1、材料電子顯微分析福州大學材料科學與工程學院李 強1向陽書屋p第1章 倒易點陣及電子衍射基礎1.1 晶體結構知識的簡單回顧1.1.1 點 陣1.1.2 晶體學點群1.2 倒易點陣1.3. 正點陣與倒易點陣的指數互換1.4. 晶面間距與晶面夾角公式1.5 Bragg定理及其幾何圖解1.6 晶帶定律與零層倒易截面1.7 結構因子與倒易點陣的結構消光及倒易點陣類型1.8 倒易點陣與電子衍射圖的關系2向陽書屋p第1章 倒易點陣及電子衍射基礎 晶體內原子、離子、分子或集團在三維空間內呈周期性規則排列。這些質點可以抽象為幾何點，構成的點列稱為空間點陣，組成它的幾何點稱為陣點正點陣。 用空間三維直線連接陣點得

2、到空間格子晶格。 單位晶格組成的平行六面體稱為晶胞。 晶胞的選取多種多樣，晶體學中應用最廣的是盡量照顧對稱性選取的晶胞稱為Bravais Cell。1.1 晶體結構知識的簡單回顧1.1.1 點 陣3向陽書屋p代表空間點陣的對稱性相等的棱、角數目應最多棱間的直角最多選取最小體積的平行六面體Bravais Cell的選取原則：數學證明，按上述規則選取的Bravais Cell有14種代表空間的點陣類型，用a，b，c，間的關系來表達，歸為七大晶系，有5個類別：P（初基或簡單）、I（體心）、F（面心）、R（三角或菱形）、C（A，B）（底心）。4向陽書屋p5向陽書屋p晶體結構的對稱性有宏觀和微觀之分。宏

3、觀對稱是指有限體積的規則晶體外形的對稱性，不包括平移對稱性，僅在轉動、反演或反映下表現出的對稱性，共32種，構成32種點群。或者說是，經過一點對稱素組合的類別稱為點群。微觀對稱是指從晶格的角度出發，在認為整個晶格近似為三維無限廣延的情況下的空間平移、轉動、反演操作下的對稱性。可能的空間對稱有230種，構成230個空間群。或者說是，考慮晶體內部結構-原子、離子、分子類別和排列的對稱性類別。6向陽書屋p1，2，3，4，6，i，m， 晶體的獨立宏觀對稱要素共有8種，即1.1.2 晶體學點群 晶體的宏觀對稱性是按宏觀點對稱操作所構成的點群來進行分類的。 群，是代數理論中的抽象概念，滿足一定條件的一些元

4、素的集合。對稱要素7向陽書屋p對稱中心的國際符號形象法表示等效位置，+、號表示正反面， ，左右手的變化對稱的極圖表示8向陽書屋p圖1-13-1 二次轉軸的表示圖1-13-2 三次轉軸的表示9向陽書屋p圖1-13-3 四次轉軸的表示圖1-13-4 六次轉軸的表示10向陽書屋p11向陽書屋p12向陽書屋p 二維空間的彭羅斯(Penrose)拼圖由內角為36度、144度和72度、108度的兩種菱形組成，能夠無縫隙無交疊地排滿二維平面。這種拼圖沒有平移對稱性，但是具有長程的有序結構，并且具有晶體所不允許的五次旋轉對稱性。一種典型的準晶體結構是三維空間的彭羅斯拼圖。 1984年，D.Shechtmen在

5、快速冷卻的 Al4Mn 合金中發現了一種新的相，其電子衍射斑具有明顯的五次對稱性。推測這種結構具有三維空間的彭羅斯拼圖結構。這一發現在當時曾經震動了凝聚態物理學界。后來在許多復雜的合金中也發現了這一現象。13向陽書屋p 一個具體的宏觀對稱要素是8種對稱要素的一種或幾種的組合。每種組合對應一種對稱類型，即一個點群。 點群的表示符號有2種Schonflies符號國際符號（或H-M符號）點 群14向陽書屋pSchonflies符號：Cn 表示n次旋轉對稱，取自循環群（Cyclic group）第1字母D 表示二面體群（dihedral group），即n次旋轉對稱軸，+ 與n次軸垂直的二次旋轉對稱T

