1、高考數學易錯知識點匯第一部分 集合與邏輯用語1.1集合中元素的三個特征：確定性，互異性，無序性. 1.2集合的有關性質：任何一個集合是它本身的子集,記為.空集是任何集合的子集,記為. 空集是任何非空集合的真子集. ,；. （在討論的時候不要遺忘了的情況）. 元素的個數：. 含個元素的集合的子集個數為；真子集(非空子集)個數為；非空真子集個數為.1.3原命題: ；逆命題: ；否命題: ；逆否命題: ；互為逆否的兩個命題是等價的.1.4若且,則是的充分非必要條件(或是的必要非充分條件).1.5常見結論的否定形式原結論否定原結論否定是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至

2、少有個至多有個小于不小于至多有個至少有個對所有,成立存在某,不成立或且對任何,不成立存在某,成立且或第二部分 函數、導數2.1映射:是： “一對一或多對一”的對應. 2.2函數: 是特殊的映射.特殊在定義域和值域都是非空數集！據此可知函數圖像與軸的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個.2.3函數的三要素：定義域、值域、對應法則.研究函數的問題一定要注意定義域優先原則.2.4函數定義域:使函數有意義的自變量取值范圍.如:分母;偶次根式被開方數非負;對數真數,底數且；零指數冪的底數；實際問題有意義；若定義域為,復合函數定義域由解出；若定義域為,則定義域相當于時的值域.2

3、.5求值域常用方法: 配方法(二次函數類)；分離常數法；換元法(特別注意新元的范圍). 三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數,運用三角函數有界性來求值域； 不等式法；單調性法；數形結合：根據函數的幾何意義,利用數形結合的方法來求值域； 判別式法（慎用）：導數法(一般適用于高次多項式函數).2.6求函數解析式的常用方法：待定系數法(已知所求函數的類型)； 代換(配湊)法； 方程的思想-對已知等式進行賦值，從而得到關于及另外一個函數的方程組。2.7函數的奇偶性和單調性 函數有奇偶性的必要條件是其定義域是關于原點對稱的,確定奇偶性方法有定義法、圖像法等； 若是偶函數,那么；定義域含零的奇函數必過原

4、點()； 判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：或； 注意：若判斷較為復雜解析式函數的奇偶性，應在確定定義域的前提下先化簡再判斷；既奇又偶的函數有無數個(如定義域關于原點對稱即可). 奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性； 確定函數單調性的方法有定義法、導數法、圖像法和觀察法(用于小題)等. 復合函數單調性由“同增異減”判定. （提醒：求單調區間時一定要先求定義域）2.8函數圖象的幾種常見變換平移變換：左右平移-“左加右減”（對而言）；上下平移-“上加下減”(對而言).翻折變換：；. 對稱變換：證明函數圖像的對稱性,即證圖像上任意點關于對稱中心(軸)的對稱

5、點仍在圖像上. 證明圖像與的對稱性,即證上任意點關于對稱中心(軸)的對稱點仍在上,反之亦然.函數與的圖像關于直線(軸)對稱；函數與函數的圖像關于直線(軸)對稱； 若函數對時，或恒成立,則圖像關 于直線對稱； 若對時,恒成立,則圖像關于直線對稱； 函數,的圖像關于直線對稱(由確定)； 函數與的圖像關于直線對稱； 函數,的圖像關于直線對稱(由確定)； 函數與的圖像關于原點成中心對稱；函數, 的圖像關于點對稱；函數與函數的圖像關于直線對稱；曲線：,關于,的對稱曲線的方程為(或；2.9導數的定義：在點處的導數記作.2.10常見函數的導數公式:(為常數)；.； ；.2.11導數的四則運算法則：；.2.1

6、2復合函數的導數：.2.13函數在點處的導數的幾何意義是指：曲線在點處切線的斜率, 即曲線在點處的切線的斜率是,切線方程為.2.14函數在點處有導數,則的曲線在該點處必有切線,且導數值是該切線的斜率.但函數的曲線在點處有切線,則在該點處不一定可導.如在有切線,但不可導.2.15導數的應用： (1)利用導數判斷函數的單調性：設函數在某個區間內可導,如果,那么為增函數；如果,那么為減函數；如果在某個區間內恒有,那么為常數； (2)求可導函數極值的步驟：求導數；求方程的根；檢驗在方程 根的左右的符號，如果左正右負,那么函數在這個根處取得最大值；如果左負 右正,那么函數在這個根處取得最小值； (3)求

