生產某種產品,其固定成本為1 000元,單位產品的變動成本為18元,市場需求函數為Q=90-P,求總利潤函數.解:由題意可知C0=1 000,C1(Q)=18Q,所以總成本函數為C(Q)=1 000+18Q.由需求函數Q=90-P可得P=90-Q,于是得總收益函數為R(Q)=QP=Q(90-Q)=90Q-Q2,因此,總利潤函數為:L(Q)=

23、R(Q)-C(Q)=90Q-Q2-(1 000+18Q)=-Q2+72Q-1 000如果要把總利潤函數表示為價格P的函數R(P),只要把Q=90-P代入上式就可以了.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本收益函數和利潤函數1.5.3【例1-33】某企業的成本可分為兩部分:一是不受業務量影響的部分(如設備折舊費等),稱為固定成本;隨業務量成正比例增長的另一部分稱為可變成本.該企業固定成本總額為1 500萬元,產品單價為10萬元,單位可變成本6萬元,若產品可以全部售出,且稅率按10%計算,試求企業保本經營的最低產銷量(或稱盈虧臨界點).解:如圖1-26所示,橫坐標表示產品銷售量,縱坐標表

24、示所發生的費用.設產量為x,故而y=1 500為固定成本,企業總支出為:y=固定成本+可變成本+稅費=1 500+6x+10 x10%=7x+1 500,銷售總收入為y=10 x.由圖1-26可以看出,總支出線與總收入線在x=500處相交,所以x500為盈利區,x=500為盈虧臨界點.01PART1.6Mathematica軟件介紹1)定義函數命令格式:fx_=函數表達式或 fx_:=函數表達式或f=Function自變量,函數表達式2)定義分段函數命令格式:Which條件1,表達式1,條件2,表達式2,條件n,表達式n點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定義函數1.6 1 用Cl

25、ear語句可以清除已經定義的函數和變量,使前面定義的函數和變量不再起作用.命令格式為:Clearf;Clearx;或ClearAllx,y,f,g,在利用Mathematica進行運算時,應注意在使用變量和函數前先清除前面已經定義過的變量名和函數名;否則可能造成前面已經定義的變量數值和函數影響后面的計算,且不容易被發現.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本清除已定義的變量和函數1.6.2 1) 變量賦值變量賦值的命令格式:變量=數值例如,要給變量賦值6,只需在輸入“x=6”后,同時按Shift和Enter鍵.2) 函數值的計算函數值的計算,除了中介紹的先定義函數、后代入變量值的方法

26、以外,Mathematica中還有其他的命令格式:(1)函數表達式/.x數值或N函數表達式/.x數值;(2) f(#0)或Nf(#0);(3) (f(#)再作內接正十二邊形,其面積記為A2;再作內接正二十四邊形,其面積記為A3;循此下去,每次邊數加倍,一般地,把內接正62n-1邊形的面積記為An(nN).這樣,就得到一系列內接正多邊形的面積:A1,A2,A3,An,函數的極限2. 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本問題2：當一種新的耐用品通過廣告推出后,使用它的人將越來越多,但隨著時間的推移,這一產品的新使用者的增長率逐漸減小,使用產品的總人數N(t)關于時間t的圖形可近

27、似地描繪為圖2-1.可以想象,即使時間t無限向后推移(當時間t無限增大時),使用產品的總人數N(t)也不會超過所考慮區域內所有人的總數,它只可能越來越接近于不超過總人數N的某一確定值,即t趨于無窮大時,t時刻使用產品的總人數N(t)趨于某一飽和值N0(N0所考慮區域內的總人數N).反映在圖形上,即當時間t越來越大時,它的圖形越來越接近于直線N(t)=N0,但無論如何也不會超過這一直線.上述兩個問題中,有一個共同的特征:無論是求圓的面積,還是觀察新產品使用人數的變化,實際上我們考慮的是兩個變量之間的某種關系,即當一個變量按一定的方式變得越來越大時,確定另一個變量隨之而變的變化趨勢.函數的極限2.

28、 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定義2-1在自變量x的絕對值無限增大的變化過程中,如果函數y=f(x)的對應值無限趨近于一個確定的常數A,則稱常數A為函數在自變量x趨向于無窮大時的極限.記做: Lim（x）f(x)=A或f(x)A(x)當自變量x大于0而絕對值無限增大時,如果函數y=f(x)的對應值無限趨近于一個確定的常數A,則稱常數A為函數在自變量x趨向于正無窮大時的極限.記做:lim (x+)f(x)=A或f(x)A(x+)當自變量x小于0而絕對值無限增大時,如果函數y=f(x)的對應值無限趨近于一個確定的常數A,則稱常數A為函數在自變量x趨向于負無窮大時的極限.