6、 表示四面體群（tetrahedral group）,高次旋轉對稱軸的組合O 表示八面體群（octahedral group），高次旋轉對稱軸的組合15向陽書屋p點群的國際符號用特定方向的對稱要素直接表示。三斜晶系：100單斜晶系：010正交晶系：100 010 001四方晶系：001 100 110三角晶系：001 100 210六角晶系：001 100 210立方晶系：100 111 11016向陽書屋p2/m（2在m上），表示具有垂直于鏡面的2次旋轉軸。010方向三斜晶系：100單斜晶系：01017向陽書屋p正交晶系：100 010 00118向陽書屋p四方晶系：001 100 1101

7、9向陽書屋p三角晶系：001 100 21020向陽書屋p六角晶系：001 100 21021向陽書屋p立方晶系：100 111 11022向陽書屋p23向陽書屋p24向陽書屋p25向陽書屋p26向陽書屋p1.1.2 空間群晶格的周期性，也稱平移對稱性，是最基本的微觀對稱性。晶體的點對稱元素和平移相結合能產生新的對稱元素，即：旋轉軸 + 平移 螺旋軸鏡面 + 平移 滑移面，操作順序并不重要1. 晶體的微觀對稱性27向陽書屋p（1）螺旋軸國際符號用nm來表示。定義方向的 nm次螺旋軸對稱操作由2/n旋轉和m/n 平移組成。28向陽書屋p（2）滑移面 滑移面是對鏡面反映后再沿某一方向平移，平移量為

8、點陣周期的一個分數距離。有三種類型的滑移面：軸向滑移沿a，b，c軸作滑移，軸向滑移的平移平行于鏡面，平移量為該方向平移周期的一半；n滑移沿面對角線滑移到一半處；d滑移亦稱“金剛石”滑移，沿體對角線滑移到1/4處。29向陽書屋p2. 空間群及其國際符號 空間群是指一個晶體結構中所有對稱要素的集合。提供晶體的全部對稱信息，涉及到一個給定的點群、Bravais點陣以及這個點群作用在這個點陣上的結果。 晶體結構中所能出現的空間群總共230種。空間群有兩種常用的表示符號， Schonflies和國際符號。材料學界常用國際符號。30向陽書屋p國際符號的第一位符列出Bravais點陣類型P，A、B或C，I，

9、F，R根據對稱元素對于晶體學軸的位置列出他們的符號，符號的位置所代表的軸向對不同晶系并不同，空間群國際符號的順序見下表。國際符號的表示：P（初基或簡單）、I（體心）、F（面心）、R（三角或菱形）、C（A，B）（底心）31向陽書屋p三斜晶系：100單斜晶系：010正交晶系：100 010 001四方晶系：001 100 110三角晶系：001 100 210六角晶系：001 100 210立方晶系：100 111 110國際符號標注對稱素參照方向的順序32向陽書屋p33向陽書屋p舉例：P2/m（2在m上），表示單斜初基點陣，具有垂直于鏡面的2次旋轉軸。010方向參考文獻劉文西，黃孝瑛材料結構電子

10、顯微分析，天津大學出版社，1989張福學.現代壓電學（上冊），科學出版社，2001馮端，師昌緒，劉治國. 材料科學導論，化學工業出版社，200234向陽書屋p1.2.1 倒易點陣概念的引入 衍射是波動性的體現，是波的彈性相干散射。如光的狹縫衍射、X光對晶體的衍射。衍射條件： 衍射花樣1.2 倒易點陣35向陽書屋pPlane wavesSingle source interference36向陽書屋pSuppose that a plane wave is incident on a panel with a slot of width d (small distance)To predict

11、the form of the wave on the right-hand side of the pane the Huygens principle is used.37向陽書屋pHuygens principleThe manner in which a wavefront of arbitrary shape will advance can be determined by considering every point on a given wavefront of any instant to be the source of a circular wave.（媒質中波動傳到的

12、各點，都可以看成是發射子波的波源，在其后的任一時刻，這些子波的包跡就決定新的波陣面）38向陽書屋pAny wave motion in which the amplitude of two or more waves combine will exhibit interference.One-dimensional wave motion.39向陽書屋pTwo kinds of interference exist Destructive interference: Wave pulses are cancelled when they pass each other if they are

13、of opposite sign. Constructive interference Wave pulses are added when they pass each other if they are of equal sign.40向陽書屋pAs interference effects occur in wave motions of all sorts, interference or diffraction patterns can also be formed with light.41向陽書屋pX光對晶體的衍射花樣42向陽書屋p電子衍射： 電子衍射是晶體物質對單色電子波產生的

14、衍射現象。 下圖分別是單晶體、多晶體和非晶體的電子衍射花樣。43向陽書屋p單晶C-ZrO2準晶（quasicrystals）非晶多晶Au44向陽書屋pFIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM:(A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal,(C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons.

