1、6.1 6.1 概述概述6.2 6.2 研究最優控制的前提條件研究最優控制的前提條件6.1 3 6.1 3 線性二次型次優控制問線性二次型次優控制問 題題6.12 6.12 線性二次型最優控制問線性二次型最優控制問 題題6.3 6.3 靜態最優化問題的解靜態最優化問題的解6.10 6.10 雙積分系統的時間最優雙積分系統的時間最優 控制控制6.11 6.11 動態規劃法動態規劃法6.9 Bang-Bang6.9 Bang-Bang控制控制6.8 6.8 極小值原理極小值原理6.4 6.4 離散時間系統的最優控離散時間系統的最優控6.5 6.5 離散時間系統最優控制的離散時間系統最優控制的 離散

2、化處理離散化處理6.7 6.7 用變分法求解連續系統最用變分法求解連續系統最 優控制問題優控制問題- -有約束條件有約束條件 的泛函極值的泛函極值6.6 6.6 泛函及其極值泛函及其極值- -變分法變分法61 概述 所謂最優化，原非新鮮概念，人們在從事某項工作時，總是想著采取最合理的方案或措施，以期收到最好的效果，這里就包含著最優化問題。 求解動態最優化問題的方法主要有古典變分法，極小(大)值原理及動態規劃法等。 動態最優化問題可以分為確定性和隨機性兩大類。在確定性問題中，沒有隨機變量，系統的參數都是確定的。本書只討論確定性最優控制問題。對連續時問系統對離散時間系統（6）6.2 研究最優控制的

3、前提條件在研究確定性系統的最優控制時，前提條件是：1.給出受控系統的動態描述，即狀態方程2.明確控制作用域 在工程實際問題中，控制矢量 往往不能在 空間中任意取值，而必須受到某些物理限制，例如，系統中的控制電壓，控制功率不能取得任意大。即 要滿足某些約束條件，這時，在 空間中，把所有滿足上式的點 的集合，記作：（7）這時，在 空間中，把所有滿足上式的點 的集合，記作：(8)U U稱為控制集。把滿足（9）的 稱為容許控制。3明確初始條件 通常，最優控制系統的初始時刻 是給定的。如果初始狀態 稱固定始端。如果 是任意的，則稱自由始端。如果 必須滿足某些約束條件：相應的始端集始端集為：此時， 則稱為

4、可變始端。4明確終端條件 類似于始端條件，固定終端是指終端時刻 和終端狀態 都是給定的。 自由端則是在給定 情況下， 可以任意取值不受限制。可變終端則是指 的情況。其中是由約束條件 所形成的一個目標集目標集。5給出目標泛函，即性能指標對連續時間系統，一般表示為：對離散時間系統，一般表示為： 上述形式的性能指標，稱為綜合型或鮑爾扎型綜合型或鮑爾扎型。它由兩部分組成，等式右邊第一項反映對終端性能的要求，例如對目標的允許偏差、脫靶情況等，稱為終端指標函數；第二項中L L為狀態控制過程中對動態品質及能量或燃料消耗的要求等，稱為動態指標函數。若不考慮終端指標函數項 則有： 這種形式的性能指標稱為積分型或

5、拉格朗日型。若不考慮動態指標函數項， 則形如：稱為終端型終端型或梅耶型梅耶型。6.3 靜態最優化問題的解 靜態最優化問題的目標函數是一個多元普通函數，其最優解可以通過古典微分法對普通函數求極值的途徑解決。動態最優化問題的目標函數是一個泛函數，確定其最優解要涉及古典變分法求泛函極值的問題。6.3.1 一元函數的極值 設 為定義在閉區間 上的實值連續可做函數，則存在極值點 的必要條件是：（21）為極小值點充要條件是：為極大值點充要條件是： 因為 的極小值和 的極大值等效，所以今后所有推導和結論，均以圾小化為準。6.3.2 多元函數的極值 設 元函數 這里 為 維列向量。它取極值的必要條件是：至于取

