1、 復變函數復變函數 與積分變換與積分變換 大學數學多媒體課件大學數學多媒體課件2022-6-122 目目 錄錄3 內容提要：解析函數是復變函數研究的主要對象在理論和實際問題中有著廣泛的應用，本章在介紹復變函數的導數概念和求導法則的基礎上，著重講解析函數的概念，判別方法及重要性質 42.1 解析函數的概念2.2 解析函數和調和函數的關系2.3 初等函數本章小結v 思考題5一、復變函數的導數與微分一、復變函數的導數與微分 1導數定義 01.( )wf zz定義 設函數在點 的某鄰域內有定義，0zz 是該鄰域內任意一點，00()()wf zzf z函數的增量，000()()limzf zzf zz

2、如果極限存在，0( )f zz則稱函數在 處可導，0( )f zz此極限值稱為在 處的導數。0000000 |limlim()()()limz zzzzzdwwwdzzzf zzf zfzz 求導公式：微分公式：0()wfzz00( )( )f zzf zz稱為在 處的微分，在 處可微。0()(|)wfzzoz z 為極小量泰勒展開00()()wf zzf z 0z 線性變化量高階變化量0 ()dwfz dz6 例12( ).f zz求函數的導數解：22000()( )()limlimlim(2)2zzzf zzf zzzzzzzzz ( )2 .fzz所以 例2( )f zzxiy函數是否可

3、導？()( )f zzf zzzzzzzzzzzz 解：xiyxiy 1zzz（）若沿平行于實軸方向趨向于 ，00yx 即，而，00,0()( )limlim1zxyf zzf zxi yzxi y 則有2zzz（ ）若沿平行于虛軸方向趨向于 ，00 xy 即，而，00,0()( )limlim1zyxf zzf zxi yzxi y 則有( )f zzxiy故不可導.例例3 .Im)(的的可可導導性性討討論論zzf zzfzzfzf )()(解解:zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ()0,yk xz 沿的方向而使0000limlimlim

4、1=zxxyy k xfyk xkzxi yxik xik ,0極極限限值值不不同同時時當當點點沿沿不不同同的的方方向向使使 z.在在復復平平面面上上處處處處不不可可導導zzfIm)( 故故82可導與連續關系 ( )f zzxiy函數處處連續，但處處不可導，反之可導必連續.從例2從可以看出： 00( ).wf zzz函數在 可導，則在 處必連續，反之不成立結論： 證明：000()()0,0,0()f zzf zzfzz 當時，都有由導數的定義可知 000()()()limzf zzf zfzz 存在000()()()()f zzf zzfzz令0lim()0zz 那么000()()()()f

5、zzf zfzzzz 000lim()()zf zzf z 所以0( ).f zz即函數在點 處連續() zzz是的高階無窮小量94可微與可導的關系 000()()()(),wf zzf zfzzzz 0( )wf zz設函數在 處可導，則0lim()0zz 其中，() zzz 是的高階無窮小量00( )( )f zzf zz函數在 處可微在 處可導.000()()(),0wf zzf zfzzozz 證明：0 ()dwfz dz .)(00可可微微是是等等價價的的可可導導與與在在在在函函數數zzzfw 0000()()()= limlimzzwf zzf zfzzz 000()()()()f

6、 zzf zzfzz令104求導法則 (1) ( )0,CC （其中 為常數）1(2) (),nnznzn （其中 為正整數）(3) ( )( )( )( )f zg zfzg z(4) ( )( )( )( )( )( )f zg zfzg zf zg z2( )1(5)( )( )( )( ), ( )0( ) ( )f zfzg zf zg zg zg zg z(6) ( )( )( ),( )f g zfw g z wg z( )1(7)( ),( )0.( )wf zfzfww與 互為反函數且單值函數，結論：由于復變函數中導數的定義與一元實函數中導數在形式上完全相同，而且極限的運算法

7、則也一樣，因而實函數中的求導法則可推廣到復變函數中去 11二、解析函數二、解析函數 在復變函數理論中，重要的不是只在個別點處可導的函數，而是在區域D內處處可導的函數，即解析函數 1解析函數的概念 000( );( )ff zzzzz(1)如果函數在 及 的某一鄰域在內處處可導，么稱處解析那(2)( )( )f zDf zD如果函數在區域 內每一點都解析，那么稱在 內解析，( )fDz內的一個解析函或稱是(全純函數數或正則函數).00(3)( )( )f zzzf z若在 處不解析，那么稱 為函數的奇點.注意： （1）函數在區域內解析與在區域內處處可導是等價的； （2）函數在一點處解析和可導是兩

