1、第四章 平穩時間序列模型 的建立 第一節 時間序列的預處置第二節 模型識別與定階第三節 模型參數估計第四節 模型檢驗與優化第五節 其它建模方法1、建模流程 有限長度時序樣本模型識別與定階模型參數估計模型適用性檢驗模型優化2、根本前提 平穩序列Xt 零均值序列EXt=0建模步驟流程圖平穩非白噪聲序列計算樣本相關系數模型識別參數估計模型檢驗模型優化序列預測YN一、平穩性檢驗二、純隨機性檢驗三、計算樣本自相關函數四、關于非零均值的平穩序列第一節 時間序列的預處置本章所引見的是對零均值平穩序列建立ARMA模型，因此，在對實踐的序列進展模型識別之前，應首先檢驗序列能否平穩，假設序列非平穩，應先經過適當變

2、換將其化為平穩序列，然后再進展模型識別.序列的非平穩包括均值非平穩和方差非平穩.均值非平穩序列平穩化的方法：差分變換.方差非平穩序列平穩化的方法：對數變換、平方根變換等.序列平穩性的檢驗方法和手段主要有：序列趨勢圖、自相關圖、單位根檢驗、非參數檢驗方法等等.一、平穩性檢驗圖檢驗方法一時序圖檢驗 根據平穩時間序列均值、方差為常數的性質，平穩序列的時序圖應該顯示出該序列一直在一個常數值附近隨機動搖，而且動搖的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征.二自相關圖檢驗 平穩序列通常具有短期相關性.該性質用自相關函數來描畫就是隨著延遲期數的添加，平穩序列的自相關函數會很快地衰減向零.例題例1檢驗1964年1999

3、年中國紗年產量序列的平穩性例2檢驗1962年1月1975年12月平均每頭奶牛月產奶量序列的平穩性例3檢驗1949年1998年北京市每年最高氣溫序列的平穩性例1 時序圖例1 自相關圖例2 時序圖例2 自相關圖例3 時序圖例3 自相關圖一純隨機序列的定義純隨機序列也稱為白噪聲序列，它滿足如下兩條性質 二、純隨機性檢驗 二純隨機性檢驗 檢驗原理 假設條件 檢驗統計量 判別原那么運用舉例Barlett定理 假設一個時間序列是純隨機的，得到一個察看期數為 的察看序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關系數將近似服從均值為零，方差為序列察看期數倒數的正態分布1、檢驗原理2、假設條件原假設：延遲期數小于或等

4、于 期的序列值之間相互獨立備擇假設：延遲期數小于或等于 期的序列值之間有相關性 3、檢驗統計量Q統計量 LB統計量 4、判別原那么回絕原假設當檢驗統計量大于 分位點，或該統計量的P值小于 時，那么可以以 的置信程度回絕原假設，以為該序列為非白噪聲序列接受原假設當檢驗統計量小于 分位點，或該統計量的P值大于 時，那么以為在 的置信程度下無法回絕原假設，即不能顯著回絕序列為純隨機序列的假定 例4、規范正態白噪聲序列純隨機性檢驗樣本自相關圖5、運用舉例檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲6期2.360.8838延遲12期5.350.9454由于P值顯著大于顯著性程度 ，所以該序列不能回絕純隨機的原

5、假設.例5、對1950年1998年北京市城鄉居民定期儲蓄所占比例序列的平穩性與純隨機性進展檢驗 自相關圖白噪聲檢驗結果延遲階數LB統計量檢驗LB檢驗統計量的值P值675.460.00011282.57p以后截尾，即kp 時， ，而且它的自相關函數 拖尾，那么可判別此序列是AR(p)序列.假設序列xt的自相關函數 在kq以后截尾，即kq 時， ，而且它的偏自相關函數 拖尾，那么可判別此序列是MA(q)序列.假設序列xt的自相關函數、偏相關函數都呈拖尾形狀，那么可斷言此序列是ARMA序列.假設序列的自相關函數和偏自相關函數不但都不截尾，而且至少有一個下降趨勢勢緩慢或呈周期性衰減，那么可以為它也不是

6、拖尾的，此時序列是非平穩序列，應先將其轉化為平穩序列后再進展模型識別.模型定階的困難由于由于樣本的隨機性，樣本的相關系數不會呈現出實際截尾的完美情況，本應截尾的 或 仍會呈現出小值振蕩的情況由于平穩時間序列通常都具有短期相關性，隨著延遲階數 ， 與 都會衰減至零值附近作小值動搖？當 或 在延遲假設干階之后衰減為小值動搖時，什么情況下該看作為相關系數截尾，什么情況下該看作為相關系數在延遲假設干階之后正常衰減到零值附近作拖尾動搖呢？ 二、模型定階樣本相關系數的近似分布BarlettQuenouille1、閱歷定階方法95的置信區間模型定階的閱歷方法假設樣本(偏)自相關系數在最初的p階明顯大于兩倍規

