1、函數第一章 函數、極限與連續函數的概念01函數的幾種特性02目錄反函數03初等函數041.1.1 函數的概念3一、區間與鄰域區間是高等數學中常用的實數集設 ，且 ，數集 為開區間，記作 ；數集 為閉區間，記作 ；數集 和 都稱為半開半閉區間，分別記作 和 以上這幾類區間統稱為有限區間1.1.1 函數的概念4一、區間與鄰域滿足關系式 的全體實數 的集合記作 ，這里符號“ ”讀作無窮大，“ ”讀作正無窮大類似地，我們記其中“ ”讀作正無窮大以上這幾類數集都稱為無限區間有限區間和無限區間統稱為區間1.1.1 函數的概念一、區間與鄰域表示分別 以 ， 為左右端點的開區間，區間長度為2 ，設 滿足絕對值

2、不等式 的全體實數 的集合稱為在 中，去掉中心點 得到的實數集 稱為點稱為鄰域的中心， 稱為鄰域的半徑的去心（或空心） 鄰域，記作 注意 與 的差別在于: 不包含點 5點 的 鄰域，記作 ，即1.1.1 函數的概念6二、函數的概念例1 自由落體運動設物體下落的時間為 ，下落的距離為 假定開始下落的時刻為 ，那么 與 之間的依賴關系由下式給定：其中 是重力加速度，假定物體著地時刻為 ，那么當時間 在閉區間 上任取一值時，由上式就可以確定相應的 值1.1.1 函數的概念7二、函數的概念例2 普通快件收費以“首重+續重”的方式計算，不超過1公斤按1公斤計算，超過1公斤不超過2公斤按2公斤計算，超過2

3、公斤不超過3公斤按3公斤計算，以此類推某快遞官網收費為首重1公斤10元，續重每公斤5元，建立快件重量 與快遞費 的函數關系解 當 時，運費 ；當 時，運費 ；當 時，運費 ；于是函數 可以寫成1.1.1 函數的概念8二、函數的概念定義1 設 與 是同一變化過程中的兩個變量， 和 是兩個實數集如果對于任意的一個 ，按照對應法則 ，都有唯一確定的一個與之對應，那么稱 是 的函數，記作稱 為該函數的定義域，稱 為自變量，稱 為因變量（或函數）當自變量 取數值 時，與 對應的因變量 的值稱為函數在點 處的函數值，記作 或 當自變量 取遍 內所有數值時，的因變量 的全體組成的數集稱作這個函數的值域1.1

4、.1 函數的概念9二、函數的概念 確定函數定義域主要有兩種情況：在研究由公式表達的函數時，函數的定義域是使函數表達式有意義的自變量的一切實數值所組成的數集，也可用區間表示而在實際問題中，函數的定義域是由實際意義確定的例3 求下列函數的定義域：解 (1) 要使函數 有定義，須 ， 即 ，所以 的定義域是 1.1.1 函數的概念10二、函數的概念例3 求下列函數的定義域：解 (2) 要使函數 有定義，須 ，即所以 的定義域是 1.1.1 函數的概念11二、函數的概念例4解例5設函數 ， ，問它們是否為同一函數？解的定義域為 ，在 點無定義，其定義域為 ,由于 與 的定義域不同，所以它們不是同一個函

5、數1.1.1 函數的概念12三、函數的表示法 解析法 用解析表達式表示一個函數的方法稱為函數的解析法高等數學中討論的函數，大多由解析法表示用解析法表示函數，不一定總是用一個式子表示，也可以分段用幾個式子來表示一個函數例如這是用兩個解析式子給定的一個函數，其定義域是 ，當自變量在區間 內取值時，對應的函數值按 計算；當自變量在區間 內取值時，對應的函數值按 計算； 這種在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數稱為分段函數解析法、表格法、圖示法1.1.1 函數的概念13例6 設函數 求三、函數的表示法解 因為所以例6給出的函數稱為符號函數，記為其定義域為 值域為1.1.1 函數的概

6、念14例7 語句“變量 是不超過 的最大整數部分”表示了一個分段函數，三、函數的表示法常稱為取整函數，記為 即若 ，則 ，其中 為整數其數學表達式為其定義域為 值域為一切整數.1.1.1 函數的概念15三、函數的表示法 表格法 把自變量所取的值和對應的函數值列成表，用以表示函數關系，稱為函數的表格法如對數表，三角函數表，立方表等解析法、表格法、圖示法 圖示法 用坐標系下的一條或多條曲線表示函數，稱為函數的圖示法例如，函數 可用下列圖形表示 函數的概念01函數的幾種特性02目錄反函數03初等函數041.1.2 函數的幾種特性17一、函數的有界性設函數 在區間 上有定義，如果存在正數 ，使得對任一

7、 ，不等式 恒成立，那么稱函數 在區間 內有界若這樣的不存在，就稱函數 在區間 內無界如果函數 在區間 內有界，如果函數 在區間 內有界，那么稱 在區間 內為有界函數如 在 上有界，因為 對任何 都成立注意 函數有界性不僅與函數有關，還與自變量的變化范圍有關例如，函數 在區間(1,2)內是有界的，在區間(0,1)內是無界的1.1.2 函數的幾種特性18二、函數的單調性設函數在區間 上有定義，如果對于區間 上任意兩點 ，當（或 ）時，有則稱函數 在區間 上單調增加（或單調減少）)1.1.2 函數的幾種特性19三、函數的奇偶性設函數 的定義域 是關于原點對稱的，即當 時，有 如果對于任意的 ，均有

