1、南昌大學2021學年概率論與數理統計第一學期期末試卷、單項選擇題每題分，總分值24分1、設隨機變量X的概率密度為f(x)1一|x|,240,其它則P(1X1()(A)0.75(B)0.5,(C)0.25,(D)02、隨機變量的分布函數為F(x)barctanx,假設實數c滿足PXcA一;3D3、設隨機變量2一)，則E(|X(A)3；(B)4_4；(C)(D)4、設A,B為任意兩事件，則以下關系成立的是).(A)(AB)BA;(B)(AB)AB(C)(AB)BA;(D)(AB)AB(BA)ABo5、一盒內裝有5個紅球和15個白球，從中不放回取10次，每次取一個球，則第5次取球時得到的是紅球的概率

2、是B6、設每次試驗成功的概率為P(01)，則在5次重復試驗中至少失敗一次的概率為5_4(A)1P,(B)p(1p),(C)(15_1p),(D)C5(1p)。7、設二維隨機變量(X,Y)N(1,2;2,3;1-)，則D(2X21)()o(A)13,(B)14(C)19,8、甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次(D)37.,其命中率分別為0.6和0.5,現目標被命中，則它是甲射中的概率為。(A)0.6,(B)-6-,(C)0.75,(D)-1111二、填空題每題3分，總分值24分(X)e,x1、設總體X的概率留度為f(X,),0,x又X1,X2,Xn為來自于總體X的樣本值，則參數的極大似然估計2

3、、設A,B為隨機事件，P(A)0.6,P(B)0.8,P(B|A)0.85，則P(A|B)3、三門火炮同時炮擊一敵艦(每炮發射一彈).設擊中敵艦一、二、三發炮彈的概率分別為0.5、0.3、0.2,而敵艦中彈一、二、三發時被擊沉的概率分別為0.3、0.6、0.8。則敵艦被擊沉的概率為。4、設Xi，X2，,Xn是來自正態總體N(0,1)的一個樣本，1mn,mn則統計量Y-(Xk)222一2B2(XkX)，假設？AiCB2是的無偏估計量，則常數cnk16、有5個獨立的電子裝置，它們的壽命Xkk1,2,3,4,5服從同一指數分布X1e,x0其分布函數為Fx,0,x0將這5個電子裝置串聯組成整機，則整機

4、壽命丫min(X1,X2,Xs)的概率密度fy(y)。7、設X1,X2,Xn是來自正態總體N(,)的樣本，其中未知，欲使的置信水平為1的置信區間的長度不超過給定L(L0),則樣本容量n至少需取。其中01,(z)28、設X1,X2,X9是來自總體X-N(,)的簡單隨機樣本Xk2服從的分布為mk1km15、設X1,X2,Xn是來自總體X的樣本，且EX2DX，記AiX-Xnk1Yi691121Xk,Y2Xk,S6ki3k72k2(Xk丫2),Z72(Yi丫2)則統計量Z服從的分布為三、總分值16分設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)22xy1二23e(1sinxsin2y),x,y1求(

5、X,Y)關于X的邊沿概率密度fX(x)；2求(X,Y)關于丫的邊沿概率密度fY(y);3X與丫是否相互獨立？(4)利用此題結果可以用于說明概率論中一個什么樣的問題？22四、總分值16分設隨機變重X,Y的二階矩E(X),E(Y)存在，21c21c證明：成立不等式|E(XY)|E(X)-E(Y)。五、總分值8分此題學過1-9章和11-13章的學生做，僅學過1至9章的學生不做設隨機過程X(t)asin(t)，其中a和是非零常數，是在(0,2)上服從均勻分布的隨機變量。試求：(1)寫出的概率密度f()；2求EX(t);(3)求EX(t)X(t);(4)判斷X(t)是否為平穩過程？1(備用公式：sins