8、個不等價的概念，即在一 點處可導不一定在該點解析； 00zz反之函數在 點解析，必在 處可導.函數在某點處的性質的條件苛刻程度：解析可導=可微連續12 例322( )( )( ) |.f zzg zxiyh zz研究函數，的解析性解：2( )f zz(1)前面章節中已經討論過函數在整個復平面上處處可導，所以在整個復平面處處解析( )g zxiy(2)已經討論過函數在整個復平面上處處不可導，所以在整個復平面處處不解析2(3)( ) |.h zz討論函數的解析性220000000()()()limlimzzzzzh zzh zh zzz 00000000()()limlimzzzz zzz zzz

9、zzz zzz 000000lim()lim,zzzzzzzzzzz 0z任取 ，由于00(0)0zh當時，；000000()zzzyyk xxz當時，讓沿直線趨向于 ，1111yizxi ykixyzxi ykiix k隨著 的變化而變化，20( ) |0h zzz故在可導，而其它點卻不可導，函數在復平面上處處不解析。 13 例41.wz研究函數的解析性解：2110dwwzzdzz 復平面內除點外處處可導，且，0z 所以在除外的復平面內，函數處處解析，0z 而是它的奇點.定理1：在區域D內解析函數的和、差、積、商（除去分母為0的點）在D內解析定理2：設函數( )hg zzD在 平面上的區域

10、內解析，( )wf hhG在 平面上的區域 內解析,( ),Dzg zG如果對 內的每一個點 ，函數的對應值都屬于 ( ).wf g zG那么復合函數在 內解析定理3：任何有理分式函數( )0,0( )P zQ z在分母不為 的點的區域內是解析函數 使分母為 的點是函數奇點.00211z=01( )limlim1()-z0zzzzzzfzzz zz 不存在，142函數解析的充分必要條件 ( )( , )( , )f zu x yiv x yD函數定義在區域 內，則定理1：( )f zDzxiy在 內一點處可導的充分必要條件是：(1) ( , )( , )( , )u x yv x yx y與在

11、點可微；(),.uvuvCRxyyx (2)在該點滿足柯西黎曼方程方程 ： 證明： 必要性0()( )( )( )limzf zzf zf zzxiyfzz 在處可導，存在0()( )( )(),lim()0zf zzf zfzzzzz 其中()( )f zzf zui v 設，0zxi y 對充分小的，有12( ),()fzaibziui v 所以12()()()()aibxi yixi y 1221()()a xb yxyi b xa yxy 150lim()0zz 由于，12() zi而，120,00,0lim0,lim0 xyxy 所以2212( ()() )xyoxy 因此，2221

12、( ()() )xyoxy 22( ()() ),ua xb yoxy 22( ()() )vb xa yoxy ( , ), ( , )( , )u x y v x yx y于是在處可微.且沿平行于實軸x方向： 0,0limxyuuaxx 沿平行于虛軸y方向： 0,0limxyvvayy uvxy從而，.uvyx 同理12ua xb yxy 從而，21vb xa yxy 16充分性()( )(,)( , ) (,)( , )f zzf zu xx yyv x yi v xx yyv x y由于ui v ( , ), ( , )( , )u x y v x yx y又因為在點可微，可知34vv

13、vxyxyxy 12uuuxyxyxy 00lim0,kxykN ，其中1234()( )()()()()uvuvf zzf zixiyixiyxxyy 因此2,uvuvvCRixyyxx 根據方程：1324()( )()()()()uvf zzf zixi yixiyxx 所以1324()( )( )()()f zzf zuvxyfziiizxxzz0()( )( )limzf zzf zuvvufziizxxyy 復變函數的導數計算公式17定理2：函數( )( , )( , )f zu x yiv x yD在定義域 內解析的充分必要條件是( , ), ( , ).u x y v x yDC

