1、第2章 離散時間信號和離散時間系統補充：模擬頻率和數字頻率數字頻率 -一個很重要卻容易引起誤解的參數。設有一個正弦波式中， 是幅度， 是模擬角頻率，單位為弧度/秒，是連續時間，單位為秒。正弦波的周期為 ,它的倒數是模擬頻率 ，單位是赫茲。角頻率和頻率之間的關系是 。 以采樣周期 對正弦波取樣，取樣頻率為 ，單位為赫茲。離散取樣點 ，取樣后得到的正弦序列為定義數字頻率則得到與模擬正弦信號對比正弦序列表達式中的 與正弦波表達式中的 ，位置和作用類似，因此將 定義模擬（角）頻率，單位是rad/s， 單位是rad 定義數字頻率，單位是rad， 單位是rad又被稱為歸一化頻率。將式 和 ，帶入式得到數字

2、頻率的另外一種形式 這表明，數字頻率是一個與取樣頻率有關的頻率度量，即數字頻率是模擬頻率用取樣頻率歸一化后的弧度數。 因此，對一個正弦波進行取樣，使用的取樣頻率不同，所得到的正弦序列的數字頻率也不同。上式還可以改寫成 表示每秒對正弦波取樣的點數； 表示正弦波每秒周期性重復的次數； 表示正弦波每個周期內取樣點的數目。所以， 是指每相鄰兩個取樣點之間的相位差的弧度數。 表示每秒對正弦波取樣的點數； 表示正弦波每秒周期性重復的次數； 表示正弦波每個周期內取樣點的數目。所以， 是指每相鄰兩個取樣點之間的相位差的弧度數。6.正弦型序列正弦型序列定義為式中， 為幅度， 為數字域頻率它表示序列變化的快慢速率

3、， 為初相， 的單位為弧度。例：則每10點重復一次正、余弦變化 正弦型序列是包絡為正、余弦變化的序列。對模擬正、余弦信號采樣可以得到正、余弦序列。3 4 5 6 70 1 28 9 10 11 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 對模擬正、余弦信號采樣可以得到正、余弦序列。例其中，為數字域頻率，為采樣周期所以思考：周期信號經等間隔采樣后得到序列一定是周期序列？則 周期序列，周期為N 如果對模擬周期信號采樣后得到序列，未必是周期序列！例如，模擬正弦采樣信號一般表示為式中， 是取樣頻率； 是模擬周期信號頻率。可由以下條件判斷 是否為周期序列：（1） ， 為整數，則 是周期序列，周期為

4、 。（2） ， 、 為整數，則 是周期序列，周期為 。（3） 為無理數，則 不是周期序列。7.斜變序列斜變序列是包絡為線性變化的序列，表示式為0 1 2 3 43 21補充：序列的運算對應項相乘形成新的序列序列的每一項乘以標量 b.標量乘以序列2、 a.序列相乘對應項相加形成新的序列1、序列相加3.翻褶(折迭) 如果有 ,則 是以n=0為對稱軸將x(n)加以翻褶的序列-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8-2n4、移序或移位位逐項左移（超前）位逐項右移（延時）0 1 2321-1321-1-1 0 10 1 2321-15、累加 設某一序列為x(n

5、),則x(n)的累加序列y(n)定義為 即表示n以前的所有x(n)的和。6.差分 前向差分（先左移后相減） 后向差分（先右移后相減）7、尺度變換m倍。序列每m點取一點形成的，即時間軸壓縮了是0 1 2 331例 m=2 時0 1 21 2 3 4 5其中m為正整數擴展了m倍。序列每點加m-1個零值點形成的，即時間軸是例 m=2時8.序列的能量 x(n)的能量定義為 2.3 離散時間系統2.3.1 線性非移變系統 信號處理的目的之一是要把信號變換成人們需要的形式。離散時間系統與連續時間系統有相同的分類，如線性、非線性；時變、非時變等。運算關系 滿足不同條件，具有不同的性