8、則稱函數 是偶函數既不是奇函數也不是偶函數的函數稱為非奇非偶函數（或 ）（或奇函數）1.1.2 函數的幾種特性20四、函數的周期性設函數 的定義域為 ，如果存在非零常數 ，使得對于定義域內的任何 ， 也在定義域內，且 恒成立，那么函數叫做周期函數，稱 為 的周期周期函數的周期通常是指它的最小正周期例如，函數 及 都是以 為周期的周期函數；函數 及 都是以 為周期的周期函數 周期函數的圖形呈周期狀，即在其定義域內長度為T 的區間上，函數圖形具有相同的形狀函數的概念01函數的幾種特性02目錄反函數03初等函數041.1.2 函數的幾種特性22定義2 設函數 的定義域為 ，值域為 如果對于任意一個，

9、通過關系式 可惟一確定一個 ，那么 就是 的一個函數，記作或反函數有以下幾個性質：這時 是自變量， 是因變量定義域為 ，值域為 函數 叫做函數 的反函數習慣上，我們總是把自變量記作 ，因變量記作 ，改寫為 或 .（1）函數 與其反函數 互為反函數（2） 與 的定義域與值域對調（3） 與 的圖像關于直線 對稱函數的概念01函數的幾種特性02目錄反函數03初等函數041.1.4 初等函數24一、基本初等函數1常量函數 ( 為常數)2冪函數 ( 為常數)3指數函數 ( 為常數)4對數函數 ( 為常數)5三角函數 常用的三角函數有： 三角函數還包括正割函數 ，余割函數 ，其中 基本初等函數包括：常量函

10、數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數1.1.4 初等函數25一、基本初等函數6反三角函數 反三角函數是三角函數在特定區間的反函數反正弦函數 是三角函數 在區間 上的反函數，定義域為 ，值域為 ，它是奇函數，在定義域上單調增加反余弦函數 是三角函數 在區間 上的反函數，定義域為 ，值域為 ，它是偶函數，在定義域上單調減少反正切函數 是三角函數 在區間 上的反函數，定義域為 ，值域為 ，它是奇函數，在定義域上單調增加1.1.4 初等函數26二、復合函數由物理學知，物體的動能 是速度 的函數：式中 是物體的質量如果考慮物體上拋運動，把一個質量為 的物體以初速度 垂直向上拋出，由于地球

11、引力的作用，它就不斷減速，這時， ，于是物體的動能 通過速度成為時間的函數：是由 和 “復合”而成的1.1.4 初等函數27二、復合函數定義2 設有兩個 及 ，如果對于 所對應的 值，函數其中， 是自變量， 是因變量， 叫做中間變量有定義，則 通過 的聯系也是 的函數，那么稱這個函數是由與 復合而成的復合函數，記作 例如，由 ， 復合而成的復合函數是 ，其定義域是 1.1.4 初等函數28二、復合函數 不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數例如，函數 與 就不能復合成一個復合函數，因為對于 的定義域內任何 值所對應的 值，都不能使 有意義例11 設 ，求 ， 解 1.1.4 初等函數29二、

12、復合函數 利用復合函數不僅能將若干個簡單的函數復合成一個函數，還可以把一個較復雜的函數分解成幾個簡單的函數，這對于今后掌握微積分的運算是很重要的例8 是由 ， ， 復合而成例9 是由 ， ， 復合而成例10 是由 ， ， 復合而成1.1.4 初等函數30三、初等函數 由基本初等函數經過有限次四則運算所得到的，并能用一個解析式表示的函數，稱為簡單函數 由基本初等函數、簡單函數經過有限次復合步驟所構成的，并能用一個解析式表示的函數，稱為復合函數 基本初等函數、簡單函數、復合函數統稱初等函數例如 都是初等函數學海無涯，祝你成功！極限的概念第一章 函數、極限與連續數列極限的概念01函數極限的概念02目

13、錄1.2.1 數列的極限34 為了求圓的面積，可以先作圓的內接正四邊形并用此四邊形面積 來作為圓面積的第一次近似進一步可作圓的內接正八邊形，并記內接正八邊形的面積為 ，作為圓面積的第二次近似照此下去，可作圓的一系列內接正 邊形，依次可得相應的面積為 ， ， ，當內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越近，當 無限增大時，圓內接正多邊形的面積就無限接近于圓面積也即當 無限增大時，圓內接正 邊形面積 也不斷增大，且 在向某個定數（圓的面積）不斷接近若將這一定數稱為 的極限，則可以說：圓內接正 邊形面積的極限就是圓的面積1.2.1 數列的極限35一、數列定義1 按一定順序排列起來

14、的無窮多個數稱為無窮數列記作 ，通常稱 為數列的第一項， 為第2項， 為第 項一般地，將數列的第 項稱為通項（或一般項）例如數列：1.2.1 數列的極限36二、數列的極限考察數列：當 無限增大時， 趨向于確定的常數1，或者說數列 收斂于1，并稱1為該數列的極限1.2.1 數列的極限37二、數列的極限定義2 如果當 無限增大時（記為 ）， 無限趨近于一個確定的常數 ，我們就稱 是數列 的極限，或稱 趨于 ，記為當 時，如果 不趨向于一個確定的常數，我們就說數列 沒有極限通常稱存在極限的數列為收斂數列，而不存在極限的數列為發散數列1.2.1 數列的極限38二、數列的極限例1 討論數列 、 的極限解

15、 當 時，數列 由 的兩側無限接近于1， 因而該數列的極限為1，即當 時，數列 在 與 兩點來回跳動，不接近于任何確定的常數，故數列 為發散數列數列極限的概念01函數極限的概念02目錄1.2.2 函數的極限40極限的一種特殊類型數列可以看作自變量取正整數 的函數 ，數列的極限是函數（1）當自變量 的絕對值無限增大（記作 ）時，對應的函數的變化情形（2）當自變量 無限接近 （記作 ）時，對應的函數 的變化情形下面討論一般函數 的極限主要研究兩種情形：一確定的常數 ，就稱當 時，函數 以 為極限這樣一個變化過程中，函數 的函數值的變化趨勢；若 無限接近某1.2.2 函數的極限41一、 時函數 的極

