1、精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號： 年 級：初三 課 時 數(shù)：3課時學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：黃巨斌 授課類型C （專題方法主題）動手操作題授課日期時段教學(xué)內(nèi)容【考情分析】動手操作題是指通過動手測量、作圖、折紙、擺放工具（如三角板）等探究性實驗，結(jié)合已有的數(shù)學(xué)知識、方法，驗證或歸納、猜想或證明出數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)活動這類問題往往能夠綜合考查學(xué)生的實踐能力、直覺和抽象思維能力甚至發(fā)散思維能力相應(yīng)地，解決這類問題需要學(xué)生通過有效的實踐活動和思維過程，靈活運用所學(xué)知識和生活經(jīng)驗，探索、發(fā)現(xiàn)和證明結(jié)論這類問題主要出現(xiàn)在中考第22題，分值5分，靈活度強(qiáng)，不好解決，一般學(xué)生很難拿到滿分；偶爾會出現(xiàn)

2、在選擇題第8題中。我們認(rèn)為，動手操作題的專題訓(xùn)練應(yīng)立足于以下幾點：（1）要先對與操作類問題密切相關(guān)的已學(xué)基礎(chǔ)知識、基本方法、基本題型進(jìn)行歸納總結(jié)（例如：基本作圖；利用軸對稱解決折疊、最值問題；基本圖形分割、正方形的拼接等），這有助于將一些操作類問題轉(zhuǎn)化為更基本的數(shù)學(xué)問題，從而找到突破口或解題思路，甚至直接將新問題納入熟悉的解題套路中（2）很多圖形操作題都有細(xì)致的背景說明或知識鋪墊，進(jìn)行例題分析時應(yīng)注意引領(lǐng)學(xué)生分析這些提示文字，學(xué)會思考“命題人希望通過這些話提示給我們什么？”，“這些話與后面的問題有什么關(guān)系？”，從而迅速完成（新）知識的構(gòu)建和遷移（3）鼓勵學(xué)生靈活地、創(chuàng)造性地運用工具、道具實現(xiàn)實

3、際操作；更要進(jìn)一步鼓勵學(xué)生進(jìn)行抽象思維，運用數(shù)學(xué)方法分析操作現(xiàn)象及其原理簡言之，將“操作”變成“思維”特別地，2012年北京中考22題沒有選擇傳統(tǒng)的幾何變換素材，而強(qiáng)調(diào)了對問題的“理解”和“探究”；25題延續(xù)了2011年的創(chuàng)新，突出了“探究型問題”的“操作性”，都再次說明了將“操作”與“思維”融合在一起的極端重要性（4）功夫在平時：要充分利用各種操作和探究活動，讓學(xué)生積累足夠的“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”，要充分鍛煉學(xué)生根據(jù)文字作圖的能力和圖形分析能力，這兩點是解決操作類問題的基本保障專題精講 題型一：有關(guān)立體圖形 例1：（2010北京，8）美術(shù)課上，老師要求同學(xué)們將右圖所示的白紙只沿虛線裁開，用裁開

4、的紙片和白紙上的陰影部分圍成一個立體模型，然后放在桌面上，下面四個示意圖中，只有一個符合上述要求，那么這個示意圖是 【答案】：B 例2：（2008北京,8）已知為圓錐的頂點，為圓錐底面上一點，點在上一只蝸牛從點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到點時所爬過的最短路線的痕跡如右圖所示若沿將圓錐側(cè)面剪開并展開，所得側(cè)面展開圖是（ ）OPMOMPAOMPBOMPCOMPD【答案】：D題型二：有關(guān)平面圖形平移問題例1：（2011北京22）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題，如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，對角線AC，BD相交于點O。若梯形ABCD的面積為1，試求以AC，BD，的長度為三邊長的三角形的面積。