6、質，對應著不同的系統。 各種離散時間系統，就是把輸入序列變換成輸出序列的系統。系統的圖形示意 y(n)x(n)T 一個有用的系統應當是一個對信號產生唯一 變換的系統。 因此，系統可定義為將輸入序列 映射為輸出序列 的唯一變換或運算，并用 表示，即 對變換施加不同的約束條件，可定義出不同種類的離散時間系統。 滿足疊加原理的系統稱為線性系統。 設y1(n)和y2(n) 分別是系統對輸入x1(n)和x2(n)的響應，即 y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)若滿足， T ax1(n)+ bx2(n) = ay1(n)+ by2(n)則此系統是線性系統。 a和b均是常數。1、例2.1 證明

7、 所表示的系統不是線性系統。顯然所以，此系統不是線性系統。證: 非移變系統 如果系統對輸入信號的運算關系T在整個運算過程中不隨時間變化，或者說系統對于輸入信號的響應與信號加于系統的時間無關，則這種系統稱為非移變系統，用公式表示如下： 這意味著：當輸入信號沿自變量軸移動任意距離時，其輸出也跟著移動同樣的距離。y(n)=Tx(n)y(n-k)=Tx(n-k)2、說明：在表示離散時間的情況下，“非移變”特性就是“非時變（時不變）”特性。例2.2 證明 不是非移變系統。由于 和所以故此系統不是非移變系統。證：這類系統的一個重要特性：它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關系。一個既能滿足疊加原理，又滿足

8、非移變條件的系統，被稱為線性非移變（時不變）系統，簡寫為LTI離散系統。 設系統的輸入x(n)=(n)，系統輸出y(n)的初始狀態為零，定義這種條件下系統輸出稱為系統的單位沖激（取樣）響應，用h(n)表示。推導： 用公式表示為 y(n)=h(n)=T(n) h(n)和模擬系統中的h(t)單位沖激響應相類似，都代表系統的時域特征。 換句話說，單位沖激響應即是系統對于(n)的零狀態響應。顯然，這是因為只有 時， ，因而所以上式成立。 利用單位沖激序列的定義和序列延遲的概念，可以寫出任意序列x(n)的一般表示式 以上表明，任意序列都可以表示為加權、延遲的單位沖激序列之和。通常把上式稱為離散卷積或線性

9、卷積。h(n)=T(n)系統是線性非移變的設系統的任意輸入用x(n)表示，則系統輸出表示為卷積形式 這意味著，任何線性時不變系統都可以用其單位沖激響應 來表征，而且系統的輸入 和輸出 之間滿足線性卷積關系。常用符號“*” 表示，即卷積積分的物理意義 h(n)x(n)y(n)卷積的性質（1）交換律卷積的代數定律 h(n)x(n)y(n)= x(n)h(n)y(n)分配律用于系統分析，相當于并聯系統的沖激響應，等于組成并聯系統的各子系統沖激響應之和。y(n)=x(n)h1(n)+h2(n)x(n)h1(n)h2(n)（2）分配律結合律用于系統分析，相當于串聯系統的沖激響應，等于組成串聯系統的各子系

10、統沖激響應的卷積。 h1(n) h2(n)x(n)y(n)=x(n)h1(n)h2(n)（3）結合律 卷積的步驟：1、折疊：先在坐標軸 上畫出 和 ，將 以縱坐標為對稱軸折疊成 。2、移位：將 移位 ，得到 。當 為正數時，右移 ；當 為負數時，左移 。3、相乘：將 和 的對應取樣值相乘。4、相加：把所有的乘積累加起來，即得到 。和 的卷積和圖解2.3.2 系統的穩定性和因果性 只要輸入是有界的，輸出必定是有界的系統稱為穩定系統。所謂有界是指在任何時刻 都是有限值，即 。例如： 對于線性時不變系統而言，穩定的充分必要條件是系統的單位沖激響應絕對可和，用公式表示為就不是有界的。在任何時刻都小于2