7、可導函數最大值與最小值的步驟：求在內的極值；將在各極值點的極值與、比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.第三部分 數列3.1由求, 3.2等差數列(為常數) ；3.3等差數列的性質： ,； (反之不一定成立)；特別地,當時,有； 若、是等差數列,則(、是非零常數)是等差數列； 等差數列的“間隔相等的連續等長片斷和序列”即 仍是等差數列； 等差數列,當項數為時,；項數為時,且；. 首項為正(或為負)的遞減(或遞增)的等差數列前n項和的最大(或最小)問題,轉化為解不等式 (或).也可用的二次函數關系來分析. 若,則；若,則； 若,則Sm+n=0；S3m=3(S2mSm)；.3.4等比數

8、列.3.5等比數列的性質 ；若、是等比數列，則、等也是等比數列； ；(反之不一定成立)；. 等比數列中(注：各項均不為0)仍是等比數列. 等比數列當項數為時,；項數為時,.3.6如果數列是等差數列,則數列(總有意義)是等比數列；如果數列是等比數列, 則數列是等差數列； 若既是等差數列又是等比數列,則是非零常數數列； 如果兩個等差數列有公共項,那么由他們的公共項順次組成的數列也是等差數列，且新數列的公差是原兩個等差數列公差的最小公倍數；如果一個等差數列和一個等比數列有公共項,那么由他們的公共項順次組成的數列是等比數列,由特殊到一般的方法探求其通項； 三個數成等差的設法：；三個數成等比的設法：.3

9、.7數列通項公式的求法：公式法：等差數列通項公式；等比數列通項公式. 已知(即)求用作差法：. 已知求用作商法：. 若求用迭加法. 已知,求用迭乘法. 已知數列遞推式求,用構造法(構造等差、等比數列)：形如, (為常數)的遞推數列可以用待定系數法轉化為公比為的等比數列后, 再求.形如的遞推數列可以用 “取倒數法”求通項.3.8數列求和的方法：公式法：等差數列,等比數列求和公式；分組求和法；倒序相加；錯位相減；分裂通項法.公式：； ；常見裂項公式； ； 常見放縮公式：.第四部分 三角函數4.1終邊與終邊相同；終邊與終邊共線；4.2弧長公式：；扇形面積公式：；弧度().4.3三角函數符號(“正號”

10、)規律記憶口訣：“一全二正弦,三切四余弦”.4.4三角函數同角關系中(八塊圖)：正、余弦三兄妹、”的關系.如等.4.5誘導公式可用奇變偶不變，符號看象限概括，公式中a為銳角.4.6角的變換：已知角與特殊角、已知角與目標角、已知角與其倍角或半角、兩角與其和差角等變換. 如：； 等；“”的變換：；4.7重要結論：其中；重要公式；.4.8正弦定理：； 余弦定理：； 三角形的內切圓半徑；三角形面積公式：；射影定理：.4.9中,易得：,注意：三角形中正、余弦定理邊角互化的方法.,. ,. 銳角中,類比得鈍角結論.第五部分 平面向量5.1設,. (1)；(2) 若為非零向量，則.5.2平面向量基本定理：如

11、果和是同一平面內的兩個不共線的向量,那么對該平面內的任一向量,有且只有一對實數、,使.5.3平面向量數量積的定義，其中是向量夾角，要求兩向量有共同起點.其幾何意義是等于的長度與在的方向上的投影的乘積；注: 為銳角,不同向；為直角；為鈍角,不反向.5.4平面向量數量積的坐標表示：若,則； 若,則，注意：.5.5向量夾角公式：設,則；5.6三點、共線與共線存在唯一的實數，使得存在實數、使得且.與共線的單位向量.5.7 不共線；同向或有；反向或有.5.8三角形中向量性質：是中邊的中線； 為的重心； 為的垂心；為內心；所在直線過內心. 第六部分 不等式6.1掌握課本上的幾個不等式性質:(1)對稱性：a

12、bbb，bcac.(3)加法法則：abacbc.(4)乘法法則：ab，c0acbc. ab，c0acb，cdacbd.(6)同向同正可乘性：ab0，cd0acbd.(7)乘方法則：ab0anbn(nN，n2)(8)開方法則：ab0eq r(n,a)eq r(n,b)(nN，n2)(9)若,則(真分數的性質)注意：若,則.不等式兩邊同號時,不等式兩邊取倒數,不等號方向要改變. 如果對不等式兩邊同時乘以一個代數式,要注意它的正負號,如果正負號未定,要注意分類討論.6.2掌握幾類不等式(一元一次、二次、絕對值不等式、簡單的指數、對數不等式)的解法,尤其注意 用分類討論的思想解含參數的不等式；勿忘數軸