16、限若 取正值且無限增大，記作 ，讀作“ 趨于正無窮大”；若 取負值且其絕對值無限增大，記作 ，讀作“ 趨于負無窮大”；若 既能取正值又能取負值且其絕對值無限增大，記作 ，讀作“ 趨于無窮大”；所謂“當 時函數 的極限”，就是討論當自變量 趨于無窮大1.2.2 函數的極限42一、 時函數 的極限定義3 一般地，設函數 在 時有定義，若當 時，函數 無限接近于某個確定的常數 ，則稱函數 當 時以 為極限，記作例如：當 時， ，記作 ；當 時， ，記作 ；當 時， ，記作 1.2.2 函數的極限43一、 時函數 的極限定義4 一般地，設函數 在 時有定義，若當 時，函數 無限接近于某個確定的常數 ，

17、則稱函數 當 時以 為極限，記作例如：當 時， ，記作 ；當 時， ，記作 ；當 時， ，記作 1.2.2 函數的極限44一、 時函數 的極限定義5 一般地，設函數 在 時有定義，若當 時，函數 無限接近于某個確定的常數 ，則稱函數 當 時以 為極限，記作定理1 的充要條件是 1.2.2 函數的極限45二、 時函數 的極限例2 設 ，試討論當 時函數 的變化情況x00.90.990.9990.99990.999990.999999f（x）11.91.991.9991.99991.999991.999999x21.11.011.0011.00011.000011.000001f（x）32.12.

18、012.0012.00012.000012.000001當 越來越接近1時，相應的函數值越來越接近2容易想到，當 無限接近于1時，函數 的相應的函數值將無限地接近于21.2.2 函數的極限46二、 時函數 的極限例2 設 ，試討論當 時函數 的變化情況曲線 上的動點 ，當其此種情況，就稱當 時，函數 以橫坐標無限接近1時，即 時，點 將向定點 無限接近，即 2為極限，并記作1.2.2 函數的極限47二、 時函數 的極限例3 設 ，試討論當 時函數 的變化情況函數 中， ，但是，當 時， 也趨向于2 ，即函數 當 時以2為極限，記作 1.2.2 函數的極限48二、 時函數 的極限若 ，且 趨于

19、，記作 ；若 ，且 趨于 ，記作 若 和 同時發生，則記作 定義7 若當 時，函數 趨于常數 ，則稱函數 以 為左極限，記作定義8 若當 時，函數 趨于常數 ，則稱函數 以 為右極限，記作函數 在點 的左極限和右極限也分別記作 和 左極限和右極限統稱單側極限1.2.2 函數的極限49二、 時函數 的極限定義6 設函數 在點 的某個去心鄰域內有定義，若當 時，函數 無限接近于某個確定的常數 ，則稱函數 當 時以 為極限，記作定理2 的充要條件是 1.2.2 函數的極限50二、 時函數 的極限解 因為 即 在 點的左右極限存在但不相等，因此 不存在 例3 考察分段函數： 在 點處的極限.1.2.2

20、 函數的極限51二、 時函數 的極限不管數列還是函數，都是變量因此對于求極限的方式包括 ， ， ， ， ， ， 等，都是對變量求極限 所以，以上學習的各種極限的定義可以統一于下面的定義之中：在自變量（可以是 或 ）某一變化過程中，如果變量 （可以是數列 或函數 ）無限地接近于某個確定的常數 ，就稱變量 以 為極限，記為1.2.2 函數的極限52三、函數極限的性質函數極限的唯一性 如果 存在，則極限是唯一的函數極限的局部有界性 如果 存在，則存在 和 ，使得當 時，有 函數極限的局部保號性 如果 ，而 （或 ），那么存在 ，使得當 時，有 或 說明 以上性質對其它類型的極限都適用學海無涯，祝你成

21、功！無窮小量與無窮大量第一章 函數、極限與連續無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關系03無窮小量的運算性質04無窮小與函數極限的關系051.3.1 無窮大量56為當 時的無窮大量，簡稱無窮大記作定義1 當 時，如果 的絕對值無限地增大，那么稱函數 例如，當 時， 是一個無窮大量，記作 如果當 時， 只取正值且無限變大（或只取負值而絕對值無限變大），那么稱 為正無窮大量（或負無窮大量），記作無窮大定義中的 可以換成 ， ， ， ， 無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關系03無窮小量的運算性質04無窮小與函數極限的關系051.3.2 無窮小量58時的無窮小量，簡稱無窮小

22、，記作定義2 當 時，如果函數 的極限為零，那么稱 為當 無窮小定義中的 可以換成 ， ， ， ， 例1 因為 ，所以函數 當 時是無窮小因為 ，所以函數 當 時是無窮小注意 (1) 無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數 0是可以作為無窮小量的唯一的一個數 (2) 要指明自變量的變化趨勢無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關系03無窮小量的運算性質04無窮小與函數極限的關系051.3.3 無窮大量與無窮小量的關系60定理1 如果 為無窮大，則 為無窮小；反之，如果 為無窮小，且 ，則 為無窮大例2 求解 由于由定理1得無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與