5、小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法移動這些分散的線段，構(gòu)造一個三角形，再計算其面積即可。他先后嘗試了翻折，旋轉(zhuǎn)，平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題。他的方法是過點D作AC的平行線交BC的延長線于點E，得到的BDE即是以AC，BD，的長度為三邊長的三角形（如圖2）。參考小偉同學(xué)的思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，ABC的三條中線分別為AD，BE，CF。（1）在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD，BE，CF的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；（2）若ABC的面積為1，則以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于_。【答案】 BDE的面積等于 1 . (1)

6、如圖.以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形是CFP. (2) 以AD、BE、CF的長度為三邊長的三角形面積等于.例2：（2012北京，22）操作與探究： （1）對數(shù)軸上的點進(jìn)行如下操作：先把點表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對應(yīng)的點向右平移1個單位，得到點的對應(yīng)點. 點在數(shù)軸上，對線段上的每個點進(jìn)行上述操作后得到線段，其中點的對應(yīng)點分別為如圖1，若點表示的數(shù)是，則點表示的數(shù)是 ；若點表示的數(shù)是2，則點表示的數(shù)是 ；已知線段上的點經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點與點重合，則點表示的數(shù)是 ； （2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，對正方形及其內(nèi)部的每個點進(jìn)行如下操作：把每 個點的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一種實數(shù)，

7、將得到的點先向右平移個單位，再向上平移個單位（），得到正方形及其內(nèi)部的點，其中點的對應(yīng)點分別為。已知正方形內(nèi)部的一個點經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點與點重合，求點的坐標(biāo)。【答案】 0； F(1,4)題型三：旋轉(zhuǎn)與幾何變換例1：（09北京，22） 閱讀下列材料：小明遇到一個問題：5個同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個新的正方形.他的做法是：按圖2所示的方法分割后，將三角形紙片繞AB的中點O旋轉(zhuǎn)至三角形紙片處，依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個新的正方形DEFG.請你參考小明的做法解決下列問題：（1）現(xiàn)有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示.請將其分割后拼接成一個

8、平行四邊形.要求：在圖3中畫出并 指明拼接成的平行四邊形（畫出一個符合條件的平行四邊形即可）；（2）如圖4，在面積為2的平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，分別連結(jié)AF、BG、CH、DE得到一個新的平行四邊形MNPQ請在圖4中探究平行四邊形MNPQ面積的大小（畫圖并直接寫出結(jié)果）. 【答案】例2：（2013北京，22）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)AFQ=BGM=CHN=DEP=45時，求正方形MNPQ的面積。小明發(fā)現(xiàn)：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，E

9、D的延長線于點R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）請回答：（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個新的正方形的邊長為_；（2）求正方形MNPQ的面積。參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在等邊ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊RPQ，若，則AD的長為_。【答案】 題型四：折疊與軸對稱例1：（2010北京，22）閱讀下列材料： 小貝遇到一個有趣的問題：在矩形ABCD中，AD=8CM,AB=6CM.現(xiàn)有一動點P接下列方程在矩形內(nèi)運動；它從A點出發(fā)，沿

10、著與AB邊夾角為45的方向作直線運動，每次碰到巨星的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為45的方向作直線運動，并且它一直按照這種方式不停地運動，即當(dāng)P點碰到BC邊，沿著與BC邊夾角為45的方向作直線運動，當(dāng)P碰到點CD邊，再沿著與CD邊夾角為45的方向作直線運動，如果1所示。問P點第一次與D點重合前與邊相碰幾次，P點第一次與D點重合時所經(jīng)過的路徑的總長是多少。 小貝的思考是這樣開始的：如圖2，將矩形ABCD沿直線CD折疊，得到矩形由軸對稱的知識，發(fā)現(xiàn)= ， 請你參考小貝的思路解決下列問題：P點第一次與D點重合前與邊相碰_次；P點從A點出發(fā)到第一次與D點重合時所經(jīng)過的路徑的總長是_CM；進(jìn)