15、In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.45向陽書屋p 電子衍射原理與X射線衍射相似，是以滿足或基本滿足布拉格方程為產生衍射的必要條件。但因其電子波有其本身的特殊性，與X射線衍射相比具有下列特點：電子波的波長比X射線短得多，因此，在同樣滿

16、足布拉格條件時，它的衍射角度很小，10-2 rad，而X射線最大衍射角可達/2。 如 X射線的波長范圍： 10-3-10nm0.05-0.25nm范圍適于 結構分析0.005-0.1nm范圍適于 探傷分析200KV加速下電子波 =0.00251nm46向陽書屋p電子衍射產生斑點大致分布在一個二維倒易截面內，晶體產生的衍射花樣能比較直觀地反映晶體內各晶面的位向。因為電子波長短，用Ewald圖解時，反射球半徑很大，在衍射角很小時的范圍內，反射球的球面可近似為平面。電子衍射用薄晶體樣品，其倒易點沿樣品厚度方向擴展為倒易桿，增加了倒易點和Ewald球相交截面機會，結果使略偏離布拉格條件的電子束也能發生

17、衍射。電子衍射束的強度較大，拍攝衍射花樣時間短。因為原子對電子的散射能力遠大于對X射線的散射能力。47向陽書屋p問題：這些規則排列的斑點是某晶面上的原子排列的直觀影象？這些斑點代表什么？這些斑點與晶體的點陣結構有什么樣的對應關系呢？這些斑點如何解釋？48向陽書屋p正空間倒空間 晶帶正空間與倒空間對應關系圖B衍射花樣衍射花樣分析思路實驗發現，晶體點陣結構與其電子衍射斑點之間可以通過另外一個假想的點陣很好地聯系起來，這就是倒易點陣。49向陽書屋p 物理學家Bragg最早解釋了衍射現象，提出了著名的Bragg公式： 顯然，上述的討論和表述都采用正空間習用的語言和處理方法，并沒有直觀地建立起衍射花樣與

18、晶體結構之間的聯系。于是，是否有可能在數學上另辟蹊徑，從幾何上對Bragg公式加以詮釋呢？ 實際上，對于X射線的衍射問題，Bragg通過實驗現象，理解為是晶面的“選擇性”反射，也就是說，衍射花樣中的一個斑點與某個晶面相對應，這樣，問題就變成了如何把正空間的晶面表達為另一空間（倒空間）的一個點。 1.2.2 Bragg方程及其幾何圖解方法-厄瓦爾德球方法50向陽書屋p 1921年厄瓦爾德（Ewald）數學上另辟蹊徑，從幾何上對Bragg公式加以詮釋，做了很好的嘗試，并獲得成功。 第一，建立了Bragg公式的幾何圖解方法，后稱為厄瓦爾德球方法； 第二，提出了與正空間、正點陣相對應的倒易空間、倒易點

19、陣全新概念，而且指出了在一定條件下，倒空間、倒易點陣也是可見的，如在衍射實驗時，在物鏡后焦面處記錄到的衍射譜，就是倒空間倒易點陣的一個截面。下面將簡要說明其基本思路。 瓦爾德（Ewald）建立Bragg公式的幾何解的思路51向陽書屋pBragg公式（1-1）可以改寫為： 三角函數的表達式右邊分子與分母參數的量綱均變成長度的（-1）次量綱。對上式進行圖解表達，如圖1-18所示。 52向陽書屋pOC是入射束的方向，OB是設想的取向能使入射束入射角滿足Bragg公式從而產生衍射的晶面(hkl)的反射束方向，OA就是(hkl)面延長后交于反射球面的交點。以晶體所在處O為圓心，以為半徑作一圓球，稱為厄瓦

