1、高考數學壓軸題的解題思路和方法 周接夏 汪貴宏2015年11月29日關于“壓軸題”的幾點說明：1.一題壓的軸變為多題壓軸；2.解析幾何題重點在于幾何問題代數化的轉化的訓練；3.函數導數題重點體現創新能力的考查，有一定難度；4.和數列的結合往往增大了壓軸題的難度;5.我省與全國卷相比，壓軸題比較穩，體現在考查知識點、方法上穩中有進。2/66一、總體認識（研究考綱教材考題）二、規律探索（總結解題思路方法）三、應對策略（教學輔導實踐反思）壓 軸 題 函數、導數、方程、不等式綜合題3/66一、總體認識（一）考綱的角度（二）教材的角度（三）試題的角度4/66（一）考綱的角度（二）函數概念與基本初等函數5

2、函數與方程 結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數5/66（十三）不等式2一元二次不等式（1）會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型（2）通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系（3）會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖6/66（一）考綱的角度（文）（十六）導數及其應用（4）能利用以下給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數.（理）（十七）導數及其應用（4）能利用以下給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，并了解復合函數求導法則，能求簡單

3、復合函數（僅限于形如 復合函數）的導數.7/66導數及其應用（文理）（5）了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數不超過三次）. （6）了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值（其中多項式函數不超過三次）；會求閉區間上函數的最大值、最小值（其中多項式函數不超過三次）（7）會用導數解決實際問題.（一）考綱的角度8/66（二）教材的角度 從高等數學的角度，導數概念的起點是極限，從數列的極限函數的極限導數。新課標教材（北師大版）對于導數的引入做了一定的簡化，從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數，旨在強調導

4、數的幾何意義，從而順利的過渡到導數與單調性之間的關系，突出了導數在研究函數單調性、最值等問題中的工具性作用。9/66 從函數的角度，四個二次（二次函數,二次方程及其根的分布、二次不等式、二次三項式）它們在高考中占有重要的地位,二次函數是高中新課程中一個最基本的函數，其有關性質仍是我們研究函數性質最基本、也是最主要的簡單基本初等函數，而二次函數的定義域及值域的考查也以靈活多變的方式出現、三次函數、指數函數、對數函數、對勾函數、分式函數、分段函數在考題中多有出現,應予特別關注.10/661.設問特點；2.交叉知識點；3.函數模型；4.數學思想方法；（三）試題的角度11/66近5年來陜西卷壓軸題試題

5、特點年份設問特點涉及知識點函數模型數學思想方法2011年單調區間最值恒成立單調性最值不等式含lnx的分數函數分類討論2012年零點存在性參數范圍數列單調性零點存在定理數列放縮不等式多項式函數分類討論化歸轉化12/66年份設問特點涉及知識點函數模型數學思想方法2013年參數值公共點個數比較大小導數幾何意義最值 型函數分類討論2014年函數表達式參數范圍比較大小最值，單調性定積分數列含lnx的函數分類討論數學歸納法2015年函數零點比較大小零點存在定理數列放縮多項式函數分類討論化歸轉化近5年來陜西卷壓軸題試題特點近5年來新課標全國卷壓軸題試題特點年份設問特點涉及知識點函數模型數學思想方法2011年

6、知切線求值恒成立求參數范圍導數幾何意義不等式證明含lnx的分數函數分類討論構造函數2012年解析式單調區間參數最大值單調區間不等式含 型的函數分類討論構造函數14/66年份設問特點涉及知識點函數模型數學思想方法2013年知切線求值證明不等式導數幾何意義最值單調性 型+二次函數分類討論構造函數2014年知切線求值證明不等式導數幾何意義最值單調性 +lnx型函數分類討論構造函數分離參數2015年知切線求值 零點個數零點存在定理切線單調性lnx型+多項式函數分類討論數形結合近5年來新課標全國卷壓軸題試題特點15/66年份設問特點涉及知識點函數模型數學思想方法2013年求單調區間證明不等式零點存在定理

7、切線單調性 +lnx型函數分類討論構造函數2014年求單調區間參數最大值ln2近似值基本不等式最值單調性 型函數分類討論構造函數分離參數2015年證明單調性恒成立求參數范圍最值單調性 型+二次函數分類討論構造函數近3年來新課標全國卷壓軸題試題特點16/66熱點1：利用導數的幾何意義處理曲線的切線問題；熱點2：利用導數研究三次函數,分式函數,指對 函數的性質問題；熱點3：利用導數研究函數的單調性、單調區間、 以及已知函數的單調性，確定函數中的 參變量變化范圍等問題；熱點4：利用導數處理含參數的恒成立不等式問題； 熱點5：利用導數解決實際問題中的最優化問題.試題熱點：17/66 通過研究2010至

8、2015年新課標全國卷、陜西卷的15道壓軸題，不難發現，這類題主要遵循“化簡構造函數求導判斷單調性證明恒不等關系”這樣的解題流程。但難點在于：第一，構造函數時并不存在通用的構造方法，如果構造不當，會出現很大的求導計算量，甚至無法繼續解答；第二，即使構造函數正確，在接下來的分類討論中，學生也很難理清分類討論的依據。18/66二、規律探索（總結解題思路方法）（一）重視兩大類解題方法 構造函數 分離參數（二）重視數形結合的新趨向 （三）重視三次函數的研究（文科） 19/661.構造函數 函數是高中數學課程學習的核心內容，能夠在基本初等函數的基礎上構造新的函數解決相應問題，是考生再創造能力和化歸轉化能

