1、第五章第五章 扭扭 轉轉5-1 扭轉的概念扭轉的概念一、扭轉的概念及實例一、扭轉的概念及實例汽車的轉向操縱桿汽車的轉向操縱桿絲錐、電動機軸絲錐、電動機軸CL5TU1受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于軸線。力偶，力偶作用面垂直于軸線。變形特征：橫截面繞軸線轉動。變形特征：橫截面繞軸線轉動。CL5TU2二、外力偶矩的計算二、外力偶矩的計算 設某輪所傳遞的功率是設某輪所傳遞的功率是N kW，軸的轉速，軸的轉速是是 n rpmCL5TU18N kW的功率相當于每分鐘作功：WN=100060 1)(外力偶矩 所作的功：mWmn =2 2)

2、(1) = (2) 100060 =2 得NmnmNnNnm9549kWrpmN mmNnNnm7024PSrpmN m5-2 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖Tm Tm扭矩扭矩CL5TU6 例：例： 圖示傳動軸，主動輪圖示傳動軸，主動輪A輸入功率輸入功率NA=50 馬力，從動輪馬力，從動輪B、C、D輸出功率分輸出功率分別為別為 NB=NC=15馬力馬力 ，ND=20馬力，軸的馬力，軸的轉速為轉速為n=300轉轉/分。作軸的扭矩圖。分。作軸的扭矩圖。CL5TU3NNNNnABCD501520PSPSPS= 300rpm解：解：mNnAA70247024503001170 N mmmNnmNnBCBDC

3、70247024153003517024702420300468N mN mTmB1351 N mT2702 N mTmD3468N mmmmmABCD1170351468N mN mN mT(N m)TTT123351702468 N mN mN m5-3 薄壁圓筒的扭轉實驗薄壁圓筒的扭轉實驗一、薄壁圓筒的扭轉應力分析一、薄壁圓筒的扭轉應力分析 等厚度的薄壁圓筒等厚度的薄壁圓筒,平均半徑為平均半徑為 r,壁厚為壁厚為 tCL5TU4受扭前在其表面上用圓周線和縱向線畫成受扭前在其表面上用圓周線和縱向線畫成方格方格,然后加載。然后加載。mm(1) 縱向線傾斜了同一微小角度縱向線傾斜了同一微小角度

4、(2) 圓周線的形狀、大小及圓周線之間的距圓周線的形狀、大小及圓周線之間的距離沒有改變離沒有改變根據以上實驗現象根據以上實驗現象,可得結論：可得結論：圓筒橫截面上沒有正應力，只有剪應圓筒橫截面上沒有正應力，只有剪應力。剪應力在截面上均勻分布，方向垂直力。剪應力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑于半徑。觀察到如下現象：觀察到如下現象：mm剪應力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑剪應力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑TT根據精確的理論分析根據精確的理論分析,當當tr/10時時,上式的上式的誤差不超過誤差不超過4.52%,是足夠精確的。是足夠精確的。rATA ddAdArATAdrrtT 2Tr t22

5、r二、剪應力互等定理二、剪應力互等定理dxtdy()()t yxt xyddddCL5TU7微元體微元體 單元體單元體剪應力互等定理剪應力互等定理 : 在相互垂直的兩個平面上在相互垂直的兩個平面上,剪應力一定成對出現，其數值相等，方向同剪應力一定成對出現，其數值相等，方向同時指向或背離兩平面的交線。時指向或背離兩平面的交線。三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律CL5TU8 薄壁圓筒的實驗薄壁圓筒的實驗, 證實了剪應力與剪應變之間證實了剪應力與剪應變之間存在著象拉壓胡克定律類似的關系存在著象拉壓胡克定律類似的關系, 即當剪應力即當剪應力不超過材料的剪切比例極限不超過材料的剪切比例極限p時時,剪應力與

6、剪應剪應力與剪應變成正比變成正比G稱為材料的剪切彈性模量。上式關系稱為稱為材料的剪切彈性模量。上式關系稱為剪切剪切胡克定律胡克定律。 G 剪切彈性模量剪切彈性模量G材料常數：拉壓彈性模量材料常數：拉壓彈性模量E 泊松比泊松比GE2 1 ()對于各向同性材料對于各向同性材料,可以證明可以證明:E、G、 三個彈三個彈性常數之間存在著如下關系性常數之間存在著如下關系5-4 圓軸扭轉時的應力和變形圓軸扭轉時的應力和變形一、圓軸扭轉時橫截面上的應力一、圓軸扭轉時橫截面上的應力 變形幾何關系變形幾何關系從三方面考慮：物理關系從三方面考慮：物理關系 靜力學關系靜力學關系CL5TU5 觀察到下列現象觀察到下列