14、R函數在 內可微分且滿足方程判別函數在區域解析的常用方法(1) ( , ), ( , )u x y v x yD在 內偏導數連續；(2),.uvuvCRxyyx 滿足方程：( )( , )( , )f zu x yiv x y判斷函數在內是否解析，只需判斷兩點：( )( , )( , )( ).f zu x yiv x yDCRf zD若函數在 內不滿足方程，則在 內不解析 例1判定下列函數在何處可導，在何處解析？ (1),wz(2)( )(cossin ),xf xeyiy(3)Re( ).wzz解：(1),wzxiy,ux vy 因為偏導數連續1,0,0,1,uuvvxyxy uvxy可知

15、，,CR即不滿足方程wz所以函數在復平面內處處不可導，從而處處不解析.18(2)( )(cossin ),xf xeyiycos ,sinxxuey vey因此偏導數連續，cos ,sin ,sin ,cosxxxxuuvveyeyeyeyxyxy 且，CR以上四個偏導數連續，且滿足方程，( )f z所以在復平面內處處可導，( )(cossin )( ).xfzeyiyf z于是處處解析，且這個函數特點：其導數是本身，這個函數就是復變函數中的指數函數 2(3)Re( )(),wzzxiy xxixy2,2 ,0,uuvvux vxyxyxxyxy且，0 xyCR這四個偏導數連續，但只有當時，才

16、滿足方程,0z 因此函數僅在處可導，但在復平面內處處不解析.,.uvuvCRxyyx 方程：19 例2( )(), ,f zxayi bxcya b c若函數在復平面上解析，試確定實常數的值.解：,uxay vbxcy1,uuvvabcxyxy且，( )f z因為在復平面上解析，,uvuvCRxyyx 故需滿足方程：1,.cba 所以有 例3( )( )f zDf zD如果在區域 內解析，而且滿足下列條件之一，則在 內為一常數.(1)( )0,fz2 Re( )f z（ ）為常數，(3)|( )|f z為常數.證明： (1)( )0,uvvufziixxyy0uuvvxyxy，( )0,fz由

17、uv所以 ， 為常數，( ).f zD于是函數在 內為一常數20(2)0uuuxy因為 為常數，故，0vvCRxy由方程可知：，( ).f z所以為常數222(3)|( )|f zuv常數，, x y分別對求偏導數，得：0,0,uvuvuvuvxxyyCR由方程知：0,0,uuuuuvuvxyyx0,0uuuvxyuuuuxyvuxy 解關于的齊次線性方程組：，2200( )0;uvuvf z當，即，顯然2200uuuvuxy當時，故常數，( ).vf zD同理，常數，在 內為常數2 Re( )f z（ ）為常數，線性代數知識：齊次方程組的解：行列式等于零，無窮非零解；行列式不等于零，解為零。

18、21 平面靜電場中的電位函數、無源無旋的平面流速場中的勢函數與流函數都是一種特殊的二元實函數，即所謂的調和函數，它們都與某種解析函數有著密切的關系下面給出調和函數的定義 一、調和函數的概念一、調和函數的概念 定義1： (調和函數)( , )x y如果二元函變函數滿足：D(1)在區域 內具有二階連續偏導數，2222)0Laplacexy(2)滿足二維拉普拉斯(方程：( , )x yD則稱為區域 內的調和函數.Harmonic function22定理1：設函數 ( )( , )( , )f zu x yv x yD則的實部和虛部都是區域 內的調和函數.( )( , )( , )f zu x yi

19、v x yD在區域 內解析，證明： ( )wf zuivD因為為 內的一個解析函數，,uvuvDCRxyyx 則在區域 內滿足方程：222222, uvuvx yxy xyx y 上式分別對求偏導，得： 22vvy xx y 由于2222220uuvvxyy xx y 從而，( , ).u x yD即是區域 內的調和函數22220.vvxy同理可證，,.u v因此二元實變函數都是調和函數23二、共軛調和函數二、共軛調和函數 定義2：(共軛調和函數)( , )( , )x yx yD設函數及均為區域 內的調和函數，,CRxyxy 且滿足方程：( , )( , ).x yx y則稱是的共軛調和函數