7、范差范圍，而后幾乎95的自相關系數都落在2倍規范差的范圍以內，而且通常由非零自相關系數衰減為小值動搖的過程非常忽然.這時，通常視為(偏)自相關系數截尾.截尾階數為p.例1上海延中實業股票數據識別一階差分后平均每日消費汽車廢品數據的識別(n=45)美國女性失業月數據識別差分后上海延中實業股份是上海首家向社會公開發行股票的企業. 1985年1月底發行股票500萬元，其中由上海延中復印工業公司出資30萬元.上海延中實業股票收盤價根本反映了滬市股票的大致走向.總觀測期n619，先作出原序列的樣本自相關函數和樣本偏相關函數，其結果見表1和圖1.上海延中實業股票數據識別一階差分后表1 延中股票的樣本自相關

8、和樣本偏自相關函數值美國1961年1月至1985年12月間女性失業月人數時間序列美國女性失業月數據識別差分后2、殘差方差圖定階法1根本思想假設擬合的模型階數與真正階數不符合，那么模型的殘差平方和SSE必然偏大，殘差方差將比真正模型的殘差方差大。假設是缺乏擬合，那么逐漸添加模型階數，模型的殘差方差會漸減少，直到殘差方差到達最小。假設是過度擬合，此時逐漸少模型階數，模型殘差方差分逐漸下降，直到殘差方差到達最小。2殘差方差的估計公式注：式中 “實踐察看值個數是指擬合模型時實踐運用的察看值項數，即經過平穩化后的有效樣本容量。設原序列有n個樣本，假設建立的模型中有含有自回歸AR部分, 且階數為p，那么實

9、踐察看值個數為n-p個。假設沒有AR部分，那么實踐察看值個數即為n個。模型的參數個數指模型中所含的參數個數，如：假設是不帶常數項的ARMA(p,q)模型，參數個數為p+q個，假設帶有常數項，那么參數個數為p+q+1個。用Eviews建立ARMA模型后，可直接得到剩余平方和SSE(Sum squared resid)輸出結果中也可直接得到殘差規范差： S.E.of regression ，此項的平方即為殘差方差。因此，對不同的模型殘差方差進展比較，直接比較此項既可。例：以磨輪剖面數據為例，分別建立順應性模型，輸出結果見圖示，從中選擇最正確模型。三個模型殘差方差比較3、F檢驗定階法根本思想以普通情

10、形和ARMA(p,q)模型為例先對數據擬合ARMA(p,q)模型(假設不含常數項)，設其殘差平方和為Q0，再對數據擬合 較低階的模型ARMA(p-m,q-s)，設其殘差平方和為Q1。建立原假：在原假設成立的條件下有：于是計算統計量F，在給定的顯著性程度下。假設FF ，那么回絕原假設，闡明兩模型差別是顯著的，此時模型階數存在升高的能夠性。假設FF ，此不能回絕原假設，闡明兩模型差別不顯著，此時模型階數存在降低的能夠性。注：F檢驗定階法的運用條件：兩模型中有一個為適宜模型。4、最正確準那么函數定階法最正確準那么函數法，即確定出一個準那么函數，該函數既要思索某一模型擬合時對原始數據的接近程度，同時又

11、要思索模型中所含待定參數的個數。建模時，使準那么函數到達極小的是最正確模型。4.1 赤池的AIC準那么和BIC準那么 4.1.1 AIC 準那么(Akaike iformationcriterion) AIC準那么是1973年由赤池Akaike提出，此準那么是對FPE準那么(用來判別AR模型的階數能否適宜)的推行，用來識別ARMA模型的階數。AIC準那么函數為：式中，M為模型中參數的個數。AIC的簡化式為：式中： 是殘差方差 的極大似然估計值。Eviews輸出的Akaike info criterion與上述方式略有差別(參見Eviews help)，其定義為：其中：n是實踐察看值的個數。4.

12、1.2 BIC準那么柴田Shibata1976年證明AIC有過分估計自回歸參數的傾向，于是Akaike又提出了AIC方法的貝葉斯擴展，即BIC。BIC準那么函數為：式中：C為常數。余同前。4.2 施瓦茨(Schwarz)的SC準那么此準那么1978年由Schwarz提出，被稱為SBC(Schwartzs Bayesian criterion)。準那么函數：簡化式為：同樣Eviews輸出的結果與上方式略有差別，其定義為：準那么函數運用留意1、當樣本量趨于無窮時，用AIC準那么挑選的最正確模型的階數往往比真實模型階數高，而用SBC準那么確定的最正確模型的階數往往與真實模型的階數相一致。2、樣本量不

