1、2021-2022高考數學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1記的最大值和最小值分別為和若平面向量、，滿足，則（ ）ABCD2如圖，內接于圓，是圓的直徑，則三棱錐體積的最大值為（ ）ABCD3已知函數，不等式對恒成立，則的取值范圍為（

2、 ）ABCD4記其中表示不大于x的最大整數，若方程在在有7個不同的實數根，則實數k的取值范圍( )ABCD5已知，則（ ）ABCD6設M是邊BC上任意一點，N為AM的中點，若，則的值為( )A1BCD7已知拋物線經過點，焦點為，則直線的斜率為（ ）ABCD8已知為定義在上的奇函數，且滿足當時，則（ ）ABCD9設是虛數單位，則“復數為純虛數”是“”的（ ）A充要條件B必要不充分條件C既不充分也不必要條件D充分不必要條件10以下四個命題：兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近1；在回歸分析中，可用相關指數的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好； 若數據的方差為1，則的方差為4；

3、已知一組具有線性相關關系的數據，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“ ，”的充要條件；其中真命題的個數為( )A4B3C2D111已知集合，則集合( )ABCD12已知雙曲線 (a0，b0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）AB(1,2),CD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知實數滿足（為虛數單位），則的值為_.14齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一

4、場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為_15已知向量，則_.16已知，復數且（為虛數單位），則_，_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在中，內角的對邊分別為，且（1）求；（2）若，且面積的最大值為，求周長的取值范圍.18（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）設點，若直線與曲線相交于、兩點，求的值19（12分）2019年12月以來，湖北省武漢市持續開展流感及相關疾病監測，發現多起病毒性肺炎病例，均診斷為病毒性肺炎/肺部感染，后被

5、命名為新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID19），簡稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計確診人數隨時間變化的散點圖.為了預測在未釆取強力措施下，后期的累計確診人數，建立了累計確診人數y與時間變量t的兩個回歸模型，根據1月15日至1月24日的數據（時間變量t的值依次1，2，10）建立模型和.（1）根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為累計確診人數y與時間變量t的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2根據（1）的判斷結果及附表中數據，建立y關于x的回歸方程；（3）以下是1月25日至1月29日累計確診人數的真實數據，根據（2）的結果回答

6、下列問題：時間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累計確診人數的真實數據19752744451559747111（）當1月25日至1月27日這3天的誤差（模型預測數據與真實數據差值的絕對值與真實數據的比值）都小于0.1則認為模型可靠，請判斷（2）的回歸方程是否可靠？（）2020年1月24日在人民政府的強力領導下，全國人民共同采取了強力的預防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真實數據明顯低于預測數據，則認為防護措施有效，請判斷預防措施是否有效？附：對于一組數據（，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數據：其中，.5.539019385764031525154700

7、10015022533850720（12分）已知函數，其中，為自然對數的底數.（1）當時，證明：對；（2）若函數在上存在極值，求實數的取值范圍。21（12分）已知函數有兩個零點.(1)求的取值范圍；(2)是否存在實數， 對于符合題意的任意，當 時均有?若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由22（10分）如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】設為、的夾角，根據題意求得，然后建立平面直角坐標系，設，根據平面向量數量積的

8、坐標運算得出點的軌跡方程，將和轉化為圓上的點到定點距離，利用數形結合思想可得出結果.【詳解】由已知可得，則，建立平面直角坐標系，設，由，可得，即，化簡得點的軌跡方程為，則，則轉化為圓上的點與點的距離，轉化為圓上的點與點的距離，.故選：A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵，考查化歸與轉化思想與數形結合思想的應用，屬于中等題.2B【解析】根據已知證明平面，只要設，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形.又因為平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，設，則，所以，所以.又因為