20、定理2：復變函數 ( )( , )( , )f zu x yiv x yD在區域 內解析的充分必要條件是( )( , )( , ).Df zv x yu x y在區域 內，的虛部是實部的共軛調和函數 根據這個定理，可以利用一個調和函數和它的共軛調和函數構造解析函數 三、解析函數與調和函數的關系三、解析函數與調和函數的關系 ( , )u x yCR如果已知一個調和函數，則可利用方程( , )v x y求得它的共軛調和函數，從而構造一個解析函數( )( , )( , ).f zu x yiv x y( , )- ( , )u x yv x y是的共軛調和函數( , )( , )u x yv x y

21、不是的共軛調和函數注意：( )( , )( , )f zv x yiu x y不解析( )- ( , )( , )f zv x yiu x y解析（三種構造方法）（三種構造方法）24 例132( , )3( , )u x yyx yv x y證明為調和函數，并求它的共軛調和函數( ).f zuiv和由它們構成的解析函數解：32( , )3.u x yyx y先證明為調和函數2222226, 6 , 33,6 ,uuuvxyyyxyxxyy 因為22220uvxx均連續，且，32( , )3u x yyx y所以為調和函數.(1)( , ).v x y用求函數偏積分法22633vxyvyuuCx

22、xyyRx 由方程，有， ,得：2( , )63( )v x yxydyxyg x 2223( )33,vyg xyxx 又23( )3g xx dxxC23( , )3.v x yxyxC 因此32323( )3(3)( )().wf zyx yi xxyCwf zi zC從而25(2)CR用求復不定積變數（法函分方程）( )( )f zuivfz解析函數的導數仍為解析函數，( ),uvvufziixxvvuuiyiyyxxy且uuizxy把還原成 的函數：( )( )uufziU zxy湊( )( )vvfziV zyx湊( )( )f zU z dz上式積分得：，( )( ),f zV

23、z dz上式積分得：( , )u x y已知實部，323uyx y上例中，已知，226,33,xyuxy uyx 故22( )6(33)fzxyiyx 22223 (2)3 ()3,i xxyiyi xiyiz231( )3.f ziz dzizC故解析的復變函數是無數階可導的vvizyx把還原成 的函數：( , )v x y已知虛部，(3)用求函數(二維拉普拉曲線積分法斯方程）( , )( )u x yDf z設函數為區域 內的解析函數的實部，22220uuxy由于它是調和函數，故有：，2222uuyx即：，,uuPQyx 令，vvuudvdxdydxdyxyyx 全微分定義vuvuxyyx

24、 ，, u vCRuiv滿足方程，為一解析函數，000000( , )( , )( , )(,)(,)(,)=x yx yx yxyxyxyvvuuvdxdyCPdxQdyCdxdyCxyyx而積分：，00(,).CxyD其中 為常數，為 中的某一點( , )2232(0,0)(33)( 6)3.x yvxydxxy dyCxxyC 上例，以上積分與路徑無關，以上積分與路徑無關，why？ ，因此可選任意一條簡單路徑（如折線）計算。，因此可選任意一條簡單路徑（如折線）計算。PQyx則，2222+=0uuyx由27平面上曲線積分與路徑無關的等價條件平面上曲線積分與路徑無關的等價條件定理定理:,),

25、(),(,yPyxQyxPD為平面單連通區域設:,則下列四個命題等價內連續在DxQ; 0,) 1 (LQdyPdxLD曲線內任意一條分段光滑閉沿LQdyPdxLD積分線內任意一條分段光滑曲對于,)2(;與路徑無關使得上定義在存在某一函數,),()3(Dyxuu QdyPdxdu;內恒成立在D.)4(xQyPD內才處處有在28 例2( , )( cossin ),xv x yeyyxyxy已知一調和函數( )(0)0.f zuivf求一解析函數，使解：用不定積分法不定積分法 ( cossin )xveyyxyxy因為，( cossinsin )1, (cossincos )1xxvveyyxyy

26、eyyyxyxy( )uvvvfziixxyx(cossincos ) 1( cossinsin ) 1xxeyyyxyi eyyxyy (cossin )()sin()cos1xxxey iyi x iy eyx iy eyi ()1x iyx iyexiy ei 1zzezei ( )(1)(1)zzzf zezei dzzei zC 積分，得：(0)0,( )(1) .zff zzei z又所以湊x+iy形式29 例322( )( )1.f zuivuxyxyf ii 求解析函數，已知，解：u容易驗證函數 是全復平面上的調和函數，CRv利用方程，先求出 的兩個偏導數:2,2vuvuyxx