20、爾德球或反射球。 顯然滿足衍射條件時，CB必須與反射平面(hkl)垂直，而且長度應為，即廣義晶面間距的倒數。圖 Bragg公式的厄瓦爾德圖解 53向陽書屋p定義矢量的方向就和正空間晶體點陣滿足布拉菲條件的hkl晶面的法線方向聯系起來了，其大小（或長度） 與反射晶面面間距聯系起來了 則矢量的大小就能夠代表反射平面族hkl 矢量便稱為倒易矢量 在圖1-18的作圖空間里，所有的量都是正空間相應量的（-1）次量綱： 圖 Bragg公式的厄瓦爾德圖解 54向陽書屋p 從前面的分析可知，倒易點陣是晶體點陣的倒易，它并不是一個客觀實在，也沒有特定的物理概念與意義，純粹是一種數學模型。然而倒易點陣對描述和闡述

21、晶體對射線衍射的原理卻是一種非常有力的工具。射線在晶體的衍射與干涉和衍射十分類似。衍射過程中作為主體的光柵和作為客體的衍射像之間存在著一個傅立葉變換的關系。 1.5.2 倒易空間的建立及其基本性質55向陽書屋p 通常我們把晶體內部結構稱為正空間，而晶體對射線的衍射被稱為倒易空間。顯而易見，倒易空間并不是一個客觀實在的物理空間，而只是對一個物理空間的一種數學變換表達。同樣，倒易點陣也僅是對晶體點陣的一種數學變換表達。隨著物理學和固體物理的發展，倒易空間的概念，還被十分廣泛地用來描述涉及能量分布空間的問題。 倒易點陣是一種晶體學表示方法，是厄互爾德于1912年創立的，它是在量綱為L-1的倒空間內的

22、另外一個點陣，與正空間內的某特定的點陣相對應。 56向陽書屋p1倒易點陣的數學表達及其基本性質（1）倒易點陣基矢的定義 g矢量如何用正空間的點陣基矢a1、a2、a3以及反射晶面指數hkl去表達呢？ 就能夠代表反射平面族hkl 矢量便稱為倒易矢量 57向陽書屋pNhklPQR、 圖1-19 倒易矢量的引入設平面ABC為反射晶面（hkl），其法向矢量為Nhkl，根據晶體學的定義，（hkl）晶面在三晶軸上的截距分別為 58向陽書屋p因為Nhkl P，Nhkl Q，Nhkl R，即有P Q Nhkl，同時，法向矢量Nhkl的大小尚未限制，不妨定義一個g矢量來定義晶面法向，令 若取歸一化因子為（V為晶胞

23、體積） 59向陽書屋p （1-12）（j=1, 2, 3）為新的三個基矢，定義了一個新的空間。于是，晶面的法向不僅能夠用正點正的基矢和晶面指數表達， 該矢量指向的端點的坐標指數在 （j=1, 2, 3）定義的空間內為（hkl） 60向陽書屋p2 倒易點陣（reciprocal lattice）1)倒易點陣的定義及其基本性質 （1）倒易點陣基矢的定義 （2）倒易點陣的性質 2). 正點陣與倒易點陣的指數互換 （1）正點陣與倒易點陣基矢間的關系 （2）正點陣與倒易點陣指數間的互換 3). 晶面間距與晶面夾角公式 （1）晶面間距 （2）晶面夾角公式 61向陽書屋p 倒易點陣是一種晶體學表示方法，是厄

24、互爾德于1912年創立的，它是在量綱為L-1的倒空間內的另外一個點陣，與正空間內的某特定的點陣相對應。 通過倒易點陣可以把晶體的電子衍射斑點直接解釋成晶體相應晶面的衍射結果。1)倒易點陣及其基本性質 62向陽書屋p（1）倒易點陣基矢的定義 如果用點陣基矢 （i = 1, 2, 3）定義一正點陣，若由另一個點陣基矢 （j = 1，2，3）定義的點陣滿足式（1）中，V 陣胞體積 （1） 則由 定義的點陣為 定義的點陣的倒易點陣。63向陽書屋p由此可知， 與 分別定義的正點陣與倒易點陣互為倒易。（2） 決定大小決定方向（2）倒易點陣的性質 據式（1）有64向陽書屋p 倒易矢量及其基本性質 在倒易點陣

