1、本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)(滿分:150分;時(shí)間:120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.下列說法正確的是()A.有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D.棱臺(tái)各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)2.圓木長2丈4尺,圓周為5尺,葛藤從圓木的底部開始向上生長,繞圓木兩周,剛好頂部與圓木平齊,問葛藤最少長多少尺?這個(gè)問題的答案為(注:1丈等于10尺)()A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺3.設(shè)l為直線,是兩個(gè)不同的平面,下

2、列命題中正確的是()A.若l,l,則B.若l,l,則C.若l,l,則D.若,l,則l4.設(shè),為三個(gè)不同的平面,m,n為兩條不同的直線,則下列命題中為假命題的是()A.當(dāng)時(shí),若,則B.當(dāng)m,n時(shí),若,則mnC.當(dāng)m,n時(shí),若,則m,n是異面直線D.當(dāng)mn,n時(shí),若m,則5.用半徑為R的半圓卷成一個(gè)無底的圓錐,則該圓錐的體積為()A.324R3B.38R3C.524R3D.58R36.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,ABB1C,AA1=BC=2AB,則異面直線A1B與B1C所成的角的余弦值為()A.255B.55C.155D.1057.已知四棱錐P-ABCD的體積是363,底面A

3、BCD是正方形,PAB是等邊三角形,平面PAB平面ABCD,則四棱錐P-ABCD外接球的體積為()A.2821B.99112C.6372D.10838.點(diǎn)D是RtABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn),AC=3,BC=4,將BCD沿著CD翻折,翻折后的三角形為BCD,且平面BDC平面ADC,則翻折后AB的最小值是()A.21B.13C.22D.7二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC底面ABCD,四邊形ABCD是直角梯形,ABCD,ABAD,AB=2AD=2C

4、D=2,F是AB的中點(diǎn),E是PB上的一點(diǎn),則下列說法正確的是()A.若PB=2PE,則EF平面PACB.若PB=2PE,則四棱錐P-ABCD的體積是三棱錐E-ABC體積的6倍C.三棱錐P-ADC中有且只有三個(gè)面是直角三角形D.平面BCP平面ACE10.已知菱形ABCD中,BAD=60,AC與BD相交于點(diǎn)E,將ABD沿BD折起,使頂點(diǎn)A至點(diǎn)M,在折起的過程中,下列結(jié)論正確的是()A.BDCMB.存在一個(gè)位置,使CDM為等邊三角形C.DM與BC不可能垂直D.直線DM與平面BCD所成的角的最大值為6011.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置,它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成,開始時(shí)細(xì)沙全部在

5、上部容器中,細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖,某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為8 cm,細(xì)沙全部在上部時(shí),其高度為圓錐高度的23(如圖1,細(xì)管長度忽略不計(jì)).假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙,且細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆(如圖2).以下結(jié)論正確的是() 圖1圖2A.沙漏中的細(xì)沙體積為1 02481 cm3B.沙漏的體積是128 cm3C.細(xì)沙全部漏入下部后,錐形沙堆的高度約為2.4 cmD.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1 985秒(3.14)12.設(shè)是給定的平面,A,B是不在內(nèi)的任意兩點(diǎn),則()A.在內(nèi)存在

6、直線與直線AB異面B.在內(nèi)存在直線與直線AB相交C.在內(nèi)存在直線與直線AB平行D.存在過直線AB的平面與垂直三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.若圓錐的表面積為27,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為.14.在如圖所示的四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,DAB=60,DMPA,PA=PD=AB=4,M為BC中點(diǎn),則點(diǎn)M到平面PBD的距離是.15.如圖,在長方形ABCD中,AB=2,AD=1,E是CD的中點(diǎn),沿AE將DAE向上折起,使D到D的位置,且平面AED平面ABCE,則直線AD與平面ABC所成角的正弦值為.16.如圖,

