1、第九章 二叉樹模型范 閩金融工程研討中心.教學目的與要求二叉樹圖方法是為期權和其他衍生證券進展估值的一個非常有用的方法。本章對這一方法在股票期權估值上的運用進展了引見。經過本章的學習，要求可以掌握運用單步和兩步二叉樹圖方法對歐式期權和美式期權進展估值的方法，了解并掌握衍生證券估值中的風險中性原理。.教學重點及難點一、用二叉樹圖方法對期權進展估值的根本思緒二、風險中性估值原理 三、Delta的含義和計算.9.1 單步二叉樹圖9.2 風險中性估值9.3 兩步二叉樹圖9.4 美式期權估值9.5 Delta9.6 二叉樹模型在實踐中的運用.9.1 單期二叉樹模型證券價錢的延續動搖證券價錢的動搖是一個延

2、續不斷的過程。PtPt-1+t , tN(0,2)假設假設新的沖擊出現，證券價錢是隨機游走的。證券價錢變動簡單化在非常短的時間內，可以假定證券價錢動搖只需兩種能夠：上升或下降。PtPt(1+u), 0.5; Pt(1+d), 0.5.收益率與方差概率密度價錢Pt=Pt-1+tPt=Pt-1+tPt=Pt-1+x+t.1.10.91.01.20.80.90.71.11.31.0簡單二叉樹模型0123time. 9.1.1 二叉樹圖的構造問題 假設一種股票當前價錢為$20，三個月后的價錢將能夠為$22或$18。假設股票三個月內不付紅利。有效期為3個月的歐式看漲期權執行價錢為$21。如何對該期權進展

3、估值？.股票價錢運動的一個例子股票價錢=20股票價錢=22期權價錢=1股票價錢=18期權價錢=0圖9-1 單步二叉樹模型時間3個月，無風險利率12%. 思緒 根據期權的特性，顯然可以用如圖9-1所示的二叉樹圖來描畫股票和期權的價錢運動。假設可以用這種股票和期權構造一個組合，使得在三個月末該組合的價值是確定的，那么，根據該組合的收益率等于無風險收益率無套利假設，可以得到構造該組合所需本錢現值，而組合中股票的價錢是知的，于是可以得出期權的價錢。 構造一個證券組合，該組合包含一個股股票多頭頭寸和一個看漲期權的空頭頭寸。. 由圖9-1可知，當股票價錢從$20上升到$22時，該證券組合的總價值為22-1

4、；當股票價錢從$20下降到$18時，該證券組合的總價值為18。 完全可以選取某個值，使得該組合的終值對在上述兩種情況下是相等的。這樣，該組合就是一個無風險組合。 由 221=18 得 =0.25 因此，一個無風險的組合由0.25股股票和一個期權空頭構成。經過計算可知，無論股票價錢是上升還是下降，在期權有效期的末尾，該組合的價值總是$4.5。 . 在無套利假設下，無風險證券組合的盈利必定為無風險利率。 假設無風險利率為年率12。那么該組合的現值應為： 4.5e-0.120.25=4.3674 股票如今的價錢知為$20。用f表示期權的價錢。因此，由 200.25f=4.3674 得 f=0.633

5、 假設期權價錢偏離0.633，那么將存在套利時機。.另一種求解的思緒我們也可以構造如下投資組合：組合A：股的股票和B元的現金或負債，假設B0組合B：一單位期權我們希望：在期末，組合A與B的價值都相等 ST=22或ST=18 那么，期權的價錢c就可以由組合A的價錢求得首先需求確定與B，可以求解如下方程組：22+Be0.120.25=118+Be0.120.25=0求解得到=0.25，以及B=-4.367因此，f=20+B=0.633. 9.1.2 普通結論 思索一個無紅利支付的股票，股票價錢為S?；谠摴善钡哪硞€衍生證券的當前價錢為f。假設當前時間為零時辰，衍生證券給出了在T時辰的盈虧情況 。

