1、電磁場的數學物理基礎知識電磁場的數學物理基礎知識電磁場的數學物理基礎知識第一章電磁場的數學、物理基礎知識1-1 電磁場及矢量代數 1-2 正交曲面坐標系 1-3 標量場及其梯度 1-4 矢量場的通量、散度與高斯散度定理 1-5 矢量場的環量、旋度與斯托克斯定理 1-6 亥姆赫茲定理 1-7 電磁場麥克斯韋方程組 1-8 矢量場惟一性定理 2021/4/131-1 電磁場及矢量代數1.1.1矢量及其表示方法1.1.2矢量相加(疊加) 1.1.3矢量的乘積運算2021/4/131-1 電磁場及矢量代數 場的概念: 場是一個以空間位置(x,y,z)和時間(t)為自變量的函數。標量場矢量場穩恒場均勻場

2、描繪場的函數為標量函數= (x,y,z,t)描繪場的函數為矢量函數A=A(x,y,z,t )不隨時間變化的場 (x,y,z), A(x,y,z )不隨空間變化的場 (t) , A(t )只有大小而沒有方向的量。如電壓、電荷量、電流、面積等在指定的時刻，空間每一點可以用一個標量唯一地描述，則該標量函數定出標量場。例如物理系統中的溫度、壓力、密度等。具有大小和方向特征的量。如電場強度矢量。磁場強度矢量、作用力矢量、速度矢量等。在指定的時刻，空間每一點可以用一個矢量唯一地描述，則該矢量函數定出矢量場。例如流體空間中的流速分布等。2021/4/131.1.1 矢量及其表示方法 矢量的定義及表示：幾何表

3、示：有向線段代數表示：基于坐標系的參數表示 矢量的代數運算(四則運算)：幾何方法及其意義代數方法及其運算規則(與坐標系相關)2021/4/131.1.1 矢量及其表示方法矢量：表示既有大小也有方向的量，如 或 標量：只有大小的量，如 矢量幾何圖示如右：矢量代數：矢量間的四則運算，即加減法、乘法。2021/4/131.1.1 矢量及其表示方法一個由大小和方向共同確定的物理量叫做矢量。 ， zxyAO單位矢量模等于1的矢量叫做單位矢量。（1.1.1）矢量表示法在三維空間中，矢量可表示為一根有方向的線段。該線段的長度 代表該矢量的模，該線段的方向 代表該矢量的方向。2021/4/13在直角坐標系中矢

4、量的表示例如：2021/4/13一個矢量經平移后所得到的新矢量及原矢量相等。在直角坐標系下，兩個相等的矢量必有相等的坐標分量。負矢量及原矢量大小相等，方向相反的矢量。2021/4/131.1.2 矢量相加(幾何表示 )， 圖1-1兩矢量相加ABA+BABA+B( a ) 平行四邊形法則 ( b ) 首尾相接法則 兩矢量A和B相加定義為一個新矢量A+B 圖1-2 兩矢量相減- BBAA-B交換律 A+B = B+A結合律 ABC=A(BC)=(AB) CA和B相減為新矢量A B 2021/4/131.1.2 矢量相加(代數表示)， 直角坐標系中的矢量及運算AxAyAzAyzx圖 1-3 直角坐標

5、中的A及其各分矢量若則2021/4/131.1.2 矢量相加(代數表示)矢量加法滿足交換律和結合律，矢量減法不滿足交換律。矢量乘法圖1-4 f 與A 相乘A A( 0) A( 0) 標量與矢量A的乘積用A表示，它是A的倍。 若則2021/4/13兩個矢量的標量積（點積）定義為這兩個矢量的模以及這兩個矢量 之間夾角的余弦三者的乘積。兩個矢量的矢量積（叉積）的模等于這兩個矢量的模以及這兩個矢量之間夾角的正弦三者的乘積，而方向垂直于兩矢量所構成的平面，其指向按“右手法則”來確定。（1.1.26）1.1.3矢量的乘積運算2021/4/131.1.3矢量的乘積運算 AB=ABcosAB=BA(A+B)C