6、極小值的充要條件，尚需滿足：或函數的梯度為零矢量。即下列海賽矩陣為正定矩陣。6.3.3 具有等式約束條件的極值 上面講的是無約束條件極值問題的求解方法。對于具有等式約束條件的極值問題，則要通過等效變換，化為無約束條件的極值問題來求解。設罐頭桶的幾何尺寸：高為 半徑為 則容積為：（29）給定鐵皮面積A=常量。要使罐頭桶容積為最大，必然要受條件：（30）的約束： 解此類問題的方法有多種，如嵌入法嵌入法(消元法)和拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法(增元法)等。1.嵌入法 先從約束條件式(30) 解出一個變量，例如 等，然后代入目標函數式(29)得：(31)這樣就變成一個沒有約束條件的函數式。顯然，式(3

7、1)取極值的條件為：可解出極值點： 又因為 故上述極值點為極大值點。罐頭桶的最大容積為：2.拉格朗日乘子法6.4 離散時間系統的最優控6.4.1 基本形式 6.4.2 具有二次型性能指標的線性系統65 離散時間系統最優控制的離散化處理式中， 為終端代價函數，假定 是自由終端。最優控制問題是在式(73)約束條件下，尋求 使式(74)為最小。 設系統狀態方程為：（73）目標函數為：（74）6.6 泛函及其極值變分法6.6.1 變分法的基本概念1泛函 變分法是研究泛函極值問題的數學工具。什么叫泛函呢?通俗地說，泛函就是函數的函數。它是普通函數概念的一種擴充。2.泛函的極值3.泛函的變分4泛函極值定理

8、6.6.2 泛函極值的必要條件歐拉方程求泛函6.6.3 多元泛函的極值條件6.6.4 可變端點問題6.6.5 具有綜合型性能泛函的情況67 用變分法求解連續系統最優控制問題有約束條件的泛函極值6.7.1 拉格朗日問題6.7.2 波爾札問題6.8 極小值原理定理6.8.1 設系統狀態方程為： 始端條件為：（1）控制約束為：（2）終端約束為：（3）性能泛函為：（4）取哈密頓函數為：（5） 則實現最優控制的必要條件是，最優控制 、最優軌線 和最優協態矢量 滿足下列關系式：1)沿最優軌線滿足正則方程（6）（7）若則為：（8）2)在最優軌線上，與最優控制 相應的H H 函數取絕對極小值，即或（9）3)H

9、函數在最優軌線終點處的值決定于：沿最優軌線，有（10）（11）這就是著名的極小值原理。4)協態終值滿足橫截條件：（12）5)滿足邊界條件：（13）6.9 Bang-Bang控制 定理69l 線性定常系統=(A A，B B，C C)，若存在時間最優 控制，則該控制 是惟一的。，但都能以證明 用反證法。設存在兩個控制相同的最小時間 廣使系統完成從初值 到零狀態的轉移，因此有： 令 作用下，系統在 時刻也將初值 轉移到原點 。即 所以w也是最小時間控制，根據前面的結論， 都是BangBang控制，又 不相等的時刻上，有 不是BangBang控制，與w()是最優控制矛盾，因此有：這表明控制 是惟一的。

10、6.10 雙積分系統的時間最優控制設雙積分系統的狀態方程為：求最優控制 ,把系統從仞態轉移到終態，使 為極小。6.10.l 根據極小值原理確定最優控制列出哈爾密頓函數為使H全局最小呵得最優控制：由協態方程得： 在 是一直線，其四種可能形狀以及與之相應的 ，如下圖所示。解得：故即顯而易見，可供選擇的最優控制序列有下列四種：切換次數至多一次。切換時刻為： 6.10.2 狀態軌線及開關曲線 6.10.3 最優控制律 為了使系統的狀態能以最小時間從初態 轉移到終態(0，0)。當初態所劃位置不同時，應當采取的控制規律不同。但是，凡不在開關曲線上的點，至少要經過一次切換，轉到開關曲線后才能沿著 +或-到達