27、yxyyx ( , )(0,0)(2)(2),x yvyx dxxy dyC0( , )0 00)()(2)xx yx dxxy dyC（ ， ）（ ， ）（x,2211222xxyyC 222211( )()(2)22f zxyxyixxyyC221()()2xiyi xiyiC21(1),2i ziC1( )12f iiC 又因為，所以，21( )(1).22if zi z于是與路徑無關同學們可以嘗試用不定積分法求解。湊x+iy形式曲線積分法( )f zuiv30作業習題二2.1 (1)(2)2.2 (1)(3)2.3 (1)2.4 (1) (2) (1)（2）(3)2.

28、10P51-5231 本節將把實變函數中的一些初等函數推廣到復變函數中，研究它們的性質，并討論它們的解析性 一、指數函數一、指數函數 1.定義：( )f z在復平面內定義一個函數，滿足下列三個條件：(1)( )f z 在復平面內處處解析；(2)( )( );fzf z(3)Im( )0( )Re( ).xzf zexz當時，其中z則稱它為復變量 的指數函數，exp(cossin ).zx iyxwzeeeyiy記做：exp ,zzeze 代這里 沒有冪的定義，只是一種符號.(cossin ).zxeeyiy即：exponential function322性質：(1) exp0,z exp(e

29、xp )2,0, 1, 2,xzeArgzykk 模：0，輻角：1212(2)expexpexp()zzzz加法定理： 22(3)(cos2in)2s2zk izk izzTeeeekkkeii周期性：，即；(4)();zzzeee指數函數 是整個復平面上的解析函數，且(5)zez 復變量指數函數 ，當時沒有極限.0limlimzxzxz xzee 當 沿著實軸正向趨向于 時，有，0limlim0zxzxz xzee 當 沿著實軸負向趨向于 時，有，111222,zxiyzxiy設，則12121122expexp(cossin)(cossin)xxzzeyiyeyiy1212121212(co

30、scossinsin)(sincoscossin)xxeyyyyiyyyy12121212(cos()(sin()exp().xxeyyiyyzz(5)(2)證明：33 例134ie 計算的值.解：根據指數的定義，有 334(cossin)44ieei 322(sin).22ei 例2132.12ii 利用復數的指數表示計算11113(arctan )1323(arctanarctan2)2arctan225125iiiieeie 解：因為 1(2)32,0,1,2ikek56623131.2222iiieieiei 于是所求之值有3個：，34二、對數函數二、對數函數 與實變量函數一樣，對數函

31、數定義為指數函數的反函數 1.定義：(0)( )Ln .wez zwf zwz稱滿足方程的函數為對數函數，記做Ln wz現在來認識它：，,iwuivzre令wez代入中，得：u iviere,2uer vk比較得：，lnln2urzvk即：，Ln ln(2)ln0, 1, 2,wzzikziArgzk 因此，(1)2 i它是一多值函數（一對多），每兩值相差的整數倍；(2)lnargziz為一個分支解，lnlnargzzizwLnz記： ，稱為的主值,ln20, 1, 2,Lnzzk ik 其它各值表示為：，(3)0Ln lnln .zxzzx當時，的主值 即是實數中對數函數性質：性質：Loga

32、rithm，logarithmic function，log function35 例32( 1),( 23 )LnLnLni 求，及其相應的主值.解：2ln20+2ln22,Lniki k（）ln2主值是；( 1)ln1( 1)(2)(21),LniArgikkiln( 1)i主值是；( 23 )ln23( 23 )LniiiArgi 13ln13( arctan(21) ),0, 1, 2,22ikk 13ln( 23 )ln13(arctan).22ii 主值是13ln13(arctan2)22ikLn ln(2)ln0, 1, 2,wzzikziArgzk ，362性質：1121212