23、無窮小量的關系03無窮小量的運算性質04無窮小與函數極限的關系051.3.4 無窮小量的運算性質62定理2 有限個無窮小的代數和為無窮小定理3 有限個無窮小之積為無窮小定理4 有界函數與無窮小的乘積為無窮小定理5 常量與無窮小之積為無窮小例3 求解即 時 是無窮小量且即 時 是有界變量時 是無窮小量，即 無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關系03無窮小量的運算性質04無窮小與函數極限的關系051.3.5 無窮小與函數極限的關系64定理6(極限基本定理) 的充分必要條件是：其中 是當 時的無窮小，即定理6中的 可以換成 ， ， ， ， 學海無涯，祝你成功！極限的四則運算第一章 函數

24、、極限與連續1.4 極限的四則運算67定理 如果 ，那么其中自變量 的趨勢可以是 等各種情形1.4 極限的四則運算68例1 求 解 例2 求 解 1.4 極限的四則運算69一般地，設多項式（有理整函數）那么即1.4 極限的四則運算70設有理分式函數（有理整函數與有理分式函數統稱為有理函數）即其中 與 都是多項式，當 時，有對于有理函數求關于 的極限時，如果有理函數在 有定義，其極限值就是在 點處的函數值，以后可以當做公式使用1.4 極限的四則運算71例3 求 解 例4 求 解 因為函數的分子、分母當 時極限都為0，所以不能直接帶入. 可以先將分子分解因式，約公因式 ，再求極限. 1.4 極限的

25、四則運算72例5 求 解 當 時，兩個分式皆無極限，可以先通分1.4 極限的四則運算73例6 求 解 當 時，分子、分母極限都為0，應先將分子有理化例7 求 解 將分子分母同時除以 ，再求極限1.4 極限的四則運算74例8 求 解 將分子分母同時除以 ，再求極限一般地，當 時，有，其中 為正整數補充：N次方差公式學海無涯，祝你成功！兩個重要極限第一章 函數、極限與連續極限存在的準則01兩個重要極限02目錄1.5.1 極限存在的準則78定義 設數列 ，如果滿足 ，那么稱 是遞增數列，如果滿足 ，那么稱 是遞減數列遞增數列和遞減數列統稱為單調數列對于數列 ，如果存在一個正數 ，使對一切 都有，那么

26、稱 是有界數列，否則稱 是無界數列準則（單調有界準則） 單調有界數列必有極限 準則告訴我們：如果數列不僅有界，而且單調，那么這個數列一定是收斂的1.5.1 極限存在的準則79如果函數 ， ， 在點 的某去心鄰域內有定義，且滿足：那么數列 收斂，并且 類似地，有關于函數極限的夾逼準則：準則（夾逼準則） 如果數列 ， ， 滿足下列條件：那么 極限存在的準則01兩個重要極限02目錄1.5.2 兩個重要極限81一、 證 函數 對于一切 都有定義作單位圓，不妨設 ， 在單位圓上取圓心角 （弧度），點 處的切線與 的延長線相交于 ，于是因為所以即1.5.2 兩個重要極限82一、 兩邊除以 ，得即即因為 ，

27、故由函數極限存在的夾逼準則，得1.5.2 兩個重要極限83注意：1.極限 作為公式直接使用；2.公式可推廣為 ，其中， 是 時的無窮小量，如例1 求 解 1.5.2 兩個重要極限84例2 求 解 例3 求 解 例4 求 解 令 ，則 ，且 時 ， 1.5.2 兩個重要極限85二、 或 這里 是無理數該重要極限的本質是 其中， 是 時的無窮小量 例5 求 解 1.5.2 兩個重要極限86二、 或 例6 求 解 例7 求 解 學海無涯，祝你成功！無窮小的比較及其應用第一章 函數、極限與連續無窮小量的比較01等價無窮小在求極限中的應用02目錄1.6.1 無窮小量的比較90問題 兩個無窮小的和、差、積

28、都是無窮小，那么，兩個無窮小的商是否仍是無窮小呢？當 時，函數 都是無窮小，可是 可見，無窮小量之商（之比）不一定是無窮小，這是由于兩個無窮小量趨于零的速度有快有慢1.6.1 無窮小量的比較91定義 設 是同一變化過程中的無窮小，且 ，（1）如果 ，則稱 與 是同階無窮小（2）如果 ，則稱 與 是等價無窮小，記作 （3）如果 ，則稱 是比 高階的無窮小，記作 時， 與 時等價無窮小時， 與 時同階無窮小無窮小量的比較01等價無窮小在求極限中的應用02目錄1.6.2 等價無窮小在求極限中的應用93定理 設 及 在 (或 時都是無窮小，如果 存在，那么利用上述定理求極限時，可利用下列常見的等價無窮

29、小：當 時，例1 求解 當 時， ， ,1.6.2 等價無窮小在求極限中的應用94定理 設 及 在 (或 時都是無窮小，如果 存在，那么利用上述定理求極限時，可利用下列常見的等價無窮小：當 時，例2 求解注意學海無涯，祝你成功！函數的連續性第一章 函數、極限與連續函數的連續性01函數的間斷點02目錄初等函數的連續性03閉區間上連續函數的性質041.7.1 函數的連續性98對應的函數值的差 稱為函數的改變量（或增量），記作設函數 在點 的某鄰域內有定義，當自變量 由 變到 時，差 稱為自變量 在點 的改變量（或增量），記作 一般地， 可以為正值，可以為負值，也可以為零 既與點 有關，也與 的增量

30、有關1.7.1 函數的連續性99定義1設函數 在點 的某鄰域內有定義，如果在 處當自變自變量的改變量 趨于零時，對應函數的改變量 也趨于零，即那么函數 在點 處是連續的 稱 為函數 的連續點定義2設函數 在點 的某鄰域內有定義，如果函數 滿足那么函數 在點 處是連續的 稱 為函數 的連續點如果 ，那么稱函數 在點 處右連續1.7.1 函數的連續性100例1證明函數 在點 處連續證函數在 處的改變量為因為所以 函數 在點 處連續如果 ，那么稱函數 在點 處左連續；函數 在點 處連續的充分必要條件是函數 在點 處既左連續又右連續1.7.1 函數的連續性101例2討論函數 在點 處的連續性解又即函數