13、標根法,零點分區間法.*解帶參數的一元二次不等式時應注意三個討論點：（1）二次項系數帶參與討論大小；（2）因式分解后兩根帶參討論大小；（3）判別式帶參與討論大小6.3基本不等式：若,則(當且僅當時取等號)運用基本不等式求最值的注意點：“一正二定三相等 ”；常用的技巧為：拆、湊、平方等；變形：,，(當且僅當時,取等號).6.4含絕對值不等式：同號或有；異號或有 .6.5證明不等式常用方法：比較法：作差比較：.注意：若兩個正數作差有困難,可通過它們的平方差來比較大小；綜合法：由因導果；分析法：執果索因.基本步驟：要證需證,只需證； 反證法：正難則反；放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的

14、. 放縮法的方法有：添加或舍去一些項,如：；.將分子或分母放大(或縮小) 利用基本不等式,如：.利用常用結論： ； (程度大)； (程度小)； （6）最值法,如：,則恒成立.,則恒成立.6.6求解線性規劃問題的步驟是：(1)根據實際問題的約束條件列出不等式；(2)作出可行域,寫出目標函數(判斷幾何意義)；(3)確定目標函數的最優位置,從而獲得最優解.第七部分 直線和圓的方程7.1直線的傾斜角的范圍是；7.2直線的傾斜角與斜率的變化關系(如右圖)：7.3直線方程五種形式：點斜式：已知直線過點斜率為，則直線 方程為,它不包括垂直于軸的直線.斜截式：已知直線在軸上的截距為 和斜率，則直線方程為,它不

15、包括垂直于軸的直線. 兩點式：已知直線經過 、兩點,則直線方程為,它不包括垂直于坐標軸的直線. 截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為,它不包括垂直于坐標 軸的直線和過原點的直線.一般式：任何直線均可寫成(不同時為0)的形式. 提醒：截距不是距離,截距相等時不要忘了過原點的特殊情形.7.4直線與直線的位置關系： 平行(斜率)且(在軸上截距)； 相交；(3)垂直.7.5直線系方程：過兩直線：,：.交點的直線系方程可設 為；與直線平行的直線系方程可設為 ；與直線垂直的直線系方程可設為.7.6距離公式：點到直線的距離公式； 兩條平行線與的距離是.7.7設三角形三頂點,則重心；7.8圓的標準

16、方程：. 圓的一般方程：.圓心為,半徑為 圓的參數方程：(為參數),其中圓心為,半徑為.圓的參數方程主要應用是三角換元：. 以、為直徑的圓的方程；7.9點和圓的位置關系的判斷通常用幾何法(計算圓心到直線距離).點代入圓方程.點在圓外； 點在圓內；點在圓上.7.10圓上一點的切線方程：點在圓上,則過點的切線方程為：； 過圓上一點切線方程為.7.11過圓外一點作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與軸垂直的直線.7.12直線與圓的位置關系,通常轉化為圓心距與半徑的關系,或者利用垂徑定理,構造直角三角形解決弦長問題.相離相切相交7.13圓與圓的位置關系,經常轉化為兩圓的圓心距與兩

17、圓的半徑之間的關系.設兩圓的圓心距為,兩圓的半徑分別為：兩圓相離；兩圓相外切； 兩圓相交；兩圓相內切； 兩圓內含；兩圓同心.7.14過圓：,：交點的圓(相交弦)系方程 為.時為兩圓相交弦所在直線方程.7.15解決直線與圓的關系問題時,要充分發揮圓的平面幾何性質的作用(如半徑、半弦長、弦心距構成 直角三角形,切線長定理、割線定理、弦切角定理等等).第八部分 圓錐曲線方程8.1三個圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的定義：橢圓：；雙曲線：；拋物線：，其中為點到準線的距離.8.2求圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的方程：待定系數法；定義法.注1：中心在原點,坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為(對于

18、橢圓)；注2：共漸近線的雙曲線標準方程為(為參數,).8.3求動點的軌跡方程的常用方法：（1）直接法（列等式）；（2）定義法：利用圓錐曲線的定義；（3）代入法（相關點法或轉移法）；（5）參數法；（求解軌跡方程要檢驗是否存在不符合要求的點）8.4橢圓、雙曲線的通徑(最短弦)為,焦準距為,拋物線的通徑為,焦準距為； 雙曲線的焦點到漸近線的距離為.8.5拋物線特有的性質：（1）對于拋物線上的點的坐標可設為,以簡化計算.（2）焦半徑公式：設為拋物線上任意一點,為焦點,則；上任意一點,為焦點，則.（3）拋物線的焦點弦（過焦點的弦）為,、,則有如下結論： ；,； .8.6直線與圓錐曲線的關系：法一：直接法