6、=AC+BC(A B) =(A) B= A(B)若A B，則AB=0(5)A自身的點積，即 =0，AA=A21.矢量的標量積 dot product/scalar product Acos2021/4/13例如， 直角坐標系中的單位矢量有下列關系式： exey=eyez= exez=0exex=eyey=ezez=1 直角坐標系中的點積運算 由單位矢量的正交性得2021/4/132.矢量的矢量積 cross product C= AB=ABsinec ec為垂直于A、B平面的單位矢量，A、B、C服從右手螺旋法則。 (a) 矢量積的圖示； (b) 右手螺旋2021/4/13 矢量積又稱為叉積(C

7、ross Product)，如果兩個不為零的矢量的叉積等于零， 則這兩個矢量必然相互平行，或者說，兩個相互平行矢量的叉積一定等于零。 矢量的叉積不服從交換律， 但服從分配律， 即AB=-BA A(B+C)=AB+AC A、B相平行（ = 0或180)時，AB=0，反之亦然；A自身的叉積為零，AA=0。 2021/4/13 直角坐標系中的單位矢量有下列關系式： exey=ez eyez=ex, ezex=ey exex=eyey=ezez= 0 在直角坐標系中，矢量的叉積還可以表示為 =ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx)2021/4/132.矢量的

8、矢量積 cross product ABBA AB = BA C (A+B)=C A +C B (AB) =(A)B= A(B) 若A/B，則AB=02021/4/13標量積滿足交換律和分配律，矢量積只滿足分配律。若兩個矢量垂直，即它們之間的夾角為90o，則它們的標量積等于零，而矢量積最大，等于這兩個矢量的模的乘積；若兩個矢量平行，即它們之間的夾角為零，則矢量積等于零，而標量積最大，等于這兩個矢量的模的乘積。反過來說也是對的。若兩個非零矢量的標量積等于零，則這兩個矢量必相互垂直；若兩個非零矢量矢量積等于零，則這兩個矢量必相互平行。2021/4/13 3.矢量的混合積轉換性 C ( AB ) =

9、 A ( BC ) = B ( CA ) C ( AB)=|C| |AB|cos三個矢量共面的條件 C ( AB ) =0 Cx Cy Cz C ( AB ) = Ax Ay Az Bx By Bz坐標表示式2021/4/13（1）矢量混合積的幾何意義：關于混合積的說明：2021/4/13bc a baS=|a b|hc2021/4/13hac a bb其混合積 (abc) = 0三矢 a, b, c共面因此，2021/4/13定理1三個不共面的矢量的混合積的絕對值等于以為棱的平行六面體的體積, 并且當構成右手系時混合積為正數;當構成左手系時混合積為負數, 也就是有定理2證明:先證明必要性 “

10、”，即已知三個矢量共面，求證因為，所以2021/4/13證畢.再證明充分性 “”，即已知求證:三個矢量共面.由及定義,得即而又所以, 矢量垂直,首先,若即結論顯然成立.以下設所以證畢.2021/4/13定理3證明:三個矢量共面時,結論顯然成立. 以下設它們不共面. 的絕對值都等于以為棱的平行六面體的體積,即它們的絕對值相等.又因為具有相同的左右手系,(因為輪換不改變左右手系)即它們的符號也相同. 證畢.只證明第一組. 第二組可以類似考慮.2021/4/13推論1例1設三向量滿足證明:由兩邊及所以,2021/4/13矢量混合積在直角坐標系下的分量表示設直角坐標系定理4證明:2021/4/13所以

11、,推論2三個矢量共面的充要條件為2021/4/13例2.已知四面體ABCD的頂點坐標A(0, 0, 0), B(6, 0, 6),C(4, 3, 0), D(2, -1, 3), 求它的體積.ABCD解:它的體積等于以為棱的平行六面體體積的六分之一所以2021/4/13解2021/4/13式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致.2021/4/13解例42021/4/13例5求矢量對的分解式.(也即將表示成的線性組合)解:所以可設上式兩邊同時點乘得則得同理可以得到2021/4/13向量的數量積向量的向量積向量的混合積（結果是一個數量）（結果是一個向量）（結果是一個數量）（注意共線、共面的條件）小