29、記做:lim (x-)f(x)=A或f(x)A(x-)若在自變量的某一變化過程中,函數不趨向于某一確定的常數,則稱函數沒有極限.問題1、問題2中用極限表示即為lim(n+)An=A,lim(t+ )N(t)=N0.對于很多簡單的函數可以通過觀察定義域內的函數圖形或通過計算較大范圍內的函數值來給出函數的極限.函數的極限2. 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本函數的極限2. 1. 1【例2-1】求解函數f(x)=1/x當x時的極限.解:取一系列自變量的值x=1,10,1 000,100 000,(見表2-1).函數的圖形如圖2-2所示.從圖2-2以及表2-1中我們可以看出,l

30、im（x）1/x=0.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本函數的極限2. 1. 1【例2-2】求解函數f(x)=e-x和函數f(x)=ex當x+時的變化趨勢.解:我們取一系列自變量的值(見表2-2)并作出函數的圖形(如圖2-3所示).點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)xx0時函數的極限同樣我們先看兩個實際問題:問題3：切線問題.微積分的一個中心問題是確定一條曲線在給定點處的切線.這個問題不僅僅是一個幾何問題,許多自然科學以及社會科學的問題都用幾何術語來描述,就是求切線的問題.函數的極限2. 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本問題4：瞬時速度.

31、設某點沿著直線運動,s為該動點從某一選定時刻到時刻t所經過的路程,則s是t的一個函數s=s(t),這個函數稱為質點的路程函數.為了說明動點在各個不同時刻運動的快慢程度,我們需要確定該動點在各個時刻的“速度”(稱為瞬時速度).在最簡單的情形下,該點所經過的路程與所花的時間成正比.也就是說,無論取哪一段時間間隔,比值“經過的路程” /“所花的時間” ?？偸窍嗤?這時就稱動點作勻速運動,比值(2.1)就是該動點在各個時刻的瞬時速度.如果在不同的時間間隔內,比值(2.1)有不同的值,那么該動點的運動就是非勻速的,這時,把比值(2.1)籠統地稱為該點的速度就不合適了,而需要按不同的時刻來考慮.函數的極

32、限2. 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定義2-2在自變量x無限趨近于x0的變化過程中,如果函數y=f(x)的對應值無限趨近于一個確定的常數A,則稱常數A為函數在自變量x趨向于x0時的極限.記做: Lim（xx0）f(x)=A或f(x)A(xx0)當自變量x大于x0而無限趨近于x0時,如果函數y=f(x)的對應值無限趨近于一個確定的常數A,則稱常數A為函數在自變量x趨向于x0時的右極限.記做:當自變量x小于x0而無限趨近于x0時,如果函數y=f(x)的對應值無限趨近于一個確定的常數A,則稱常數A為函數在自變量x趨向于x0時的左極限.記做:若在自變量的某一變化過程中,函數

33、不趨向于某一確定的常數,則稱函數沒有極限.函數的極限2. 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本函數的極限2. 1. 1【例2-3】觀察函數 ，當x無限趨近于1時的極限.解:由于函數在x=1時無定義,我們給出表2-3,當x從1的左右兩側無限趨近于1的時候,相應的函數值無限接近于3.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本函數的極限2. 1. 1【例2-3】圖2-5圖2-6圖2-7點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本在函數的極限中有兩個很特殊的量:在自變量的某個變化過程中,一個是函數的極限為零,另一個是函數的絕對值無限增大.下面介紹有關的概念.1)無窮小與無

34、窮大的定義及關系(1)無窮小.定義2-3在自變量x的某一變化過程中,函數f(x)以零為極限,則稱在該變化過程中,函數f(x)為無窮小量(簡稱無窮小).例如,由于lim(x0) sin x=0,所以,當x無限趨近于零時,函數sin x為無窮小量.又如,lim(x) 1/x=0,所以當x的絕對值無限增大(x)時,函數1/x為無窮小量.無窮小與無窮大2.1.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本(2)無窮大.定義2-4在自變量x的某一變化過程中,函數f(x)的絕對值無限增大,則稱在該變化過程中,函數f(x)為無窮大量(簡稱無窮大).同樣,無窮大也是指在自變量某一變化過程中,函數的絕對值無

