1、新數(shù)學(xué)推理與證明高考知識點一、選擇題. 2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯@三幅十字繡分別命名為鴻福齊天”、國富民強”、興國之路”，為了弄清 國富民強”這一作品是誰制作的，村支書對三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：小明說：鴻福齊天”是我制作的；小紅說：國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則鴻福齊天”的制作者是（）A.小明B.小紅C.小金D.小金或小明【答案】B【解析】【分析】將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證【詳解】依題意，

2、三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊大小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則 4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.關(guān)于甲、乙、丙三人參加高考的結(jié)果有下列三個正確的判斷： 若甲未被錄取，則乙、丙都被錄取； 乙與丙中必有一個未被錄取； 或者甲未被錄取，或者乙被錄取 .則三人中被錄取的是（）A.甲B.丙C.甲與丙D.甲與乙【答案】D【解析】【分析】分別就三人各自被錄取進(jìn)行分類討

3、論，分析 能否同時成立，進(jìn)而可得出結(jié)論 .【詳解】若甲被錄取，對于命題 ，其逆否命題成立，即若乙、丙未全被錄取，則甲被錄取，命題 成立，則乙、丙有且只有一人錄取，命題 成立，則乙被錄取，三個命題能同時成立；若乙被錄取，命題 成立，則丙未被錄取，命題 成立，命題 成立，其逆否命題成立，即若乙、丙未全被錄取，則甲被錄取，三個命題能同時成立；若丙被錄取，命題 成立，則乙未被錄取，命題 成立，則甲未被錄取，那么命題 就不能成立，三個命題不能同時成立.綜上所述，甲與乙被錄取.故選：D.【點睛】本題考查合情推理，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題 .觀察下列各式：a+b=1.a2+b2=3, a3+b3=

4、4 , a4+b4=7,a5+b5=11, ，貝U a10+b10=()A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】【分析】【詳解】由題觀察可發(fā)現(xiàn)，4 7,4 7 11,7 11 18,11 18 29,18 29 47,29 47 76,47 76 123,1010即 a b 123,故選C.考點：觀察和歸納推理能力.用 算籌”表示數(shù)是我國古代計數(shù)方法之一，計數(shù)形式有縱式和橫式兩種，如圖 1所示.金元時期的數(shù)學(xué)家李冶在測圓海鏡中記載：用天元術(shù)”列方程，就是用算籌來表示方程中各項的系數(shù).所謂 矢元術(shù)”，即是一種用數(shù)學(xué)符號列方程的方法，立天元一為某某”，意即設(shè)x為某某”如圖2所

5、示的天元式表示方程 aoxn a1xn 1an 1x an 0,其中a。，a1，am，烝表示方程各項的系數(shù)，均為籌算數(shù)碼，在常數(shù)項旁邊記一太字或在一次項旁邊記一 先字，太”或 光”向上每層減少一次哥，向下每層增加一次哥.縱式；I II Ilf Illi橫式1一u三三12 34mu t tt ur nr=JL J- =567 89圖1圖2圄3試根據(jù)上述數(shù)學(xué)史料，判斷圖3天元式表示的方程是()A. x2 286x 1743 0B. x4 27x2 84x 163 0C 1743x2 286x 1 0D. 163x4 84x3 27x 1 0【答案】C【解析】【分析】根據(jù) 算籌”法表示數(shù)可得題圖3中

6、從上至下三個數(shù)字分別為1, 286, 1743,結(jié)合 天元術(shù)”列方程的特征即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得，題圖3中從上至下三個數(shù)字分別為1, 286, 1743,由元”向上每層減少一次哥，向下每層增加一次哥.可得天元式表示的方程為1743x2 286 x 1 0.故選：C.【點睛】本題主要是以數(shù)學(xué)文化為背景，考查數(shù)學(xué)閱讀及理解能力，充分理解算籌”法表示數(shù)和 天元術(shù)”列方程的概念是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.n 1.已知數(shù)列 an滿足an 3 2 , n N ,現(xiàn)將該數(shù)列按下圖規(guī)律排成蛇形數(shù)陣(第 i 行有i個數(shù)，i N*),從左至右第i行第j個數(shù)記為ai,j (i,j N*且j i),則a 21,

7、20()口 3門3 口口號 R號filS *14Q12日11ri -k 4 1 * 4 vil* 4 niit 4 14 d it* *$* +209210211212A. 3 2B. 3 2C. 3 2D. 3 2【答案】C【解析】【分析】由題可觀察得到第i行有i個數(shù)，當(dāng)i為奇數(shù)時，該行由右至左i逐漸增大,a 21m表示第21行 第20個數(shù)，即為第21行倒數(shù)第2個數(shù)則先求得前20行的數(shù)的個數(shù)，再加2即為a 21,20對應(yīng) 的數(shù)列的項，即可求解.【詳解】由題可知，第i行有i個數(shù)，當(dāng)i為奇數(shù)時，該行由右至左i逐漸增大，a 21,20表示第21行第20個數(shù),即為第21行倒數(shù)第2個數(shù)，i、, 1+2