11、，所以是有界的；設公式 成立，而 為一有界輸入序列，且 ， 為一常數，則對于線性時不變系統證明：1、充分性即系統輸出有界，故原條件是充分條件。2、必要性 利用反證法假設公式 不成立，即則對下式定義的有界輸入序列系統在 時刻的輸出為顯然輸出 是無界的，這不符合穩定的條件，因此假設不成立，所以 是系統穩定的必要條件。 因果系統的輸出值取決于現時的和過去的輸 入 ， ， 相反，如果系統輸出不僅取決于現時的和過 去的輸入而且還取決于將來的輸入 ， ，這就在時間上違反了因果律，因而 它是非因果系統。因果性是系統的另一個重要特性。所謂因果系統是指輸出不能先于輸入的系統。4、一個線性非移變系統為因果系統的充

12、分必要條件是必須指出，非因果系統在理論上是存在的。 物理上可實現的系統不可能在某個輸入作用之前就有預感并提前響應，所以非因果系統又稱為不可實現系統。 例 2.5 已知一個線性非移變系統的單位取樣響應為 討論其因果性和穩定性。 因為在 時， ， 故該系統為非因果系統。解 1、因果性由式所以 時該系統穩定， 時該系統不穩定。2、穩定性2.3.3 線性常系數差分方程 線性時不變系統可以用線性常系數差分方程來描述。 描述連續時間系統的方程是微分方程。對于離散時間系統，由于它的變量n是離散整型變量，所以只能用差分方程加以描述。引入單位延遲算子 ，即 于是 差分方程是由函數序列的差分來表示的。一個函數序列

13、的一階向后差分表示為二階向后差分表示為因此有二階向后差分可用 表示類似的， 階差分表示為因此按二項式定理將 展開后，便可得到 階差分的表示式。這就是一個二階線性常系數差分方程。將 代入上式，得到 差分方程的階數等于未知序列變量最高序號與最低序號之差。 差分方程是描述函數序列差分之間關系的方程。例如，對于一個二階差分方程展開后得上式說明，系統在某時刻 的輸出值 不僅與該時刻的輸入 、過去時刻的輸入 ， 等有關，還與過去時刻的輸出值 ， 等有關。線性常系數差分方程的一般形式為方程稍加變換得： 在離散時間系統中，基本運算關系是延時（移位）、乘系數和相加，其基本單元是延遲器、乘法器和加法器。其符號如下

14、圖所示。延遲器延遲器、乘法器和加法器示意圖例：離散系統結構如下圖，寫出描述該系統的差分方程。延遲器解：由圖知則線性常系數差分方程的求解 已知系統的輸入序列，通過求解差分方程可以求出輸出序列。求解差分方程的基本方法有以下三種： 1、經典解法-與微分方程求解很類似，由 通解與特解組成差分方程的 完全解。 2、遞推解法-適用于系統階數不高且激勵 比較簡單的情況。 3、變換域方法利用Z變換 例：設系統用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=(n)，求輸出序列y(n)。 解：該系統差分方程是一階差分方程，需要一個初始條件。 上式表明，已知輸入序列和N個初始條件，則可以求出n時

15、刻的輸出；如果將該公式中的n用n+1代替，可以求出n+1時刻的輸出，因此上式表示的差分方程本身就是一個適合遞推法求解的方程。 y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0時，y(0)=ay(-1)+(0)=11、設初始條件 y(-1)=0n=1時，y(1)=ay(0)+(1)=an=2時，y(2)=ay(1)+(2)=a2n=n時，y(n)=an所以 ，y(n)=anu(n)2、設初始條件y(-1)=1n=0時，y(0)=ay(-1)+(0)=1+an=1時，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)an=2時，y(2)=ay(1)+(2)=(1+a)a2n=n時，y(n)=(1+a)an所以 ，

16、y(n)=(1+a)anu(n) 但對于差分方程，其本身也可以向n0的方向遞推，是一個因果解。 因此差分方程本身并不能確定該系統是因果還是非因果系統，還需要用初始條件進行限制。2.4 離散時間信號和系統的頻域描述2.4.1 離散時間信號的傅里葉變換信號和系統的分析方法有兩種： 時域分析方法 頻率分析方法 在離散系統中：1、信號用序列表示， 其自變量僅 取整數， 非整數時無定義， 2、系統則用差分方程描述。 3、頻域分析是用Z變換或傅里葉變換。在模擬系統中：1、信號一般用連續變量時間t的函數表示， 2、系統則用微分方程描述。 3、用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時間 域數轉換到頻率域。傅里葉變換 ：

