1、第 頁共16頁第 頁共16頁竺嬰初中函數問題涉及到的常用公式或結論及其訓練一、常用公式或結論（1）橫線段的長=x-x=x-x=橫標之差的絕對值（用于情況不明）。大小右左縱線段的長=y-y=y-y=縱標之差的絕對值（用于情況不明）。大小上下（2）點軸距離：點P（X0,y0）到X軸的距離為y到Y軸的距離為|xo|。（3）兩點間的距離公式：若A（x1,y1），B（xy貝UAB二J（xx）2+（yy）21122N1212（4）點到直線的距離：點P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0（其中常數A,B,C最好化為整系數，也方便計算）的距離為：d，血+B0+CI7A2+B2（5）中點坐標公式：若A）,Bg

2、j），則線段AB的中點坐標為（號26）直線的斜率公式：若A（xi，yi）,B（x2，y2）匡齊），則直線AB的斜率為:yy=12,ABxx12（沁）7）兩直線平行的結論：已知直線l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2若也，則k=k2；若k1=k2，且b2，則中2。（8）兩直線垂直的結論：已知直線l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2若11丄12，則kl.k2=-1;若kl.k2=-1，貝1丄12（9）直線與拋物線（或雙曲線）截得的弦長公式：【初高中數學重要銜接內容之一，設而不求的思想】直線y=kx+n與拋物線y=ax2+bx+c（或雙曲線y=m/x）截得的弦長公式是:AB=1,

3、k2x一x=1,k2（x,x）2一4xx證明如下：設直線y=kx+n與拋物線y=ax2+bx+c（或雙曲線y=m/x）交于A（xy1）,B（x2,y2）兩點,由兩點間的距離公式可得：AB=（x）2,（y歹2）2,因為A（X,y1）,B（x2,y2）兩點是直線y=kx+n與拋物線拋物線y=ax2+bx+c（或雙曲線y=m/x）的交點，所以A(xpy1),B(x2,y2)兩點也在直線y=kx+n上,yi=kx1+n,y2=kx2+n,*.y1-y2=(kx1+n)(kx2+n)=kx1-kx2=k(x1-x2),AB=(x一x)2+k2(x一x)2=(1+k2)(x一x)2=121212=1,k2

4、(x,x)2一4xx1212而X,x2顯然是直線y=kx+n與拋物線y=ax2+bx+c（或雙曲線y=m/x）組成方程組后，消去y（用代入法）所得到的那個一元二次方程的兩根，從而運用韋達定理x1+x2,x1x2可輕松求出，進而直線與拋物線（或雙曲線）截得的弦長就很容易計算或表示出來。（10）由特殊數據得到或聯想的結論：已知點的坐標或線段的長度中若含有2、3等敏感數字信息，那很可能有特殊角出現。在拋物線的解析式求出后，要高度關注交點三角形和頂點三角形的形狀，若有特殊角出現，那很多問題就好解決了。還要高度關注已知或求出的直線解析式中的斜率K的值，若K=3，則直線-3與X軸的夾角為300；若K=1；

5、則直線與X軸的夾角為450；若K=3，則直線與X軸的夾角為600教學建議：在八年級下冊講一次函數與反比例函數時，就引入上述絕大多數公式，然后再強化練習，為后續學習打下基礎。二、基本公式或結論訓練破解函數難題的基石橫線段的長度計算：【特點：兩端點的y標相等，長度二x-x】。大小TOC o 1-5 h z若A(2,0),B(10,0),則AB二。若A(-2,0),B(-4,0),則AB二。若M(-3,0)，N(10,0)，則MN二。若0(0,0)，A(6,0)，則0A二。若O(0,0)，A(-4,0)，則OA二。若O(0,0),A(t,0),且A在O的右端，則OA二_。若O(0,0),A(t,0)

6、,且A在O的左端，則OA二。TOC o 1-5 h z若A(-2t,6),B(31,6),且A在B的右端，則AB二。若A(4t,m),B(l-2t,m)，且B在A的左端，則AB二。若P(2m+3,a),M(l-m,a),且P在M的右端，則PM二。注意：橫線段上任意兩點的y標是相等的，反之y標相等的任意兩個點都在橫線段上。縱線段的長度計算：【特點：兩端點的X標相等，長度二y-y】。大小TOC o 1-5 h z若A(0,5)，B(0,7)，則AB二。若A(0，-4)，B(0，-8),則AB二。若A(0,2)，B(0，-6)，則AB二。若A(0,0)，B(0，-9),則AB二。若A(0,0)，B(

