1、2.3 單一元件的正弦響應單一元件的正弦響應 電阻元件的正弦響應電阻元件的正弦響應 電感元件的正弦響應電感元件的正弦響應 電容元件的正弦響應電容元件的正弦響應電阻元件的正弦響應電阻元件的正弦響應 電壓電流關系電壓電流關系 功率關系功率關系電壓電流關系電壓電流關系AtIim)sin( 設RuiVtUtRIRiumm)sin()sin(Riu iuR UmuiIm0t可見，電阻上的電壓可見，電阻上的電壓和電流為同頻率的正和電流為同頻率的正弦量，二者同相。弦量，二者同相。RIURIUmm向量關系與向量圖向量關系與向量圖將電路圖中電壓與將電路圖中電壓與電流用向量代替電流用向量代替RuimIRmUVRI

2、IRUmmm VRIIRU 畫出向量圖畫出向量圖AtIim)sin(AIImm AII UO0I分析多個正弦量之間的相位關系時，通常選一分析多個正弦量之間的相位關系時，通常選一個正弦量作為參考正弦量，即令初相為零。個正弦量作為參考正弦量，即令初相為零。IUmmmmIUIUIUIUiuRIII00 設RIRIU00 則IUR歐姆定律的復歐姆定律的復數表達式數表達式功率關系功率關系 瞬時功率瞬時功率 平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）瞬時功率瞬時功率uip tItUsin2sin2)2cos1 (sin22tUItUI瞬時功率的幅值等于瞬時功率的幅值等于UI，并以，并以2頻率發頻率發生變化且

3、生變化且總有總有 p 0。其波形如下圖所示：。其波形如下圖所示：在任意瞬時，電壓瞬時值在任意瞬時，電壓瞬時值u與電流瞬時值與電流瞬時值 i的乘積，稱為瞬時功率，用字母的乘積，稱為瞬時功率，用字母p表示。表示。對于電阻元件對于電阻元件 由于電阻元件的瞬時功率在由于電阻元件的瞬時功率在任意瞬間（除過零點外）均為任意瞬間（除過零點外）均為正值，則正值，則R消耗功率，起著負消耗功率，起著負載的作用。載的作用。平均功率（即有功功率）平均功率（即有功功率） 在一個周期內，瞬時功率的平均值，稱為平在一個周期內，瞬時功率的平均值，稱為平均功率均功率,它表示電路實際消耗的功率，也稱有功它表示電路實際消耗的功率，

4、也稱有功功率，用表示功率，用表示TTdttUITpdtTP00)2cos1(1 1RURIIUP220tuip例：一只例：一只100 電阻接入電阻接入50Hz、有效值為、有效值為10V的電源上，問電流是多少？若頻率改的電源上，問電流是多少？若頻率改為為5000Hz呢？呢？ 因電阻與頻率無關，所以，電流不因電阻與頻率無關，所以，電流不會因為頻率的改變而改變。會因為頻率的改變而改變。mAARUI1001 . 010010解解電感元件的正弦響應電感元件的正弦響應 電壓電流關系電壓電流關系 功率關系功率關系 例題分析例題分析電壓電流關系電壓電流關系 瞬時值關系瞬時值關系 有效值關系有效值關系感抗的概念

5、感抗的概念 向量關系向量關系復感抗與向量圖復感抗與向量圖瞬時值關系瞬時值關系iuLtAIimsin 設VtUtLIdtdiLumm)90sin(cos0u、i為同頻率的正弦量，為同頻率的正弦量，u在相位上在相位上超前超前i 900mmLIU有效值關系有效值關系mmLIULIUfLLIUIUXmmL2定義定義具有電阻具有電阻的量綱的量綱感抗感抗iuXL :注意感抗的性質感抗的性質0ffL2fLUI2fLLIUIUXmmL200LXfLXf電流的阻礙能力為零電流的阻礙能力為零對對直流相當于短路。直流相當于短路。電流的阻礙能力為無窮大電流的阻礙能力為無窮大對對高頻交流相當于開路。高頻交流相當于開路。

6、電感元件的感抗與頻率成正比。電感元件的感抗與頻率成正比。相量關系相量關系tAIimsinVtUum)90sin(0AIImm00VUUmm090iuLLIUAII00VUU090畫出相量圖：畫出相量圖：IULmmjXIUjIUIUIU00090復感抗歐姆定律復數表達式電壓、電流相量關系：電壓、電流相量關系：功率關系功率關系 瞬時功率瞬時功率 p 有功功率有功功率P 無功功率無功功率Q瞬時功率瞬時功率tAIimsin 知道了電壓知道了電壓u和電流和電流i的變化規律及相互關的變化規律及相互關系后，便可找出元件瞬時功率的變化規律系后，便可找出元件瞬時功率的變化規律)sin(sin90ttIUuipp