31、 在點 處連續1.7.1 函數的連續性102如果函數 在開區間 內的每一點連續，那么稱函數 在區間 內連續如果函數 在 內連續，且在 處右連續，在處左連續，那么稱 在閉區間 上連續函數在區間 上連續，稱它是 上的連續函數可以證明：一切基本初等函數在其定義域內都是連續的函數的連續性01函數的間斷點02目錄初等函數的連續性03閉區間上連續函數的性質041.7.2 函數的間斷點104如果函數 在點 處不連續，那么稱 在點 處間斷，點 稱為函數的間斷點由函數 在點 處連續的定義可知，函數 在點 處連續，必須同時滿足以下三個條件：（1） 在點 的某鄰域有定義；（2） 存在；（3） 如果上述三條件中任何一

32、個不滿足，那么點 就是函數 的間斷點1.7.2 函數的間斷點105根據函數 在間斷點處單側極限的情況，將間斷點分為兩類：(1) 如果點 是函數 的間斷點，并且函數 在點 處的左極限，右極限都存在，那么稱點 是函數 的第一類間斷點(2) 如果點 是函數 的間斷點，但不是第一類間斷點，那么稱點是函數 的第二類間斷點在第一類間斷點中，如果左極限與右極限相等，即 存在那么稱此間斷點為可去間斷點如果點 是函數 可去間斷點，那么我們可以補充定義 或者修改 的值，由 構造出一個在點 處連續的函數1.7.2 函數的間斷點106例如，函數 在 處無定義，因此 是該函數的間斷點因為 ，那么在 處， 為連續函數在第

33、一類間斷點中，如果左極限與右極限不相等，此間斷點稱為跳躍間斷點如果定義1.7.2 函數的間斷點107在第二類間斷點中，如果當 或 時， ，那么稱為函數 的無窮間斷點例3求函數 間斷點，并判斷其類型解令 ，得函數的間斷點為 ， ， 為函數的可去間斷點 為函數的無窮間斷點1.7.2 函數的間斷點108例4討論函數 ，在 處的連續性解在 處， ，所以 ，所以 為函數的可去間斷點又因為 ，所以 在 處不連續，函數的連續性01函數的間斷點02目錄初等函數的連續性03閉區間上連續函數的性質041.7.3 初等函數的連續性110定理1（連續函數的四則運算） 如果函數 在點 處連續，那么證（僅證和的形式）一、

34、連續函數和、差、積、商的連續性在點 處連續連續函數的和、差、積、商（若分母不為零）都是連續函數因為 在 處連續，即由極限的四則運算法則可得，所以 在 處連續1.7.3 初等函數的連續性111定理2 若函數 在 處連續，又函數 在點 處連續，二、復合函數的連續性且 ，則復合函數 在點 處連續因為 在點 處連續，所以 ，即 ，又因為 在點 處連續，所以可見，求復合函數的極限時，如果 在點 處極限存在，又 在對應的 處連續，則極限符號可以與函數符號交換1.7.3 初等函數的連續性112例5求極限 解函數 可以看成是由 和 復合而成由于 ，而 在 處連續由定理2知1.7.3 初等函數的連續性113三、

35、初等函數的連續性 由初等函數的定義，基本初等函數的連續性，連續函數的四則運算以及復合函數的連續性，可以得出如下重要結論：根據這個結論，如果 是初等函數， 是其定義域內的一點，那么一切初等函數在其定義區間內都是連續的求 時，只需將 代入函數求其函數值 即可例6求 解因為 是初等函數 的定義域內的一點，所以函數的連續性01函數的間斷點02目錄初等函數的連續性03閉區間上連續函數的性質041.7.4 閉區間上連續函數的性質115定義3設函數 在區間 上有定義，如果存在 ，使得對于任意的 都有那么稱 是函數 在區間 上的最大值（或最小值）；稱 為函數 的最大值點（或最小值點）最大值和最小值統稱最值定理

36、3（最值定理） 如果函數 在閉區間 上連續，那么函數在 上必取得最大值和最小值1.7.4 閉區間上連續函數的性質116定理3（最值定理） 如果函數 在閉區間 上連續，那么函數在 上必取得最大值和最小值注意兩點：（1）若把定理中的閉區間改成開區間，定理的結論不一定成立，例如函數 在 內是連續的，但它在 內既無最大值又無最小值（2）若函數 在閉區間內有間斷點，定理的結論不一定成立，例如函數 在 間斷， 在 上既無最大值也無最小值1.7.4 閉區間上連續函數的性質117定理4（介值定理） 若函數 在閉區間 上連續， ，設 是介于 與 之間任一值，則在 內至少存在一點 使得幾何意義：平行于 軸的直線

37、至少與 上的連續曲線 相交于一點1.7.4 閉區間上連續函數的性質118推理（零點定理） 若函數 在 上連續且 ，則至少存在一點 ，使得即方程 在 內至少存在一個根 幾何意義：如果 異號， 那么連續曲線 與 軸 至少有一個交點1.7.4 閉區間上連續函數的性質119例7 證明方程 在 內至少有一個根證 設 ，則 在 上連續，又 ， ，由零點定理可知，在 內至少有一點 ，使 這表明所給方程在 內至少有一個根學海無涯，祝你成功！導數的概念第二章 導數與微分山東信息職業技術學院 基礎教學部引例01導數的定義02目錄求導數舉例03導數的幾何意義04函數的可導性與連續性的關系052.1.1 引例123引

