1、數學分析課件傅里葉級數一、三角級數正交函數系 在科學實驗與工程技術的某些現象中, 常會碰到一 種周期運動. 最簡單的周期運動, 可用正弦函數 來描述. 由(1)所表達的周期運動也稱為簡諧振動, 其中A為振幅. 為初相角, 為角頻率, 于是簡諧 振動y 的周期是 較為復雜的周期運動, 則 常常是幾個簡諧振動 由于簡諧振動 的周期為所以函數(2)周期為T. 對無窮多個簡諧振動進行疊 加就得到函數項級數 的疊加： 若級數(3)收斂, 則它所描述的是更為一般的周期運 動現象. 對于級數(3), 只須討論 (如果可 用代換x )的情形. 由于 所以它是由三角函數列(也稱為三角函數系)所產生的一般形式的三

2、角級數. 容易驗證,若三角級數(4)收斂,則它的和一定是一 個以 為周期的函數. 關于三角級數(4)的收斂性有如下定理:則級數( )可寫成 定理 15.1 若級數收斂,則級數(4)在整個數軸上絕對收斂且一致收斂. 證 對任何實數x,由于根據優級數判別法, 就能得到本定理的結論.為進一步研究三角級數(4)的收斂性, 先討論三角函 數系 (5) 的特性. 首先容易看出三角級數系(5)中所 其次, 在三角函數系(5)中, 任何兩個不相同的函數 有函數具有共同的周期 的乘積在 上的積分等于零,即而(5)中任何一個函數的平方在 上的積分都不等于零, 即 若兩個函數與在上可積, 且 則稱與在上是正交的,

3、或在上具有正 交性. 由此三角函數系(4)在上具有正交性. 或者說(5)是正交函數系. 現應用三角函數系(5)的正交性來討論三角級數(4) 的和函數 f 與級數(4)的系數之間的關系.定理15.2 若在整個數軸上 且等式右邊級數一致收斂, 則有如下關系式: 二、以 為周期的函數的傅里葉級數 證 由定理條件, 函數 f 在上連續且可積. 對 (9)式逐項積分得 由關系式(6)知, 上式右邊括號內的積分都等于零. 所以 即又以乘(9)式兩邊 (k為正整數), 得從第十三章1 習題4知道, 由級數(9)一致收斂,可 得級數(11)也一致收斂. 于是對級數(11)逐項求積, 有 由三角函數的正交性,

4、右邊除了以為系數的那一 項積分 外,其他各項積分都等于0,于是得出: 即同理,(9)式兩邊乘以sin kx,并逐項積分, 可得 由此可知, 若f 是以 為周期且在 上可積的 函數, 則可按公式(10)計算出 和, 它們稱為函數 f (關于三角函數系(5) ) 的傅里葉系數,以 f 的傅里 葉系數為系數的三角級數(9)稱為 f (關于三角函數 系) 的傅里葉級數, 記作 這里記號“”表示上式右邊是左邊函數的傅里葉級 數, 由定理15.2知道: 若(9)式右邊的三角級數在整 個數軸上一致收斂于和函數 f , 則此三角級數就是 f 的傅里葉級數,即此時(12)式中的記號“”可換為 函數 f 出發,

5、按公式(10)求出其傅里葉系數并得到 傅里葉級數(12) , 這時還需討論此級數是否收斂.如果收斂, 是否收斂于 f 本身. 這就是下一段所要 敘述的內容. 等號. 然而, 若從以 為周期且在上可積的 函數 f 在 上按段光滑, 則在每一點f 的傅里葉級數(12)收斂于f 在點x 的左、右極限的 算術平均值, 即 其中為f 的傅里葉系數. 定理的證明將在3中進行. 定理15.3(傅里葉級數收斂定理) 若以 為周期的 三、收斂定理注 盡管傅里葉級數的收斂性質不如冪級數,但它對 函數的要求卻比冪級數要低得多, 所以應用更廣. 而且即將看到函數周期性的要求也可以去掉. 概念解釋1. 若f 的導函數在

6、 上連續, 則稱f在a, b上光滑. 2. 如果定義在 上函數f 至多有有限個第一類間 斷點,其導函數在a, b上除了至多有限個點外都存 在且連續, 并且在這有限個點上導函數 的左、右 極限存在, 則稱 f 在 上按段光滑. 在a, b上按段光滑的函數 f ,有如下重要性質: (i) f 在 上可積.(ii) 在 上每一點都存在 , 如果在不連續 點補充定義 , 或 , 則 還有 (iii) 在補充定義在上那些至多有限個不存在 導數的點上的值后 ( 仍記為 ), 在a, b上可積. 從幾何圖形上講, 在 區間a, b上按段光滑 光滑函數,是由有限個 多有有限個第一類間 斷點 (圖15-1).

7、光滑弧段所組成,它至 收斂定理指出, f 的傅里葉級數在點 x 處收斂于 在該點的左、右極限的算術平均值而當 f 在點 x 連續時,則有即此時f的傅里葉級數收斂于 . 這樣便有 上按段光滑, 則 f 的傅里葉級數在 上收斂 于 f . 推論 若 f 是以 為周期的連續函數, 且在 所以系數公式(10)中的積分區間 可以改為長 其中 c 為任何實數.注2 在具體討論函數的傅里葉級數展開式時, 經常 只給出函數在 (或 )上的解析式, 但讀 注1 根據收斂定理的假設,f 是以 為周期的函數, 度為 的任何區間, 而不影響 , 的值: 者應理解為它是定義在整個數軸上以 為周期的函 數, 即在 以外的

8、部分按函數在 上的對 應關系做周期延拓. 也就是說函數本身不一定是定 義在整個數軸上的周期函數, 但我們認為它是周期 函數. 如 f 為 上的解析表達式, 那么周期延拓 后的函數為 如圖15-2所示. 因此當籠統地說函數的傅里葉級數 時就是指函數 的傅里葉級數. 例 1 設 求 f 傅里葉級數展 開式.解 函數 f 及其周期延拓后的圖像如圖15-3 所示, 顯然 f 是按段光滑的. 故由傅里葉級數收斂定理, 它可以展開成傅里葉級 數. 由于 當n1時, 所以在開區間 上在時, 上式右邊收斂于 于是, 在 上 f 的傅里葉級數的圖象如圖15-4 所示( 注意它與圖15-3 的差別 ).例2 將下列函數展開成傅里葉級數: 解 f 及其周期延拓的 圖形如圖15-5 所示. 顯然 f 是按段光滑的, 因此可以展開成傅里 葉級數. 在( )中令 , 在 上計算傅里葉系數如下: 所以當 時, 當時, 由于所以因此當或 時, 由于由(14)或(15)都可推得注 上式提供了一個計算 的方法. 還可以找出其他 展開式來計算 , 關鍵是收斂速度要快. 例3 在電子技術中經常用到矩形波(如圖15-6所示), 反映的是一種復雜的周期運動, 用傅里葉級數展開 后, 就可以將復雜的矩