11、一步探究：改變矩形ABCD中AD、AB的長，且滿足ADAB。動點P從A點出發(fā)，按照閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續(xù)兩次與邊相碰的位置在矩形ABCD相鄰的兩邊上，若P點第一次與B點重合前與邊相碰7此，則AB：AD的值為_。【答案】（1）5，24 ；3分解題思路示意圖：例2：（2008北京，22）已知等邊三角形紙片的邊長為，為邊上的點，過點作交于點于點，過點作于點，把三角形紙片分別沿按圖1所示方式折疊，點分別落在點，處若點，在矩形內(nèi)或其邊上，且互不重合，此時我們稱（即圖中陰影部分）為“重疊三角形”AGCFEBD圖2AGCFEBD圖1（1）若把三角形紙片放在等邊三角形網(wǎng)格中（圖中每個小三角形

12、都是邊長為1的等邊三角形），點恰好落在網(wǎng)格圖中的格點上如圖2所示，請直接寫出此時重疊三角形的面積；（2）實驗探究：設(shè)的長為，若重疊三角形存在試用含的代數(shù)式表示重疊三角形的面積，并寫出的取值范圍（直接寫出結(jié)果，備用圖供實驗，探究使用）ACB備用圖ACB備用圖解：（1）重疊三角形的面積為 ；（2）用含的代數(shù)式表示重疊三角形的面積為 ；的取值范圍為 【答案】解：（1）重疊三角形的面積為 用含的代數(shù)式表示重疊三角形的面積為；（3）的取值范圍為題型五：圖形分割與剪拼例1：（2013海淀一模）問題：如圖1，、是同一平面內(nèi)的一組等距平行線（相鄰平行線間的距離為1）.畫出一個正方形，使它的頂點、分別在直線、上

13、，并計算它的邊長. 圖1 圖2 小明的思考過程： 他利用圖1中的等距平行線構(gòu)造了的正方形網(wǎng)格，得到了輔助正方形，如圖2所示, 再分別找到它的四條邊的三等分點、，就可以畫出一個滿足題目要求的正方形.請回答：圖2中正方形的邊長為 .請參考小明的方法，解決下列問題：（1）請在圖3的菱形網(wǎng)格（最小的菱形有一個內(nèi)角為，邊長為1）中，畫出一個等邊，使它的頂點、落在格點上，且分別在直線a、b、c上；（3）如圖4，、是同一平面內(nèi)的三條平行線，、之間的距離是，、之間的距離是，等邊的三個頂點分別在、上，直接寫出的邊長. 圖3 圖4 【答案】：（1）. （2）如圖： . 例2：（2012西城二模）閱讀下列材料圖1小

14、華在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：如圖1，點A，A1，A2在直線l上，當(dāng)直線lBC時，.請你參考小華的學(xué)習(xí)經(jīng)驗畫圖(保留畫圖痕跡）：(1)如圖2，已知ABC，畫出一個等腰DBC，使其面積與ABC面積相等；(2)如圖3，已知ABC，畫出兩個RtDBC，使其面積與ABC面積相等(要求：所畫的兩個三角形不全等)； (3)如圖4，已知等腰ABC中，AB=AC，畫出一個四邊形ABDE，使其面積與ABC面積相等，且一組對邊DE=AB，另一組對邊BDAE，對角E=B. 圖2 圖3 圖4【答案】解：(1) 如圖所示，答案不唯一. 畫出D1BC，D2BC，D3BC，D4BC，D5BC中的一個即可.（將BC的平行線l畫在直

15、線BC下方對稱位置所畫出的三角形亦可) 2分 (2) 如圖所示，答案不唯一. （在直線D1D2上取其他符合要求的點，或?qū)C的平行線畫在直線BC下方對稱位置所畫出的三角形亦可) 4分 (3) 如圖所示(答案不唯一). 5分如上圖所示的四邊形ABDE的畫法說明：(1)在線段BC上任取一點D（D不為BC的中點），連結(jié)AD；(2)畫出線段AD的垂直平分線MN；(3)畫出點C關(guān)于直線MN的對稱點E，連結(jié)DE，AE. 則四邊形ABDE即為所求.例:3：（2012豐臺一模）將矩形紙片分別沿兩條不同的直線剪兩刀，可以使剪得的三塊紙片恰能拼成一個等腰三角形（不能有重疊和縫隙）小明的做法是：如圖1所示，在矩形A