38、例1 求變速直線運動中質點的瞬時速度2.1.1 引例1242.1.1 引例1252.1.1 引例1262.1.1 引例127變化率問題引例01導數的定義02目錄求導數舉例03導數的幾何意義04函數的可導性與連續性的關系052.1.2 導數的定義1292.1.2 導數的定義1302.1.2 導數的定義1312.1.2 導數的定義1322.1.2 導數的定義1332.1.2 導數的定義1342.1.2 導數的定義1352.1.2 導數的定義1362.1.2 導數的定義137引例01導數的定義02目錄求導數舉例03導數的幾何意義04函數的可導性與連續性的關系052.1.3 求導數舉例1392.1.3

39、 求導數舉例1402.1.3 求導數舉例1412.1.3 求導數舉例142引例01導數的定義02目錄求導數舉例03導數的幾何意義04函數的可導性與連續性的關系052.1.4 導數的幾何意義1442.1.4 導數的幾何意義145引例01導數的定義02目錄求導數舉例03導數的幾何意義04函數的可導性與連續性的關系052.1.5 函數的可導性與連續性的關系1472.1.5 函數的可導性與連續性的關系148學海無涯，祝你成功！函數的求導法則第二章 導數與微分山東信息職業技術學院 基礎教學部導數的四則運算法則01反函數的求導法則02目錄2.2.1 導數的四則運算法則定理1 如果函數 及 在點 處可導，那

40、么它們的和、差、152注 法則（1）和（2）均可以推廣到有限多個可導函數的情形積、商（分母不為零）在點 處也可導，且（1） ；（2） ；（3） ；2.2.1 導數的四則運算法則例1 求函數 的導數解 例2 若 ，求 及 解 2.2.1 導數的四則運算法則特別地，當 （ 為常數）時，可應用以下推論（1） ，即常數因子可提到導數符號外面；解 （2） .例3 （1）求函數 的導數2.2.1 導數的四則運算法則解 例3 （2）求函數 的導數解 例4 已知 ，求 即 2.2.1 導數的四則運算法則解 例5 已知 ，求 即 同理可得2.2.1 導數的四則運算法則解 例6 已知 ，求 及 所以 導數的四則運

41、算法則01反函數的求導法則02目錄2.2.2 反函數的求導法則159定理2 如果單調函數 在點 處可導，且 ，那么它的反函數 在對應點 處可導，并且有 或該定理說明：一個函數的反函數的導數等于這個函數的導數的倒數2.2.2 反函數的求導法則160解 因為 是 的反函數， 在區間例7 求函數 的導數內單調可導，且所以有即特別地，當 時，有2.2.2 反函數的求導法則161解 因為 是 的反函數， 在區間 內單調例8 （1）求函數 的導數可導，且所以有即類似地，2.2.2 反函數的求導法則162例9 求函數 的導數解 因為 是 的反函數， 在區間 內單調可導，且所以有即類似地，2.2.2 反函數的

42、求導法則163解 因為 是 的反函數， 在區間例7 求函數 的導數內單調可導，且所以有即特別地，當 時，有學海無涯，祝你成功！復合函數的導數第二章 導數與微分山東信息職業技術學院 基礎教學部復合函數求導法則01初等函數的求導公式02目錄2.3.1 復合函數求導法則定理1 如果 在點 處有導數 ，而 在對應點 處167即 復合函數的導數等于復合函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數有導數 ，那么復合函數 在點 處的導數也存在，并且 或 ；2.3.1 復合函數求導法則例1 (1) 求函數 的導數.168解 設 ，則由復合函數的求導法則可得(2) 求函數 的導數.解 設 ，則由復合函數的求導

43、法則可得2.3.1 復合函數求導法則(3) 求函數 的導數.169解 由復合函數的求導法則可得(4) 求函數 的導數.解 由復合函數的求導法則可得2.3.1 復合函數求導法則(5) 求函數 的導數.170解2.3.1 復合函數求導法則(6) 求函數 的導數.171解2.3.1 復合函數求導法則注 當復合函數的求導法則熟練后，可以按照復合運算的前后順序，層層求導直接得出最后結果，無需引入中間變量計算172解例2 求函數 的導數.2.3.1 復合函數求導法則173解例3 （1）求函數 的導數.解（2）求函數 的導數.解（3）求函數 的導數.解（4）求函數 的導數.2.3.1 復合函數求導法則例4

44、設球狀氣球半徑 以 2 的速度等速增加，求當氣球半徑174時，其體積 增加的速度解 由于球的體積 是半徑 的函數 是時間 的函數，其導數所以體積 是時間 的復合函數由復合函數的求導法則可得所以即當半徑為10 時，體積的增加速度為 800 復合函數求導法則01初等函數的求導公式02目錄2.3.2 初等函數的求導公式176 ;1基本初等函數的導數公式 ; ;2.3.2 初等函數的求導公式1772函數的和、差、積、商的求導法則 ;3復合函數的求導法則 或設函數 ，則復合函數 的導數為學海無涯，祝你成功！隱函數的導數第二章 導數與微分山東信息職業技術學院 基礎教學部隱函數求導01對數求導法02目錄2.