35、限增大的一種特殊的變化狀態.為了便于敘述函數的這一性態,我們也說函數的極限是無窮大,以符號“”作為它的極限.例如,當x0時,函數1/x的絕對值無限增大,因此在x無限趨近于0這一變化過程中,函數1/x是無窮大量.用極限的記號記為lim(x0) 1/x=.無窮小與無窮大2.1.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本(3)無窮小與無窮大的關系.無窮小與無窮大之間有如下的關系:定理2-1在自變量的同一變化過程中,若f(x)為無窮大,則1/f(x)為無窮小;若f(x)為無窮小,且f(x)0,則1/f(x)為無窮大.由該定理可知,對無窮大的研究可以轉化為對無窮小的研究,反之亦然.無窮小與無窮大

36、2.1.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)無窮小的性質無窮小與無窮大2.1.2性質(1)有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量.(2)有限個無窮小量的乘積仍是無窮小量.(3)有界函數與無窮小量的乘積仍是無窮小量.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例2-6】求極限lim(x0) (xsin 1/x).解:由于|sin 1/x|1,即sin1/x為有界函數,而函數x當x0時是無窮小量,因此,函數xsin1/x是x0時的無窮小,即lim(x0) (xsin 1/x)=0.圖2-10是函數xsin1/x的圖形,從圖中可見,當x無限趨近于0時,對應的函數值交替變化地取正負

37、值,但是無限地趨近于0.無窮小與無窮大2.1.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本3)無窮小的階有限個無窮小的代數和與積仍是無窮小,但是兩個無窮小的商則會出現不同的情況.例如,當x0時,2x,x2,sin x都是無窮小,但它們兩兩之比的極限會出現各種不同情況,這反映了不同的無窮小趨向于零的快慢程度.由于兩個無窮小之商一般不能立刻判斷其極限是否存在,所以我們通常稱這種極限為未定式極限.無窮小與無窮大2.1.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定義2-5設(x)與(x)是在同一自變量的同一變化過程中的兩個無窮小,lim【(x)/(x)】(x)0)表示這個變化過程中的極限

38、.(1)如果lim(x)/(x)=0,則稱在這個變化過程中,(x)是比(x)高階的無窮小,記做=o();也稱在這個變化過程中,(x)是比(x)低階的無窮小.(2)如果lim(x)/(x)=C(C是一個不為零的常數),則稱在這個變化過程中,(x)與(x)是同階無窮小. (3)特別地,當C=1時,即lim【(x)/(x)】=1,則稱在這個變化過程中,(x)與(x)是等價無窮小,記做.由定義2-5可知,當x0時,x2是比2x高階的無窮小,而2x是比x2低階的無窮小;當x0時,2x與sin x是同階無窮小.無窮小與無窮大2.1.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本下面我們把自變量x的某一

39、變化過程簡記為lim,如xx0(包括 ),x(包括x+或x-).定理2-2設在自變量的同一變化過程中,lim f(x)=A,lim g(x)=B,則:(1)limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x);(2)limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x),特別地,當k,n為常數時,有limkf(x)=kA=klimf(x),limf(x)n=An=limf(x)n;(3)當B0時,lim【f(x)/g(x)】=A/B=limf(x)/limg(x).另外,有兩個有關特殊線性函數的極限:lim(xx0) C=C,lim(xx0) x=x0,即常數的極限是常數本身,而當x

40、x0時函數f(x)=x的極限是x0.極限的運算法則2.1.3點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1)lim(x0) sinx/x=1函數sinx/x在x=0處無定義,當x無限接近于0而不等于0時,函數是有定義的.為得到函數sinx/x當x0時的極限,我們計算其某些函數值(見表2-5),并作出函數sinx/x在x=0附近的圖形(如圖2-11所示).兩個重要極限2.1.4點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例2-15】求極限lim(x0) sin3x/x. 解:令u=3x,則x0時u0,于是有:一般地,若有lim(xx0) (x)=0,則有lim(xx0 ) sin(x)