7、0,-6)，則AB二。若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，則OA二。若O(0,0)，A(0，t),且A在O的下端，則OA二。若A(6，-4t),B(6,31),且A在B的上端，則AB二。若M(m,l-2t),N(m,3-41),且M在N的下端，則MN二。若P(t,3n+2),M(t,l-2n),且P在M的上端，則PM二。注意：縱線段上任意兩點的x標是相等的，反之x標相等的任意兩個點都在縱線段上。點軸距離：一個點(x，y)到x軸的的距離等于該點的y標的絕對值(即y)，到y軸TOC o 1-5 h z標標標的距離等于該點的x標的絕對值(即x)。標點(-4,-3)到x軸的距離為，到y軸的距

8、離為。若點A(1-21,122t-3)在第一象限，則點A到x軸的距離為_，到y軸的距離為。若點M(t,124t3)在第二象限，則點M到X軸的距離為_;到丫軸的距離為_。若點A(-1,21-1)在第三象限，則點A到x軸的距離為到y軸的距離為。若點N(1，-12+21-3)點在第四象限，則點N到x軸的距離為到y軸的距離為。若點P(1,12+21-3)在x軸上方，則點P到x軸的距離為。若點Q(t,t2-21-6)在x軸下方，則點Q到x軸的距離為TOC o 1-5 h z若點D(t,t2+4t-5)在丫軸左側，則點D到y軸的距離為。若點E(n,2n+6)在y軸的右側，則點E到y軸的距離為。若動點P(t

9、,t2-21+3)在x軸上方，且在y軸的左側，則點P到x軸的距離為，到y軸的距離為。若動點P(t，t2-21+3)在x軸上方，且在y軸的右側，則點P到x軸的距離為，到y軸的距離為。若動點P(t，t2-21+3)在x軸下方，且在y軸的左側，則點Px軸的距離為，到y軸的距離為。若動點P(t，t2-21+3)在x軸下方，且在y軸的右側，則點P到x軸的距離為，到y軸的距離為。注意：在涉及拋物線，直線，雙曲線等上的動點問題中，在動點坐標“一母示”后，還要高度關注動點運動變化的區域(例如：動點P在拋物線y=X2-2x+3上位于x軸下方，y軸右側的圖象上運動)，以便準確寫出動點坐標中參數字母的取值范圍，以及

10、點軸距離是等于相應x(或)的相反數，標標還是其本身。中點坐標的計算：若【A(x,y),B(x,y)，則線段AB的中點坐標為(兀+xy+y)】112212,1222TOC o 1-5 h z若A(4,3),B(6,7),則AB中點為。若M(0,-6),N(6,-4),則MN的中點坐標為。若P(1,-3),Q(1,),則PQ的中點坐標為。232若A(l,2),B(-3,4),且B為AM的中點，則M點的坐標為。若A(-1,3),B(0,2),且A為BP中點，則P點坐標為。點P(5,0)關于直線x=2的對稱點的坐標為。點P(6,0)關于直線x=l的對稱點的坐標為。點P(6,2)關于直線x=3的對稱點的

11、坐標為。點Q(4,3)關于直線x=3的對稱點的坐標為。點皿(一4,2)關于直線x=2的對稱點的坐標為。點P(4,3)關于直線x=1的對稱點的坐標為。第 頁共16頁2第 頁共16頁點皿(一4,2)關于直線y=1的對稱點的坐標為。點丁(4,3)關于直線y=1的對稱點的坐標為。點0(0,3)關于x軸的對稱點的坐標為。點“(4,0)關于y軸的對稱點的坐標為。由兩直線平行或垂直，求直線解析式。【兩直線平行，則兩個k值相等；兩直線垂直，則兩個k值之積為-1.】某直線與直線y=2x+3平行，且過點(1,-1),求此直線的解析式。某直線與直線y二1x+1平行，且過點(2，3)，求此直線的解析式。2某直線與直線

12、y二2x5平行，且過點(-3，0)，求此直線的解析式。3某直線與y軸交于點P(0,3)，且與直線y二1x1平行,求此直線的解2析式。某直線與x軸交于點P(-2,0)，且與直線y二1x+4平行，求此直線的解析式。某直線與直線y=2x-l垂直，且過點(2,1),求此直線的解析式。某直線與直線y=-3x+2垂直，且過點(3,2),求此直線的解析式。某直線與直線y二2x1垂直，且過點(2,-1)，求此直線的解析式。3某直線與直線y二_1x_4垂直，且過點(1,-2)，求此直線的解析式。2某直線與x軸交于點P(-4,0),且與直線y二_2x5垂直，求此直線3的解析式。兩點間的距離公式：若A(x,y),B