7、矩形ABCD中,AB=23,AD=2,Q為BC的中點(diǎn),點(diǎn)M,N分別在線段AB, CD上運(yùn)動(dòng)(其中M不與A,B重合,N不與C,D重合),且MNAD,沿MN將DMN折起,得到三棱錐D-MNQ,則三棱錐D-MNQ體積的最大值為;當(dāng)三棱錐D-MNQ體積最大時(shí),其外接球的表面積為.(本題第一空2分,第二空3分)四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)如圖,在多面體ABCDE中,平面ACD平面ABC,ACBC,BC=2AC=4,DA=DC=3,F是BC的中點(diǎn),EF平面ABC,EF=22.(1)證明:A、B、E、D四點(diǎn)共面;(2)求三棱錐的體積

8、.從B-ACD;A-BCE;B-CDE這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問題中并作答.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.18.(本小題滿分12分)如圖所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為直角梯形,ABCD,ABBC,平面ABCD平面ABB1A1,BAA1=60,AB=AA1=2BC=3CD=6.(1)求該四棱柱的體積;(2)在線段DB1上是否存在點(diǎn)M,使得CM平面DAA1D1?若存在,求DMDB1的值;若不存在,說明理由.19.(本小題滿分12分)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,E為AC的中點(diǎn).(1)求證:AB1平面BEC1;(2)若BB1=BA,求異面直

9、線AB1與EC1所成角的余弦值.20.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,BAD=60,側(cè)面SBC為等邊三角形,SD=2.(1)求證:SDBC;(2)求點(diǎn)B到平面SAD的距離.21.(本小題滿分12分)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都為2,且A1AB=A1AD=BAD=60.(1)證明:平面A1AC平面A1BD;(2)求直線BC1與平面A1AC所成的角的正弦值.22.(本小題滿分12分)如圖,在直角梯形ABCD中,ABDC,ABC=90,AB=2DC=2BC,E為AB的中點(diǎn),沿DE將ADE折起,使得點(diǎn)A到點(diǎn)P的位置,且PEEB,M為P

10、B的中點(diǎn),N是BC上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合).(1)證明:平面EMN平面PBC;(2)是否存在點(diǎn)N,使得二面角B-EN-M的余弦值為66?若存在,確定N點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.答案全解全析一、單項(xiàng)選擇題1.D棱柱是有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體,A選項(xiàng)不能保證四邊形的公共邊平行;B選項(xiàng)可以是兩個(gè)棱柱的組合體;C選項(xiàng)不能保證三角形有公共頂點(diǎn);棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的,因此各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn).故選D.2.C由題意可知,圓柱的側(cè)面展開圖是矩形,其中一條邊(即圓木的高)長為24尺,其鄰邊長為5尺,因此葛藤長242+(52)2=26

11、(尺).故選C.3.B若l,l,則平面,還可能相交,此時(shí)交線與l平行,故A錯(cuò)誤;若l,l,則根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行,可知B正確;若l,l,則存在直線m,使lm,則m,故此時(shí),故C錯(cuò)誤;若,l,則l與可能相交,可能平行,也可能線在面內(nèi),故D錯(cuò)誤.故選B.4.C對(duì)于A,根據(jù)平面與平面平行、垂直的性質(zhì),可得A正確;對(duì)于B,根據(jù)平面與平面平行、線面垂直的性質(zhì),可得B正確;對(duì)于C,m,n可能異面,也可能平行,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由mn,n可知m,又m,所以,故D正確.故選C.5.A設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則由題得2r=R,所以r=R2,則h=R2-R22=3R2,所以圓錐的體積V=13r2

12、h=324R3,故選A.6.DAA1平面ABC,AA1AB,BB1AA1,BB1AB,ABB1C,BB1B1C=B1,AB平面BB1C1C,三棱柱可以補(bǔ)成長方體ABCD-A1B1C1D1,連接CD1,B1D1,則A1BCD1,B1CD1是異面直線A1B與B1C所成的角(或其補(bǔ)角),令A(yù)B=1,則AA1=BC=2,在B1CD1中,B1D1=CD1=5,B1C=22,cosB1CD1=B1C2CD1=105.故選D.7.A由題意可設(shè)正方形ABCD的邊長為2x,在等邊三角形PAB中,過點(diǎn)P作PEAB,由于平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,PE平面PAB,PE平面ABCD.由PAB