41、/(x)=1(當x時也成立).在運用此公式求極限時,應該注意它的形式結構.兩個重要極限2.1.4點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)lim（x） (1+1/x)x=e為觀察x的絕對值無限增大時(1+1/x)x的變化趨勢,我們取x的一些離散點,計算得到相應函數值,見表2-6.從表2-6中可見,函數值越來越趨近于常數e.兩個重要極限2.1.402PART2.2函數的連續性點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本連續性是客觀世界普遍存在著的一種自然現象,它描述了自然界的漸變現象,如氣溫的變化、河水的流動、植物的生長等都是連續變化著的.這種連續變化的共同特征的抽象,就是數學上的

42、連續性.連續性是函數的一種重要性態,反映在函數關系上,連續就是自變量的微小變動,只能引起函數的微小變化.連續函數是微積分所研究的最重要的一類函數.定義2-6如果函數f(x)滿足下列條件:(1)f(x)在點x=x0處有定義;(2)極限lim(xx0 ) f(x)存在;(3)lim(xx0 ) f(x)=f(x0).則稱函數f(x)在點x=x0處連續.連續函數的概念2.2.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例2-22】試說明多項式函數P(x)=2x3-x+5在點x=1處是連續的. P(x)=P(1),因此多項式函數P(x)在點x=1處連續.【例2-23】試說明有理式函數 在點x=

43、3處是連續的.解:只需說明函數連續的三個條件都滿足即可.顯然f(x)在點x=3處有定義 ;由于 , 極限 ,因此有理式函數f(x) 在點x=3處連續. 連續函數的概念2.2.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本如果函數f(x)在x0處不滿足連續性定義,則稱x0為函數f(x)的間斷點或不連續點.由函數連續的定義可知,如果函數f(x)在點x0處滿足下列條件之一:(1)函數f(x)在點x0處無定義;(2)lim(xx0) f(x)不存在;(3)lim(xx0 ) f(x)存在,但不等于f(x0).則點x0就是函數f(x)的間斷點.如圖2-13所示的是幾種在點x=x0處不連續的函數.函數

44、的間斷點2.2.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本連續函數和不連續函數的經濟運用舉例2.2.3經濟學中有很多不連續函數的例子.實際上,當采用不連續函數表示經濟變量間的關系來解釋現實世界的過于繁瑣時,經濟學家經常采用連續函數來表示.了解何時能夠方便地對連續性假設進行安全簡化,以及何時可能對經濟變量真實關系造成大的歪曲,是非常重要的.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例2-27】帶獎金的工資明細表.假設銷售員得到一份根據合同確定的工資,此合同確立了工資額和銷售員業績之間的關系.假設合同規定銷售員的月收入由三部分內容構成:(1)基本工資800美元;(2)10%的提成;

45、(3)如果銷售員的月銷售額超過20 000美元,那么還可得到一次性獎勵500美元.由此可以看到,如果銷售員業績達到20 000美元,則收入會有一個500美元的跳躍,這意味著其工資明細表是不連續的.令x代表每月銷售業績,y代表銷售員的每月收入,下述函數描述了其收入與業績之間的關系:連續函數和不連續函數的經濟運用舉例2.2.3點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例2-28】福利計劃的不連續性.許多福利計劃給那些沒有工作的人員發放固定數額或按月一次性支付的救濟金,這些救濟金僅當此人不能獲得任何收入時才能得到.一旦此人能夠掙得收入,無論其收入的來源、數量如何,政府將一律停止此類救濟金的支

46、付.考慮下面這個例子:假設有一位撫養兩個學齡前兒童的單親媽媽,假定媽媽不工作,那么這個家庭每月可以獲得750美元的福利支付.但是只要她能夠掙得任何數量的收入,這種福利就會停止.假設她從事某種工作每小時可以得到15美元的報酬,而且這種工作的每月工作時間長短完全是靈活的,那么,此人的收入y作為工作時間h的函數如下:連續函數和不連續函數的經濟運用舉例2.2.3點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1)初等函數的連續性(1)連續函數的四則運算.設函數f(x)及g(x)在點x0處連續,則f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)(g(x0)0)在點x0處也連續.(2)復合函數的連續

47、性.連續函數的復合函數仍是連續函數.設u=(x)在點x0處連續,又y=f(u)在點u0=(x0)處連續,則復合函數y=f(x)在點x0處連續,即:函數的連續性 2.2.4點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本(3)初等函數的連續性.一切初等函數在其定義區間內都是連續的.利用初等函數的連續性可以得到求極限的一個重要且簡單的方法:求連續函數的極限,只要求相應的函數值即可.若f(x)是初等函數,且x0屬于f(x)的定義區間,則:lim(xx0 ) f(x)=f(x0)而在(2.3)式中,若lim(xx0) (x)=a存在,且f(u)在點u=a處連續,則也有:函數的連續性 2.2.4點擊添加

