1、風險與收益的數學度量 第一章 根底知識 成效函數隨機占優.第一章 根底知識 第一節 風險與收益的數學度量證券投資收益率的數學公式 為證券第t期末的價錢；為證券第t期初的價錢；為證券在第t期的股息、紅利等現金收入；.單個證券收益和風險的度量 對于單個證券而言，假設收益率服從離散型分布投資時機的盈利性收益和風險可表示為： 實踐運用中，經常用樣本均值與方差，來做近似替代：第一章 根底知識 . 有時也用R的下側方差lower partial variance,簡記為LPV來描畫風險。 假設收益率服從分布函數為F(r)的延續型分布，那么其下側方差為： 假設收益率服從分布律為P(R=ri)=hi的離散型分

2、布，那么其下側方差為： 還有用概率來描寫風險的，如Domar以為：假設某一投資時機的最小允許量用r0表示，就可以用p(R r0)的大小來描畫風險。 實踐上，我們可以采用一個普通的數學度量范數來描畫風險，以上對風險的描畫方法只不過是其中的特例罷了。第一章 根底知識 .證券組合收益和風險的度量 假設某個投資者面臨的是一組由m個證券組成的投資時機，令第i個證券的投資收益率為 ,投資組合的收益率為隨機變量 投資時機組合的收益可表示為 投資時機的風險可以用 的協方差矩陣來表示： 顯然，協方差矩陣是對稱矩陣。 第一章 根底知識 其中為證券i收益率的方差； 為證券i和證券j的收益率之間的協方差，即.協方差矩

3、陣通常有如下性質：第一章 根底知識 證明 證畢. .第一章 根底知識 證明 證畢. . 詳細到由收益率為 和 兩種證券組成的投資組合而言，假定收益率均為離散型隨機變量，并且結合分布律為投資時機的風險可以用兩種證券收益率的協方差來表示：無量綱！ 實踐運用中，由于無法得到證券整體的目的，普通用樣本目的來近似替代。第一章 根底知識 .解 第一章 根底知識 .第二節 成效函數第一章 根底知識 引例1按照期望收益率最大準那么, 應該選擇投資時機B。 然而，對于投資時機A而言，雖然期望收益率低于投資時機B，但是它的收益是確定的，而投資時機B卻有7/10的能夠得到的為負或者是零收入,對于一個謹慎的投資者而言

4、，寧愿選擇投資時機A，而不選擇B。.第一章 根底知識 引例2按照期望收益最大準那么，不難得到參賭人所獲得收入的期望值為： 也就是說參賭人只需拿出有限的錢來參與這種賭博得到的收益都是無限大的。這顯然不符合現實！單獨運用期望收益來進展投資決策不合理！ .第一章 根底知識 成效函數概述 成效utility 成效的本意是一種客觀感受,是一種客觀志愿的滿足程度.本課程調查的是在投資活動中對投資結果的稱心程度,即為投資的成效. 成效函數utility function 成效函數是對稱心程度的量化.成效函數可分為:這種成效函數只反映一種稱心程度的順序關系.序數成效函數ordinal utility func

5、tion:基數成效函數cardinal utility function 這種成效函數可以度量成效的詳細數值.因此它不僅能反映投資成效的順序,也度量出了它們之間的大小數量關系. .第一章 根底知識 成效函數的詳細運用分為確定性形狀和不確定性形狀兩種.確定性形狀下的成效函數:如商品配置問題不確定性形狀下的成效函數期望成效函數 所謂期望成效函數是定義在一個隨機變量集合上的函數，它在一個隨機變量上的取值等于它作為數值函數在該隨機變量上取值的數學期望。用它來判別有風險的利益，那就是比較“錢的函數的數學期望. 可以證明,在確定形狀下的序數成效函數存在，在不確定性形狀下基數成效函數存在. .第一章 根底知

6、識 成效函數的運用風險態度 風險厭惡型 至少在某一點不等號成立. 實踐上,絕大多數的投資者都具有該類成效函數,即屬于風險厭惡型投資者.如假定,成效函數的二階導數小于零,即人們通常所說的邊沿成效遞減規律.這類投資者的成效函數滿足：.第一章 根底知識 風險厭惡型效應函數為凹函數,即期望的成效大于成效的期望,這就是重要的不等式Jensen不等式.證明 不等式兩邊同時求期望,可得亦即 ， 即 證畢. .第一章 根底知識 風險喜好型這類投資者現實生活中很少的成效函數滿足：至少在某一點不等號成立. 顯然,該函數是增函數,而且是凸函數,其曲線如下圖 同理,可以證明風險喜好型投資者的期望的成效小于成效的期望,