7、mmLtIUttIUmmmm2sin2cossintIU2sin 可見，可見，p是以幅值為是以幅值為UI、角頻率為、角頻率為2 變化的交變量。變化的交變量。VtUum)90sin(0瞬時功率瞬時功率 當當u 與與 i 的瞬的瞬時值為同號時，時值為同號時，p 0，電感元件電感元件取用功率取用功率(為負為負載載)，磁能增加；，磁能增加； 當當u 與與 i 的瞬的瞬時值為異號時，時值為異號時，p 0，電感元件電感元件發發出功率出功率(相當于電相當于電源源)，元件的，元件的磁能磁能減少。減少。有功功率有功功率P02sin1100TTtdtUITpdtTP電感元件不消耗功率電感元件不消耗功率無功功率無功

8、功率 由于由于電感元件在電路中沒有能量損耗，只與電感元件在電路中沒有能量損耗，只與電源間進行能量交換，電源間進行能量交換，其能量交換的規模我們用其能量交換的規模我們用無功功率無功功率Q Q表示表示: :22IXXUUIQLL為了與有功功率有為了與有功功率有所區別所區別, ,無功功率無功功率Q Q的單位為乏的單位為乏( (VarVar) )或或千乏千乏( (kVarkVar).).規定無功功率為瞬時功率規定無功功率為瞬時功率p的幅值的幅值UI，即，即例題分析例題分析 一一電感交流電路，電感交流電路，L=100mH，f=50Hz，已知：已知：tAisin27) 1 (求電壓求電壓u ; VU301

9、27)2(求電流求電流 i 。解解并畫相量圖。并畫相量圖。 由題知，感抗為 X L= L=2 500.1=31.4則由相量形式的歐姆定律知：則由相量形式的歐姆定律知：VjjIjXUL0090220220074 .31tAisin27) 1 (AI007LIU瞬時值瞬時值Ati)120sin(24VU90/220AI0/ 7VU30/127AI1204(2) 電流為電流為ALjUI120/490/4 .3130/127VU090220Vtu)90sin(2220相量圖為：相量圖為：00 例例3 3：指出下列各式哪些是對的，哪：指出下列各式哪些是對的，哪些是錯的些是錯的? ?電容元件的正弦響應電容

10、元件的正弦響應 電壓電流關系電壓電流關系 功率關系功率關系 例題分析例題分析電壓電流關系電壓電流關系 瞬時值關系瞬時值關系 有效值關系有效值關系容抗的概念容抗的概念 向量關系向量關系復容抗與向量圖復容抗與向量圖瞬時值關系iuCtVUumsin 設AtIAtCUdtduCimm)90sin()90sin(00電流與電壓為同頻率電流與電壓為同頻率的正弦量，在相位上的正弦量，在相位上電流超前電壓電流超前電壓90mmmfCUCUI2其中：其中：i 20u有效值關系有效值關系mmCUIfCUCUI2fCCIUIUXmmC211定義定義具有電阻具有電阻的量綱的量綱容抗容抗容抗的性質容抗的性質0ffCXC2

11、1fCUI2fCCIUIUXmmC211CXf00CXf電流的阻礙能力為無窮大電流的阻礙能力為無窮大對對直流相當于開路直流相當于開路電流的阻礙能力為零電流的阻礙能力為零對對高頻交流相當于短路。高頻交流相當于短路。電容元件的容抗與頻率成反比。電容元件的容抗與頻率成反比。向量關系向量關系tVUumsinAtIim)sin(090AIImm090VUUmm00iuCIUCVUU00AII090畫出相量圖：畫出相量圖：UICmmjXIUjjIUIUIUIU00900 則復容復容抗抗歐姆定律的復數形式功率關系功率關系 瞬時功率瞬時功率 p 有功功率有功功率P 無功功率無功功率Q瞬時功率瞬時功率tUItI

12、tUuip290220sin)sin(sin 由上式可見，由上式可見，p是一個幅值為是一個幅值為UIUI，并以，并以2 2 的角頻率隨時間而變化的交變量，其變的角頻率隨時間而變化的交變量，其變化波形如下圖所示。化波形如下圖所示。 tUIuip2sintVUumsinAtIim)90sin(0P0儲能；儲能； PUC0arctanRXXCL 討論討論IRULUCLUUUCULUCLXX 0 CLXXXUL R，則上式為，則上式為)(LCjLRCLCRCjLjZ 1112 上式分母中虛部為零時產生諧振，可得諧振頻率為上式分母中虛部為零時產生諧振，可得諧振頻率為即即LCff210與串聯諧振頻率公式相

