1、ft量子力學自測題（15）參考答案一、（20分）氫原子在t=0時刻處于狀態式中為氫原子的第n個能量本征態。(1)(2)計算歸一化常數C=?計算t=0時能量的取值概率與平均值;(3)寫出任意時刻t的波函數y/偵,D。（1）利用歸一化條件|/1于是歸一化后的波函數為偵)+認偵）+?）+辱偵）（2）氫原子的能量本征值為pe4 1E =2Tr rr依題意知，能量的可能取值與相應的取值概率為 TOC o 1-5 h z 條= ：3EW(E.) = -18A238而能量的平均值為袒加g） = 一窟一告卜儡A蓋（3）任意時刻t的波函數為材（R）= c,.（0）e厘 一;6/ 0（。=I /偵）ex.-；號:

2、w）exp +二、（20分）證明:（1）若一個算符與角動量算符，的兩個分量對易，則其必與，的另一個分量對易;（2）在尸與二的共同本征態|血下，二與人的平均值為零，且當M=J時，測量與人的不確定性之積為最小。證明（1）設算符與角動量算符皆對易，即B J=lM=o利用角動量算符各分量之間的對易關系AAJ、=計訂.L 、?M=*，同理可知，若算符戶與角動量算符i加:皆對易，則算符忻必與二對易，于是問題得證。（2）在廣與二的共同本征態下，二的平均值為） = *m |j+ + 頂_ 四） 由升降算符的性質可知于是有伽,伽）=0同理可證，算符二.在|JA/） F的平均值也為零。在態上，算符二.2的平均值為

3、w四)=*叫(頂+-j(J + l)-M2 擴 同理可得| J /1JM1 j (J +1) - M2 tr由不確定關系可知(AJ(AJj= W + l)* 擴 或者寫為AJa -AJv =|j(J + l)-M2 Pi2 顯然，當M=J時，上式取最小值，即0X .三、(20) 一個質量為的粒子，在如下的三維勢場中運動0CO求粒子的能量和相應的本征函數。解定態薛定停方程為Tr6 -6 -b 亦 + 奪 + 尸 伊(x，)，Z)+ (*，北 Z)0，)，Z) = Ew(x, y, z) 2/ dx禽-dv)利用分離變量法，若令”(x,y,Z)=X(x)Y(y)Z (z)則有2/ dx2X(x)

4、+ *X(Q = )弟z5KZ= E_Z上述三個方程的解己經求出，能量本征值是E = Ex+Ey+E.=.,)2呻-w2 + k1dk 2)膈2泌-nr tr2“ a ib2)7勿)X+a 2 )（國弓）Yk(y) = NkHk(ay)e)-1 .”。-廣其中,m、n=l,2,3：k=0, 1, 2。相應的各分量本征函數分別為2 . mn sina2F，荷(H7Tn/rSU1z +/I b2 )NU），e邳-儀廣 z四、的態上,解z=最后，當x-Sz兩個自旋為0粒子的總自旋量子數s=o, 1,其單態為2故體系處于單態的概率為W（S = 0） = |00= ? |（+十一 +1=HH+|iH一）

5、體系處于三重態的概率為1rw（s = i）=|=5f-l兩者概率之和五、（20）分一個質量為，角頻率為口。的線諧振子，受到微擾= fix2的作用。（1）用微擾論求能量的一級修正；（2）求能量的嚴格解，并與（1）的結果比較。解 （1）無微擾線諧振子的哈密頓算符方。滿足其中能量的一級修正為瓦”=球地=啊弓=礎邛）利用公式可以得到（m引）-珅間（牌）=2(-1)$,+ (2 +1)&,“ + J( + l)( + 2)3g能量的一維級修正為3+i)=S 瞇能量近似到一級修正的結果為仆+?膈。f1 .P 11十1 2J)（2）為了求得嚴格解，改寫體系的哈密頓算符D P. 12 ， ，P.H = * +如。X-十時=*+