17、 建立以時間t為自變量的“信號”與以頻率f為自變量的“頻率函數”(頻譜)之間的某種變換關系。 所以“時間”或“頻率”取連續還是離散值,就形成各種不同形式的傅里葉變換對。傅里葉變換定義為 傅里葉反變換定義為式中， 表示角頻率。連續時間信號 傅里葉變換定義為 傅里葉反變換定義為 離散時間信號通常將以下一對公式合稱為離散時間信號的傅里葉變換對： 在物理意義上， 表示序列 的頻譜， 為數字域頻率。上式實際是將序列 展開成復指數序列的加權和的形式， 則是不同頻率的復指數序列的幅度。因此， 表示序列的頻譜。一般情況下，是一個復量，可表示為或用幅度和相位表示為其中幅度譜相位譜 由于 和 都是 的 周期函數，

18、所以只需要去一個周期就足夠代表序列的頻譜，通常取為 或 。在 為實序列的情況下， 是 的偶函數， 是 的奇函數。基于這種對稱性，在 范圍內的幅度譜和相位譜就足以描述序列的頻譜。可采用對數形式的幅度譜 ，單位是 。 的單位是度或弧度，通常采用主值相位表示相位譜。例：矩形序列的頻譜，N=10。 可看出幅度譜和相位譜以 為周期的特點。例 2.14 求下列信號的傅立葉變換解：總結離散時間信號的傅立葉變換具有以下兩個特點:1、 是以 為周期的 的連續函數。可得出 這是因為 2、 當 為實序列時， 的幅值 在 區間內是偶對稱函數，相位 是奇對稱函數。 DTFT成立的充分條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件

19、， 即滿足下式： 部分序列不是絕對可和，但也存在傅立葉變換。 有的序列不是絕對可和，但卻是平方可和的序列，它的冪級數均方收斂。既不是絕對可和又不是平方可和的序列，可以借助于沖激函數來定義DTFT 。例 求下列信號的DTFT 解：當 時即上式的冪級數是發散的。由于上式的冪級數是復指數之和，而復指數是由余弦序列和正弦序列作為實部和虛部構成的，它們都是無窮長的震蕩序列，所以當 時，冪級數的和式也不收斂。這意味著復指數序列的DTFT并不存在。 定義復指數序列和正弦序列的DTFT，必須借助于沖激函數的概念。2.4.2 離散時間信號的傅里葉變換的性質1、序列的傅里葉變換的線性 式中a, b為常數 若則2、

20、序列的移位與調制若則移位調制3、序列的折疊若則4、序列乘以n（頻域微分）設 則證：5、序列的復共軛設 則，若則證明：6、序列的卷積（時域卷積定理） 則用與時域卷積相似的方法可證。7、序列相乘（頻域卷積定理），若8、序列的傅里葉變換的對稱性 序列的傅里葉變換的對稱性是傅里葉變換性質中的一大類。利用序列的傅里葉變換的對稱性可以簡化序列傅里葉變換的運算，是非常有用的。的共軛對稱與共軛反對稱序列 定義： 任意一個復序列總可以分解成共軛對稱與共軛反對稱序列之和 。共軛對稱序列共軛反對稱序列()()()()()()()()nxnxnxnxnxnxnxnxoeoeoe-=-+-=-+=*式中是實部為偶對稱，

