1、1第 11 章 彎曲應(yīng)力21 引言2 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力 3 慣性矩與平行軸定理4 對(duì)稱彎曲切應(yīng)力5 梁的強(qiáng)度條件6 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)第 11 章 彎曲應(yīng)力31 引 言 彎曲應(yīng)力與對(duì)稱彎曲彎曲應(yīng)力與對(duì)稱彎曲 本章內(nèi)容本章內(nèi)容單輝祖:工程力學(xué)4 彎曲應(yīng)力與對(duì)稱彎曲彎曲應(yīng)力與對(duì)稱彎曲彎曲應(yīng)力l 彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力 梁彎曲時(shí)橫截面上的梁彎曲時(shí)橫截面上的s sl 彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力 梁彎曲時(shí)橫截面上的梁彎曲時(shí)橫截面上的t t對(duì)稱彎曲對(duì)稱截面梁，在縱向?qū)ΨQ面承受橫向?qū)ΨQ截面梁，在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外力時(shí)的受力與變形形式外力時(shí)的受力與變形形式對(duì)稱彎曲對(duì)稱彎曲純彎曲純彎曲梁段梁段CDCD上，只有彎矩，沒(méi)有剪

2、力上，只有彎矩，沒(méi)有剪力純彎曲純彎曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有彎矩，又有剪力上，既有彎矩，又有剪力橫力彎曲橫力彎曲62 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力 彎曲彎曲試驗(yàn)與假設(shè)試驗(yàn)與假設(shè) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力公式對(duì)稱彎曲正應(yīng)力公式 例題例題實(shí)驗(yàn)觀察實(shí)驗(yàn)觀察變形前變形前變形后變形后變形后變形后橫向線橫向線mm nn 仍為直線，仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)。縱向線但有轉(zhuǎn)動(dòng)。縱向線aa，bb變?yōu)榍優(yōu)榍€。橫向線與縱向線仍正交。線。橫向線與縱向線仍正交。彎曲變形的平面假設(shè)：彎曲變形的平面假設(shè)：假設(shè)變形假設(shè)變形后橫截面仍保持平面，且仍然垂后橫截面仍保持平面，且仍然垂直于變形后的梁軸線。直于變形后的梁軸線。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論

3、分析結(jié)果所證實(shí)。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實(shí)。 彎曲試驗(yàn)與假設(shè)彎曲試驗(yàn)與假設(shè)變形前變形前變形后變形后由于彎曲的作用，由于彎曲的作用，上部纖維縮上部纖維縮短短，下部纖維伸長(zhǎng)下部纖維伸長(zhǎng)。中間必有一層保持原長(zhǎng)，這一中間必有一層保持原長(zhǎng)，這一層稱為層稱為: 中性層中性層實(shí)驗(yàn)觀察實(shí)驗(yàn)觀察cc 是中性層和橫截面的交線，稱為是中性層和橫截面的交線，稱為中性軸。中性軸。中性軸中性軸實(shí)驗(yàn)觀察實(shí)驗(yàn)觀察中性軸通過(guò)橫截面形心。中性軸通過(guò)橫截面形心。橫截面橫截面中性層中性層中性軸中性軸桿件彎曲過(guò)程中，橫截面繞對(duì)應(yīng)的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿件彎曲過(guò)程中，橫截面繞對(duì)應(yīng)的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式的推導(dǎo)過(guò)程純彎曲時(shí)正應(yīng)

4、力公式的推導(dǎo)過(guò)程變形變形應(yīng)變應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系變換公式得到應(yīng)力公式變換公式得到應(yīng)力公式變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 物理關(guān)系物理關(guān)系 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系從純彎曲梁中沿軸線取從純彎曲梁中沿軸線取dx 的微段的微段:中性層位于中性層位于CCmm 變形前長(zhǎng)度變形前長(zhǎng)度:ddLx mm 變形后長(zhǎng)度變形后長(zhǎng)度:()dLymm 位置的線應(yīng)變位置的線應(yīng)變:yyyddd)()(表明：距離中性層為表明：距離中性層為y的任一縱向纖維的線應(yīng)變與的任一縱向纖維的線應(yīng)變與y 成正成正比，與比，與 成反比。成反比。物理關(guān)系物理關(guān)系縱向纖維之間無(wú)正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或者壓縱向纖維之間