16、BCD中，分別取AD、AB、CD的中點P、EF，并沿直線PE 、PF剪兩刀，所得的三部分可拼成等腰三角形PMN (如圖2) （1）在圖3中畫出另一種剪拼成等腰三角形的示意圖；（2）以矩形ABCD的頂點B為原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖4），矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形PMN，點P在邊AD上（不與點A、D重合），點M、N在x軸上（點M在N的左邊）如果點D的坐標(biāo)為(5,8)，直線PM的解析式為，則所有滿足條件的k的值為 圖1 圖2 圖3 圖4 備用【答案】解：（1）如右圖； （2） 二、專題過關(guān)檢測題1：（2012海淀期末）已知O為圓錐頂點, OA、OB為圓錐的母線, C為O

17、B中點, 一只小螞 蟻從點C開始沿圓錐側(cè)面爬行到點A, 另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點B，它們所 爬行的最短路線的痕跡如右圖所示. 若沿OA剪開, 則得到的圓錐側(cè)面展開圖為 ( ) A B C D【答案】：C檢測題2：（2012海淀一模）22閱讀下面材料：ADCOBEBOCDA小明遇到這樣一個問題：如圖1，ABO和CDO均為等腰直角三角形, AOB=COD =90若BOC的面積為1， 試求以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形的面積 圖1 圖2IHGFABCDE小明是這樣思考的：要解決這個問題，首先應(yīng)想辦法移動這些分散的線段，構(gòu)造一個三角形，再計算其面積即可他利用圖形變換解決了這個問

18、題，其解題思路是延長CO到E, 使得OE=CO, 連接BE, 可證OBEOAD, 從而得到的BCE即是以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形（如圖2）請你回答：圖2中BCE的面積等于 請你嘗試用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的方法，解決下列問題：如圖3，已知ABC, 分別以AB、AC、BC為邊向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 連接EG、FH、ID（1）在圖3中利用圖形變換畫出并指明以EG、FH、ID的長 度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；（2）若ABC的面積為1，則以EG、FH、ID的長度為三邊長的三角形的面積等于 圖3【答案】BCE的面積等于 2 . （1）如圖（答案不唯一）：以E

19、G、FH、ID的長度為三邊長的一個三角形是EGM . （2） 以EG、FH、ID的長度為三邊長的三角形的面積等于 3 檢測題3：（2012海淀二模）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：我們定義: 如果一個圖形繞著某定點旋轉(zhuǎn)一定的角度 (0 360) 后所得的圖形與原圖形重合，則稱此圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形. 如等邊三角形就是一個旋轉(zhuǎn)角為120的旋轉(zhuǎn)對稱圖形. 如圖1，點O是等邊三角形ABC的中心, D、E、F分別為AB、BC、 CA的中點, 請你將ABC分割并拼補(bǔ)成一個與ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對稱圖形. 圖2圖1E3心形于繞著一定 E1 E2 P1 P2 N1N2 M2 M1 CBA圖3GFH小明

20、利用旋轉(zhuǎn)解決了這個問題，圖2中陰影部分所示的圖形即是與ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對稱圖形.請你參考小明同學(xué)解決問題的方法，利用圖形變換解決下列問題： 如圖3，在等邊ABC中, E1、E2、E3分別為AB、BC、CA 的中點，P 1、P2, M 1、M2, N1、N2分別為AB、BC、CA的三等分點. （1）在圖3中畫出一個和ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn) 對稱圖形，并用陰影表示（保留畫圖痕跡）； （2）若ABC的面積為a，則圖3中FGH的面積為 【答案】（1）畫圖如下：(答案不唯一)（2）圖3中FGH的面積為. 檢測題4：( 2012浙江寧波)鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作，在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第二次操作，依次類推，若第n次余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準(zhǔn)菱形，如圖1，ABCD中，若AB=1，BC=2，則ABCD為1階準(zhǔn)菱形(1)判斷及推理:鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是_階準(zhǔn)菱形；小明為了得剪去一個菱形