12、結2021/4/13例6證明:證畢.2021/4/13 4.矢量的三重積 A (BC） A(BC） （AB）C 不滿足結合律 A(BC）=（ AC) B ( AB) C 2021/4/13 矢量代數運算式均為矢量垂直于所在平面并及 成右手螺旋關系。2021/4/13矢量代數運算式2021/4/13位置矢量及距離矢量位置矢量由坐標原點出發引向空間某一點的有方向線段，稱為該點的位置矢量或矢徑。設P點的坐標為 ，則 其模設P點的坐標為 ，則 其模圖 位置矢量及相對位置矢量2021/4/13相對位置矢量及模其中，P 點的位置矢量為圖 位置矢量與相對位置矢量r P (x,y,z)RrP (x,y,z)R

13、oyzx習題1-72021/4/13 標量體元 矢量面元 矢量線元矢量積分運算矢量線積分矢量面積分標量體積分2021/4/131-2 正交曲面坐標系矢量線元 把長度元及坐標元之比定義為拉梅(Lame)系數 2021/4/13 直角坐標系 2021/4/13 直角坐標系 2021/4/132021/4/13 圓柱坐標系空間任一點P的位置可以用圓柱坐標系中的三個變量(, , z)來表示， 如下圖示。 其中，是位置矢量OP在xy面上的投影， 是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間的夾角，z是OP在z軸上的投影。由圖可以看出，圓柱坐標及直角坐標之間的關系為x=cos y=sinz=z 如同直角坐

14、標系一樣， 圓柱坐標系也具有三個相互垂直的坐標面， 2021/4/13圓柱坐標系一點的投影 圓柱坐標系三個互相垂直的坐標2021/4/13 圓柱坐標系2021/4/13 圓柱坐標系2021/4/13 圓柱坐標系2021/4/132021/4/13 2021/4/13 球坐標系在球坐標系中， 空間一點P 唯一地用三個坐標變量(r,)來表示，如圖示.位置矢量r又稱為矢徑(Radius Vector)， r是其大小，是位置矢量r及z軸的夾角，是從+x軸到位置矢量r在xy面上的投影OM之間的夾角。球坐標及直角坐標之間的關系為 x=rsincos y=rsinsin z=rcos 同樣， 球坐標也有三個

15、坐標面坐標面 表示一個半徑為r的球面， r的變化范圍為0 r 。 2021/4/13坐標面=常數 表示一個以原點為頂點、z軸為軸線的圓錐面，的變化范圍0。坐標面表示一個以z軸為界的半平面，的變化范圍為 0 0 (有正源) h1。2021/4/13解：（1）由圓柱坐標散度式（1-28）可知2021/4/13解：（2）設圓柱側面為S1，上下底面分別為S2、S3，由通量式（1-24）可知由于矢量F只有半徑方向的分量，即矢量垂直于圓柱側面S1，平行于上下底面S2、S3，因此上式中只有第一項存在，故其矢量積分可以簡化為標量積分，即2021/4/13對面積的曲面積分的計算法設曲面 ：z = z (x, y

16、)(1)(2)(3)(4)z = z (x, y)單值，即及 z 軸平行的直線及的交點只有一個；z = z (x, y)在Dxy 上具有連續偏導數；f (x,y,z) 在光滑曲面上連續；則2021/4/13同理：2021/4/13例：zxy0h問題：1 能否投影到xoy面上? dS = ?解：把1 投影到yoz面上，則R12021/4/13zxy0h1R關于yoz面對稱，被積函數是x的偶函數.2021/4/13zxy0h解：把1 投影到yoz面上，則R12021/4/13zxy0h1R2021/4/13散度的意義 在矢量場中，若 A= 0，稱之為有源場， 稱為 ( 通量 ) 源密度；若矢量場中