21、虛部為奇對稱的序列；是實部為奇對稱，虛部為偶對稱的序列。解以上方程組可得：證明： 不難得到所以， 是實部為偶對稱，虛部為奇對稱的序列；同理可得可得所以， 是實部為奇對稱，虛部為偶對稱的序列。例： 分析 的對稱性 解： 因為 ，滿足共軛對稱序列的條件，所以是共軛對稱序列。 將這個共軛對稱序列分解成實部與虛部，可得 這表明，共軛對稱序列的實部的確是偶序列，而虛部確實是奇序列。 同理可定義序列的傅里葉變換 可以被分解為共軛對稱與共軛反對稱兩部分之和。共軛反對稱函數共軛對稱函數式中的實部為偶函數，虛部為奇函數；的實部為奇函數，虛部為偶函數1、2、3、4、5、6、7、8、滿足對稱性：2、證：3、證：證：

22、4、5、證：6、證：7、證：8、證：2.4.3 離散時間系統的頻率響應 在信號處理中，正弦信號和復指數信號是對信號進行頻譜分析和計算系統的頻率響應的重要工具。在連續時間信號處理中采用復指數信號，可以把微分和積分運算轉換為乘法和除法運算，假設 ，有 特別是復指數信號更為方便，不僅因為它比三角函數的運算更加簡潔，而且還應為它在計算上有以下特點： 另外，線性非移變系統對正弦序列的穩態響應仍然是正弦序列，頻率與輸入信號的頻率相同，而幅度和相位取決于系統的特性。在離散時間信號處理中采用復指數序列，可以乘法運算來實現序列的時移。假設 ，有 因此，信號處理的大多數工具，如拉普拉斯變換、傅里葉變換、Z變換和離

23、散傅里葉變換等，都采用復指數信號（序列）作為基型信號。 為研究線性非移變系統的頻域特性，設輸入序列是一個數字域頻率為 的復指數序列，即由線性卷積公式，可得到系統對 的響應為其中 是一個與系統的特性有關的量，稱為單位取樣響應為 的系統的頻率響應。 或用極坐標表示為 一般為復數，表示為分別稱為系統的幅度響應和相位響應。式中和幅度響應（幅度特性）：系統的增益隨頻率的變化 。相位響應（相位特性）：系統的輸出信號相對于輸入信號的相位滯后隨頻率的變化。 上式表示的系統頻率響應是一種傅里葉級數表示， 可被看作傅里葉級數的系數。因此，頻率響應 與沖激響應 構成一對傅里葉變換對。則有 系統的頻率響應含有系統的所

24、有信息。知道系統的頻率響應 ，就可以計算系統對任何輸入信號 的響應 ，方法是首先將 變換成 ，然后將 乘以 得到 ，最后計算 的IDTFT即得到 。2.5 信號的取樣2.5.1 連續時間信號的取樣 離散時間信號常常是由連續時間信號經周期取樣得到的。 完成取樣功能的器件稱為取樣器，如下圖所示。00取樣器示意圖 取樣器S 對模擬信號進行采樣可以看作一個模擬信號通過一個電子開關S。設電子開關每隔周期T合上一次，在電子開關輸出端得到其采樣信號 。 電子開關可以用一個乘法器等效，圖中的 是周期性開關函數。當 為零時，乘法器輸出為零，等效為開關斷開，信號通不過去； 不為零時,信號通過。 采樣信號可以表示為

25、連續時間信號的取樣 在實際取樣器中，設開關閉合時間為秒（n1，序列值全為零的序列。 左邊序列的Z變換表示為 3、左邊序列 其收斂域是在某一圓(半徑為 )的圓內， 收斂域為0|z|Rx+0|z|Rx+4、雙邊序列 雙邊序列是指n從 到 都有非零值的序列，它可以看作一個左邊序列和一個右邊序列之和， 其Z變換表示為 X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區域。 如果Rx+Rx-，其收斂域為Rx-|z|Rx+ ，這是 一個環狀域，2.6.3 Z變換的逆變換Z變換的逆變換是由 求序列 的變換。 C為環形解析域內環繞原點的一條逆時針閉合單圍線。0c 冪級數法（長除法） 部分分式展開法 留