25、中，以任一倒易點為坐標原點O*(000)，由倒易原點O*(000)指向任一坐標（HKL）的矢量稱為倒易矢量，表達為 （5） 其基本性質： 上式表明：倒易矢量垂直于正點陣中相應的(hkl)晶面，或平行于它的法向；倒易陣點的一個點代表的是正點陣中的一組晶面。65向陽書屋p證 明： （1）設平面ABC為（HKL），根據晶體學的定義，（HKL）在三晶軸上的截距為： 顯然， 因為， 所以 同理可證： 則 n066向陽書屋p（2）設 n0 為（HKL）法線方向的單位矢量 ，顯然， 且晶面間距dHKL應為該平面的任一截距在法線方向上的投影長度 所以 同理可以證明： 67向陽書屋p68向陽書屋p 對正交點陣，

26、有 對立方系來講，晶面法向和同指數的晶向是重合的，即倒易矢量是與相應指數的晶向平行。a1* / a1; .a1* = 1/a; .69向陽書屋p1.3. 正點陣與倒易點陣的指數互換（1）正點陣與倒易點陣基矢間的關系 假設正點陣基矢與倒易點陣基矢間可以通過變換矩陣G作如下變換 （6） 將（6）式兩端右乘行矩陣 70向陽書屋p（7） 由可得 式中 （i, j = 1, 2, 3） （8） 利用（6）式可以將倒易基矢變換為正基矢。 71向陽書屋p將（6）式兩端左乘G-1得（9） 再將式（9）兩端同時右乘 (10) 其中 （i, j =1, 2, 3） 舉例： 對立方晶系 a1 = a2 = a3 =

27、 a =90072向陽書屋p（2）正點陣與倒易點陣指數間的互換 對立方系，晶面（HKL）與其同名的晶向HKL垂直， 即但對非立方晶系，這種關系在多數情況下不成立，因此，需要解決以下兩個問題： 已知（HKL）晶面，求其法線方向uvw 已知某一晶向uvw，求與其垂直的晶面設uvw是（HKL）晶面的法線，uvw(HKL)，有 73向陽書屋p顯然， 和 是同一方向的矢量在正倒空間的不同表達方式，可用數學式表達為 （11） 寫成等式為： （12） （13） 式中 74向陽書屋p 乘以一個K因子是為了將 和 均變為無量綱的單位矢量，實際上與uvw垂直的晶面是一系列平行的晶面組，如在立方系中，與110垂直的

28、晶面有（110），（220），（330）。 同樣，（111）晶面的法線方向也可以是111，222等。因此， 可以將（13）式中的K取消，寫成等式（14） 將（14）式兩端分別乘以， 、 、 ，得 （15） 75向陽書屋p寫成矩陣形式為（16） 舉例：uvw與其同名的晶面組（uvw）垂直。（1）立方晶系76向陽書屋p(2) 六方晶系如六方晶系的MoC， a = 2.90 , c = 2.77 , 求與晶向uvw = 111 垂直的晶面。代入數據計算得 （HKL）=（4.205，4.205，7.673）=(1,1, 1.85)(559) 77向陽書屋p同理，將（14）式兩端分別乘以 , 有（17）

29、 或將（16）式兩端乘G-1得到同樣結果。78向陽書屋p1.4. 晶面間距與晶面夾角公式（1）晶面間距 由倒易矢量的性質進一步可寫成 即（18） 此式為適用于任何晶系的通用公式。79向陽書屋p 對立方晶系 cos* = cos* = cos* = 0則有 （19） 80向陽書屋p（2）晶面夾角公式 兩晶面間的夾角可用兩晶面法線夾角表達，也即可用兩晶面對應的倒易矢量夾角表示，故有 (20) 上式 適用于任何晶系。對立方晶系，夾角公式為 （21） 81向陽書屋p1.布拉格實驗實驗裝置如圖所示。 C為樣品；入射線以掠射角或布拉格角照射樣品；滿足反射定律的方向設置反射線接收裝置；X射線照射樣品過程中，

30、記錄裝置與樣品臺以2：1的角速度同步轉動，以保證記錄裝置始終處于反射線位置上。 試驗結果表明，即僅在特定的角度才有反射線，X射線的反射具有選擇性，即“選擇反射”。1.5.1 布拉格定律 1.5 Bragg定理及其幾何圖解82向陽書屋p2. 布拉格方程的推導考慮： 晶體結構的周期性X射線具有穿透性入射線與反射線均可視為平行光（光源與記錄裝置至樣品的距離較d大得多） 認為，“選擇性反射”是各原子面各自產生的相互平行的反射線間的干涉作用的結果。 據此，可以構造如圖所示的衍射幾何，X射線照射到（hkl）原子面上并產生反射，面間距為d0，相鄰兩晶面（如A1，A2）的反射線光程差:83向陽書屋p = PM