13、同與串聯諧振頻率公式相同CLLC1 01即LC10并聯諧振的特征并聯諧振的特征(1) 由復阻抗公式由復阻抗公式諧振時電路的阻抗為諧振時電路的阻抗為達到最大值，比非達到最大值，比非諧振時要大。諧振時要大。在電源電壓一定的情況下，電路中的諧振電在電源電壓一定的情況下，電路中的諧振電流有最小值。即流有最小值。即max0min0ZUIRCLZmax0)1(1LCjLRCZ例如：若已知例如：若已知C=0. 02F，L=20 H，R=0.5，可見，在一個只有可見，在一個只有0.5 電阻的電阻的LC并聯電路中，并聯電路中，諧振時呈現出諧振時呈現出2000 的阻抗。的阻抗。(3)各并聯支路電流為各并聯支路電流

14、為(2) 電路的總電壓與總電流同相電路的總電壓與總電流同相 ( = 0)；20001002.05 .0102066max0RCLZCfUIC02/1CLII LfULfRUIL02022)2(因此，并聯諧振也稱電流諧振因此，并聯諧振也稱電流諧振IL或或 IC與總電流與總電流I0的比值為并聯諧振電路的品質因數的比值為并聯諧振電路的品質因數RLZCL20000)(1且當且當時，時，RL 0RLCRLRCLZ20000)(RLRLULUIIQL02000 /)(0 IIICLRC01)( fI)(fZ(4) 當當LC并聯電路由電流源供電時，由于電并聯電路由電流源供電時，由于電路諧振時阻抗最大，則得到

15、的諧振電壓也路諧振時阻抗最大，則得到的諧振電壓也最大；而在非諧振時，電路端電壓較小。最大；而在非諧振時，電路端電壓較小。這種特性也具有選頻作用，且這種特性也具有選頻作用，且Q越大選頻越大選頻作用越強。作用越強。A sintIimS電壓源供電并聯諧振曲線電壓源供電并聯諧振曲線電流源供電并聯諧振曲線電流源供電并聯諧振曲線SI)(fU0f0fRLCiSiCi1)(fU2.6 功率因數的提高功率因數的提高 功率因數提高的意義功率因數提高的意義 提高功率因數的方法提高功率因數的方法 應用舉例應用舉例功率因數提高的意義功率因數提高的意義（1）使電源容量得到充分利用）使電源容量得到充分利用（2）減小輸電線上

16、的電壓降和功率損耗，提高輸電效率）減小輸電線上的電壓降和功率損耗，提高輸電效率cosSP 9 .0cosSSP%909 .0cosUIP cosUPI 當電源電壓當電源電壓U和輸送的有功功率和輸送的有功功率P一定時，若一定時，若cos低，低，則輸電線上的電流就大。由于輸電線本身具有阻抗，因則輸電線上的電流就大。由于輸電線本身具有阻抗，因此，將導致輸電線路上阻抗壓降增大，同時輸電線路上此，將導致輸電線路上阻抗壓降增大，同時輸電線路上的功率損耗也增加。的功率損耗也增加。若若提高電路功率因數的方法提高電路功率因數的方法 通常情況下，供電系統的功率因數低主通常情況下，供電系統的功率因數低主要是由于電感

17、負載造成的。而電感負載的電要是由于電感負載造成的。而電感負載的電流滯后電壓，使電路中存在一個滯后電壓流滯后電壓，使電路中存在一個滯后電壓900的無功電流分量。因此，提高電路（的無功電流分量。因此，提高電路（而非負而非負載載）功率因數的方法：是在電感負載兩端并）功率因數的方法：是在電感負載兩端并聯電容器產生一個超前于電壓聯電容器產生一個超前于電壓90o的無功電流的無功電流分量，以補償滯后電壓分量，以補償滯后電壓90o的無功電流分量，的無功電流分量，使線路上的總電流減小。使線路上的總電流減小。UIRL并聯電容器提高功率因數的分析與計算并聯電容器提高功率因數的分析與計算如圖為電感性負載如圖為電感性負

18、載其功率因數為：其功率因數為：cos1，為了，為了將電路的功率因數提高到將電路的功率因數提高到cos2，并聯電容，并聯電容C。CICRLI畫相量圖畫相量圖U1RLIICI2 從相量圖可見，并聯電從相量圖可見，并聯電容器后，總電流由原來的容器后，總電流由原來的IRL變成了變成了I，其模值減小了，其模值減小了，而且與電壓的相位差也由而且與電壓的相位差也由原來的原來的1減小為減小為2，則，則cos2cos1但是必須注意但是必須注意 （1）并聯電容器前后，原負載支路的工作狀態）并聯電容器前后，原負載支路的工作狀態沒有任何變化，負載電流仍然是沒有任何變化，負載電流仍然是IRL，原感性負載，原感性負載的功