5、無(wú)正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或者壓縮，當(dāng)應(yīng)力小于某一限值縮，當(dāng)應(yīng)力小于某一限值(比例極限比例極限)時(shí)，由胡克定律時(shí)，由胡克定律:sE幾何關(guān)系代入幾何關(guān)系代入yy )(得到得到syEy )(靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系A(chǔ)AyFd)(Ns( )dyAMzyAsz( )dAMyyAs純彎曲時(shí)有：純彎曲時(shí)有：)(00N彎矩MMMFzy微內(nèi)力微內(nèi)力dA組成垂直于橫截面的空間平行力系。此力系組成垂直于橫截面的空間平行力系。此力系簡(jiǎn)化為三個(gè)內(nèi)力分量：簡(jiǎn)化為三個(gè)內(nèi)力分量：N( )dd0AAEFyAy AsAzSAy0d( )Eyys橫截面對(duì)橫截面對(duì) z 軸靜矩等于零，軸靜矩等于零，即即z軸軸(中性軸中性軸)過(guò)橫截面

6、形心。過(guò)橫截面形心。)(d)(z彎矩MAyyMAs2zddAAEyEMy AyAMAzIAy d2橫截面對(duì)橫截面對(duì) z 軸軸(中性中性軸軸)的的慣性矩慣性矩MIEzzEIM1 曲率半徑曲率半徑EIZ梁的抗彎剛度梁的抗彎剛度越大越大 ， 越大越大梁軸線彎曲后的梁軸線彎曲后的曲率的數(shù)學(xué)表達(dá)式曲率的數(shù)學(xué)表達(dá)式。幾何關(guān)系幾何關(guān)系( )yy物理關(guān)系物理關(guān)系sE( )( )yyEyEs靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系z(mì)EIM1( )zMyyIs彎曲正應(yīng)力公式彎曲正應(yīng)力公式zMyI1zMEyEyEIM 該面的彎矩該面的彎矩Iz 慣性矩慣性矩y 該點(diǎn)該點(diǎn)與中性層距離與中性層距離( )zMyyIs對(duì)某一指定截面，對(duì)某一指定

7、截面，M和和Iz 都是確定的，當(dāng)橫截面的彎矩都是確定的，當(dāng)橫截面的彎矩為正時(shí)，則為正時(shí)，則s s (y) 沿截面高度的分布規(guī)律：沿截面高度的分布規(guī)律：受壓一側(cè)正應(yīng)力為負(fù)，受壓一側(cè)正應(yīng)力為負(fù)，受拉一側(cè)正應(yīng)力為正。受拉一側(cè)正應(yīng)力為正。彎曲正應(yīng)力公式彎曲正應(yīng)力公式17結(jié)論結(jié)論中性軸過(guò)截面形心中性軸過(guò)截面形心zEIM 1zIMyy )(s s 中性軸位置：中性軸位置： 截面彎曲剛度）截面彎曲剛度）（zEIzWM maxs s 抗彎截面系數(shù)）抗彎截面系數(shù)）（zW 正正應(yīng)力公式：應(yīng)力公式： 中性層曲率：中性層曲率：)()(yEy s s 0d AAs sMAyAds s 慣性矩）慣性矩）（zI總總 結(jié)結(jié)假

8、設(shè)假設(shè)平面假設(shè)，單向受力假設(shè)平面假設(shè)，單向受力假設(shè)綜合考慮三方面綜合考慮三方面 yy )(18 例例 題題 P217例11-1 梁用梁用18 工字鋼工字鋼 制成制成，Me=20 kNm, E=200 GPa。試試計(jì)算：計(jì)算：最大最大彎曲正彎曲正應(yīng)力應(yīng)力s smax ，梁軸曲率半徑，梁軸曲率半徑 解：1. 工字鋼（工字鋼（GB 706-1988）一種規(guī)范化、系列化的工字形截面的標(biāo)準(zhǔn)鋼材一種規(guī)范化、系列化的工字形截面的標(biāo)準(zhǔn)鋼材45m 1066. 1 zI34m 1085. 1 zW18 工字鋼：工字鋼：(P359)192. 應(yīng)力計(jì)算應(yīng)力計(jì)算3. 變形計(jì)算變形計(jì)算mkN 0 .20e MMMe=20