8、020人,r則刖20行共有 =210個數(shù)，即第21行倒數(shù)第1個數(shù)為a211,2所以a 21,20a2123 2211,故選：C【點睛】本題考查合情推理，考查歸納總結(jié)能力考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用 , 一 ， 一，、一一 x y6.在平面直角坐標(biāo)系中，萬程一 -a b1表示在x軸、y軸上的截距分別為 a, b的直線，類比到空間直角坐標(biāo)系中，在x軸、y軸、z軸上的截距分別為 a,b,c abc0的平面方程為（）x y zxyzA, - - - 1B. 一 一 一 1abcab bc caxy yz zxC. 1d. ax by cz 1ab bc ca【答案】A【解析】【分析】平面上直線方程的截距

9、式推廣到空間中的平面方程的截距式是- 1.abca,b,c ,則該平面的方程為:由類比推理得：若平面在 x軸、y軸、z軸上的截距分別為x y z, 1 ,故選 A.a b c【點睛】平面中的定理、公式等類比推理到空間中時，平面中的直線變?yōu)榭臻g中的直線或平面，平 面中的面積變?yōu)榭臻g中的體積 .類比推理得到的結(jié)論不一定正確，必要時要對得到的結(jié)論證 明.如本題中，可令x 0,y 0,看z是否為c.甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是農(nóng)民，一人是知識分子.已知：丙的年齡比知 識分子大；甲的年齡和農(nóng)民不同；農(nóng)民的年齡比乙小.根據(jù)以上情況，下列判斷正確的是（）A.甲是工人，乙是知識分子，丙是農(nóng)民.甲是知識

10、分子，乙是農(nóng)民，丙是工人C.甲是知識分子，乙是工人，丙是農(nóng)民D.甲是農(nóng)民，乙是知識分子，丙是工人【答案】C【解析】甲的年齡和農(nóng)民不同”和農(nóng)民的年齡比乙小”可以推得丙是農(nóng)民，所以丙的年齡比乙小;再由 丙的年齡比知識分子大”，可知甲是知識分子，故乙是工人，故選 C.8.九章算術(shù) 少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列：列出 祭步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù) 進(jìn)行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之?dāng)?shù)，逐個照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：n 2及n 3時，如圖：記Sn為每個序列中最后一列數(shù)之和，則S6為（）D.

11、 1764A. 147B. 294C. 882【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計算，由此求得S6的值.依題意列表如下:上列乘6上列乘5上列乘2163060123153013210201432152151565612161510所以0 60 30 20 15 12 10 147.故選：A【點睛】本小題主要考查合情推理，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人參加數(shù)學(xué)競賽，其中只有一位獲獎.有人走訪了四人，甲說：乙、丁都未獲獎”，乙說： 是甲或丙獲獎，丙說：是甲獲獎”，丁說： 是乙獲獎”，四人 TOC o 1-5 h z 所說話中只有一位是真話，則獲獎的人是（）A.

12、甲B.乙C.丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意分類討論甲乙丙丁獲獎的情況，然后考查說真話的人的個數(shù)即可確定獲獎的人.【詳解】結(jié)合題意分類討論：若甲獲獎，則說真話的人為：甲乙丙，說假話的人為：丁，不合題意；若乙獲獎，則說真話的人為：丁，說假話的人為：甲乙丙，符合題意；若丙獲獎，則說真話的人為：甲乙，說假話的人為：丙丁，不合題意；若丁獲獎，則說假話的人為：甲乙丙丁，不合題意；綜上可得，獲獎人為乙.故選：B.【點睛】本題主要考查數(shù)學(xué)推理的方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.數(shù)學(xué)家托勒密從公元127年到151年在亞歷山大城從事天文觀測，在編制三角函數(shù)表過程中發(fā)現(xiàn)了很多重要的定理和結(jié)論，如圖

13、便是托勒密推導(dǎo)倍角公式Cos2a 1 2sin2a”所用的幾何圖形，已知點 B,C在以線段AC為直徑的圓上，D為弧BC的中點，點E在線段AC上且AE AB,點F為EC的中點.設(shè)AC 2r, DAC a,那么下列結(jié)論：D DC 2rcosa,DAB 2rcos2a,3) FC r 1 cos2a_ 2 DC r 2r AB其中正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】在Rt ADC中，可判斷，Rt ABC中，可判斷，利用 ADB與 ADE全等及 ADC與 DFC相似即可判斷 .【詳解】在Rt ADC中，DC 2r sin a,故不正確；因為BD DC，所以BAC 2a,在RtABC中