26、數定理法（圍線積分法）求逆Z變換的方法通常有三種： 冪級數法 如果一個Z變換 能表示成冪級數的形式，那么可直接看出序列 是冪級數中的系數。 因此，若能用現有的冪級數公式將 展開，便可很容易地求得 。 適用單邊的左或右序列，雙邊序列不適用 有理式：數字和字符經有限次加、減、乘、除運 算所得的式子。 部分分式展開法 將一般的有理多項式展開為簡單的有理式。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩 個多項式的商。分子的次數低于分母時 稱為真分式。 部分分式：把x的一個實系數的真分式分解成幾個 分式的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是實 數范圍內的不可約多項式，而且k是正 整數。這

27、時稱各分式為原分式的“部分 分式”。將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和通過查表(參考表2.2)求得各部分的逆變換再相加即得到原序列x(n)。 表2.2 常見序列Z變換 2.6.4 Z變換的性質和定理1、線性設 Zx(n) X(z), Rx-|z|Rx+ Zy(n) Y(z), Ry- |z| Ry+ 則 Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z), R -|z|R + R+=min Rx+,Ry+ R-=max Rx -,Ry- 這里新的收斂域(R-，R+)是X(z)和Y(z)的公共收斂域，如果沒有公共收斂域，則該Z變換不存在。設 Zx(n) X(z), R x-|z|R x+則

28、 Zx(n-m)=z -mX(z), R x-|z|R x+2、序列的移位設 Zx(n)X(z), R x-|z|R x+ a為常數 則 Zanx(n)X(a-1 z)， |a|R x-|z|a|R x+ 證明：因為Rx-| a-1 z|Rx+，得到 |a| Rx-|z|a| Rx+ 。3、乘以指數an4、序列的折疊設 Zx(n)X(z), R x-|z|R x+則 Zx(-n)= ,5、序列的復共軛設則 6、 的微分設則 7、初值定理設x(n)是因果序列，X(z)=Zx(n)8、終值定理 設x(n)是因果序列，而且X(z)除在z=1處可以有一階極點外，其它極點都在單位圓內，則9、序列的卷積設

29、則 10、復卷積定理設 Zx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ Zy(n)=Y(z), R y-|z|R y+ w(n)=x(n)y(n)則 這個公式稱為復卷積公式。 c是v平面的收斂域中任一條環繞原點的反時針方向的閉合圍線。11、Parseval 公式則 v平面上，c所在的收斂域為 這就是傅里葉變換的Parseval 公式。物理意義：在時域中計算得到的序列能量與在頻域中計算得到頻譜能量相等。2.6.5 Z變換與拉普拉斯變換的關系 分析連續時間信號和取樣信號拉氏變換之間的關系，之前曾把取樣信號表示為取樣信號的拉氏變換可表示為 將 代入上式，并改變積分和求和次序，得 上式表明，連續時間信

30、號 經理想取樣得到取樣信號 的拉氏變換，是連續時間信號 的拉氏變換在S平面上沿虛軸的周期延拓。 取樣信號的拉氏變換與離散時間信號的Z變換之間的關系：對取樣信號求拉氏變換對離散時間信號求Z變換注意到可以得到： 這說明，在 的條件下，離散時間信號的Z變換等于取樣信號的拉氏變換。 這兩種變換之間的關系，就是由復變量 平面到復變量 平面的映射，其映射關系為 若令 和 ，則得到因此的模 只與 的實部 相對應的輻角只與 的虛部 相對應 當 時， ；s平面的虛軸映射成z平面的單位圓周（1） 與 的關系 當 時， ； 當 時， ；s平面的左半平面映射成單位圓內部s平面的右半平面映射成單位圓外部當 ，當 ，當 ， 當 從 增加到 ， 則由 增加到 ，即輻角旋轉一周，將整個Z平面映射一次。 當 再增加 ， 則相應的又增加 ，即輻角又旋轉一周，將整個Z平面又映射一次。（2） 與 的關系 S平面上寬度為 的水平帶映射成整個Z平面， 左半帶映射成單位圓內部 右半帶映射成單位圓外部 長度為 的虛軸映射成單位圓周 結合關系 ，有： S 平面Z 平面S平面被映射成無限個Z平面 這無限個Z平面重疊在一起，因此這種映射不是簡單的代數映射。由以上結論得到z變換和其它變換的關系圖理想取樣拉氏變