19、率因數仍然是的功率因數仍然是 cos1。因此，提高功率因數是因此，提高功率因數是就整個電路對原電路而言的。就整個電路對原電路而言的。 （2）線路總電流的減小是由于并）線路總電流的減小是由于并聯電容后總電流的無功分量減小的結聯電容后總電流的無功分量減小的結果。果。而電流的有功分量在并聯電容前而電流的有功分量在并聯電容前后并無改變。后并無改變。 因此，若需將電路的功率因數從因此，若需將電路的功率因數從cos1提高到提高到cos2，就可以從相量圖，就可以從相量圖中求出所需要的并聯電容的大小。中求出所需要的并聯電容的大小。U1RLIICI2RIXI 從相量圖上可見從相量圖上可見21 sinsinIII

20、RLC 1cosUPIRL2cosUPI CUIC)tan(tan21UPCUU1RLIICI2)tan(tan 212UPC應用舉例 例例1.單相感應電動機接到單相感應電動機接到50Hz，220V供電線供電線上，吸收電功率上，吸收電功率700W，功率因數，功率因數cos1=0.7。今。今并聯一電容器以提高電路的功率因數至并聯一電容器以提高電路的功率因數至0.9，求，求所需電容。所需電容。解：解：因為因為 U=220V9 . 0cos28 .25248. 0tan27 . 0cos16 .45102. 1tan1)tan(tan 212UPC)tan(tan2212fUPC可選用耐壓為可選用耐

21、壓為500V、電容量為、電容量為25 F的電容器。的電容器。FFC8 .24108 .24 )48. 002. 1 (2205014. 3270062求出未補償時的電流求出未補償時的電流I1和補償后的電流和補償后的電流I2 如下如下 AUPI54. 47 . 0220700cos11AUPI53. 39 . 0220700cos22如果再將功率因數提高到如果再將功率因數提高到1 1，則有：，則有：0tan01cos333FFC1 .22101 .22 )048.0(2205014.3270062 可見，當功率因數較高時，要再提高功率因可見，當功率因數較高時，要再提高功率因數，則所需要的電容量并

22、不小，提高功率因數數，則所需要的電容量并不小，提高功率因數的效率不高，通常并不須要把電路的功率因數的效率不高，通常并不須要把電路的功率因數提高到提高到1 1。交流電路分析計算舉例交流電路分析計算舉例R1=3 R2=8XL=4XC=6Vtu314sin2220求：求： （1）i、i1、i2（2）P解解: (1)已知已知R1R2jXL-jXCUI1I2IoLjjXRZ53/54311AZUIoo53/4453/522011AZUIoo53/4453/522011oCjjXRZ37/106822AZUIoo37/2237/1022022Atio)53314sin(2441Atio)37314sin(

23、2222AIIIo5 .26/2 .4921總電流總電流 I 也可以這樣求：也可以這樣求： oZZZZZ5 .26/47.42121AZUIoo5 .26/2 .495 .26/47.4220 Atio)5 .26314sin(22 .49R1R2jXL-jXCUI1I2I（2）功率）功率P的計算的計算R1R2jXL-jXCUI1I2IP=UIcos =22049.2cos26.5o=9680WP=I12R1+ I22R2=4423+ 2228=9680WP=UI1cos53o+UI2cos（-37o）=9680W方法方法1方法方法2方法方法3AIo5 .26/2 .49例例題題電路如圖所示，

24、已知電路如圖所示，已知R=R1=R2=10，L=31.8mH，C=318F，f=50Hz，U=10V，試求（試求（1）并聯支路端電壓）并聯支路端電壓Uab； （2）求）求P、Q、S及及COS XL=2fL =10解：解： 1021fCXCZ1=10j10Z2=10j10+-uRR2R1CL+-uabab212112ZZZZZ 10101010)1010)(1010(jjjj 10201010RZZ12A5 .02010ZUIVIZUab55 .010 12+-R+- UabUZ1Z2abIIcos =100.5 1=5WSI=100.5 =5VAQIsin =100.5 0 =0var+-RR2R1+-UabUjXL-jXC平均功率：平均功率：視在功率：視在功率：無功功率：無功功率：例：例：如圖：電流表如圖：電流表A1和和A2的讀數分別為的讀