48、文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)閉區間上連續函數的性質閉區間上的連續函數有很多重要性質,下面我們介紹其中的三個性質.首先說明最大值和最小值的概念.對于在區間I上有定義的函數f(x),若有x0I,使得對于任一xI,都有:f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值(或最小值).函數的連續性 2.2.4點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本性質1閉區間a,b上的連續函數f(x)一定有最大值和最小值.性質2如果函數f(x)在閉區間a,b上連續,則對于f(a)與f(b)之間的任何數C,總可以找到點(a,b),使得f()=C.性質3如果函數

49、f(x)在閉區間a,b上連續,且f(a)f(b)0)的導數.解:該函數既不是冪函數也不是指數函數,所以不能直接采用冪函數求導公式或指數函數求導公式。我們先在方程兩邊取自然對數,有ln y=x ln x,然后將y=xx看做由方程ln y=x ln x所確定的隱函數.應用隱函數的求導方法,得:所以 y=y(ln x+1)=xx(ln x+1).其他求導法3. 1. 4點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本3)分段函數的導數【例3-23】設函數 ,求f (x).解:當x0時, f (x)=1;當0 x1時, f (x)=2;當1x2時, f (x)=1/2 .當x=0時,f(0)=-1,由

50、于: ,即函數在點x=0處的右導數不存在,所以函數f(x)在點x=0處的導數不存在.其他求導法3. 1. 4點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本在本小節中,我們將討論一個量的變化率的變化率.這樣的變化率有很多種,例如,汽車的加速度是它的速度關于時間的變化率,而速度本身又是路程關于時間的變化率.如果路程的單位是千米,時間的單位是小時,那么速度(路程關于時間的變化率)的單位是千米/小時,而加速度(速度的變化率)的單位則是千米/小時2.上述有關變化率的變化率的問題,在經濟上是常用的.例如,在通貨膨脹時期,你可以聽到經濟部門的報告指出,“盡管通貨膨脹率在增長,但其增長速度在減緩”,就是指物

51、價在上漲,但已經不比以前那樣增長得快了.高階導數3. 1. 5點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1) 高階導數的概念設函數y=f(x)關于x的變化率由其導函數f (x)給出.類似地,函數f (x)關于x的變化率由f (x)的導函數f (x)給出,即函數f(x)的導函數的導函數.一般地,我們將函數y=f(x)的導數的導數稱為函數f(x)的二階導函數,簡稱二階導數,記做高階導數3. 1. 5點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2) 高階導數的計算由高階導數的定義可知,計算一個函數的高階導數并不需要新的求導方法,只要對函數逐次求導,直到所求的階數即可.【例3-25】求函數y

52、=2x4-3x2-3x+7的二階導數.解:先求函數的一階導數y=8x3-6x-3,因此函數的二階導數為y=24x2-6.【例3-26】求函數y=ex的各階導數.解:y=ex,y=ex,y=ex,y(n)=ex【例3-27】求函數y=sin x的四階導數.解:y=(sin x)=cos x,y=-sin x,y=-cos x,y(4)=sin x.一般地,有高階導數3. 1. 503PART3.2微分點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本1)引例微分的定義3.2 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本微分的定義3.2 1【例3-29】一個正方形的邊長由x變到x+x(|x|很

53、小),求其面積的改變量的近似值.解:用A表示邊長為x的正方形面積,即A=x2.當邊長由x變到x+x時(如圖3-3所示),面積相應的改變量為:A=(x+x)2-x2=2xx+(x)2上式右邊第一部分2xx是x的線性函數,第二部分(x)2是當x0時的一個比x高階的無窮小量.因此,當|x|很小時,我們可以把第二部分忽略,而用一個簡單的函數x的線性函數作為A的近似值,A2xx.而f (x)=2x,所以A2xx=f (x)x.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)微分的定義定義3-2設函數y=f(x)在點x0處可導,則稱導數值f (x0)與x的改變量x的乘積為函數y=f(x)在點x0處的微