45、4.1 隱函數求導顯函數 把因變量 表示成自變量 的公式的形式的函數，即 的形式181隱函數 若由方程 可確定 是 的函數 ,則稱該函數為隱函數 .例如， 、 等都是顯函數而形如 、 等方程所確定的函數都是隱函數.隱函數求導方法: 兩邊對 求導(含導數 的方程)2.4.1 隱函數求導例1 求由方程 確定的隱函數 對 的導數 182解 將方程兩邊同時對 求導，得解出 ，得將方程的兩邊同時對自變量 求導，遇到函數 ，看成是 的函數， 求隱函數的導數的思路：遇到 的函數（例如 ）看成是以 為中間變量的復合函數，然后從所得的關系式中解出 即可2.4.1 隱函數求導例2 求由方程 確定的函數的導數 18

46、3解 將方程兩邊同時對 求導，得解得2.4.1 隱函數求導例3 求曲線 在點 處的切線方程184解 將方程兩邊同時對 求導，得解得所求切線方程為切線的斜率為即隱函數求導01對數求導法02目錄2.4.2 對數求導法對數求導法 冪指函數（ ）及多次乘除運算和乘方開方186例4 求下列函數的導數：解 （1）兩邊同時取對數，得兩邊同時對 求導，有運算得到的函數，通常采用對等式兩端同取自然對數，轉化為隱函數，再利用隱函數求導方法求出它的導數，這種方法通常稱為對數求導法所以2.4.2 對數求導法187例4 求下列函數的導數：解 (2) 兩邊同時取對數，得兩邊同時對 求導，有所以學海無涯，祝你成功！參數方程

47、求導與高階導數第二章 導數與微分山東信息職業技術學院 基礎教學部參數方程求導01高階導數02目錄2.5.1 參數方程求導191確定 與 之間的函數關系，則稱此函數為由參數方程所確定的函數如果函數 、 都可導，且 ，又 具有單調一般地，如果參數方程 復合而成的函數，根據復合函數與反函數的求導法則，有連續的反函數 ，則參數方程確定的函數可以看成由 與 2.5.1 參數方程求導例1 已知橢圓的參數方程為 ，求其在 處的切線方程192解 當 時，橢圓上相應點的坐標是 ，即 由于故所求切線的斜率為所求切線方程為即參數方程求導01高階導數02目錄2.5.2 高階導數一般地，如果函數 的導數 在點 處可導，

48、那么稱 在點194的導數為函數 在點 處的二階導數，記作類似地，二階導數 的導數稱為 的三階導數，記作一般地，函數 的 階導數的導數稱為函數 的 階導數，記作2.5.2 高階導數例2 已知函數 （ 為正整數），求 195解 因為所以例3 求函數 的 階導數解 顯然2.5.2 高階導數例4 已知 ，求 196解 因為 ， 所以例5 求函數 的 階導數 解 因為 ，所以 故2.5.2 高階導數197例6 求函數 的 階導數 解 因為 ， 故同理可得2.5.2 高階導數198例7 已知 ，求 解 兩邊同時對 求導，得 式兩邊再對 求導，得故代入 得當 時， ，因此 學海無涯，祝你成功！微分第二章 導

49、數與微分山東信息職業技術學院 基礎教學部2.6 微分201導數 表示函數在點 處的變化率它描述了函數在點 處變化速度的快慢 在實踐中，有時還需要了解函數在某點當自變量取得一個微小的改變量時，函數取得的相應改變量的大小，為此引入微分的概念微分 表示函數在點 處的變化量它描述了函數在點 處變化程度微分的定義01微分的幾何意義02目錄微分公式與法則03微分在近似計算上的應用042.6.1 微分的定義203引例 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由 變到 面積的增量為問此薄片面積改變了多少? 解 設薄片邊長為 , 面積為 A , 則 當 x 在 取得增量 時，關于x 的線性主部高階無窮小時為故

50、稱為函數在 的微分2.6.1 微分的定義204定義: 若函數 在某區間內有定義， 及 在這區間內，如果函數的增量可表示為其中 是不依賴于 的常數，那么稱函數 在點 是可微的，而 叫做函數 在點 相應于自變量增量 的微分，記作 ，即定理: 函數在點 可微的充要條件是即2052.6.1 微分的定義定理: 函數在點 可微的充要條件是即證: “必要性” 已知在點 可微 ,則故在點 可導,且2062.6.1 微分的定義定理: 函數在點 可微的充要條件是即“充分性”已知即在點 的可導,則2072.6.1 微分的定義說明:時 ,所以時很小時, 有近似公式與是等價無窮小,當故當微分的定義01微分的幾何意義02

51、目錄微分公式與法則03微分在近似計算上的應用042.6.2 微分的幾何意義209微分的幾何意義當 很小時,則有從而導數也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分,記作記微分的定義01微分的幾何意義02目錄微分公式與法則03微分在近似計算上的應用042112.6.3 微分公式與法則1. 微分公式2122.6.3 微分公式與法則2132.6.3 微分公式與法則2. 微分運算法則設 u(x) , v(x) 均可微 , 則(C 為常數)分別可微 ,的微分為微分形式不變5. 復合函數的微分則復合函數2142.6.3 微分公式與法則例3 設 ，求 解 （方法一）應用微分與導數的關系兩邊同時對 求導，得所以即2

52、152.6.3 微分公式與法則例3 設 ，求 解 （方法二）應用微分法則兩邊同時微分，得所以2162.6.3 微分公式與法則例4 設 ，求 設 ，則 ，于是（方法二）利用微分形式的不變性解 （方法一）利用 ，得 2172.6.3 微分公式與法則例5 求 解思考題 在下列括號中填入適當的函數使等式成立:說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內容.注意: 數學中的反問題往往出現多值性.微分的定義01微分的幾何意義02目錄微分公式與法則03微分在近似計算上的應用04219當很小時,使用原則:得近似等式:2.6.4 微分在近似計算上的應用220例6 求 的近似值 于是解 令 ，那么 2.6.4 微