6、in一cos()cos()2五、總分值8分此題僅學過1至9章的學生做；學過1至9章和11-13章的學生不做ke設某昆蟲產k個卵的概率為,(0為常數)，k0,1,2,.k!每個卵能孵化成幼蟲的概率為p(0p1),且各個卵能否孵化成幼蟲是相互獨立的。試求：1該昆蟲沒有后代的概率;2該昆蟲有后代的概率。六、總分值12分此題學過1至9章和11-13章的學生作，僅學過1至9章的學生不做傳輸數字0和1的通訊系統，每個數字的傳輸需經過假設干步驟，Xn表示第n步傳輸出的數字，則Xn,n0,1,2,是一一齊次馬爾可夫鏈；試求：1寫出狀態空間S和一步轉移概率矩陣P;2求兩步轉移概率矩陣P(2)；(3)求PXn1L

7、X020Xn0。六、總分值12分此題僅學過1至9章的學生做，學過1-9章和11-13章的學生不作設某種零件尺寸X-N(,1.21),今從此種一批零件中隨機取9件，測得樣本均值X31.4,當檢驗水平0.05時，能否認為此批零件尺寸的均值為32.5?Z10.0251.96,Z10.051.645,t10.025(8)2.306,t10.05(8)1.8595,PXx答案及評分細則20XX-06-23A卷一、單項選擇題每題3分，總分值24分1、C;2、B;3、A;4、D;5、B;6、A;7、D;8、。二、填空題每題3分，總分值24分P(A|B)0.7;3、0.49;42Xk)n22Xk(n1)；15

8、、n17、0.49;81一（2Xk)22Xk(nm1)；5 y5e,y06 、fY(y)Fy(y)0,y022r2427、z-z；8、t(2)L1-L1-22、單項選擇題每題3分，總分值24分1、B;2、A;3、D;4、Co5、C;6、B;7、A;8、D;二、填空題每題3分，總分值24分5eminX1，X2，4,6、P(A|B)0.7；y,y02、fy(y)Fy(y)0,y04、t(2)。解1fX(x)22xy(1sin3xsiny)dy2x1Te2(esin2ysiny)dy2fY(y)2y2dyf(x,y)dx(13sinxsiny)dx(esin2x2siny)dx2x2dx3因為f(x

9、,y)fx(x)Xfy(y),所以X與Y是不相互獨立12分4此題提供了例子，僅有X與丫的分布，不能確定(X,Y)的分布,16或由X與丫都服從一維正態分布，不能推出(X,Y)服從二維正態分布。證明對任意實數t，恒有2222E(YtX)tEX2tEXYEY0,當EX20時，取tEX,代入上式,EX2則有EY232EX222(EXY)EXEY,12分2121即得|EXY|EX/2EY2；2或直接由判別式b4ac0,得222(2EXY)4EXEY0,222即得(EXY)EXEY,2121于是|EXY|EX/2EY/2°當EX20時，對任意實數t,22222E(YtX)tEX2tEXYEY2t

10、EXYEY2恒有2tEXYEY0,_21c21c必有EXY0,自然成立|EXY|EX'2EY'214分綜合以上情形，2121于是有|EXY|EX2EYJ2,16分的概率密度f(1,020,其它(2)EX(t)easin()asin()dasin(EX(t)X(t)Easin(asin(t)asin(asin(t)dacos2cos(2t)1d2cos2(4)EX2(t)因為EX(t)0是常數,EX(t)X(t)2acos2僅依賴于EX2(t)存在，所以X(t)是平穩過程八、總分值12分此題學過1至9章和11-13章的學生作，僅學過1至9章的學生不做(1)狀態空間S=0,1,步轉移概率矩陣0.950.050.050.95(2)兩步轉移概率矩陣(2)P0.950.050.950.050.9050.0950.050.950.050.950.0950.905PX1,0P0PX1,Xn0P0PX1解設A該昆蟲有后代,B卜該昆蟲產k個卵，k0,1,2,易知，事件組B0,B1,B2，,Bn,是一完備事件組,keP(BQ,k0,1,2,k!A該昆蟲沒有后代每個卵都沒孵化成幼蟲kP(A|Bk)(1p),k0,1,2,由全概率公式得1P(A)kP(Bk)P(A|Bk)0ke(1k!kP)k(1p)(1P)2從而P(A