17、處處 A=0 ，稱之為無源場。矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數；散度代表矢量場的通量源的分布特性。 (無源） (正源) (負源)圖0.3.3 通量的物理意義 2021/4/13上式稱為散度定理, 也稱為高斯公式。1 .4 .4 矢量場高斯散度定理 The divergence theorem既然矢量的散度代表的是其通量的體密度, 因此直觀地可知, 矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面的總通量, 即 散度定理： 通量元密度 2021/4/131 .4 .4 矢量場高斯散度定理 The divergence theorem從數學角度可以認為高斯定理建立了面積分和體積分的關系。

18、從物理角度可以理解為高斯定理建立了區域 V 中的場和包圍區域 V 的閉合面 S 上的場之間的關系。如果已知區域 V 中的場，根據高斯定理即可求出邊界 S 上的場，反之亦然。散度定理的物理意義：矢量函數的面積分與體積分的相互轉換。矢量場散度的體積分=該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量2021/4/13 1-5 矢量場的環量及旋度環量 矢量A沿某封閉曲線的線積分, 定義為A沿該曲線的環量(或旋渦量), 記為 矢量場的環量是一個標量，用來描述一個矢量場的旋渦特性。大小和正負取決于矢量場的分布以及該閉合曲線積分的環繞方向。可見，若在閉合有向曲線 l 上，矢量場 A 的方向處處及線元 dl 的方向保

19、持一致，則環量 0；若處處相反，則 0 。可見，環量可以用來描述矢量場的旋渦特性。圖1.4.1 環流的計算2021/4/13水流沿平行于水管軸線方向流動，= 0，無渦旋運動。例：流速場流速場流體做渦旋運動， 0，有產生渦旋的源。2021/4/13矢量場的旋度(curl)引出：研究閉合曲線內每一點處的環流。 過點 P 作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為L，面的法線方向及曲線繞向符合右手定則。當 S 點 P 時，存在極限1. 環流密度環流密度環流密度是單位面積上的環量。2021/4/132.旋度：旋度是一個矢量。若以符號 rot A 表示矢量 A 的旋度，則其方向是使矢量 A 具有最大環量強度的方

20、向，其大小等于對該矢量方向的最大環量強度，即式中 rot 是英文字母 rotation 的縮寫，en 為S的法線方向，S 為閉合曲線 l 包圍的面積。矢量場的旋度(curl)它及環量密度的關系為 S 的法線方向2021/4/13矢量的旋度：在矢量場A中，圍繞P點做一閉合回路c，所圍面積為S，其法線方向單位矢量為n；A的旋度是矢量，其大小為S0時環流面密度的最大值，其方向為使環流面密度取最大值時面元的法線方向，即 2021/4/13物理意義：矢量的旋度是環流面密度的最大值，及面元的取向無關。 計算公式 ：2021/4/13旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數。某點旋度的大小是該點

21、環量密度的最大值，其方向是最大環量密度的方向。在矢量場中，若 A=J 0 稱之為旋度場（或渦旋場），J 稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場處處 A= 0 ，稱之為無旋場。它描述A在該點處的旋渦源強度。2021/4/13旋度的展開式 P14廣義正交曲面坐標系中旋度的展開式為直角坐標系中拉梅系數均為1，故2021/4/13矢量函數A在圓柱坐標系和球坐標系中的旋度表達式分別為2021/4/13一個標量函數的梯度是一個矢量函數，它描述了空間各點標量位的最大變化率及其方向；一個矢量函數的散度是一個標量函數，它描述了空間各點場矢量及通量源之間的關系；一個矢量函數的旋度是一個矢量函數，它描述了空間各點場矢量與

22、旋渦源之間的關系。只有當場函數具有連續的一階偏導數時，梯度、散度、旋度的定義才是有意義的。在某些場量不連續的交界面上，就不可能定義梯度、散度和旋度。3、 梯度、散度、旋度的比較 ：2021/4/13 如果矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零，則這種場中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場（或保守場）；如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無源場（或管形場）；在旋度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只對及其垂直方向的坐標變量求偏導數，所以矢量場的旋度描述的是場分量在與其垂直的方向上的變化規律；在散度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別