9、，當且僅當，即時等號成立，所以.故選：B【點睛】本題考查求棱錐體積的最大值解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設出底面三角形一邊長為，用建立體積與邊長的函數關系，由基本不等式得最值，或由函數的性質得最值3C【解析】確定函數為奇函數，且單調遞減，不等式轉化為，利用雙勾函數單調性求最值得到答案.【詳解】是奇函數，易知均為減函數，故且在上單調遞減，不等式，即，結合函數的單調性可得，即，設，故單調遞減，故，當，即時取最大值，所以.故選：.【點睛】本題考查了根據函數單調性和奇偶性解不等式，參數分離求最值是解題的關鍵.4D【解析】做出函數的圖象，問題轉化為函數的圖象在有7個交點，而函數在上有3

10、個交點，則在上有4個不同的交點，數形結合即可求解.【詳解】作出函數的圖象如圖所示，由圖可知 方程在上有3個不同的實數根，則在上有4個不同的實數根，當直線經過時，；當直線經過時，可知當時，直線與的圖象在上有4個交點，即方程，在上有4個不同的實數根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數求參數，利用函數零點和方程之間的關系轉化為兩個函數的交點是解題的關鍵，運用數形結合是解決函數零點問題的基本思想，屬于中檔題.5D【解析】令，求，利用導數判斷函數為單調遞增，從而可得，設，利用導數證出為單調遞減函數，從而證出，即可得到答案.【詳解】時，令，求導，故單調遞增：，當，設， ，又，即，故.故選：D【點睛】本

11、題考查了作差法比較大小，考查了構造函數法，利用導數判斷式子的大小，屬于中檔題.6B【解析】設，通過，再利用向量的加減運算可得，結合條件即可得解.【詳解】設，則有.又，所以，有.故選B.【點睛】本題考查了向量共線及向量運算知識，利用向量共線及向量運算知識，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向量表示法唯一來解決問題.7A【解析】先求出，再求焦點坐標，最后求的斜率【詳解】解：拋物線經過點，故選：A【點睛】考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式，基礎題.8C【解析】由題設條件，可得函數的周期是，再結合函數是奇函數的性質將轉化為函數值，即可得到結論.【詳解】由題意，則函數的周期是，所以，又函數為上的奇

12、函數，且當時，所以，.故選：C.【點睛】本題考查函數的周期性，由題設得函數的周期是解答本題的關鍵，屬于基礎題.9D【解析】結合純虛數的概念，可得，再結合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數為純虛數，則，所以，若，不妨設，此時復數，不是純虛數，所以“復數為純虛數”是“”的充分不必要條件.故選：D【點睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數的概念，理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵，屬于基礎題.10C【解析】根據線性相關性與r的關系進行判斷, 根據相關指數的值的性質進行判斷,根據方差關系進行判斷,根據點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數據的中心點，而回歸直線必過樣本中

13、心點，可進行判斷.【詳解】若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數r的絕對值越接近于1,故正確;用相關指數的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故錯誤;若統計數據的方差為1,則的方差為,故正確;因為點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數據的中心點，即，不一定成立，而回歸直線必過樣本中心點，所以當，時，點 必滿足線性回歸方程 ；因此“滿足線性回歸方程”是“ ，”必要不充分條件.故 錯誤;所以正確的命題有.故選：C.【點睛】本題考查兩個隨機變量的相關性，擬合性檢驗，兩個線性相關的變量間的方差的關系，以及兩個變量的線性回歸方程，注意理解每一個量的定義，屬于基礎題.11D【解析】根據

14、集合的混合運算，即可容易求得結果.【詳解】，故可得.故選：D.【點睛】本題考查集合的混合運算，屬基礎題.12A【解析】若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率根據這個結論可以求出雙曲線離心率的取值范圍【詳解】已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，離心率，故選：【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由虛數單位的性質結合復數相等的條件列式求得，的值，則答案可求【詳解】解：由，所以