9、力的體現，也能體現出了考生對函數基本思想的準確理解。因此，構造函數在壓軸題的考查中幾乎年年都出現。 事實上，近五年的新課標全國卷壓軸題均可用構造函數的方法來解答。20/66 如何構造函數 ？ 構造函數的目的是為了通過研究構造函數的單調性得到最值，從而證明不等式。 而通過導數研究單調性首先要判斷構造函數的導函數的正負，因此，構造函數的關鍵在于其導函數的零點是否易求或易估21/66（2）構造函數后分類討論的依據是什么？1、導函數零點的存在性2、導函數零點大小的不確定性3、函數最值問題取得的可能性4、導函數零點分布的不確定性實質：四個二次的回歸22/6623/66作差法構造函數 24/66作差法構造

10、函數 兩次利用作差法構造函數 29/66分離指、對函數構造函數 放縮、控元構造函數 作差法構造函數是歷年高考壓軸題中最常用的方法，在陜西近5年的理科壓軸題均是利用作差法構造函數。 另外，由于陜西省高考數學壓軸題是三個設問，所以涉及的分類討論較簡單，無需分離參數； 34/66 近6年新課標全國、卷的9道壓軸題均可用構造函數的方法求得最值.但如2013、2011、2010這三年新課標卷導數題即使構造函數正確，也存在分類討論相當復雜的情形，考生難以繼續作答. 可以利用分離參數法簡化構造函數，使得問題簡單求解.2.分離參數37/66洛必達法則3.數形結合 導數除了其正負決定增減之外，還可以結合極值得到

11、函數的大致圖像，意味著導數可以和圖像問題結合，即是壓軸題中較多零點個數問題的本質. 41/66結合草圖看零點個數 對近6年新課標全國卷的研究，我們可以發現，若要用常規思維方法解決這類問題，有一定的難度，但若能夠滲透數形結合的思想方法，則很多同學都容易接受因此我們在日常的教學中，應引導學生經歷用數形結合思想解決數學問題的過程，積累這方面的經驗，培養數形結合的能力47/66 在高考中，尤其是文科數學中對導數的考查，三次函數是一個不錯的載體。在文科數學課本選修1-1中，也大量的以三次函數為載體對導數的應用進行訓練，大小共出現了23題次。 新課標全國卷中，2013年文科第11題與理科第10題為同一題目

12、，其中涉及到一個冷門：三次函數的對稱中心；2014年文科第2l題純粹考查三次函數。4.三次函數（文科） 只要深刻掌握三次函數的圖象特征和性質，就能找到明確的解題思路。 一輪復習及模考中暴露的問題沒養成解答函數題定義域先行的良好習慣;對“恒成立”問題與“能成立”問題的識別 與練習不夠;有關函數應用，對“對勾函數”f(x)=x+a/x (a0)和雙曲函數f(x)=x-1/x理解不到位；文科三次函數練習不到位，理科ex ,ln x型函數 的求導應用有待加強；51/66三、應對策略（教學輔導實踐反思）1.準確定位，研究學生，提高針對性；2.重視知識的歸納梳理策略； 3.重視例題選擇和解法示范策略； 4

13、.重視解題后的反思策略 5.數學尖子生的培優方法。1.準確定位，研究學生，提高針對性高考的考查要求與學生的實際水平 依據學生水平以及內容價值，對所授內容進行合理定位 教學進度與教學難度 全局意識，統籌安排整學年的復習，犧牲“難度”也不要犧牲“進度”，保證完成既定的復習進程教師的“講”與學生的“學” 充分了解學生的學習情況，課堂的“練”，要練在要害處；課堂的“講”，要講在學生的需求點上，縮小問題的切口，一節課著力解決一個或若干個問題 數學復習時，不應只是把所學過的數學知識簡單地重復，而應該把基礎知識從整體上按數學的邏輯結構、知識之間的內在聯系，進行整理，還要把平時所學的各個單元的局部的分散的零碎

14、知識，解題的思想方法，解題的規律進行數學聯結，從而使學生能從整體上，系統上，網絡上把握知識、思想和方法。2.重視知識的歸納梳理策略 對基礎知識、基本技能的系統復習不是對數學知識的簡單重復，而是從規律上，從內在聯系上，從外部聯系上形成一個網絡在復習中，要精化每一個概念，夯實每一點基礎知識，掌握好每一個思想方法。 56/663.重視例題選擇和解法示范策略 在復習時，例題的選擇很重要。對例題的選擇標準要注意典型性、示范性、綜合性、靈活性和探究性，每一個題目都應該是一類題的代表，要做到由題及類，觸類旁通，“量不在多，典型就行，題不在難，反思就靈” 高考試題是經過命題組反復推敲，不斷打磨命制的，因此，使

15、用好歷年高考試題是最好的選擇。例如，含參數的二次函數的最值問題在復習題及高考試題中屢屢出現，但是，學生每次遇到時還是把它看作是生題，原因就在于這種例題肯定講，但是精講不夠，可能只是就題論題，另一方面就是再遇到這類問題時，沒有注意化歸。 讓學生每時每刻有數學問題在思考！4.重視解題后的反思策略 在高考復習時，關鍵的問題是解決盲目解題的問題，常常遇到這種情形，學生每天都做了許多題，但是過一段時間，前面做過的題目全忘了，無效勞動太多。 如何解決呢？關鍵的一點就在于反思， “功夫不是下在多解題上，而是用在解題后的反思上”，要讓學生懂得“好題第三遍才能真正明白”的道理，那么，反思什么呢？59/66 （1）對審題的反思（2）對解題思維過程的反思（3）對解法多樣化的反思（4）對題目本身及解法本身的規律的反思 通過反思,做