13、是等邊三角形,可得PE=3x,VP-ABCD=132x2x3x=363,解得x=3,PE=33,底面正方形ABCD的外接圓的半徑為32.設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,O到底面ABCD的距離為h,則(32)2+h2=(33-h)2+622,得h=3,R=18+3=21.V球=43(21)3=84213=2821.故選A.8.B過點(diǎn)B作BECD于點(diǎn)E,連接AE,如圖所示.設(shè)BCD=BCD=02,則BE=4sin ,CE=4cos ,ACE=2-,在AEC中,由余弦定理得,AE2=AC2+CE2-2ACCEcos2-=9+16cos2-24cos sin .平面BCD平面ACD,平面BCD平面ACD

14、=CD,BECD,BE平面BCD,BE平面ACD.又AE平面ACD,BEAE.在RtAEB中,由勾股定理得,AB2=AE2+BE2=9+16cos2-24cos sin +16sin2=25-12sin 2,當(dāng)=4時(shí),AB取得最小值,為13.故選B.二、多項(xiàng)選擇題9.AD對(duì)于選項(xiàng)A,PB=2PE,E是PB的中點(diǎn).F是AB的中點(diǎn),EFPA,又PA平面PAC,EF平面PAC,EF平面PAC,故A正確.對(duì)于選項(xiàng)B,PB=2PE,VP-ABCD=2VE-ABCD.ABCD,ABAD,AB=2AD=2CD=2,梯形ABCD的面積為12(CD+AB)AD=12(1+2)1=32,SABC=12ABAD=1

15、221=1,VE-ABCD=32VE-ABC,VP-ABCD=3VE-ABC,故B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C,PC底面ABCD,PCAC,PCCD,PAC,PCD為直角三角形.又ABCD,ABAD,ADCD,ACD為直角三角形,PA2=PC2+AC2=PC2+AD2+CD2,PD2=CD2+PC2,則PA2=PD2+AD2,PAD是直角三角形,三棱錐P-ADC的四個(gè)面都是直角三角形,故C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D,PC底面ABCD,PCAC.在RtACD中,AC=AD2+CD2=2,在直角梯形ABCD中,BC=AD2+(AB-CD)2=2,AC2+BC2=AB2,ACBC.BCPC=C,AC平面BCP.又AC平面

16、ACE,平面BCP平面ACE,故D正確.故選AD.10.ABD對(duì)于A,在菱形ABCD中,易知ACBD.連接ME,則MEBD,CEBD,MECE=E,BD平面MCE.又MC平面MCE,MCBD,故A正確.對(duì)于B,由題意可知,AB=BC=CD=DA=BD,當(dāng)三棱錐M-BCD是正四面體時(shí),CDM為等邊三角形,故B正確.對(duì)于C,當(dāng)三棱錐M-BCD是正四面體時(shí),DM與BC垂直,故C不正確.對(duì)于D,當(dāng)平面BDM與平面BDC垂直時(shí),直線DM與平面BCD所成的角最大,為60,故D正確.11.ACDA選項(xiàng),由題圖可知,細(xì)沙在上部時(shí),細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比,細(xì)沙的底面半徑r=

17、234=83 cm,細(xì)沙的體積為13r223=13649163=1 02481 cm3.B選項(xiàng),沙漏的體積為21322h=213428=2563 cm3.C選項(xiàng),設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后的高度為h1,根據(jù)細(xì)沙體積不變可知1 02481=1322h1,1 02481=163h1,h12.4 cm.選項(xiàng)D,細(xì)沙的體積為1 02481 cm3,沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙,一個(gè)沙時(shí)為1 024810.021 0243.1481501 985(秒).故選ACD.12.ADA、B是不在內(nèi)的任意兩點(diǎn),則直線AB與平面相交或平行.若AB與平面相交,設(shè)交點(diǎn)為O,則內(nèi)不過交點(diǎn)O的直線與AB異面,但平面內(nèi)不存在

