1、” b +yBTTq/y=-2E(x 価 + 612)7q o l360將上述結果代入式（e）、式分別求得轉角方程和撓曲線方程如下e=y=需(15x 4 - 30 廠x 2+7l 4)爲a2 -心2 -廠)積分法的優點是可以求得轉角和撓度的普遍方程。但工程上一般只需確定某 些特定截面的轉角和撓度，積分法就顯得過于累贅。為此，將梁在某些簡單載荷 作用下的變形列入表5-6中，以便直接查用；而且利用這些表格，使用疊加法， 還可以較方便地解決一些彎曲變形問題。y=MX(l 2 - x2)M el6EIM el3EIM el29壬Ellx = 2 yl/2M el216EIy = MX(l2 - 3b2

2、 - x2) 6EIl(OW xWa)=M e(l Xy 6EIl (3a2 2lx + x2)(axl)&AMe6EIl(l2 3b2)eBMe6EIl(l2 3a2)表5-6梁在簡單載荷作用下的變形序 號簡圖及載荷撓曲線方程端截面轉角最大撓度17/7rlBM e x2 y = 2EFOb = ML B EIM el2 yR =e2EIAObyB：2/L.lJ Fy = Fei-町6EIOb =巴B 2EIfL =茹AOb JbyB-.e =必B 6EIql4 yB =苗第十節疊加法求梁的變形從上面的例題可以看出，梁的撓度、轉角與載荷成線性關系。在小變形條件 下，可以認為梁上某一載荷引起的變

3、形，不會改變其它載荷的作用性質。于是, 當梁上有幾種載荷共同作用時，可以分別求 出每一種載荷單獨作用下引起的變形，然后 將求得的變形進行疊加，就得到這些載荷共 同作用下的變形，這就是計算彎曲變形的疊加法。應該指出，疊加法是一個普遍使用的 方法，在線彈性、小變形情況下，只要物理 杲與構件上的載荷成線性關系，都可以用疊 加原理來計算，例如計算梁的內力、支座反 力和應力等。下面通過例題說明疊加法在計算彎曲變形時的應用。例5-15如圖5-23所示懸臂梁AB,設其抗彎剛度EI為常數，求6B和yB。 解：可將載荷F、q共同作用下引起的變形看成是F和q單獨作用下所產生 的變形的代數和，即 TOC o 1-5

4、 h z 8B = FL+2EI 48EIBF + 8 Bq(a)yB = yBF + yBq(b)查表5-6,并利用變形條件，如圖5-23b所示有8bfFl 2= Fl32EI yBF = 3EI如圖5-23c所示有8 =8 = q0/2)3 = Bq Cq6EI48EI“ 1 ql4 ql317q14y n = y + Bq =1x =U Bq q Cq 2 128EI 48EI 2384EI將上述結果分別代入式(a)、式(b)得到FL +込3EI 384EI例5-16如圖5-24所示外伸梁，設其抗彎剛度EI為常數，求8c和yc。 解：設想沿截面B將外伸梁分成兩q部分。AB段成為簡支梁，在

5、截面B上有 剪力 Fo=qa,彎矩M=0.5qc2,如圖 5-24b 所示。剪力FQ直接作用于支座B,不引 起變形。在彎矩M作用下，查表5-6得 到B截面的轉角為Ml 0.5qa218 B =B 3 El3 El單獨由這一轉角引起C截面的轉角和撓度 為d=eB =皿ZC1Bc r3EIK *UL NJJJ-*qql2/ 50ql2/50b)a)圖5-30調整梁支座位置降低最大彎矩又如，圖5-31a所示的簡支梁力5在跨度中點承受集中力F作用，如果在梁的中部設置長為2的輔助梁CD （見圖5-31b），此時，梁力方內的最大彎矩將減小f替 l/2一l/21*1A.Bb)圖5-31將集中力分散降低最大彎

