1、課時質量評價(三十八)A組全考點鞏固練1在三棱錐ABCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2若n1，n2eq f(,3)，則二面角ABDC的大小為()Aeq f(,3) Beq f(2,3)Ceq f(,3)或eq f(2,3) Deq f(,6)或eq f(,3)C解析：因為二面角的范圍是0，且n1，n2eq f(,3)，所以二面角ABDC的大小為eq f(,3)或eq f(2,3)故選C2如圖，點A，B，C分別在空間直角坐標系Oxyz的三條坐標軸上，eq o(OC,sup7()(0,0,2)，平面ABC的法向量為n(2, 1, 2)，設二面角CABO的大小為，則cos 等于(

2、)Aeq f(4,3) Beq f(r(5),3) Ceq f(2,3) Deq f(2,3)C解析：由題意可知，平面ABO的一個法向量為eq o(OC,sup7()(0, 0, 2)，由圖可知，二面角CABO為銳角，由空間向量的結論可知，cos eq f(|o(OC,sup7()n|,|o(OC,sup7()|n|)eq f(|4|,23)eq f(2,3)3如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E為線段AB上一點，且AEeq f(1,3)AB，則DC1與平面D1EC所成角的正弦值為()Aeq f(3r(35),35) B eq f(2r(7),7) Ceq f(r

3、(3),3) Deq f(r(2),4)A解析：如圖，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，所以eq o(DC1,sup7()(0,3,1)，eq o(D1E,sup7()(1,1，1)，eq o(D1C,sup7()(0,3，1)設平面D1EC的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(no(D1E,sup7()0，,no(D1C,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(xyz0，,3yz0，)取y1，得n(2,1,3)所以

4、coseq o(DC1,sup7()，neq f(o(DC1,sup7()n,|o(DC1,sup7()|n|)eq f(3r(35),35)，所以DC1與平面D1EC所成的角的正弦值為eq f(3r(35),35)4在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()Aeq f(1,2) Beq f(2,3) Ceq f(r(3),3) Deq f(r(2),2)B解析：以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設棱長為1，則A1(0,0,1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，D(0,1,

5、0)，所以eq o(A1D,sup7()(0,1，1)，eq o(A1E,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，設平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(n1o(A1D,sup7()0，,n1o(A1E,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(yz0，,1f(1,2)z0，)所以eq blcrc (avs4alco1(y2，,z2，)所以n1(1,2,2)又平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，所以cosn1，n2eq f(2,31)eq f(2,3)即平面A1ED與平面ABCD所

6、成的銳二面角的余弦值為eq f(2,3)5在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，二面角BAA1C1的大小為60，點B到平面ACC1A1的距離為eq r(3)，點C到平面ABB1A1的距離為2eq r(3)，則直線BC1與直線AB1所成角的正切值為()Aeq r(7) Beq r(6)Ceq r(5) D2A解析：由題意可知，BAC60，點B到平面ACC1A1的距離為eq r(3)，點C到平面ABB1A1的距離為2eq r(3)，所以在三角形ABC中，AB2，AC4，BC2eq r(3)，ABC90，則eq o(AB1,sup7()eq o(BC1,sup7()(eq o(BB1,sup7(

7、)eq o(BA,sup7()(eq o(BB1,sup7()eq o(BC1,sup7()4，|eq o(AB1,sup7()|2eq r(2)，|eq o(BC1,sup7()|4，coseq o(AB1,sup7()，eq o(BC1,sup7()eq f(o(AB1,sup7()o(BC1,sup7(),|o(AB1,sup7()|o(BC1,sup7()|)eq f(r(2),4)，故taneq o(AB1,sup7()，eq o(BC1,sup7()eq r(7)6(多選題)設三棱錐VABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱VA上的點(不含端點)記直線PB與直線AC所成的角為，

8、直線PB與平面ABC所成的角為，二面角PACB的平面角為，則，大小關系正確的是()A BC DAC解析：過點B作直線lAC，過點P作底面ABC的垂線PD，D為垂足，過點D作DFAB于點F，作DEl于點E，連接AD，BD，PF，PE由題意可知，二面角PACB的大小與二面角PABC的大小相等，結合空間角的定義知PBE，PBD，PFD，在RtPEB與RtPDB中，由PEPD得sin sin ，所以(，均為銳角)故A正確，B錯誤；在RtPDB與RtPDF中，由PBPF得sin sin ，所以(，均為銳角)故C正確；由于不存在PBPF的可能，故D錯誤7如圖，在正方形ABCD中，EFAB若沿EF將正方形折