18、與AB平行的直線;若AB與平面平行,則在內(nèi)存在直線b與AB平行,而在內(nèi)與b相交的直線與AB異面,但內(nèi)不存在直線與AB相交,由上知A正確,B、C均錯(cuò);不論AB與平面平行還是相交,過A作平面的垂線,則這條垂線與直線AB所在平面與平面垂直(如果垂線與AB重合,則過AB的任意平面都與垂直),D正確.故選AD.三、填空題13.答案3解析設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長為l,側(cè)面展開圖是半圓,2r=l,l=2r,圓錐表面積S=r2+2r2=3r2=27,r=3.14.答案2155解析四邊形ABCD為菱形,且DAB=60,BCD是等邊三角形,又M是BC的中點(diǎn),DMBC,又BCAD,DMAD,又DMPA,PAAD=

19、A,DM平面PAD,又DM平面ABCD,平面PAD平面ABCD,取AD的中點(diǎn)H,連接PH、BH,PA=PD=AB=4,AB=BD=AD=4,PHAD,且PH=BH=23.由平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,得PH平面ABCD,故PHBH,PB=26,又PD=BD=4,SBDP=122642-(6)2=215.設(shè)M到平面PBD的距離為h,則VM-PBD=13215h=215h3.又VM-PBD=VP-BDM=131222323=4,215h3=4,解得h=2155,點(diǎn)M到平面PBD的距離為2155.15.答案22解析由題意,知AED為等腰直角三角形,平面AED平面ABCE,A

20、D在底面的射影在AE上,DAE為直線AD與平面ABC所成角,且DAE=45,其正弦值為22,故答案為22.16.答案1;253解析設(shè)MB=t(0t23),則AM=DN=23-t,沿MN將DMN折起,當(dāng)DN平面MNQ時(shí),三棱錐D-MNQ的體積最大,此時(shí)VD-MNQ=1312MNMB(23-t)=13t(23-t)=-13t2+233t,當(dāng)t=3時(shí),VD-MNQ取得最大值,最大值為1,此時(shí)MB=3,DN=3,MQ=NQ=2,MNQ為等邊三角形.當(dāng)三棱錐D-MNQ體積最大時(shí),三棱錐D-MNQ是正三棱柱的一部分,如圖所示,則三棱柱MNQ-EDF的外接球即是三棱錐D-MNQ的外接球,設(shè)點(diǎn)G,H分別是上、

21、下底面正三角形的中心,連接GH,則線段GH的中點(diǎn)即是三棱柱MNQ-EDF的外接球的球心,設(shè)為O,連接HQ,OQ,則OH=12DN=32,MNQ是邊長為2的等邊三角形,HQ=233,三棱柱MNQ-EDF的外接球的半徑R=OQ=OH2+HQ2=536,三棱錐D-MNQ的外接球的表面積為4R2=253.四、解答題17.解析(1)證明:如圖,取AC的中點(diǎn)M,連接DM、MF,DA=DC=3,AC=2,M為AC的中點(diǎn),DMAC,且DM=22.(2分)平面ACD平面ABC,平面ACD平面ABC=AC,DM平面ACD,DM平面ABC.又EF平面ABC,DMEF,且DM=EF=22,四邊形DEFM是平行四邊形,

22、DEMF,(4分)在ABC中,M、F是AC、BC的中點(diǎn),MFAB,DEAB,A、B、E、D四點(diǎn)共面.(5分)(2)若選,平面ACD平面ABC,平面ACD平面ABC=AC,ACBC,BC平面ABC,BC平面ACD.(7分)VB-ACD=13SACDBC.由(1)知,DMAC,且DM=22,SACD=12ACDM=12222=22.(9分)VB-ACD=13224=823.(10分)若選,由題圖可知,VA-BCE=VE-ABC.(6分)EF平面ABC,VE-ABC=13SABCEF.(8分)ACBC,SABC=12ACBC=1224=4,VE-ABC=13422=823,即VA-BCE=823.(