11、原點(0，0)。因此，按照初態 所處的位置可得到下列最優控制規律：若將開關曲線寫成：則最優控制律可表示成：6.10.4 最優控制律的工程實現6.10.5 最優時間計算 基本方法是把狀態轉移軌線按控制序列分成若f段，逐段汁算所需時問然后求和。下面給出的是從初態 沿最優軌線到軌線與開關曲線交點的時問，以及從交點沿開關曲線到達原點時間的計算公式在日前情況下，只要把這兩段時間加起來，即為狀態轉移的最小時間。6.11 動態規劃法 動態規劃是貝爾曼(Bellman)在 20世紀 50年代作為多段(步)決策過程研究出來的，現已在許多技術領域中獲得廣泛應用。動態規劃的核心是最優性原理。6.11.1 多段決策問

12、題6.11.2 離散系統的動態規劃6.11.3 連續系統的動態規劃 利用動態規劃最優性原理，可以推導出能泛函為極小應滿足的條件哈密爾頓雅可比方程。即 綜上所述，可將連續型動態規劃求解最優控制問題的步驟歸納如下：1)構造哈密爾頓函數： 2)由上述條件解出的 的函數。3)將 代入哈密爾頓一貝爾曼方程，并根據邊界條件，解出 4)將 代回 ，即得最優控制 它是狀態變量的函數，據此可實現閉環最優控制。5)將 代入狀態方程，可進一步解出最優軌線6)再將 代人求得最優性能泛函 。 6.12 線性二次型最優控制問題6.12.1 二次型性能泛函二次型性能泛函的一般形式如下：6.12.2 有限時間狀態調節器問題

13、狀態調節器的任務在于，當系統狀態由于任何原因偏離了平衡狀態時，能在不消耗過多能量的情況下，保持系統狀態各分量仍接近于平衡狀態。在研究這類問題時，通常是把初始狀態矢量看作擾動，而把零狀態取作平衡狀態。于是調節器問題就變為尋求最優控制規律u，在有限的時間區間 內，將系統從初始狀態轉移到零點附近，并使給定的性能泛函取極值。6.12.3 無限時間狀態調節器問題對于無限時間狀態調節器，這里要強調以下幾點： 1)適用于線性定常系統，且要求系統完全能控，而在有限時間狀態調節器中則不強調這一點。 2)在性能泛函中，由于 ，而使終端泛函 失去了意義，即 3)與有限時間狀態調節器一樣，最優控制也是全狀態的線性反饋

14、，結構圖也與前面的相同。但是，這里的P P 是nn 維的實對稱常矩陣，是黎卡捉矩陣代數方程的解。因此，構成的是一個線性定常閉環系統。 4)閉環系統是漸近穩定的，即系統矩陣 的特征值均具負實部，而不論原受控系統A的特征值如何。6.12.4 輸出調節器問題 1.輸出調節器的任務是當系統受到外擾時，在不消耗過多能量的前提下，維持系統的輸出矢量接近其平衡狀態。1.線性時變系統輸出調節器問題給定一個能觀的線性時變系統：性能泛函為：于是可以用狀態調節器上式來確定最優控制：式中， 為下列黎卡提距陣微分方程的解：邊界條件：給定一個完全能控、能觀的線性定常系統：2. 線性定常系統輸出調節器問題性能泛函為：式中，

15、 任意取值； 為正定對稱矩陣； 為正定或半正定矩陣。要求在系統方程約束下，尋求最優控制為：而 是下列黎卡提代數微分方程的解：6.12.5 跟蹤器問題 1.線性時變系統跟蹤器問題2.線性定常系統6.1 3 線性二次型次優控制問題沒完全能控、能觀系統的動態方程為：性能指標為二次型：式中， 為正定(或半正定)對稱陣； 為正定對稱陣。 如上所述，設控制變量 是由輸出變量 的線性負反饋所構成，即閉環系統結構圖示如下圖所示：從圖可得閉環系統的狀態方程：（1）式中， 為閉環系統的狀態矩陣。式中此時，性能指標演化為：（2） 在規定了系統結構的情況下，設計任務就是確定輸出反饋矩陣K K，使性能指標式(2)取極值。對漸近穩定系統式(1)，構造一個李雅普諾夫函數：對于漸近穩定的系統，當 必須為負定。將上