13、是很大時，SBC準那么的定階效果不及AIC。一、矩估計二、極大似然估計三、最小二乘估計 第三節 模型參數估計一、矩估計原理樣本自相關系數估計總體自相關系數樣本一階均值估計總體均值，樣本方差估計總體方差例1 求AR(2)模型系數的矩估計AR(2)模型Yule-Walker方程矩估計Yule-Walker方程的解例2 求MA(1)模型系數的矩估計MA(1)模型方程矩估計例3 求ARMA(1,1)模型系數的矩估計ARMA(1,1)模型方程矩估計對矩估計的評價優點估計思想簡單直觀不需求假設總體分布計算量小低階模型場所缺陷信息浪費嚴重只用到了p+q個樣本自相關系數信息，其他信息都被忽略估計精度差通常矩估

14、計方法被用作極大似然估計和最小二乘估計迭代計算的初始值 二、極大似然估計原理在極大似然準那么下，以為樣本來自使該樣本出現概率最大的總體。因此未知參數的極大似然估計就是使得似然函數即結合密度函數到達最大的參數值 似然方程由于 和 都不是 的顯式表達式。因此似然方程組實踐上是由p+q+1個超越方程構成，通常需求經過復雜的迭代算法才干求出未知參數的極大似然估計值 對極大似然估計的評價優點極大似然估計充分運用了每一個察看值所提供的信息，因此它的估計精度高同時還具有估計的一致性、漸近正態性和漸近有效性等許多優良的統計性質缺陷需求假定總體分布三、最小二乘估計原理使殘差平方和到達最小的那組參數值即為最小二乘

15、估計值 條件最小二乘估計實踐中最常用的參數估計方法假設條件殘差平方和方程解法迭代法對最小二乘估計的評價優點最小二乘估計充分運用了每一個察看值所提供的信息，因此它的估計精度高條件最小二乘估計方法運用率最高缺陷需求假定總體分布例4 確定1950年1998年北京市城鄉居民定期儲蓄比例序列擬合模型的口徑 擬合模型：AR(1)估計方法：極大似然估計模型口徑例5確定美國科羅拉多州某一加油站延續57天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑 擬合模型：MA(1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑例6確定1880-1985全球氣表平均溫度改動值差分序列擬合模型的口徑 擬合模型：ARMA(1,1)估計方法：條件

16、最小二乘估計模型口徑一、模型檢驗二、模型的優化 第四節 模型檢驗與優化一、模型的檢驗1、模型的平穩可逆性檢驗Eviews 估計結果直接輸出自回歸部分所對應的差分方程的特征根:inverted AR root.挪動平均部分所對應的差分方程的特征方程的特征根：inverted MA root.目的檢驗模型的有效性對信息的提取能否充分檢驗對象殘差序列斷定原那么一個好的擬合模型應該可以提取察看值序列中幾乎一切的樣本相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列. 反之，假設殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關信息未被提取，這就闡明擬合模型不夠有效.2、模型的顯著性順應性檢驗假設條件原假設：殘

17、差序列為白噪聲序列備擇假設：殘差序列為非白噪聲序列檢驗統計量LB統計量例1檢驗1950年1998年北京市城鄉居民定期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性 殘差白噪聲序列檢驗結果延遲階數LB統計量P值檢驗結論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.83613、參數顯著性檢驗目的檢驗每一個未知參數能否顯著非零.刪除不顯著參數使模型構造最精簡 假設條件檢驗統計量例2檢驗1950年1998年北京市城鄉居民定期儲蓄比例序列極大似然估計模型的參數能否顯著 參數檢驗結果檢驗參數t統計量P值結論均值46.120.0001顯著6.720.0001顯著例3 對OVERSHORTS

18、序列的擬合模型進展檢驗 殘差白噪聲檢驗參數顯著性檢驗檢驗參數t統計量P值結論均值3.750.0004顯著10.600.0001顯著延遲階數LB統計量P值結論63.150.6772模型顯著有效129.050.6171例4 對1880-1985全球氣表平均溫度改動值差分序列擬合模型進展檢驗 殘差白噪聲檢驗參數顯著性檢驗檢驗參數t統計量P值結論16.340.0001顯著3.50.0007顯著延遲階數LB統計量P值結論65.280.2595模型顯著有效1210.300.4247二、模型優化問題提出當一個擬合模型經過了檢驗，闡明在一定的置信程度下，該模型能有效地擬合察看值序列的動搖，但這種有效模型并不是

19、獨一的.優化的目的選擇相對最優模型 例7 擬合某一化學序列序列自相關圖序列偏自相關圖擬合模型一根據自相關系數2階截尾，擬合MA(2)模型參數估計模型檢驗模型顯著有效 三參數均顯著 擬合模型二根據偏自相關系數1階截尾，擬合AR(1)模型參數估計模型檢驗模型顯著有效 兩參數均顯著 例7 用AIC準那么和SBC準那么評判兩個擬合模型的相對優劣 結果AR(1)優于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.2866第五節 其它建模方法一、Pandit-Wu建模方法的根本思想二、建模步驟三、Pandit-Wu方法建模舉例一、Pandit-Wu建模