23、只對x、y、z求偏導數，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規律。 3、 梯度、散度、旋度的比較 ：2021/4/131 .5 .3 斯托克斯定理 The Stokess theorem矢量函數的線積分與面積分的相互轉化。斯托克斯定理下 頁上 頁 在電磁場理論中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是兩個非常重要的公式。返 回2021/4/13場的旋度和散度形象說明根據散度或旋度的定義式可知，它們都是在曲面或體積趨于零，即縮小到一點時定義的。矢量對一閉合曲面的通量（或所包圍區域散度的體積分）等于零，并不能說該區域每點無源。 2021/4/13場的旋度和散度形象說明場的旋度和散度用水流來作

24、比較最形象，旋度就是考察水中是否存在漩渦，在電磁場中就是看電場線或磁感線是否閉合，磁感線是閉合的就是說它是有旋場，散度可以認為是看水在何處有源頭何處有匯聚，在電磁場中就是看是否某處有發射場線或收回場線。2021/4/13 1-6 矢量場中的常用定理矢量場的分類梯度場、散度場和旋度場的關系定理矢量場的積分定理矢量場唯一性定理亥姆霍茲定理2021/4/131.6.1 矢量場的分類根據矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：1) 調和場 若矢量場F在某區域V內，處處有：F=0和F=0 則在該區域V內，場F為調和場。 注意：工程實際中不存在在整個空間內旋度和散度處處均為零的矢量場。調和場，有源無旋場，無

25、源有旋場，有源有旋場2021/4/13 標量場的梯度為無旋場; 矢量場的旋度為無源(散)場; 無旋場必可表示為標量場的梯度； 如 ，則必存在某一標量場，使 得 。 無源場必可表示為另一矢量場的旋度； 如 ，則必存在某一矢量場 ，使 得 。1.6.2 梯度場、散度場和旋度場的關系定理2021/4/13 如果一個矢量場B為另一個矢量場 的旋度，即 ，則任意選擇 的值，矢量場 的值不受影響。 這說明不論 是有源場，還是無源場，或 取任何值，對 的渦旋性皆無影響。即矢量場的散度和旋度是彼此獨立的，不能相互代替。因此，對于一個矢量場只有同時研究它的散度和旋度才能準確的把握場的變化規律。 2021/4/1

26、3(1)高斯(散度)定理1.6.3 矢量場的積分定理此定理揭示了矢量場的“表里”關系。(2) 斯托克斯定理 此定理揭示了矢量場的“邊面”關系。2021/4/13 設有矢量場 ，在以S為界面的區域V內，它的散度和旋度及其S面上的法向分量均已知, 1.6.4 矢量場唯一性定理 已知散度和旋度代表產生矢量場的源，可見惟一性定理表明，矢量場被其源及邊界條件共同決定的。2021/4/131.6.5 亥姆霍茲定理1) 場及源，源與散度、旋度 矢量場是由場源激發出來的,應把源看作是產生場的起因；矢量場的散度對應于一個激發通量的源；矢量場的旋度對應于一個激發渦旋量(環流量)的源。 進一步說,用場的散度 可唯一

27、確場中任一點的通量源密度，用場的旋度 可唯一確定場 中任一點的環量源密度。2021/4/13 假如在有限空間內,一個場矢量的散度和旋度處處已給定,邊界條件也已確定,那么,這個矢量場就是給定的了.進而這個矢量場還可用無旋場,一個標量函數的梯度 ;無散場,一個矢量函數的旋度 之和來表示,即2) 定理2021/4/13說明: 無旋場 應存在如下關系: 無散場 應存在如下關系:2021/4/13 研究一個矢量場時一定要從散度和旋度兩個方面進行。 既要導出矢量場散度應滿足的關系，又要導出矢量場旋度應滿足的關系，這種關系決定了場的基本性質,故又稱為微分形式的基本方程。 也可用矢量沿閉合面的通量和矢量沿閉合路徑的環流去研究，從而得到積分形式的基本方程。 3) 定理的意義2021/4/131-7 麥克斯韋方程組電荷守恒定律法拉弟電磁感應定律修正的安培環路定律電場高斯定律磁場高斯定律2021/4/131-7 麥克斯韋方程組電荷守恒定律法拉弟電磁感應定律修正的安培環路定律電場高斯定律磁場高斯定律積分形式微分形式