31、2 + M2Q = 2dsin干涉相互加強的條件為 = n， 即 2dsin = n (2-1a)n 任意整數，反射級數d （hkl）晶面面間距 Bragg角 X射線波長式（2-1）稱為布拉格方程。式中，84向陽書屋pqqoPR X-ray Diffraction (Bragg condition) qq2dsinq = lddl/2dsinql85向陽書屋p0級1級2級布拉格方程中的反射級數的物理意義：86向陽書屋p87向陽書屋p 設衍射晶面為（hkl）面間距為d，入射方向與衍射晶面成角，由X射線的衍射原理，則衍射必要條件的數學表達式 由實驗證明，衍射可解釋為晶面對入射波的反射，如圖所示。下

32、面求幾何解 （2-1）3 布拉格方程 （Bragg formula）的矢量表達88向陽書屋p 設入射束和反射束的單位矢量分別為 S0 和 S那么， 又可寫為 令 有 （2-2）ghkl89向陽書屋pK/，K分別為衍射線與入射線的波數矢量。（2-1）（2-2）分別為布拉格定律的標量與矢量表達式。由（2-1）變換可得 一般情況下，金屬和合金的面間距大都在0.2-0.4nm范圍，而電子波長0.05nm(60KV)。因此，金屬和合金極易滿足條件產生衍射。且sin值很小，從而有特別小的衍射角。通常 10 那么，布拉格方程如何在幾何上表達呢？這就是下面要講的厄瓦爾德球作圖法。 90向陽書屋p1.5.2 厄

33、瓦爾德球作圖法 在電子衍射的分析過程中，常常要用到厄瓦爾德球作圖法，利用這種方法可以比較直觀地觀察衍射晶面、入射束和衍射束之間的幾何關系。它實際上是布拉格方程的幾何表示。 厄瓦爾德球是位于倒易空間中的一個球面，球之半徑等于入射電子波波長的倒數1/。 厄瓦爾德球作圖法：91向陽書屋p具體作法如下：在倒易空間中，畫出衍射晶體的倒易點陣；以倒易原點0*為端點，作入射波的波矢量K(OO*)，該矢量平行于入射束方向，長度等于波長的倒數，即 K=1/；以O為中心，1/為半徑作一個球，這就是厄互爾德球。92向陽書屋p若有倒易陣點G（hkl）正好落在厄瓦爾德球的球面上，則相應的晶面組（hkl）與入射束的位向必

34、滿足布拉格條件，而衍射束的方向就是OG或者衍射波矢量K/，其長度等于反射球的半徑。根據倒易矢量的定義 進行矢量運算有： （23） 93向陽書屋p現在來證明（2-3）與（2-1）（2-2）是等價的。證 明： 顯然，由圖可知，K與K之間的夾角等于2。這與布拉格定律的結果一致。 由O向0*G作垂線0D，垂足為D（hkl面的法線） 0D就是正空間（hkl）面的方位設它與入射束的夾角為，則有94向陽書屋p 綜上所述，愛瓦爾德球內的三個矢量K、K和ghkl清楚地描述了入射束、衍射束和衍射晶面之間的相對關系。這個方法成為分析衍射的有效工具。 前面的做圖分析過程中，取愛瓦爾德球半徑為1/，且ghkl=1/dh

35、kl,因此，愛瓦爾德球本身就置于倒空間。 而且倒空間的任一ghkl矢量就是正空間(hkl)晶面的代表，如果知道了ghkl矢量的排列方式，就可推得正空間對應的衍射晶面的方位了，這就是電子衍射分析要解決的主要問題。95向陽書屋pThe following figures show the annotation of crystal surfaces96向陽書屋p1.6 晶帶定律與零層倒易截面 晶體中，與某一晶向uvw平行的所有晶面（HKL）屬于同一晶帶，稱為uvw晶帶，該晶向uvw稱為此晶帶的晶帶軸，表示為此晶帶內的各晶面用相應的倒易矢量來表示為 （22） 即(23) 97向陽書屋p式（22）為晶