23、10分)若選,由(1)知DMEF,DM平面BCE,EF平面BCE,DM平面BCE,點(diǎn)D到平面BCE的距離等于點(diǎn)M到平面BCE的距離,則三棱錐D-BCE與三棱錐M-BCE的體積相等,(7分)ACBC,AC=2,BC=4,M為AC的中點(diǎn),SBCM=12CMBC=2,(8分)又EF平面ABC,且EF=22,VB-CDE=VD-BCE=VM-BCE=VE-BCM=13SBCMEF=423.(10分)18.解析(1)過A1作A1HAB于點(diǎn)H,(2分)由平面ABCD平面ABB1A1,平面ABCD平面ABB1A1=AB,A1HAB,A1H平面ABB1A1,知A1H平面ABCD,易得A1H=33,(4分)VA

24、BCD-A1B1C1D1=S梯形ABCDA1H=12(2+6)333=363.(6分)(2)存在.當(dāng)DMDB1=13時(shí),CM平面DAA1D1.(8分)連接DA1,在DB1上取點(diǎn)M,使DMDB1=13,在DA1上取點(diǎn)N,使DNDA1=13,連接MN,(10分)則MNA1B1,且MN=2,則MN=DC,又CDABA1B1,MNCD,四邊形CMND為平行四邊形,CMDN,又CM平面DAA1D1,DN平面DAA1D1,CM平面DAA1D1.(12分)19.解析(1)證明:如圖所示.連接B1C,交BC1于點(diǎn)O,易知O為B1C的中點(diǎn),連接EO,E為AC的中點(diǎn),AB1EO,(2分)又AB1平面BEC1,EO

25、平面BEC1,AB1平面BEC1.(4分)(2)由(1)知AB1EO,C1EO為異面直線AB1與EC1所成的角(或其補(bǔ)角).(5分)設(shè)BB1=BA=a,則C1B=2a,C1O=12C1B=22a,C1E=C1C2+CE2=52a,(7分)三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,易得BE平面AA1C1C,BEEC1.(9分)在RtBEC1中,EO=12C1B=22a,在OEC1中,cosC1EO=EC12+EO2-OC122EC1EO=104.異面直線AB1與EC1所成角的余弦值為104.(12分)20.解析(1)證明:設(shè)BC邊的中點(diǎn)是E,連接DE、SE、BD,(2分)SBC是等邊三角形,SEBC

26、,又易知DBC是等邊三角形,DEBC,(4分)DESE=E,BC平面SDE,又SD平面SDE,BCSD.(5分)(2)解法一:SBC是邊長為2的等邊三角形,SE=3,同理DE=3,取SD的中點(diǎn)P,連接PE,(6分)SE=DE=3,PESD,PE=SE2-PS2=2,E是BC的中點(diǎn),BDE=30,ADE=90,ADDE,SDBC,ADBC,ADSD,又DESD=D,AD平面SDE,(8分)又AD平面SAD,平面SAD平面SDE.ADBC,AD平面SAD,BC平面SAD,BC平面SAD,點(diǎn)B到平面SAD的距離等于點(diǎn)E到平面SAD的距離,(10分)PESD,平面SAD平面SDE=SD,PE平面SDE

27、,PE平面SAD,E到平面SAD的距離為PE=2,B到平面ASD的距離為2.(12分)解法二:SBC是邊長為2的等邊三角形,SE=3,同理DE=3,又SD=2,PE=2,SSDE=1222=2,(7分)又由(1)可知BC平面SDE,VS-BCD=13SSDEBC=1322=223=VS-ABD,(8分)易知三棱錐S-BCD是正四面體,S在底面BCD上的射影H為BCD各邊中線的交點(diǎn),且為BCD的重心.(9分)連接AC,易知H在AC上,由勾股定理,得SA=SH2+AH2,又CH=23OC=233(其中O為AC與BD的交點(diǎn)),SH=SC2-CH2=22-2332=263,AH=AC-CH=23-233=433,SA=22,SD2+AD2=SA2,SDAD,(1