6、一個證券組合由股的股票多頭和一個衍生證券空頭構成。 假設股票價錢上升,在有效期末該組合的價值為： Sufu 假設股票價錢下降，在有效期末該組合的價值為： Sdfd .SfSufuSdfd圖9-2 單步二叉樹圖中的股票價錢與衍生證券價錢. 當兩個價值相等時 Su-fu =Sd- fd 即 9.1 該組合是無風險的，收益必得無風險利率。在T時辰的兩個節點之間運動時，是衍生證券價錢變化與股票價錢變化之比。. 用r表示無風險利率，該組合的現值應為： 而構造該組合的本錢是： 因此 . 將式9.1代入上式，得到 9.2其中 9.3 運用單步二叉樹圖方法，式9.2和9.3就可為衍生證券估值。. 9.1.3

7、股票預期收益的無關性 衍生證券定價公式9.2并沒有用到股票上升和下降的概率。這似乎不符合人們的直覺，由于人們很自然地假設假設假設股票價錢上升的概率添加，基于該股票的看漲期權價值也添加，看跌期權的價值那么減少。 之所以如此，緣由在于，我們并不是在完全的條件下為期權估值，而只是根據標的股票的價錢估計期權的價值。未來上升和下降的概率曾經包含在股票的價錢中。它闡明，當根據股票價錢為期權估值時，我們不需求股票價錢上漲下降的概率。 . 9.2 風險中性估值9.2.1 風險中性估值原理 式9.2中的變量p可以解釋為股票價錢上升的概率，于是變量1p就是股票價錢下降的概率。這樣， pfu+(1-p)fd 就是衍

8、生證券的預期收益。于是，式9.2可以表述為：衍生證券的價值是其未來預期值按無風險利率貼現的值 。. 同樣，按照上式對p的解釋，在T時辰預期的股票價錢 E(ST)=pSu+(1-p)Sd 即 E(ST)=pS(u-d)+Sd 。 將式9.2中的p代入上式，得 E(ST)=SerT 9.4 這闡明，平均來說，股票價錢以無風險利率增長。因此，設定上升運動的概率等于p就是等價于假設股票收益等于無風險利率。 . 我們把每一個人是風險中性的世界稱為風險中性世界 risk-neutral world 。在這樣的世界中，投資者對風險不要求補償，一切證券的預期收高效益是無風險利率。式9.4闡明，當設定上升運動的

9、概率為p時，我們就在假設一個風險中性世界 。式9.2闡明，衍生證券的價值是其預期收益在風險中性世界中按無風險利率貼現的值。 以上過程闡明，當為期權和其它衍生證券估值時，完全可以假設，世界是風險中性的。這就是所謂風險中性risk-neutral valuation原理。在風險中性世界中得到的價錢，在現實世界中也是正確的。 . 9.2.2 風險中性估值舉例 我們將風險中性估值原理運用于圖8-1的例子。 在風險中性世界，股票的預期收益率一定等于無風險利率12。那么有： 22p+18(1-p)=20e0.120.25 即 4p=20e0.120.25-18 得 p=0.6523 在三個月末尾:看漲期權

10、價值為$1的概率為0.6523，價值為零的概率為0.3477。因此，看漲期權的期望值為： 0.65231+0.34770=$0.6523 按無風險利率貼現得期權如今的價值： f=0.6523e-0.120.25 =0.633. 9.3 兩步二叉樹圖9.3.1 兩步二叉樹圖的構造 假設一種股票開場的價錢為$20，并在圖8-3所示的兩步二叉樹圖的每個單步二叉樹圖中，股票價錢可以上升10或者下降10。 假設在每個單步二叉樹的步長是三個月，無風險利率是年率12。思索一個執行價錢為$21的期權。 在圖8-3中，很容易得到，在節點D，期權價錢為$3.2；在節點E和F，期權價錢為零。 在節點B的期權價錢計算

11、如下：. . u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在節點B的期權價錢為： e-0.120.25(0.65233.2十0.34770)=2.0257 在節點C，期權價錢為0。 在節點A的期權價錢為：e-0.120.25(0.65232.0257十0.34770)=1.2823 在構造這個例子時，u和d(股票價錢上升和下降的比率)在樹圖的每個節點上是一樣的，每個單步二叉樹的時間長度是相等的。由式9.3可得風險中性的概率p，它在每個節點都是一樣的。. 9.3.2 普通結論 如圖8-4所示，初始股票價錢為S。在每個單步二叉樹中，股票價錢或者上升到初始值的u倍，或下降