54、分,記做:dy _(x=x_0 )=f (x0)x如果函數y=f(x)在某區間內每一點都可導,則函數在該區間內任一點x處的微分,記做:dy=f (x)x微分的定義3.2 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本關于微分定義的幾點說明:(1)函數的微分dy是x的一次函數,它不僅與x有關,而且與x也有關.函數的微分dy與y只差一個比x高階的無窮小,它是y的主要部分,所以也稱微分dy是函數改變量y的線性主部.(2)若函數y=f(x)在x處的改變量y可以表示成x的線性函數k(x)x與一個比x高階的無窮小之和y=k(x)x+o(x),則稱函數y=f(x)在點x處可微.(3)由于自變量x的微分d

55、x=(x)x=x,故dx可理解為自變量x的改變量x.于是dy=f (x)x=f (x)dx,即函數的微分等于函數的導數乘上自變量的微分.微分的定義3.2 1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本關于微分定義的幾點說明:微分的定義3.2 1函數的微分dy是x的一次函數,它不僅與x有關,而且與x也有關.函數的微分dy與y只差一個比x高階的無窮小,它是y的主要部分,所以也稱微分dy是函數改變量y的線性主部.PART 1(1)若函數y=f(x)在x處的改變量y可以表示成x的線性函數k(x)x與一個比x高階的無窮小之和y=k(x)x+o(x),則稱函數y=f(x)在點x處可微.PART 2(2

56、)由于自變量x的微分dx=(x)x=x,故dx可理解為自變量x的改變量x.于是dy=f (x)x=f (x)dx,即函數的微分等于函數的導數乘上自變量的微分.PART 3(3)點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本由微分法的定義可見,要計算函數y=f(x)的微分,只需要先求出導數f (x),再乘以dx就可以了.根據基本初等函數的求導公式及求導法則可得到如下的微分公式和運算規則:1)微分基本公式微分的運算法則3.2 2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本2)函數的和、差、積、商的微分運算法則微分的運算法則3.2 2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本微分的運算法

57、則3.2 23)復合函數的微分法則設函數y=f(u),而u=(x),則復合函數y=f(x)的微分為:dy=f (u)(x)dx=f (u)du上式稱為一階微分形式不變性.即不論u是自變量或中間變量,函數y=f(u)的微分形式總是dy=f (u)du.03PART3.3Mathematica軟件介紹點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本命令格式:D函數表達式,自變量或先定義函數fx,再利用命令f x或先定義函數fx,再利用命令Dfx,x一階導數3.3.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例3-31】求函數y=x2+sin 2x-xex的導數.解:計算機處理如下:In1:

58、=Dx2+Sin2x-x*Ex,xOut1=-ex+2x-exx+2Cos2x或者In2:=f x_=x2+Sin2x-x*ExDf x,xOut2=-exx+x2+Sin2xOut3=-ex+2x-exx+2Cos2x或者在上述定義函數的基礎上:In4:=f xOut4=-ex+2x-exx+2Cos2x即y=2x-ex-xex+2cos 2x一階導數3.3.1點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本命令格式:D函數表達式,自變量,2或先定義函數fx,再利用命令fx或先定義函數fx,再利用命令Dfx,x,2二階導數3.3.2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本二階導數3.

59、3.2【例3-32】設函數s=sin(at+b)(a,b為常數),求s.解:計算機處理如下:In5:=DSina*t+b,t,2Out5=-a2Sinb+at或者In6:=st_=Sina*t+bstOut6=Sinb+atOut7=-a2Sinb+at或者在上述函數定義的基礎上:ln8:=Dst,t,2Out8=-a2Sinb+at即s=-a2sin(at+b)點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本命令格式:D函數表達式,自變量,求導階數【例3-33】設函數y=1/(x+1),求y(5).解:計算機處理如下:In9:=D1/(x+1),x,5Out9=或者In10:=x_=1/(x

60、+1)Dx,x,5Out10=1/(1+x)Out11=即y(5)=高階導數 3.3.3點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本設方程fx,y=0,確定隱函數y=y(x).命令格式:A=Dfx,yx=0,自變量;SolveA,Dyx,x或SolveDfx,yx=0,x,Dyx,x【例3-34】求由方程x2+y2=4所確定的隱函數的導數dy/dx.解:計算機處理如下:In12:=A=Dx2+yx2=4,xSolveA,Dyx,xOut12=2x+2yxyx=0Out13=yx-x/(yx)或者In14:=SolveDx2+yx2=4,x,Dyx,xOut14=yx-x/(yx)即y=-x