6、矩上述實例說明，合理安排約束和加載方式，將顯著減小梁內的最大彎矩。 此外，給靜定梁增加約束，即制成超靜定梁，對于提高梁的強度也將起到顯 著作用。關于超靜定梁的分析，將在本章第十三節里討論。第十二節梁的剛度條件與梁的合理設計、梁的剛度條件對于機械和工程結構中的許多梁，除應滿足強度要求外，還必須具備足夠的 剛度。例如，機床主軸的變形過大，將影響機床對工件的加工精度，并造成主軸 軸承和齒輪的不均勻磨損。梁的剛度條件為0maxW0(5-31)Mmax WU32)式中0為許用轉角，U 為許用撓度，它們的數值應根據構件的工程用途，從有 關設計規范中查取。如在機械工程中，對軸的許用轉角和許用撓度有如下規定起

7、重機大梁 普通機床主軸y =(0.0010.002)1y =(0.000 10.000 5)10 = 0.0010.005 rad發動機凸輪軸 滑動軸承處 向心軸承處y = 0.050.06 mm0 =0.001rad0 =0.005 rad在土木工程中，一般只校核梁的撓度，且規定y/l在（1/2501/1 000）范圍之內。二、梁的合理設計梁的彎曲變形與抗彎剛度刃、約束條件和梁的受力有關。所以，上一節所述 提髙梁彎曲強度的大多數措施，對于提髙梁的剛度也很有效。但是，由于強度和剛度兩者的性質不同，解決的辦法也不盡相同。提高梁的抗彎剛度這里涉及到兩個方面：采 用合理的截面形狀和選擇合理的材料。采

8、用合理的截面 形狀，是指使用較小的截面面積獲得較大的慣性矩 I。因此，工程上的受彎構件大多采用空心圓形、工字形 和箱形截面，這與提髙梁彎曲強度方面的做法是相同 的。但是，影響梁強度的是抗彎截面系數與剛度方 面的慣性矩I是不同的截面幾何性質。例如，圖5-32所 示的圓木鋸方問題，抗彎截面系數最大時的髙寬比：b=3：2；慣性矩最大時的髙寬比h：bY ： 1。而且，強度側重于彎矩較大局部 區域的剛度則需要考慮整體區域的刃。選擇合理的材料，是指提髙材料的彈 性模量衛。但對于鋼材來說，各種鋼的F值非常接近，故選用優質髙強度鋼對提 髙梁的抗彎剛度意義不大。減小梁的跨度 為了提髙梁的剛度，一個值得特別注意的

9、問題是關于梁跨 度的選擇。如均布載荷作用下的簡支梁，最大撓度與跨度的四次方成正比，最大 轉角與跨度的三次方成正比，將跨度減小20%,最大撓度和轉角將分別減小59.0% 和48.8%。因此，在結構允許的情況下，應盡量減小梁的跨度。合理安排梁的約束與加載方式提髙梁剛度的另一重要措施是合理安排梁 的約束與加載方式。例如，圖5-33a所示的簡支梁，在跨度中點承受集中力尸作 用，如將該載荷改為均布載荷，如圖5-33b所示，則梁的最大撓度僅為前者的 62.5%。再將兩端較支座各向內移動/4,變成外伸梁，如圖5-33c所示，則外伸 梁的最大撓度僅為簡支梁的8.75%。如再給梁增加支座，使之成為圖5-33d所

10、示 的超靜定梁，則最大撓度還可以大大降低。這些實例說明，合理安排梁的約束與 加載方式，將顯著減小梁的變形。1/2F(=qll/2ql 448EI第十三節簡單超靜定梁的解法如前所述，單用靜力平衡方程不能解出超靜定梁的所有支座反力，還必須引 用其它條件，這個條件就是梁的變形協調條件。下面舉例說明此類問題的解法。例5-18求圖5-34a所示超靜定梁的支座反力。解：設想將超靜定梁B支座的多余約束解除，代之以相應的約束反力Fsy, 如圖5-34b所示。則超靜定梁就成為均布載荷q和多余約束反力共同作用下的 靜定懸臂梁，這個靜定梁稱為原超靜定梁的靜定基。由于靜定基的變形必須與原 超靜定梁相同，則靜定基B點的