12、到初始值的d倍。假設無風險利率是r。每個單步二又樹的時間長度是t年。 反復式9.2的計算，給出： 9.5 9.6 9.7. . 將式9.5和9.6代入式9.7，得到： 9.8 式中，p2，2p(1-p)和(1-p)2是到達最后上、中、下三個節點的概率。衍生證券的價錢等于它在它在風險中性世界的預期收益按無風險利率貼現的值。 假設在樹圖中參與更多的步(step)以推行運用二叉樹圖方法，風險中性估值的原理不斷是成立的。衍生證券的價錢總是等于它在風險中性世界的預期收益按無風險利率貼現的值。 . 9.3.3 看跌期權的例子 思索一個兩年期歐式看跌期權，股票的執行價錢為$52，當前價錢為$50。 假設價錢

13、為兩步二叉樹，每個步長為一年。在每個單步二叉樹中股票價錢或者按比率上升20，或者按比率下降20。無風險利率為5。 .圖9-5 兩步二叉樹法為歐式看跌期權估值504.1923601.4147409.46367203220484構造如圖9-5所示的兩步二叉樹圖。風險中性概率P的值為： . 最后股票的能夠價錢為$72、$48和$32。在這種情況下，fuu=0,fud=4,fdd=20,t=1，利用公式9.8，得到看跌期權的價錢f=e-20.051(0.628220+20.62820.37184+0.3718220)=4.1923 利用每個單步二步二叉樹向回倒推算，也可以得到這個結果。 實踐上，假設股

14、票價錢的變化是二值的，那么任何基于該股票的衍生證券都可以運用二叉樹模型進展估值。. 9.4 美式期權估值9.4.1 方法 二叉樹模型可以用于為美式期權估值。方法是：從樹圖的最后末端向開場的起點倒推計算。在每個節點檢驗提早執行能否最正確。在最后節點的期權價值與歐式期權在最后節點的期權價值一樣。在較早的一些節點，期杈的價值是取如下兩者之中較大者： 1由式9.2求出的值。 2提早執行所得的收益。 . 9.4.2 舉例 思索一個兩年期美式看跌期權，股票的執行價錢為$52，當前價錢為$50。假設價錢為兩步二叉樹，每個步長為一年，在每個單步二叉樹中股票價錢或者按比率上升20，或者按比率下降20。無風險利率

15、為5。 如圖9-6所示，在節點B，期權的價值為$1.4147，而提早執行期權的損益為負值(-$8)。在節點B提早執行不是明智的，此時期權價值為1.4147。在節點C，期權的價值為$9.4636，而提早執行期權的損益為$12.0。在這種情況下，提早執行是最正確的，因此期權的價值為$12.0。. . 在初始節點A，求出的期權價值為:f= e-0.051(0.62821.4147+0.371812.0)=5.0894 而提早執行的價值為$2.0。在這種情況下，提早執行是不明智的。因此期權的價值為$5.0894。 . 9.5 Delta9.5.1 Delta的含義 股票期權的Delta是股票期權價錢的

16、變化與標的股票價錢的變化之比，是為了構造一個無風險對沖，對每一個賣空的期權頭寸我們應該持有的股票數目。 構造無風險對沖有時就稱之為Delta對沖(delta hedging)。 看漲期權的Delta是正值，而看跌期權的Delta是負值。. 9.5.2 Delta的計算 以圖8-3所示的看漲期權估值為例，該看漲期權的Delta計算如下： 這是由于當股票價錢從18變化到22時，期權價錢從0變化到1。 在圖8-3中，對于第一個時間步，股票價錢變動的Delta為：. 假設在第一個時間步之后，還有一個向上的運動，那么在第二個時間步股票價錢變動的Delta為： 假設在第一個時間步之后，還有一個向下的運動，那么在第二個時間步股票價錢變動的Delta為：. 在圖8-5中，第一個時間步的Delta為： 在第二個時間步，有兩個Delta： 或者. 上面的兩個例子闡明，Delta值隨時間而變化。這意味著利用期