36、帶定律的矢量表達式式（23）為晶帶定律的標量表達式 如圖所示，取某點O*為倒易原點，則該晶帶所有晶面對應的倒易矢（倒易點）將處于同一倒易平面中，這個倒易平面與Z垂直。 由正、倒空間的對應關系，與Z垂直的倒易面為（uvw）*,即 uvw(uvw)* 因此，由同晶帶的晶面構成的倒易面就可以用（uvw）*表示，且因為過原點O*，則稱為0層倒易截面（uvw）*。98向陽書屋p正空間倒空間圖2-3 晶帶正空間與倒空間的對應關系圖99向陽書屋p反過來，若已知uvw晶帶中任意兩晶面（H1K1L1）和（H2K2L2），則可按晶帶定理求晶帶軸指數，有解此方程組得（24） 手算時寫成更容易記憶的形式u v w 1

37、00向陽書屋p舉列：一立方晶胞以001作晶帶軸時，（100）、（010）、（110）和（210）等晶面均和001平行，相應的零層倒易截面如圖所示。101向陽書屋p體心立方晶體001和011晶帶的標準零層倒易截面圖。102向陽書屋p1.7 結構因子與倒易點陣的結構消光及倒易點陣類型1.7.1 結構消光或 上述條件給出的是某晶面組（hkl）產生衍射的必要條件，滿足了上述的要求，也未必一定產生衍射。這樣，把滿足布拉格條件而不產生衍射的現象稱為結構消光。 滿足Bragg方程或者倒易陣點正好落在愛瓦爾德球球面上的(hkl)晶面組是否會產生衍射束？。答案是：下面將從衍射強度的角度進行分析。103向陽書屋p

38、X射線的衍射強度結構因子的定義：一個晶胞內所有原子散射的相干散射波振幅 一個電子散射的相干散射波振幅 F=F稱為結構因子它是以一個電子散射波振幅為單位所表征的晶胞散射波振幅。因此也稱為結構振幅。104向陽書屋p某個晶面的結構因子： 在(h k l)晶面的衍射方向上，晶胞中某個原子A(坐標為xjyjzj)與其陣胞原點O上原子的散射波的位相差為 105向陽書屋p于是(hkl)晶面的結構因子為：或106向陽書屋p 由X射線的衍射知道，衍射束的強度 （26） Fhkl（hkl）晶面組的結構因子（結構振幅），表征晶體的正點陣晶胞內所有原子的散射波在衍射方向的合成振幅。fj晶胞中位于（xj, yj, zj

39、）的第j個原子的散射因子n晶胞原子數（第j個原子的座標矢量） 107向陽書屋p（hkl）晶面組的結構因子（結構振幅）Fhkl它表征單胞的衍射強度，反映了晶體的正點陣晶胞內原子種類（ fj ）、原子個數（n）以及原子位置（xj, yj, zj）對衍射強度的影響。Fhkl2具有強度的意義，即F2越大，Ihkl越大。當Fhkl=0時，Ihkl=0，即使滿足Bragg定律，也沒有衍射束產生，因為每個晶胞內原子散射波的合成振幅為零，這叫結構消光。 在X射線衍射中已經計算過典型晶體結構的結構因子。 可以看出:108向陽書屋p1.7.2 產生衍射的充分必要條件產生衍射的必要條件充分條件 Fhkl0綜上所述：

40、109向陽書屋p簡單立方對指數沒有限制（不會產生結構消光）f. c. c h. k. L. 奇偶混合b. c. c H + k + L = 奇數h. c. p H + 2k = 3n, 同時L=奇數體心四方 H + k + L = 奇數常見晶體的結構消光規律 110向陽書屋p1.7.3 倒易點陣的類型 由上所述，滿足Bragg定律只是產生衍射的必要而非充分條件，只有同時又滿足F0的（HKL）晶面組才能得到衍射束。 考慮到這一點，可以把Fhkl2作為“權重”加到相應的倒易陣點上去，此時，倒易點陣中各個陣點將不再是彼此等同的，“權重”的大小表明各陣點所對應的晶面組發生衍射時的衍射束強度。 凡“權重