14、，AB 2r cos2a ,故正確；因為AE AB, BD DC ,易知 ADB與 ADE全等，故AB , 八DE BD DC, DF EC ,所以 FC r r 1 cos2a ,2一 DC FC2又D，所以DC AC FC r 2r AB，故正確，AC DC由 DC 2rsina,AB 2rcos2a, DC2 r 2r AB，可得222rsina r 2r 2rcos2a ,即 2sin a 1 cos2a.故選：D.【點睛】本題考查推理與證明，考查學(xué)生在圓中利用三角形邊長證明倍角公式的背景下，判斷所需的邊長是否正確，是一道中檔題.6 n11.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+ -3+-的等式

15、左邊加上()A, k3+1C. (k+1) 3【答案】B 【解析】分析：當(dāng)項數(shù)從n k到n k 1時， 詳解：當(dāng)n k時，等式左邊 1 2 當(dāng)n k 1時，等式左邊 1 2 3所以增加的項為(k3 1) (k3 2)(k3 所以選B點睛：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，當(dāng)J3,nCN*，則當(dāng)n=k+1時，應(yīng)當(dāng)在n=k時對應(yīng)2B. (k3+1) + (k3+2) + + (k+1) 3D (k 1)6 (k 1)32等式左邊變化的項可利用兩個式子相減得到。3 .k3.k3 (k3 1) (k3 2)(k3 3).(k 1)33).(k 1)3數(shù)變化時分析出增加的項，屬于簡單題。. 一名法官在審理一起

16、珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：罪犯在乙、丙、丁三人之中 ”；乙說： 我沒有作案，是丙偷的”；丙說：甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說： 乙說的是事實經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A.乙 B.甲 C. 丁 D.丙【答案】A【解析】【分析】由題意，這個問題的關(guān)鍵是四人中有兩人說真話，另外兩人說了假話，通過這一突破口，進(jìn)行分析，推理即可得到結(jié)論 .【詳解】在甲、乙、丙、丁四人的供詞中，可以得出乙、丁兩人的觀點是一致的，因此乙丁兩人的供詞應(yīng)該是同真同假(即都是真話或都是假話，不會出現(xiàn)一真一假的情況)；假設(shè)

17、乙、丁兩人所得都是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話可推出丙是犯罪的結(jié)論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的結(jié)論；顯然這兩人是相互矛盾的；所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙的供詞可以斷定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁說假話，丙說真話推出乙是犯罪的，綜上可得乙是犯罪的，故選 A.【點睛】本題主要考查了推理問題的實際應(yīng)用，其中解答中結(jié)合題意，進(jìn)行分析，找出解決問題的 突破口，然后進(jìn)行推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力.觀察如圖中各多邊形圖案，每個圖案均由若干個全等的正六邊形組成，記第 n個圖案 中正六邊形的個數(shù)是 f(n).271【答案】

18、A【解析】272273D. 274【分析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)，第一個圖案中有一個正六邊形，第二個圖案中有7個正六邊形;根據(jù)這個規(guī)律，即可確定第【詳解】由圖可知，f 11,f 21 2 6 6 7,f312362f212362f41234610個圖案中正六邊形的個數(shù).6 19,6 19,3 6 37,f 1012 3 4 . 10 6 9 6 271.故選A.【點睛】此類題要能夠結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng) n 2時，f n f n 16 n 1 .14.某學(xué)校為響應(yīng)國家強化德智體美勞教育的號召，積極實施國家課程校本化.每個學(xué)生除學(xué)習(xí)文化課程外，還可以根據(jù)自己的興趣愛好來選修一門校本課程作為自己的特長課程

19、來學(xué)習(xí).該校學(xué)生小剛選完課后，本班的其他三位同學(xué)根據(jù)小剛的興趣愛好對小剛的選課做出了自己的判斷：甲說：小剛選的不是書法，選的是籃球；乙說：小剛選的不是籃球，選的是排球；丙說：小剛選的不是籃球，選的也不是國畫.已知三人中有一個人說的全對，有一人說對了一半，另一個人說的全不對，由此推斷小剛的選擇的()A.可能是國畫B.可能是書法C.可能是排千D. 一定是籃球【答案】B【解析】【分析】依次假定小剛的選擇，逐一驗證得到答案.【詳解】若小剛選擇的是國畫，則甲對一半，乙對一半，丙對一半，不滿足，排除；若小剛選擇的是書法，則甲全不對，乙對一半，丙全對，滿足；若小剛選擇的是排球，則甲對一半，乙全對，丙全對，不