7、即.第一章 根底知識 第一章 根底知識 風險中性型這類投資者的成效函數滿足:顯然,該函數是斜率為正的直線,如下圖:同理,可以證明風險中性型投資者的期望的成效等于成效的期望,即.第一章 根底知識 常見的風險厭惡型成效 絕對風險厭惡遞減型投資者:該類型的投資者的偏好表現為:當R 的數值相當大時,他們對風險的厭惡程度就會降低,往往還會多進展一些風險性投資.即:至少在某一點不等號成立. 相對風險厭惡函數將絕對風險厭惡函數代入上式展開,得到即：絕對風險厭惡型投資者的成效函數須同時滿足： 絕對風險厭惡函數.第一章 根底知識 幾種常用的風險厭惡型成效函數：1、指數成效函數顯然 2、冪成效函數顯然 冪成效函數

8、的投資者是絕對風險厭惡遞減型。3、對數成效函數(Bernoulli函數)顯然 .第一章 根底知識 假設假設參賭者具有對數成效函數,就能處理圣彼得堡悖論，于是又稱對數成效函數為Bernoulli函數。假設參與賭博者都是風險厭惡型，他們都具有一樣的成效函數 而 于是 這闡明，假設參賭者的偏好真正由成效函數確定,那么他們至多只會花2元來參與賭博.第一章 根底知識 單期Merton比率 資產分配優化中的一個重要的比率Merton比率，是1997年諾貝爾經濟學獎獲得主Merton于1969年在他的一篇重要論文中推導出來的。 .第一章 根底知識 另外，一個周期末，風險性資產的期望收益率為.第一章 根底知識

9、 于是，該投資者的期望成效為由期望成效最大原那么，對期望成效函數關于a求導，并令其為零，可得a即為單期Merton比率. .第一章 根底知識 第三節 隨機占優 Rothschild-Stiglitz(1970,1971)提出了更普通的比較不同資產風險的分析框架在效應實際的架構下，采用隨機占優Stochastic Dominance方法來判別兩個投資時機的優劣。 期望成效最大化投資決策的前提是先確定成效函數，然而成效函數“只可意會，不可言傳，很難對成效進展準確的量化。 由于投資時機的收益率R是一個隨機變量，因此可以采用數學上專門研討各種條件下隨機變量優劣比較的方法隨機序來討論投資決策問題，并根據

10、成效函數的性質采取漸進式的決策方法。投資決策隨機優勢準那么FSDSSD TSD， , 隨機序.第一章 根底知識 一階隨機占優First-order Stochastic Dominance FSD準那么 FSD準那么的證明 充分性 那么 于是.第一章 根底知識 因此 必要性(反證法)即 因此 矛盾. 證畢. .第一章 根底知識 FSD準那么的解釋 即而即亦即.第一章 根底知識 FSD準那么的圖形表示 圖中的三條曲線分別代表三個投資時機A，B，C的收益率分布函數，根據FSD準那么，不難判別投資時機B和投資時機C均優于投資時機A，但是投資時機B與投資時機C的優劣無法判別。.第一章 根底知識 二階隨

11、機占優Second-order Stochastic Dominance SSD準那么 SSD準那么的證明 先證充分性 .于是有 下證必要性，同樣用反證法。.于是， 由題設可知， 并且 要使恒大于零，即 與假設矛盾. 證畢. .第一章 根底知識 SSD準那么的圖形表示當兩個投資時機收益率的分布函數曲線相交時，FSD準那么失效。 如圖區域內有“+號的，表示FB(r)超越FA(r)的積分面積，區域內有“號的，表示FA(r)超越FB(r)的積分面積，且前者區域帶“+號的面積大于后者區域帶“號的面積所示，投資時機A與投資時機B收益率的分布函數雖然有相交的景象，但是依然可以判別A優于B。.第一章 根底知

12、識 而又不難得到 0 即 從而投資時機A優于投資時機B。 .第一章 根底知識 三階隨機占優Third-order Stochastic Dominance TSD準那么 先證充分性 TSD準那么的證明 .而(留作練習!)于是由題設 顯然有. 下證必要性，同樣用反證法。分兩種情況思索第一章 根底知識 .第一章 根底知識 .第一章 根底知識 隨機優勢準那么的普通決策過程為：1在諸多的可行的投資時機中，用FSD準那么進展選擇，除去劣類投資時機；2在經過FSD準那么的投資時機中，繼續用SSD準那么進展選擇，除去劣類投資時機；3對經過SSD準那么的投資時機，進一步用TSD準那么進展選擇，經過的即為SD最優的投資時機。.第一章 根底知識 【本章要點】成效函數期望成效最大準那么基于成效函數的風險態