9、 kNm，E=200 GPa，求求 s smax 與與 45m 1066. 1 zI34m 1085. 1 zWzWMmaxs szEIM 1MEIz MPa 1 .108m 166203 慣性矩與平行軸定理 靜矩與慣性矩靜矩與慣性矩 簡(jiǎn)單截面慣性矩簡(jiǎn)單截面慣性矩 平行軸定理平行軸定理 例題例題 靜矩：靜矩：yzAyzdA,yzAASzdA SydA形心公式形心公式ASzASyyczc ,AzSAyScycz,截面圖形的幾何性質(zhì)截面圖形的幾何性質(zhì)圖形對(duì)形心軸的靜矩等于零。圖形對(duì)形心軸的靜矩等于零。 如圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必過(guò)形心。如圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必過(guò)形心。平面圖形

10、的面積平面圖形的面積A A與其形心到某一坐標(biāo)軸的距與其形心到某一坐標(biāo)軸的距離的乘積稱為平面圖形對(duì)該軸的離的乘積稱為平面圖形對(duì)該軸的靜矩靜矩 .組合截面靜矩組合截面靜矩niiAA1組合截面面積組合截面面積組合截面的形心坐標(biāo)公式為：組合截面的形心坐標(biāo)公式為：niiniciiycniiniiizcAzAASzAyAASy1111c ，組合截面的形心坐標(biāo)公式組合截面的形心坐標(biāo)公式ciniiyciniizzASyAS11 慣性矩慣性矩22,yzAAIz dAIy dAyzAyzdA截面圖形的幾何性質(zhì)截面圖形的幾何性質(zhì) 常見(jiàn)橫截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù)常見(jiàn)橫截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù)maxyIWzz212

11、3hbh62bhmaxyIWzz2644dd323d312ZbhI 464ZdI44164zDI34132zDWdD慣性矩是對(duì)軸而言（軸慣性矩）。慣性矩是對(duì)軸而言（軸慣性矩）。極慣性矩：極慣性矩：yzdAzyo（對(duì)（對(duì)o點(diǎn)而言）點(diǎn)而言）AodAI2pI222yz 慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII 25 平行軸定理平行軸定理Cy0z0形心直角坐標(biāo)系形心直角坐標(biāo)系Oyz 任意直角坐標(biāo)系任意直角坐標(biāo)系 AzAyId22020d2dAaAyaAyIAAz 20AaIIzz AyIAzd200 同理得：同理得：20AbIIyy 0

12、d 0 AAy AzAayId20二者平行二者平行的關(guān)系的關(guān)系與與建立建立 0zzII平行軸定理：平行軸定理：截面對(duì)任一坐標(biāo)軸的慣性矩截面對(duì)任一坐標(biāo)軸的慣性矩, , 等于對(duì)其平行形心等于對(duì)其平行形心軸的慣性矩，加上截面面積與兩軸距離平方的乘積軸的慣性矩，加上截面面積與兩軸距離平方的乘積. .zz0y26 例例 題題 P221例 11-3 已知：已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d d=20mm試計(jì)算試計(jì)算：截面截面 B-B 的最大拉應(yīng)力的最大拉應(yīng)力s st,max與壓應(yīng)力與壓應(yīng)力s sc,max解：1. 彎矩計(jì)算彎矩計(jì)算mN 6000 FlMB2. 形心位置計(jì)算形心

13、位置計(jì)算由矩形由矩形 1 與矩形與矩形 2 組成的組合截面組成的組合截面CAy CiniizyAS 1AyAyCiniiC 1273. 慣性矩計(jì)算慣性矩計(jì)算m 045. 022 bbbbbd dd dd dd dd dd d46-231m 103.02212 d dd dd dCzybbI46-232m 105.82212 CzybbbId dd dd d4621m 1084. 8 zzzIII4. 最大彎曲正應(yīng)力最大彎曲正應(yīng)力MPa 5 .30maxt, zCBIyMs sMPa 5 .64)(maxc, zCBIybMd ds s212211AAyAyAyCCC 21zzzIII 作作 業(yè)