9、成一個二面角后，AEEDAD11eq r(2)，則AF與CE所成角的余弦值為_eq f(4,5)解析：因為AEEDAD11eq r(2)，所以AEED，即AE，DE，EF兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標系設ABEFCD2，則E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)，所以eq o(AF,sup7()(1,2,0)，eq o(EC,sup7()(0,2,1)，所以coseq o(AF,sup7()，eq o(EC,sup7()eq f(o(AF,sup7()o(EC,sup7(),|o(AF,sup7()|o(EC,sup7()|)eq f(4,r(5)r(5

10、)eq f(4,5)，所以AF與CE所成角的余弦值為eq f(4,5)8正四棱錐PABCD，底面四邊形ABCD是邊長為2的正方形，PAeq r(5)，其內切球為球G，平面過AD與棱PB，PC分別交于點M，N，且與平面ABCD所成二面角為30，則平面截球G所得的圖形的面積為_eq f(,3)解：如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，D(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)因為PAPDPBPCeq r(5)，AOeq f(1,2)ACeq r(2)所以POeq r(PA2AO2)eq r(3)，所以P(1,1，eq r(3)，O(1,1,0)，則內切球的球心G在PO上，設G(1,

11、1，h)，內切球的半徑為R，SPADSPCDSPBCSPABeq f(1,2)2eq r(r(5)212)2由等體積法可得eq f(1,3)R(222222)eq f(1,3)22eq r(3)，解得Req f(r(3),3)，則Geq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(r(3),3)因為平面過AD，設平面的法向量為n(0，1，a)，平面ABCD的法向量為m(0,0,1)，設平面與平面ABCD所成二面角為30，則cos 30eq f(|nm|,|n|m|)eq f(r(3),2)，即eq f(|a|,r(a21)eq f(r(3),2)，解得aeq r(3)或aeq r(3)(舍

12、去)，所以n(0，1，eq r(3)，則圓心G到平面的距離deq f(|o(AG,sup7()n|,|n|)eq f(1(1)eq r(3)eq f(r(3),3),2)0，所以截球G所得圖形的面積為R2eq f(,3)9(2021全國甲卷)已知直三棱柱ABC A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，ABBC2，E，F分別為AC和CC1的中點，D為棱A1B1上的點，BFA1B1(1)證明：BFDE；(2)當B1D為何值時，平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小？(1)證明：因為側面AA1B1B為正方形，所以A1B1BB1又BFA1B1，而BFBB1B，BF平面BB1C1C，BB

13、1平面BB1C1C，所以A1B1平面BB1C1C又ABC A1B1C1是直三棱柱，BCAB，所以平面BB1C1C為正方形取BC中點為G，連接B1G，EG因為F為CC1的中點，所以BFB1G又BFA1B1，且EGA1B1，所以BFEG又B1GEGG，B1G平面EGB1D，EG平面EGB1D，所以BF平面EGB1D又DE平面EGB1D，所以BFDE(2)解：因為側面AA1B1B是正方形，所以ABA1B1，由(1)知，A1B1平面BB1C1C，所以AB平面BB1C1C又BC平面BB1C1C，所以ABBC設B1Dx，以B為原點，BA，BC，BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐

14、標系，則E(1,1,0)，F(0,2,1)，D(x,0,2)，所以eq o(EF,sup7()(1,1,1)，eq o(FD,sup7()(x，2,1)易知，平面BB1C1C的一個法向量可為n1(1,0,0)設平面DFE的法向量n2(x1，y1，z1)，則eq blcrc (avs4alco1(n2o(EF,sup7()0，,n2o(FD,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(x1y1z10，,xx12y1z10.)不妨取z11，則x1eq f(3,2x)，y1eq f(x1,2x)，即n2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2x)，f(x1,2x)，1)設

