1、 二元函數極限的求法數學與統計學院、數學與應用數學、0701班，湖北，黃石，435002引言多元函數的極限在高等數學中非常重要，但由于多元函數的自變量多,因此對于判斷其極限存在與否及其求法，比起一元函數的極限就顯得比較困難.求極限和證明極限的方法很多，一般我們常用定義法，初等變形法，兩邊夾準則，階的估計等.在這幾種方法中，定義法是基礎，但是比較繁瑣,其他方法有的較易，有的較難，讓人不知道從何下手.因此，我們有必要總結探討出比較容易好的方法去求多元函數的極限.多元函數極限在現在的生活中也有很大的用處，比如工程計算方面.從以上來看，研究歸納總結多元函數極限的求法問題是有意義和必要的.本文主要研究二

2、元函數極限的定義以及二元函數極限求解的幾種方法，并以實例加以說明.二元函數極限的定義定義1設E是R2的一個子集，R是實數集，f是一個規律，如果對E中的每一點(x,y),通過規律f,在R中有唯一的一個u與此對應，則稱f是定義在E上的一個二元函數,它在點(x,y)的函數值是u,并記此值為/(x,y),即uf(x,y).有時,二元函數可以用空間的一塊曲面表示出來,這為研究問題提供了直觀想象.例如，二元函數xR2-x2-y2就是一個上半球面,球心在原點,半徑為R，此函數定義域為滿足關系式x2+y2,R2的x,y全體，即D(x,y)Ix2+y2，R2.又如，Z=xy是馬鞍面.知道多元函數的定義之后,在我

3、們求多元函數極限之前我們必須知道多元函數極限的定義.定義2設E是R2的一個開集，A是一個常數，二元函數f(M)，f(x,y)在點M(x,y)eE附近有定義.如果Vs0,360，當0r(M,M)5時,0000有|f(M)-A|s,就稱A是二元函數在M點的極限記為limf(M)，A或0MM0f(M)A(MM)0定義的等價敘述1：設E是R2的一個開集，A是一個常數，二元函數f(M)，f(x,y)在點M(x,y)eE附近有定義.如果Vs0,360,當0000”(xx匕+(yy匕6時，有|f(x,y)A|s,就稱A是一兀函數在M點的極限。記為limf(M)，A或f(M)A(MM)M0,當0006,0|y

4、yo6且(x,yAG。,y)時，有|f(x,y)-A|s,就稱A是二元函數在M點的極限.記為limf(M)，A或0MM0f(M)A(MM).0注：(1)和一元函數的情形一樣，如果limf(M)，A，則當M以任何MM0點列及任何方式趨于M時，f(M)的極限是A；反之，M以任何方式及任何0點列趨于M時，f(M)的極限是A.但若M在某一點列或沿某一曲線M00時，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M的極限是A0二元函數的極限較之一元函數的極限而言，要復雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數要復雜.二元函數極限的計算方法例1求lim(x,y)T(0,0)y2二元函數極限是在一元函數極限的基礎

5、上推廣得來的,兩者之間既有區別又有聯系.在極限的運算法則上它們是一致的,但隨著變量的增加,二元函數極限的求解比一元函數復雜得多.現總結出一些常用的二元函數極限求解的方法，對后面含有更多變量的多元函數極限的求解打下基礎.3.1利用二元函數極限的定義求解 # #所以y2lim(x+(x,y)T(0,0)y2，1二0.解：當(x,y)鼻(0,0)時，(x+y)sinx2+y2，1-0卜+y|X+|y|.任意地給定一個正數,取=三,則當|x|6,|y|2xy|可得而所以x+yx+yx+y110,+x2-xy+y2x2+y2-xy2xy-xyxyrii11lim+lim+lim0,(x,y)T(，)xy

6、丿xTxyTylimx+y0.(x,y)T(，)x2-xy+y23.6利用重要極限公式求解有時我們可以利用一元函數的重要極限lim沁1和lim1+-Je直xTOxxTx丿接求解二元函數的極限.sinC3+3)例6求lim(x,y)t(o,o)x+y解：令tx3+y3，則(x,y)T(O,O)時tT0，從而sinC3+y3)limsinC+y3)(x,y),(0,0)x+y=lim.lim(x,y),(0,0)x+y(x,y),(o,o)x3+y3limC2-xy+y2lim(x,y),(o,o)=0.例7求lim(x,y),d0)xsiny/11xsi1+解：lim(x,y),(8,8)xy丿

7、xsinylim(x,y),(8,8)xy丿sinyxy.y令txy，則 # # # #11xy(11lim1+lim1+-(x,y),(8,8)xy丿t,8t丿siny:e,lim竺limni0.(x,y),(8,8)yy,8y # # # lim(x,y),(a0)+(tsinaJ2limv2sin2acos2a=0.t0從而.(x一3)2(y一2)2(x,壯,2)6一3乃+G-2,0-3.8利用換元法例9sinx2y+xy2求lim(x,y)(0,0)xy解：sinx2y+xy2limlim(x+y,SinE(x川(x,y)(0,0)XAx+ylim(x+y,lim泗琴匕四(x,y)(0