53、分在近似計算上的應用例7 求 的近似值 于是解 令 ，那么 221事實上，當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得222例8 一平面圓環形,其內半徑為10cm，寬為0.1cm，求其面積的近似值于是解 半徑為 的圓的面積公式為 ， 2.6.4 微分在近似計算上的應用 而圓環可看作半徑為10cm 的圓半徑增加0.1cm時面積的改變量 ， 學海無涯，祝你成功！微分中值定理第三章 導數的應用山東信息職業技術學院 基礎教學部羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.1 羅爾中值定理定理1（羅爾中值定理） 如果函數 滿足條件：226(1)在閉區間 上連續；(2)在開區間 內可導；(3

54、)則在區間 內至少存在一點 ，使 .證:故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則因此若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個與端點值不等,不妨設 則至少存在一點使則由費馬引理得 3.1.1 羅爾中值定理227注意:1) 定理條件條件不全具備, 結論不一定成立. 例如,3.1.1 羅爾中值定理228使2) 定理條件只是充分的.本定理可推廣為在 ( a , b ) 內可導, 且在( a , b ) 內至少存在一點羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.2 拉格朗日中值定理230定理2（拉格朗日中值定理） 如果函數 滿足下列條件：(1)在

55、閉區間 上連續；(2)在開區間 內可導,那么在開區間 內至少存在一點 ，使得幾何意義 連接曲線兩端點的弦 的斜率為 ，顯然在曲線上至少存在一點 ，使過該點的切線 斜率為 與弦 平行,即 或3.1.2 拉格朗日中值定理注 在拉格朗日中值定理中，如果再增加一個條件：那么定理的結論正是羅爾定理的結論.231即 羅爾定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情況.3.1.2 拉格朗日中值定理例1 驗證拉格朗日中值定理對于函數 在區間 上的正確性.232滿足證 因為 在閉區間 上連續，在開區間 內可導，拉格朗日中值定理的條件，則在開區間 內至少存在一點 ，使得即 解之得 所以拉格朗日中值定理對于函數 在區間 上的

56、正確性.3.1.2 拉格朗日中值定理例2 利用拉格朗日中值定理證明：當 時， .233證 先證 時的情況.設 ，設 ，因為 在 內的任何有限區間上均滿足拉格朗日中值定理的條件，在 內任取 ，在閉區間 上使用拉格朗日中值定理，在開區間 內至少存在一點 ，使得 即 整理得 因為 ， ，所以 .同理可證 時，以上結論仍然成立. 所以當 時， .3.1.2 拉格朗日中值定理推論1 如果 在開區間 內的導數恒為零，那么 在區間234由拉格朗日中值定理可以得到兩個非常重要的推論：證 設 ， 是開區間 內的任意兩點，且 ，由拉格朗日中值定 內是一個常數.由假定得 ，所以 ，即 因為 ， , 是區間 內的任意

57、兩點，所以 理，得3.1.2 拉格朗日中值定理推論2 如果對于開區間 內的任意 ，總有 ，那么在開235證 令 ，因為由推論1可知，在區間 內， ，即 區間 內， 與 之差是一個常數，即 （ 是常數）3.1.2 拉格朗日中值定理設 在區間 上滿足拉格朗日中值定理的條件， 和 是該236即上式也可以看作拉格朗日中值定理使用.區間內的任意兩點，在區間 上使用拉格朗日中值定理可得羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.3 柯西中值定理定理3（柯西中值定理） 如果函數 、 在閉區間 上連續，在238在開區間 內可導 , 在 內均不為零，那么在開區間 內至少存在一點 ，使得學海無

58、涯，祝你成功！洛必達法則第三章 導數的應用山東信息職業技術學院 基礎教學部3.2 洛必達法則241如果當 （或 時，兩個函數 和 都趨于零或都趨于無窮大，那么極限 可能存在，也可能不存在，通常把這類極限叫做未定式，記為 型或 型.例如, 為未定式 型， 為未定式 型.這類極限即使存在，也不能用商的極限的運算法則進行運算,下面介紹求這類極限的極為簡便而且非常重要的方法-洛必達法則.3.2 洛必達法則首先討論 時未定式 型的洛必達法則.242（1） ；定理1 設 、 在 的某一去心鄰域內有定義，如果（2） 、 在 的某鄰域內可導，且 ；（3） （或無窮大），那么 （或無窮大）3.2 洛必達法則以上

59、定理說明，當 時，求未定式 型的值，在符合條件的情況下，243例1 求 .可以先對分子、分母求導數再求極限,這種在一定條件下先對分子、分母分別求導后再求極限來確定未定式的值的方法叫洛必達法則.解 因為這是未定式 型， 所以3.2 洛必達法則244例2 求 .解 因為這是未定式 型， 所以例3 求 .解 因為這是未定式 型， 所以3.2 洛必達法則245例4 求 .解3.2 洛必達法則對于 時未定式 型的洛必達法則.246（1） 定理2 設 、 在 的某一去心鄰域內有定義，如果（2） 、 在 的某鄰域內可導，且 ；（3） （或無窮大），那么 （或無窮大）以上討論的 時未定式 型的洛必達法則對于

60、時未定式 型同樣適用.3.2 洛必達法則247例5 求 .解例6 求 .解3.2 洛必達法則248例7 求 （ 為正整數）.解3.2 洛必達法則249其它類型的未定式，如： 型、 型、 型、 型、 型，如果能轉化解未定式 型或 型，同樣可以使用洛必達法則求極限. 例8 求 .3.2 洛必達法則250解例9 求 .因為 所以 3.2 洛必達法則使用洛必達法則求極限時應注意以下幾點：251（1）不滿足洛必達法則的，不能使用洛必達法則. （2）若 仍是未定式 型或 型，且滿足洛必達法則的條件，可（3）在某些特殊情況下洛必達法則可能失效，此時應尋求其他解法.以繼續使用洛必達法則.3.2 洛必達法則25