19、（通法）聯立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解。注：直線斜率不存在考慮了嗎？消元得是“”還是關于“”的一元二次方程？聯立雙曲線、拋物線時是否有注意二次項系數？判別式驗證了嗎？弦長公式：法二：點差法弦中點問題步驟：設點；作差得；8.7解析幾何與向量綜合的有關結論： 給出直線的方向向量或已知直線的斜率或； 給出與相交已知過的中點； 給出已知是的中點; 給出已知與的中點三點共線; 給出以下情形之一： ； 存在實數,使； 若存在實數, 且；使已知三點共線. (6)給出已知,即是直角,給出已知是鈍角或反向共線,給出已知是銳角或同向共線. 給出已知是的平分線. 在平行四邊形中,給出已知是菱形. 在平

20、行四邊形中,給出已知是矩形. 在中,給出已知是的外心(三角形的外心是外接圓 的圓心,是三角形三邊垂直平分線的交點). 在中,給出已知是的重心(三角形的重心是三角形 三條中線的交點). 在中,給出已知是的垂心(三角形的垂心 是三角形三條高的交點).第九部分 立體幾何9.1空間位置關系的證明幾何法（首選）與向量法直線與直線平行：公理4；線面平行的性質定理；面面平行的性質定理；方向向量共線.直線與平面平行：線面平行的判定定理；面面平行線面平行；方向向量與法向量垂直.平面與平面平行：面面平行的判定定理及推論；垂直于同一直線的兩平面平行；法向量共線.直線與平面垂直：直線與平面垂直的判定定理；面面垂直性質

21、定理；方向向量與法向量共線.平面與平面垂直：定義-兩平面所成二面角為直角；面面垂直的判定定理；法向量垂直.9.2求解空間角向量法（首選）與幾何法異面直線所成角的求法：向量法：，其中為兩直線的方向向量；幾何法：平移直線，構造三角形.直線與平面所成的角的求法：向量法：，其中分別為直線的方向向量與平面法向量；幾何法：求解直線與其射影所成的角，在直角三角形中求解.二面角的平面角的求法：向量法：，其中為兩個半平面的法向量幾何法：定義法；三垂線法；垂面法.9.3求點到平面的距離：找或作垂線段，求距離；等體積法；向量法：，其中為平面法向量，為平面斜線的方向向量.9.4角的范圍：異面直線所成角；直線與平面所成

22、角；二面角和兩向量的夾角；直線的傾斜角；到的角；與的夾角.注意術語:坡度、仰角、俯角、方位角等.9.5長方體的體對角線的計算公式：，其中為長、寬、高.注：正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；9.6球的體積公式,表面積公式.第十部分 排列、組合、二項式定理10.1排列數公式:,當時為全排列.10.2組合數公式：,.10.3組合數性質：；.10.4排列組合主要解題方法：優先法：特殊元素優先或特殊位置優先；捆綁法(相鄰問題)；插空法（不相鄰問題）；間接扣除法；(對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件 的所有情況去掉）多排問題單排法;相同元素分組可采用隔板法（適用與指標分配，每部分

23、至 少有一個）；先選后排,先分再排(注意等分分組問題)；涂色問題(先分步考慮至某一步時再分 類).分組問題：要注意區分是平均分組還是非平均分組,平均分成組問題別忘除以.10.5常用性質：；即；10.6二項式定理： 掌握二項式展開式的通項：； 注意第r1項二項式系數與第r1項系數的區別.10.7二項式系數具有下列性質：與首末兩端等距離的二項式系數相等；若為偶數,中間一項(第項)的二項式系數最大；若為奇數,中間兩項(第和項)的二項式系數最大. ；.10.8二項式定理應用：近似計算、整除問題、結合放縮法證明與指數有關的不等式、用賦值法求展開式的某些項的系數的和，如展開式的各項系數和為,奇數項系數和為,偶數項的系數和為.第十一部分 概率與統計11.1等可能事件的概率公式：古典概型； 互斥事件有一個發生的概率公式為：；相互獨立事件同時發生的概率公式為；獨立重復試驗概率公式；如果事件與互斥，那么事件與、與及事件與也都是互斥事件；如果事件、相互獨立，那么事件、至少有一個不發生的概率是；（7）如果