15、，得，故答案為：【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查虛數單位的性質，屬于基礎題14.【解析】分析：由題意結合古典概型計算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的中等馬，結合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數(1)基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉(2)注意區分排列與組合，以及計數原理的正確使用.152【解析

16、】由得，算出，再代入算出即可.【詳解】，解得：，則.故答案為：2【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，向量垂直的性質，向量的模的計算.16 【解析】復數且，故答案為，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式及三角形內角和定理，將化簡為，求出的值，結合，求出A的值；（2）寫出三角形的面積公式，由其最大值為求出.由余弦定理，結合，求出的范圍，注意.進而求出周長的范圍.【詳解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由題意知，又，又周長的取值范圍是【點睛】本題考查了二倍角余弦公式，三角形面積公式，余弦定理的應用，求三角形的周長的范圍問

17、題.屬于中檔題.18（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）.【解析】（1）在曲線的參數方程中消去參數可得出曲線的普通方程，利用兩角和的正弦公式以及可將直線的極坐標方程化為普通方程；（2）設直線的參數方程為（為參數），并設點、所對應的參數分別為、，利用韋達定理可求得的值.【詳解】（1）由，得，曲線的普通方程為，由，得，直線的直角坐標方程為；（2）設直線的參數方程為（為參數），代入，得，則，設、兩點對應參數分別為、，.【點睛】本題考查了參數方程、極坐標方程與普通方程之間的轉化，同時也考查了直線參數方程幾何意義的應用，考查計算能力，屬于中等題.19（1）適宜（2）（3）（）回歸方程可靠（）防護

18、措施有效【解析】（1）根據散點圖即可判斷出結果.（2）設，則，求出，再由回歸方程過樣本中心點求出，即可求出回歸方程.（3）（）利用表中數據，計算出誤差即可判斷回歸方程可靠；（）當時，與真實值作比較即可判斷有效.【詳解】（1）根據散點圖可知：適宜作為累計確診人數與時間變量的回歸方程類型；（2）設，則，；（3）（）時，當時，當時，所以（2）的回歸方程可靠：（）當時，10150遠大于7111，所以防護措施有效.【點睛】本題考查了函數模型的應用，在求非線性回歸方程時，現將非線性的化為線性的，考查了誤差的計算以及用函數模型分析數據，屬于基礎題.20 (1)見證明；(2) 【解析】（1）利用導數說明函數的

19、單調性，進而求得函數的最小值，得到要證明的結論；（2）問題轉化為導函數在區間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導函數的單調性及值域，從而得到結論.法二：構造函數，利用函數的導數判斷函數的單調性求得函數的值域，再利用零點存在定理說明函數存在極值【詳解】(1)當時，于是，.又因為，當時，且.故當時，即. 所以，函數為上的增函數，于是，.因此，對，；(2) 方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點，當時，為上的增函數，注意到，所以，存在唯一實數，使得成立. 于是，當時，為上的減函數；當時，為上的增函數；所以為函數的極小值點； 當時，在上成立，所以在上單調遞增，所以在上沒有極值；當

20、時，在上成立，所以在上單調遞減，所以在上沒有極值， 綜上所述，使在上存在極值的的取值范圍是.方法二：由題意，函數在上存在極值，則在上存在零點.即在上存在零點. 設，則由單調性的性質可得為上的減函數.即的值域為，所以，當實數時，在上存在零點.下面證明，當時，函數在上存在極值.事實上，當時，為上的增函數，注意到，所以，存在唯一實數，使得成立.于是，當時，為上的減函數；當時，為上的增函數；即為函數的極小值點.綜上所述，當時，函數在上存在極值.【點睛】本題考查利用導數研究函數的最值，涉及函數的單調性，導數的應用，函數的最值的求法，考查構造法的應用，是一道綜合題21 (1)；(2).【解析】（1）對求導，對參數進行分類討論，根據函數單調性即可求得.（2）先根據，得，再根據零點解得，轉化不等式得，令，化簡得，因此 ，最后根據導數研