15、n1，n2，則cos eq blc|rc|(avs4alco1(f(f(3,2x),r(blc(rc)(avs4alco1(f(3,2x)eq sUP12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(x1,2x)eq sUP12(2)1)eq f(1,r(1f(blc(rc)(avs4alco1(f(3,2x)1)eq sUP12(2),blc(rc)(avs4alco1(f(3,2x)eq sUP12(2)f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(3,2x)eq sUP12(2)令eq f(3,2x)t，則cos eq f(1,r(1f(t1)2,t2)f(1,t2)eq f(1,r(

16、f(2,t2)f(2,t)2)eq f(1,r(2blc(rc)(avs4alco1(f(1,t)f(1,2)eq sUP12(2)f(3,2)當eq f(1,t)eq f(1,2)時，(cos )maxeq r(f(2,3)eq f(r(6),3)，此時(sin )mineq f(r(3),3)故當B1Deq f(1,2)時，平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小B組新高考培優練10如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB2AD2CD4，PC2a，E是PB的中點(1)求證：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦

17、值為eq f(r(6),3)，求a的值；(3)在(2)的條件下求直線PA與平面EAC所成角的正弦值(1)證明：因為PC平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC因為AB4，ADCD2，所以AC2eq r(2)，取AB的中點為N，則可得CNAD，則CNAB，所以BCeq r(CN2NB2)2eq r(2)，所以AC2BC2AB2，所以ACBC又BCPCC，所以AC平面PBC因為AC平面EAC，所以平面EAC平面PBC(2)解：以點C為原點，eq o(CN,sup7()，eq o(CD,sup7()，eq o(CP,sup7()分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)

18、，A(2,2,0)，B(2，2,0)，設P(0,0,2a)(a0)，則E(1，1，a)，eq o(CA,sup7()(2,2,0)，eq o(CP,sup7()(0,0,2a)，eq o(CE,sup7()(1，1，a)設m(x0，y0，z0)為平面PAC的法向量，則meq o(CA,sup7()meq o(CP,sup7()0，即eq blcrc (avs4alco1(2x02y00，,2az00，)取m(1，1,0)設n(x，y，z)為平面EAC的法向量，則neq o(CA,sup7()neq o(CE,sup7()0，即eq blcrc (avs4alco1(xy0，,xyaz0，)取x

19、a，ya，z2，則n(a，a，2)依題意|cosm，n|eq f(|mn|,|m|n|)eq f(a,r(a22)eq f(r(6),3)，則a2(3)解：由(2)可得n(2，2，2)，eq o(PA,sup7()(2,2，4)設直線PA與平面EAC所成角為，則sin |eq o(PA,sup7()，n|eq f(|o(PA,sup7()n|,|o(PA,sup7()|n|)eq f(r(2),3)，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為eq f(r(2),3)11如圖所示，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB3，AC2，點E是PD的中點(1

20、)求證：PB平面AEC(2)在線段PB上(不含端點)是否存在一點M，使得二面角MACE的余弦值為eq f(r(10),10)？若存在，確定M的位置；若不存在，請說明理由(1)證明：連接BD交AC于點F，連接EF在PBD中，由已知得EFPB又EF平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC(2)解：由題意知，AC，AB，AP兩兩垂直，所以以A為坐標原點，AC，AB，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Axyz則C(2,0,0)，D(2，3,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)，f(3,2)設M(x0，y0，z0)

21、，eq o(PM,sup7() eq o(PB,sup7()(01)，則(x0，y0，z03)(0,3，3)，得M(0,3，33)設平面AEC的法向量為n1(x1，y1，z1)，由n1eq o(AE,sup7()0，n1eq o(AC,sup7()0，eq o(AE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)，f(3,2)，eq o(AC,sup7()(2,0,0)，得eq blcrc (avs4alco1(x1f(3,2)y1f(3,2)z10，,2x10，)取y11，得n1(0,1,1)設平面MAC的法向量為n2(x2，y2，z2)由n2eq o(AM,sup7

22、()0，n2eq o(AC,sup7()0，eq o(AM,sup7()(0,3，33)，eq o(AC,sup7()(2,0,0)，得eq blcrc (avs4alco1(3y2(33)z20，,2x20，)取z21，得n2eq blc(rc)(avs4alco1(0，1f(1,)，1)設二面角MACE的大小為因為二面角MACE的余弦值為eq f(r(10),10)，所以為銳角，則cos eq f(|n1n2|,|n1|n2|)eq f(2eq f(1,),eq r(2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,)eq sUP12(2)1)eq f(r(10),10)，化簡得