20、滿足，排除；若小剛選擇的是籃球，則甲全對，乙全不對，丙對一半，滿足；故小剛可能選擇的是書法和籃球 .故選：B .【點睛】本題考查了推理分析，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力1.三角形面積為 S a b cr, a, b, c為二角形二邊長，r為二角形內(nèi)切圓半2徑，利用類比推理，可以得出四面體的體積為（）、，1 ，V -abc3-V Sh31V - ab bc ac h （h為四面體的局）31V-siS2S3S4r （其中S ,S2,S3,S4分別為四面體四個面的面積，r為四3面體內(nèi)切球的半徑，設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個面的距離都是 r）【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面與空間的類比推

21、理，由點類比直線，由直線類比平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由 平面圖形的面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比四面體的體積計算 方法，即可求解.【詳解】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為 O,則球心O到四個面的距離都是 r,根據(jù)三角形的面積的求解方法：利用分割法，將O與四個頂點連起來，可得四面體的體積等于以 O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐的體積之和，口.1即 V s1s2 s3 s4 r ,故選 d.3【點睛】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，其中解答中類比推理是將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比到另一類數(shù)學(xué)對象上去，通常一般步驟：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性;（2）用一類事物的性

22、質(zhì)取推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題，本題屬于基礎(chǔ)題.對大于1的自然數(shù)m的三次哥可用奇數(shù)進(jìn)行以下形式的分裂”：13 7 TOC o 1-5 h z -3,3c33，15.32 ,33 9 ,43 L，仿此，若m3的分裂數(shù)”中有一個是73,則m的值為（）5171119A. 8B, 9C. 10D. 11【答案】B【解析】由題意可得m3的分裂數(shù)”為m個連續(xù)奇數(shù)，設(shè)m3的分裂數(shù)”中第一個數(shù)為am ,則由題意可得：a3 a2 7 3 4 2 2, a4 a3 13 7 6 2 3,，am am 12（m 1）,將以上m 2個式子疊加可得am a2(4 2m 2)(m 2)(m 1)(m 2)2

23、/am (m 1)(m 2) a2 m m 1，當(dāng)m 9時，am 73,即73是93的分裂數(shù)”中第一個數(shù)故選B.觀察下列一組數(shù)據(jù)a11a2 3 5a3 7 9 11a4 13 15 17 19則a?。從左到右第一個數(shù)是（）A. 379B. 383C 381D. 377【答案】C【解析】【分析】先計算前19行數(shù)字的個數(shù)，進(jìn)而可得 a20從左到右第一個數(shù). 【詳解】1 19 19190個奇由題意可知， an可表本為n個連續(xù)的奇數(shù)相加，從 aUa19共有 所以a20從左到右第一個數(shù)是第191個奇數(shù)，第n個奇數(shù)為2n 1,所以第191個奇數(shù)為2 191 1 381.故選：C.【點睛】本小題主要考查歸納

24、推理、等差數(shù)列求和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔 題.分形幾何是美籍法國數(shù)學(xué)家芒德勃羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門數(shù)學(xué)新分支，其中的謝爾賓斯基”圖形的作法是：先作一個正三角形，挖去一個中心三角形”即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形），然后在剩下的每個小正三角形中又挖去一個中心三角形”按上述方法無限連續(xù)地作下去直到無窮，最終所得的極限圖形稱為謝爾賓斯基”圖形（如圖所示），按上述操作7次后，謝爾賓斯基”圖形中的小正三角形的個數(shù)為（）A. 35B. 36C. 37D. 38【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出第 1,2,3次操作后，圖形中的小正三角形的個數(shù)，然后可歸納出一般結(jié) 論

25、，得到答案.【詳解】如圖，根據(jù)題意第1次操作后，圖形中有 3個小正三角.第2次操作后，圖形中有 3X3=32個小正三角.第3次操作后，圖形中有 9X3=33個小正三角.所以第7次操作后，圖形中有 37個小正三角.6&234故選：C【點睛】本題考查歸納推理，屬于中檔題 .19.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在數(shù)書九章中記述了主斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在 ABC中，角A, B,C所對的邊分別為a,b,c,則 ABC的面積b 3c cos A 0,且D. 2.3J1a2 b2 c2 2一 (ab) .根據(jù)此公式，右 acosBa2 b2 c2 2,則 ABC的面積為()A.夜B, 272C 狐【答案】A【解析】【分析】 根據(jù)acosB b 3c cosA 0,利用正弦定理邊化為角得0,根據(jù)sin AcosB co