14、業(yè)P242 P242 習(xí)題習(xí)題 11-5，11-6 （1）11截面上截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)兩點(diǎn)的正應(yīng)（2）此截面上的最大正應(yīng)力；）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知）已知E=200GPa，求，求11截面的截面的曲率半徑。曲率半徑。q=60kN/mAB1m2m111 2120180zy解：畫M圖求截面彎矩kNm60)22(121xqxqLxM30M1Mmax29練習(xí)題：練習(xí)題： 受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求：受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求：30q=60kN/mAB1m2m111 2120zykNm5 .678/3608/22max qLM4

15、51233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 62/zzIWMPa7 .6110832. 56060 5121zIyMss求應(yīng)力18030M1Mmax31MPa6 .921048. 66041max1zWMsm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 65 .674maxmaxzWMs求曲率半徑q=60kN/mAB1m2m111 212018030M1Mmax橫力彎曲橫力彎曲正應(yīng)力公式的推廣正應(yīng)力公式的推廣6-2橫力彎曲正應(yīng)力公式橫力彎曲正應(yīng)力公式彎曲正應(yīng)力分布彎曲正應(yīng)力分布ZIMys 彈性力學(xué)精確分析表明，彈性力學(xué)精確分析

16、表明， 當(dāng)跨度當(dāng)跨度 l 與橫截面高度與橫截面高度 h 之之比比 l / h 5 （細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)，純（細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)，純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲近似成立。近似成立。ZmaxmaxmaxIyMs橫力彎曲最大正應(yīng)力橫力彎曲最大正應(yīng)力正應(yīng)力公式的推廣正應(yīng)力公式的推廣344 對(duì)稱彎曲切應(yīng)力 矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力 薄壁截面梁的薄壁截面梁的彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較 例題例題zybh一、一、 矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力1 1、假設(shè)：、假設(shè)： 橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力方向與剪力的方向相同。橫截

17、面上各點(diǎn)的切應(yīng)力方向與剪力的方向相同。 切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離的各切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離的各點(diǎn)切應(yīng)力大小相等）。點(diǎn)切應(yīng)力大小相等）。2 2、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo)xd x圖圖ayQ 矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力0)(11dxbNNXtzzAzAIMSydAIMdANszzISdMMN)(1zzszzbISFbISdxdM1tA Zy由剪應(yīng)力互等定理可知由剪應(yīng)力互等定理可知bISFzzstsFMhdMM ssdFF dx注意注意：Fs為橫截面的剪力；為橫截面的剪力；Iz 為整個(gè)橫截為整個(gè)橫截面對(duì)面對(duì) z 軸的慣性矩；軸的慣性矩；b為所求點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置為

18、所求點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置截面的寬度；截面的寬度； 為所求點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置以外為所求點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置以外的面積對(duì)的面積對(duì)Z軸的靜矩。軸的靜矩。*zSs sxyzs s1 1t t1 1t tbtt5 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩t3 3、矩形截面剪應(yīng)力的分布：、矩形截面剪應(yīng)力的分布：)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz bISFzzstt tzyhbBsF)2(*yhbA*cymaxtsF11t t 沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化；沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化；(2) 同一橫截面上的最大切應(yīng)力同一橫截面上的最大切應(yīng)力t tmax在中性軸處在中性軸處( y=0 )；(3)上下邊緣處上下邊緣

19、處（y=h/2)，切應(yīng)力為零切應(yīng)力為零。38 薄壁截面梁的薄壁截面梁的彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力工字形薄壁梁d d t tzzISFy)()(S 假設(shè)假設(shè) : : t t / 腹板側(cè)邊腹板側(cè)邊, 并沿其厚度均勻分布并沿其厚度均勻分布)4()(8)(22220SyhhhbIFyzd dd dt tSZ() y 下側(cè)部分截面下側(cè)部分截面對(duì)中性軸對(duì)中性軸 z 的靜矩的靜矩(0)maxt tt t )2(minh t tt t39 彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較zWMmaxmaxs sAFSmax23t tFbhbhFl3262maxmaxt ts s當(dāng)當(dāng) l h 時(shí)，時(shí)，s smax