41、”為0，即 F=0的那些陣點，都應當從倒易點陣中抹去，僅留下可能會產生衍射的那些陣點。只要這些F0的陣點落在反射球面上，必有衍射束產生。 111向陽書屋p這樣，在f.c.c晶體點陣中，要把h、k、l奇、偶數混合的那些陣點抹去，就成了體心立方結構的點陣，如圖所示同理，b.c.c點陣對應的倒易點陣為面心結構。112向陽書屋p基本規律概括為：倒易點陣與所對應的晶體點陣同屬于相同的晶系 倒易點陣與相應的晶體點陣布拉菲結構特征除面心和體心倒易互換外，其余都是相同的。113向陽書屋p1.7.4 倒易陣點的擴展（形狀）與偏移參量 從幾何意義上來看，電子束方向與某晶帶軸重合時，零層倒易面除原點O*外，都不可能

42、與愛瓦爾德球相交，因而，不可能產生衍射，如圖（a）所示。 若要使晶帶中的某一個或幾個晶面產生衍射，必須將晶體傾斜，如圖（b）所示。114向陽書屋p 在實際電子衍射操作中，即使B/uvw，使零層倒易截面的倒易點不與愛瓦爾德球面嚴格相交仍能發生衍射，即入射束和晶面間的夾角和精確Bragg角B存在某一偏差時仍能發生衍射。 這是因為實際的樣品晶體都有確定的形狀和有限的尺寸，因而，它的倒易點不是一個幾何意義上的點，而是沿著晶體尺寸較小的方向發生擴展，擴展量為該方向實際尺寸的倒數的2倍。 衍射晶面位向與精確Bragg條件的允許偏差和樣品晶體的形狀和尺寸有關，這可以用倒易陣點的擴展來表示。115向陽書屋p電

43、子顯微分析中常見的樣品及其對應的擴展倒易點的形狀（1）薄片（2）棒狀或針狀（3）顆粒狀或球狀116向陽書屋p倒易陣點的形狀效應117向陽書屋p 假定倒易點擴展為桿，桿子總長2/t。如圖可見，在偏離Bragg角 max范圍內，倒易桿都能和球面相接觸而產生衍射。如圖所示，偏離時，倒易桿中心至愛瓦爾德球面交截點的距離可用矢量S表示，S就是偏離矢量，為正，S為正，反之為負。即S以入射束K作為它的正方向，S越大，衍射強度越小。偏離矢量的定義118向陽書屋p119向陽書屋p120向陽書屋p 下圖給出了不同偏離矢量（s = 0， s 0）三種典型情況下的愛瓦爾德球作圖。倒易陣點擴展后的愛瓦爾德球圖解121向

44、陽書屋p在偏離Bragg條件下，產生衍射的條件可表示為顯然，當= max時，S = Smax = 1/t 當 max時,不發生衍射倒易陣點的形狀可以反映衍射斑點的強度分布和精細結構122向陽書屋p1.8 倒易點陣與電子衍射圖的關系1.8.1 電子衍射裝置與電子衍射基本公式推導 右圖是導出電子衍射基本公式的普通電子衍射裝置示意圖。電子束波長為樣品晶體置于O處離樣品距離為L處放置底版假定面間距為d的（hkl）面滿足Bragg條件，則發生衍射，透射束和衍射束將和底片分別交于O和P。 O為衍射花樣的中心斑，P為（hkl）面的衍射斑。123向陽書屋p此時，作Ewald球與晶體對應的倒易點陣，如圖示。那么

45、，必有（hkl）對應的倒易點G(hkl)落在Ewald球面上。 2很小，一般為1-20 由代入上式 即 （24） （2-4）為電子衍射的基本公式 L為相機長度124向陽書屋p令定義為電子衍射相機常數 把電子衍射基本公式寫成矢量表達式（25） 這說明是相應的按比例放大，K稱為電子衍射放大率。 單晶花樣中的斑點可以直接被看成是相應衍射晶面的倒易陣點，各個斑點的R矢量也就是相應的倒易矢量g。衍射花樣的幾何性質與滿足衍射條件的倒易陣點圖形完全是一致的。125向陽書屋p1.8.2 倒易點陣與電子衍射圖的關系 從上面的分析看到，產生電子衍射的晶面，其對應的倒易點必落在厄互爾德球面上。可以認為產生衍射的斑點是厄瓦爾德球面上的倒易點的投影。下面分析一下倒易點落在Ewald球上的可能性 已知，電子衍射采用