8、,0)(x,y)(0,0)E(x+y丿令txy(x+y),因為(x,y)(0,0)所以t0,則sinxy(x+y)sint4limlim=1.(x,y)(o,o)xy(x+y丿t0tlim(x+y,lim?(=0.(x,y)(o,o)(x,y)(0,0)廠(x+y丿 5=,所以 #smx2y+xy2/lim0.(x,y),(o,o)xy例10求lim(x+y)ln(x2+y2)(x,y),(o,o)解：令xrcos,yrsin,貝U(x+y2)2r(cos+sin)Inr|4|rlnr|.其中limrlnrlim洛必達法則lim(-r)=0.故由兩邊夾法則知：r,0r,0_r,0rlim(x+

9、y)lnC2+y2)=0.(x,y),(0,0)在求某個具體極限時,往往是多種方法的綜合運用.如在上面的“重要極限”中的兩個例子,實際上也運用到了換元法,在“換元法”的例子中用到了兩邊夾法則以及洛必達法則.但要注意在使用洛必達法則時,必須把原極限轉化為相應的一元函數的不定式極限.4.綜合運用由上我們知道二元函數的求法有很多種,同一個題目可以有多種做法也可能是幾種方法的綜合.因此,我們要靈活運用二元函數極限的計算方法.例1試應用w-5定義證明lim上二(x,y),(0,0)x2+y2方法1證明：因為(x,y)鼻(0,0)時，x2y0 x2+y2從而0,取5w,貝y當06,0|y6時, 5=,所以

10、 所以x2y,x2,y2x2ylim=0.(x,y)T(0,0)X2+y2方法1的證明中用的是方形鄰域.如果用圓形鄰域,則證明如方法2.方法2證明：因為x2x2,y2,|y|Jx2+y2，所以x2yx2y(x2,y22=0,取5=,則當0 x2,y25時,x2y,x2,y2x2ylim=0.(x,y)T(0,0)x2+y2所以方法3證明：令x=rcos,y=rsin,則(x,y)t(0,0)時,x2y=x2,y2r2cos2.rsincos2sin #5=,所以 # #0,取5=,當0|r|5時,有x2yx2+y2 #5=,所以 limx2y #5=,所以 #x,y),(0,0)X2y2例1主

11、要是運用二元函數極限的定義來解決問題.例2求lim(x2y2)2y2.(x,y),(o,o)解：因為 #5=,所以 # #5=,所以 #0 x2y2InCx2y2(x2y24)2ln #5=,所以 # #5=,所以 #InCy2)C+y2)lim(x,y),(0,0)=lim12Intt,+04所以lim(x2y2(x,y),(0,0) #5=,所以 # #5=,所以 #=lime(x,y),(0,0)x2y2lnx2y2 #5=,所以 # 5=,所以 #解法1:設p=,x=pcos0,y=psin0,貝U=1.例2中用到的是兩邊夾法則以及換元法的綜合.例3lim(廠x)x.0y,0 x2+y

12、2(y-x)xlim0y,0所以=0. #所以=0. =limp2(sin0cos0)cos0p0=lim,(sin0-cos0)cos0,00.所以=0. #所以=0. #所以=0. #所以=0. #解法2：0=2X2y2.所以=0. #所以=0. #所以=0. 所以=0. #又所以例4x2y2X2y2丿而limxyAx2Iim2x2+y2二0,x0y0(y一x)xlim=0.x0y0求limx+wy+w解：因為0 xy1x2y22/1x2lim二0,x+82丿y8所以=0. #所以=0. #x8y8 # TOC o 1-5 h z(1、壬例5求lim1+xy.XT，X丿yTa解：(1lim

13、1+x+yXT，X丿X+yyTalimXT，yTa(1X1+_IX丿e從上述中的幾個例題中可以看出,求解二元函數極限的方法不外乎那么幾種因此,總結出二元函數極限的計算方法是很有必要的至于三元以至更多元的函數,其極限理論一般地都可由二元函數類推而出多元函數理論是一元函數理論的發展,但從一元函數轉到二元函數,會出現某些原則上是新的東西比如,二元函數會出現累次極限和重極限的問題在這里就不一一敘述了結束語本文通過對比一元函數極限的性質和求法,總結出二元函數極限計算的一些常用方法,并給出了相應的例題加以說明求極限的方法有很多,通過總結出常用的計算方法,讓我們做題時知道如何下手 #致謝經過半年的忙碌和工作

14、，本次畢業論文已經接近尾聲，作為一個本科生的畢業設計，由于經驗的匱乏，難免有許多考慮不周全的地方，如果沒有導師的督促指導，以及一起工作的同學們的支持，想要完成這個設計是難以想象的.在這里首先要感謝我的導師柴國慶老師.柴老師平日里工作繁多，但在我做畢業論文的每個階段，從初次選題到查閱資料，論文初稿的確定和修改，中期檢查，后期詳細設計等整個過程中都給予了我悉心的指導.我的論文剛開始寫得不盡如意，但是柴老師仍然細心地糾正其中的錯誤.除了敬佩柴老師的專業水平外，他的治學嚴謹和科學研究的精神也是我永遠學習的榜樣，并將積極影響我今后的學習和工作.然后還要感謝大學四年來所有的老師，為我們打下堅實的專業知識的基礎；同時還要感謝所有的同學們，正是因為有了你們的支持和鼓勵.此次畢業論文才會順利完成.最后感謝我的母校湖北師范學院大學四年來對我的大力栽培. # 參考文獻同濟大學數學教研室高等數學(第五版)M