11、撓度為零，即yB = yi += 0式中yi為均布載荷q在B點產生的撓度，y2為B點的約束反力購在B點產生的 撓度。式（a）稱為靜定基的變形協調條件。將均布載荷q和約束反力Fsy在B點產生的撓度代入式（a）,有3 由式（b）可解出FBy = -ql8求出FBy后，利用平衡條件可以求得固定端的支座反力為FAy = 8ql，MA = - 8ql必須指出，所謂多余約束是對平衡而言，對同一超靜定問題，多余約束的選 取不是唯一的。本例中也可以將固定端A處的轉動約束作為多余約束。解除此約 束后，代替相應的約束反力的是支反力矩胚，此時的靜定基為一簡支梁，如圖 5-35b所示。相應的變形協調條件為：胚和q共同

12、作用下靜定基A截面的轉角血 為零。利用變形協調條件求解超靜定梁的方法也稱為變形比較法。例5-19如圖5-36a所示受均布載荷作用的兩端固定梁，求該梁的支座反力 和該梁的撓曲線方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：考慮梁和載荷的對稱性，易知支座反力為(a)FAy = FBy =彳1 / 2 Ma = Mb未知反力只有固定端的力矩胚。根據式 (5-29),梁的撓曲線微分方程為 TOC o 1-5 h z Ely- = q(b)對其進行四次積分有Ely = qx + C(c)Ely” = qx2 + C1 x + C2(d)Ely= qx3 + C1 x2 + C 2 x + C3(e)6 2Ely = x

13、4 + C1 x3 + C2 x2 + C3 x + C 4 (f)246234積分常數可以用固定端的邊界條件求出y |x=o = 0 ,得 C4 = 0y |x=o = 0 ,得C3 = 0y lx=/ = 0和 y lx=/ = 0,得 C1 =-號C 2 =巻Fq (x) = qx +ql2(g)將Cl、C2值代入式(c)和式(d)可得M(x) = q(6x2 一 6lx+12)(h)根據式(g)、式(h)可以畫出剪力圖和彎矩圖，如圖5-36b、c所示。MA = M (0) = 12將Ci、C2代入式，可得梁的撓曲線方程為qx 224EI(x -1)2此題也可以用變形比較法求出固定端的支

14、反力矩，再由積分法或疊加法求撓 曲線，請讀者自己完成。復習思考題5-1何謂平面彎曲、純彎曲、橫力彎曲？5-2怎樣用簡單方法確定任一橫截面t的剪力和彎矩？5-3在集中力和集中力偶作用處，剪力圖和彎矩圖有何特點？5-4 q、Fq、M之間的微分關系是怎樣建立的，它們的物理和幾何意義是什么？在建立t述關系時，對坐標系兀和載何集度旳選取有何規定？5-5如何計算非均勻載荷的合力？如何繪制非均布載荷下的Fq圖、M圖？5-6在建立彎曲正應力公式時，作了哪些假設？根據是什么？5-7何謂中性層？何謂中性軸？5-8彎曲正應力在橫截面匕是如何分布的？中性軸位于何處？如何計算最大彎曲正應力?5-9梁的彎曲切應力公式是如何建立的？梁橫截面匕的最大切應力發生在何處？為什么?5-10彎曲正應力強度條件和切應力強度條件是怎樣建立的？各如何應用？5-11指出下列概念的區別：純彎曲與對稱彎曲；中性軸與形心軸；軸慣性矩與極慣性矩; 抗彎剛度與抗彎截面系數。5-12何謂撓曲線、撓度、轉角？它們之間有何關系？5-13撓曲線近似微分方程是如何確立