23、92920，解得eq f(1,3)或eq f(2,3)易知當eq f(2,3)時，為鈍角，所以eq f(1,3)，所以eq o(PM,sup7()eq f(1,3)eq o(PB,sup7()故存在點M，當eq o(PM,sup7()eq f(1,3)eq o(PB,sup7()時，二面角MACE的余弦值為eq f(r(10),10)12如圖，已知ABC是以AC為底邊的等腰三角形，將ABC繞AB轉動到PAB位置，使得平面PAB平面ABC，連接PC，E，F分別是PA，CA的中點(1)證明：EFAB；(2)在SABC3eq r(3)，點P到平面ABC的距離為3，直線PB與平面ABC所成的角為60這

24、三個條件中選擇兩個作為已知條件，求二面角EBFA的余弦值(1)證明：如圖(1)，過點E作EDAB，垂足為D，連接DF由題意知，PABCAB，易證EDAFDA，所以EDAFDAeq f(,2)，即FDAB因為EDAB，EDFDD，所以AB平面EFD又因為EF平面EFD，所以EFAB圖(1)(2)解：過點P作POAB，垂足為O，連接CO，則COAB因為平面PAB平面ABC，所以PO平面ABC以O為坐標原點，以OA，OC，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖(2)所示的空間直角坐標系圖(2)設ABa，ABC，由條件得SABCeq f(1,2)a2sin 3eq r(3)，由條件得POasin

25、3，由條件得PBO60，即120若選條件，可求得a2eq r(3)，B(eq r(3)，0,0)，A(3eq r(3)，0,0)，P(0,0,3)，C(0,3,0)因為Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),2)，0，f(3,2)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),2)，f(3,2)，0)，所以eq o(BF,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(3,2)，0)，eq o(BE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，0，f(3,2)設平面BEF的一個法向量m(x，y，z)

26、，由eq blcrc (avs4alco1(mo(BF,sup7()0，,mo(BE,sup7()0，)得eq blcrc (avs4alco1(f(r(3),2)xf(3,2)y0，,f(r(3),2)xf(3,2)z0，)取m(eq r(3)，1,1)， 又易知平面BFA的一個法向量n(0,0,1)，故cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(1,r(5)eq f(r(5),5)，所以二面角EBFA的余弦值為eq f(r(5),5)若選或均可求得a2eq r(3)，下同13請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答ABBC，FC與平面ABCD所成的角為eq f(,6)，

27、ABCeq f(,3)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，且PAAB2，PD的中點為F(1)在線面AB上是否存在一點G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由(2)若_，求二面角FACD的余弦值解：(1)在線段AB上存在點G，使得AF平面PCG，且G為AB的中點證明如下：設PC的中點為H，連接FH，GH，如圖易證四邊形AGHF為平行四邊形，則AFGH又GH平面PCG，AF平面PGC，所以AF平面PGC(2)選擇因為PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD由題意可知，AB，AD，AP兩兩垂直，故以A為坐標原點，eq o(AB

28、,sup7()，eq o(AD,sup7()，eq o(AP,sup7()的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系因為PAAB2，所以A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，F(0，1,1)，所以eq o(AF,sup7()(0,1,1)，eq o(CF,sup7()(2，1,1)設平面FAC的法向量為u(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(uo(AF,sup7()0，,uo(CF,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(yz0，,2xyz0.)令y1，則x1，z1，則u(1，1，1)易知平面ACD的一個法向量為v(0,0,2)，設二面角FACD的平面角為，則cos eq f(|uv|,|u|v|)eq f(r(3),3)，即二面角FACD的余弦值為eq f(r(3),3)選擇設BC中點E，連接AE，取AD的中點M，連接FM，CM，則FMPA，且FM1因為PA平面ABCD，所以FM平面ABCD，FC與平面ABCD所成的角為FCM，故FCMeq f(,6)在直角三角形FCM中，CMeq r(3)又因為CMAE，所以AE2BE2AB2，所以BCAE，所以AE，AD，AP