33、2(1)Ln ()Ln Ln Ln Ln Ln zzzzzzzz運算性質：，1,nnLnznLnzLn zLnznlnlnarg ,zziz(2)解析性，研究主值：ln z模：除原點外在其它點都連續；argz輻角：在原點與負實軸上不連續.0000ReReReReIm0 0Im0 00limarglimargzzzzzzzxxzz 因為對負實軸上任意一點 = ，則當時，ln.z所以，除原點與負實軸外，在復平面內其它點對數函數處處連續arglnwzezwz綜合上述，指數函數在區域內反函數對數函數是單值的，ln111wwdzdedzezdw由反函數求導法則可知： Ln = ln2Ln = ln2nz

34、nzini knz nzini nk比如：廣義相等不過：Ln z是多值函數37三乘冪與冪函數三乘冪與冪函數 1.ab乘冪ln0, aabbabe在實數中，若為實數，則乘冪現將其推廣到復數中.定義1：ba設 為不等于零的一個復數， 為任一復數，Lnaabbe定義為， Ln .aabbe即：Ln ln(arg2)bbibk由于是多值的，ab因而可能是多值的，有多少值呢？(2)a當 為正整數時，ln(arg2)ab ibkaaLnbbee(lnarg ) 2ln,abibk aiabeeab所以是單值的.復數的乘方復數的乘方(1)a當 為0時，01aaLnbbee單 值 的38ln(arg2)ppp

35、bibkqqqbelncos(arg2)sin(arg2),0,1,2,(1)pbqppebkibkkqqq0,1,2,(1)abqkq具有 個值所以，即當時相應的各值.(3)aab當 是時，具有無無理數或復數窮多個值.ln(arg2)(lnarg )2ab ibkab ibiaaLnbkabeee(3)(0)papqqq當和 為互質的整數，時，1,ann特別地，當為正整數111ln(arg2)e,0,1,2,(1)Lnbbibkannnbeekn復數的開方無數個不重復幅角值0, 1, 2,k (ReIm )ln(arg2)Re lnIm (arg2I)(Im lnRe (arg2)Re ln

36、Im arg(Im lnRe argm 2Re)2 a iab ibkababkiababkaaLnbababika kbabaabeeeee無數個不重復模值無理數復數39 例2211(1)iiii求， 和的值.解：221221cos(22)sin(22),0, 1, 2,Lnk ieekikk (2)(2)22,0, 1, 2,iik ikiiLniieeek (1)ln2(2)1(1)(1)4(1)iikii Lniiee(ln22)(2ln2)44kike242cos(2ln2)sin(2ln2),0, 1, 2,.44kekikk Ln aabbe402冪函數 Ln (0),azaea

37、wzz 函數為復數,.z復變量 的稱冪函數為 LnLn .azze由于是多值函數，所以一般情況下是多值函數ln| |(arg2)arg(1)|nnLnznzizkninzanwzeeze當 為正整數 時，1(2)()ann當為正整數 時，1111arg2ln| |(arg2)|,0,1,2,(1)zkLnzzizkinnnnnwzeezekn它的各分支除去原點和負實軸外在復平面上是解析的，1111.nnzzn且其導數為：(3)(0)paapqqq當 為有理數和 為互質的整數時，ln(arg2),0,1,2,(1)pppzizkqqqwzekq是一個多值函數.(4)aawz當 為無理數或復數時，

38、有多窮多值，1().aazaz 各分支除去原點和負實軸外在復平面是解析的，且power function41四、三角函數和雙曲函數四、三角函數和雙曲函數 1三角函數 trigonometric function cossin ,cossiniyiyeyiyeyiy根據歐拉公式：兩式相加與相減，分別得： cos,sin22iyiyiyiyeeeeyyi（1）三角函數定義 2izizeez稱為復變量 的余弦函數，2izizeezi稱為復變量 的正弦函數，cos ,sinzz分別記做：，即：cos,sin22izizizizeeeezzi/ trnmtri; NAmE -nm-/42（2）性質 (1)cos ,sinzz單值性：均為單值函數；(3)cossinzz奇偶性：為偶函數，奇函數；(4)(cos )sin(sin )cos .zzzz 解析性：在整個復平面內處處解析，且，(cos )2izizeez 證明：sin22izizizizieieeezi （3）三角公式 121212(1) cos()coscossinsin;zzzzzz121221(2)sin()sincossincos;zzzzzz22(3)sincos1zz ；(5), cos2yyyeeziyiy 無界性：取11sin().22yyyyyiyeeeei sinco