13、(x,y),則AB=(X1_x2)2+(yi_y2)211221212TOC o 1-5 h z若A(-2,0),B(0,3),則AB=。若P(-2,3),Q(1,-1),則PQ二。若M(0,2),N(-2,5),則MN二。若P(1,o),Q(0,3),則PQ=若A(2，-3),B(-1,2),則AB=311(6)若P(4,2)，B(_4，_i)，則PB=311(7)若卩(4,2),B(盲1，則PB=21(8)若P(-4,4),M(-2，1),則PM=則AB=222(9)若A(5,3),B(5，422若A(-3，1),B(2，-2)，則AB=。若A(2,0),B(3,0),則AB=。若P(0,

14、-4),Q(0,-2),則PQ二若P(3,0),Q(4,0),則PQ二。若P(1,-4),Q(2,0),則PQ二（七）直線的斜率公式：【注：所謂斜率，就是一次函數y=kx+b中k的值】可由兩個點的坐標直接求得:若A（x1,y1），B化）（哲幾），則直線AB的斜率為AByy129xx12（xd）第 #頁共16頁2第 #頁共16頁例題：若A(2，-3)，B(-1,4)，則k=AB解：.A(2，-3)，B(-1,4)，.k=(3)4AB2(1)第 #頁共16頁2第 #頁共16頁第 頁共16頁2第 #頁共16頁若A(0，2)，B(3，0)，則kAB=TOC o 1-5 h z若A(1，-2)，B(-3

15、，1)，則kAB=。若M(-3，1)，N(-2,4)，則kMN=。若P(1，-4)，Q(-1，2)，則kpQ=。若C(-1，1)，Q(-2，-3)，則kcQ=若已(3,-I),F(-3,-2)，則kEF=若M(-5,-3),Q(-l,-2),則kMQ=若P(-3,4),Q(-1,4),則kpQ=八）點到直線的距離公式：點P（x,y）到直線Ax+By+C=0（為了方便計算，A,B,C最好化為整系數）00的距離公式為：d=AxoBo+CA2+B2；運用該公式時,要先把一次函數y=kx+b化第 #頁共16頁2第 #頁共16頁第 頁共16頁2第 #頁共16頁為一般式Ax+By+C=0的形式（即：先寫x

16、項，再寫y項，最后寫常數項,等號右邊必須是0）。12例題：求點P（2,-3）到直線y=2x一3的距離。12解：先把直線y=2x3化為一般式3x-6y-4=0所以|3x26x(3)4_45、(-6)23的值就是把點（x，y0）對應代入代數式Ax+By+C中。（1）求點P（-2,1）到直線y=x+2的距離。求點Q(1,-4)到直線y=2x-l的距離.求點A(1,2)到直線y=2x1的距離.求點M(0,-3)到直線y=3x1的距離.求點P(-2,0)到直線y=2X4的距離.求點K(3,-2)到直線y=13x的距離.求點P(-3,-1)到直線y=2X3的距離.(8)求點P(-2,-1)到直線y=1X,

17、2的距離.(9)求點Q(-2，-3)到直線y=4x一2的距離.求點P-號)到直線y=x-的距離.424求點N(-2,-3)到直線y=2x,3的距離.求點D(-2,3)到直線y=1x1的距離.5423求點E(-3,-2)到直線y=31x的距離.5324九)一個點關于一條斜直線的對稱點：求點A(-2,3)關于直線y=x-2的對稱點坐標。求點B(3，-1,)關于直線y=2x-5的對稱點坐標.求點Q(3，2,)關于直線y=-3x+5的對稱點坐標。求點N(1,-2,)關于直線y二2x-3的對稱點坐標。12求點D(2廠3)關于直線y=-2x+l的對稱點坐標。D_3_1求點E(3,2)關于直線y二4x2的對稱點坐標。十)直線與拋物線(或雙曲線)截得的弦長：求直線y=x+2與拋物線y=X22x3截得的長。求直線y=-x+3與拋物線y=2X23x1截得的弦長。求直線y=2x-1與拋物線y=3X22x4截得的弦長。求直線y二x+1與雙曲線y=2/x截得的弦長。求直線y=-2x-3與雙曲線y=3/x截得的弦長。求直線y二-x+3與雙曲線y=l/x截得的弦長。求直線y=3x-5與雙曲線y=l/x截得的弦長。(十一)求下列二次函數的最值(運用配方法，公公法，公代法三種方法求解)第 #頁共16頁2第 #頁共16頁第 #頁共16頁2第 #頁共16頁1)y=2x2-3x-1