20、 t tmax26bhFl62bhFlbhF23hl4405 梁的強(qiáng)度條件 梁梁危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài) 梁的強(qiáng)度條件梁的強(qiáng)度條件 例題例題41 梁梁危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)實(shí)心與非薄壁截面梁a與與c 點(diǎn)點(diǎn)處單向應(yīng)力處單向應(yīng)力b 點(diǎn)點(diǎn)處純剪切處純剪切42薄壁截面梁c 與與d 點(diǎn)點(diǎn)處單向應(yīng)力處單向應(yīng)力a 點(diǎn)點(diǎn)處純剪切處純剪切b 點(diǎn)點(diǎn)處處s s 與與t t 聯(lián)合作用聯(lián)合作用d43 梁的強(qiáng)度條件梁的強(qiáng)度條件l l 彎曲彎曲正應(yīng)力正應(yīng)力強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：l l 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件：彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件：maxs ss smaxt tt t t t 材料純剪切許用應(yīng)力材料純剪切許

21、用應(yīng)力 s s 材料單向應(yīng)力許用應(yīng)力材料單向應(yīng)力許用應(yīng)力強(qiáng)度條件的應(yīng)用l 細(xì)長(zhǎng)非薄壁梁細(xì)長(zhǎng)非薄壁梁l 短而高梁、薄壁梁、短而高梁、薄壁梁、 M 小小 FS大的梁大的梁或梁段或梁段) (maxmaxt ts s maxs ss s maxs ss s maxt tt t 梁的強(qiáng)度條件l 對(duì)一般薄壁梁，對(duì)一般薄壁梁，還應(yīng)還應(yīng)考慮考慮 s s 、t t 聯(lián)合作用下的聯(lián)合作用下的強(qiáng)度強(qiáng)度問(wèn)題問(wèn)題（參見(jiàn)第（參見(jiàn)第 14 章中的強(qiáng)度理論）章中的強(qiáng)度理論）44例 11-5 鑄鐵梁鑄鐵梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm，s st = 35 MPa ，s sc = 140 MPa，Iz =8.84

22、10-6 m4，校核梁的校核梁的強(qiáng)度強(qiáng)度解：MD最大正彎矩最大正彎矩MB最大負(fù)彎矩最大負(fù)彎矩危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面 截面截面 D, B 例例 題題45daBDyyMM , 因因das ss s 故故危險(xiǎn)點(diǎn)危險(xiǎn)點(diǎn)zDaIyM2 s sMPa 859-. zDbIyM1 s sMPa 328. zBcIyM2 s sMPa 633. MPa 859maxc,.a s ss sMPa 633maxt,.c s ss s cs s ts s a, b, c截面截面D截面截面B梁的強(qiáng)度梁的強(qiáng)度夠夠466 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì) 梁的合理截面形狀梁的合理截面形狀 變截面梁與等強(qiáng)度梁變截面梁與等強(qiáng)度梁 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)

23、梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì) 例題例題l提高梁強(qiáng)度的主要措施提高梁強(qiáng)度的主要措施ZmaxmaxWMss6-71 1、降低彎矩最大值、降低彎矩最大值 2 2、增大、增大 W WZ Z 3 3、等強(qiáng)度梁、等強(qiáng)度梁1.11.1合理安排支座合理安排支座1.21.2合理布置載荷合理布置載荷2.1 2.1 合理合理設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)截面截面2.2 2.2 合理合理放置放置截面截面1.1 合理布置支座合理布置支座龍門起重機(jī)A、變動(dòng)支座、變動(dòng)支座位置位置(縮短跨度縮短跨度)；M82qlqlqll20.l20.M402ql502ql502qlB、增加梁的支座、增加梁的支座個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)。1. 1合理布置支座合理布置支座M672ql782ql782qlqll20.l20.q50.廈門海滄大橋1.2 1.2 合理布置載荷合理布置載荷合理布置載荷合理布置載荷：將一個(gè)集中力分散為幾個(gè)集中力或分布：將一個(gè)集中力分散為幾個(gè)集中力或分布力，或集中力盡量靠近支座。力，或集中力盡量靠近支座。ZmaxmaxWMss2. 2. 增大增大 W WZ Z 2.1 2.1 合理合理設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)截面截面6-72.2 2.2 合理合理放置放置截面截面bhhhhhd0.16