7、現象:(1)各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距離沒有變化離沒有變化(2)縱向線仍近似為直線縱向線仍近似為直線, 但都傾斜了同一角度但都傾斜了同一角度1.變形幾何關系變形幾何關系平面假設：平面假設： 變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉了一個角度。像剛性平面一樣繞軸線旋轉了一個角度。CL5TU5dCL5TU5 ddx ddx在外表面上rxdd 根據剪切胡克定律根據剪切胡克定律, 當剪應力不超過材料當剪應力不超過材料的剪切比例極限時的剪切比例極限時 G剪應力方向垂直于半徑剪應力方向垂直于半徑2

8、. 物理關系物理關系 Gxdd3.靜力學關系靜力學關系dAdAo AATdAGxATdddGxATAddd2令 IApA2d則ddxTG IpIApA2d極慣性矩ddxTG Ip GxddmaxmaxTIp GTG IpTIpTWtWItpmax抗扭截面模量TITWptmaxmaxmaxCL5TU9doIApA2d下面求極慣性矩和抗扭截面模量IWpt 2022dd/2302dd/2244dd432WItpmaxIdp2d316CL5TU5IApA2d對于空心圓，外徑為 ，內徑為Dd 2222ddD/()Dd4432WItpmaxIDp2D34161 ()D44132()極慣性矩：實心圓：Idp

9、432空心圓：IDdDp()()444432321抗扭截面模量：實心圓：Wdt316空心圓：WDt34161()二、圓軸扭轉時的變形二、圓軸扭轉時的變形CL5TU5dddxTGIpddTGIxpTGIxpld若，則TT lG IpconstlN lE A圓軸扭轉時的強度條件和剛度條件圓軸扭轉時的強度條件和剛度條件強度條件：max TWt剛度條件：dd xTGIp TGIp180 rad m/m例：實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半例：實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時，橫截面的最大剪應力是原來的時，橫截面的最大剪應力是原來的 倍？倍？圓軸的扭轉角是原來的圓軸的扭轉角是原來的 倍？倍？maxT

10、WTdt316T lG IT lGdp432816例：圖示鑄鐵圓軸受扭時，在例：圖示鑄鐵圓軸受扭時，在 面上面上發生斷裂，其破壞是由發生斷裂，其破壞是由 應力引起的。應力引起的。在圖上畫出破壞的截面。在圖上畫出破壞的截面。CL5TU1045 螺旋螺旋最大拉最大拉 例：內外徑分別為例：內外徑分別為20mm和和40mm的空心圓截的空心圓截面軸，受扭矩面軸，受扭矩T=1kNm作用，計算橫截面上作用，計算橫截面上A點的剪應力及橫截面上的最大和最小剪應力。點的剪應力及橫截面上的最大和最小剪應力。CL5TU11解：解：AApTI100000150043210544.(.) 6366.MPamaxTWt10

11、000041610534.(.) 8488.MPaminmax.10204244MPa 例：一直徑為例：一直徑為D1的實心軸，另一內外徑之的實心軸，另一內外徑之比比d2D20.8的空心軸，若兩軸橫截面上的空心軸，若兩軸橫截面上的扭矩相同，且最大剪應力相等。求兩軸外直的扭矩相同，且最大剪應力相等。求兩軸外直徑之比徑之比D2/D1。解：由解：由TDTD132341616108(.)DD214311081192.得：得：例：在強度相同的條件下，用例：在強度相同的條件下，用d/D=0.5的空心圓的空心圓軸取代實心圓軸，可節省材料的百分比為多少軸取代實心圓軸，可節省材料的百分比為多少?解：設實心軸的直徑

12、為解：設實心軸的直徑為 d1 ，由，由TdT.)Dd11022 .得：得：AADd空實2212410540783(.).0.80.81.1920.80.512 例：一厚度為例：一厚度為30mm、內直徑為、內直徑為230mm 的空的空心圓管，承受扭矩心圓管，承受扭矩T=180 kNm 。試求管中的。試求管中的最大剪應力，使用：最大剪應力，使用： (1)薄壁管的近似理論；薄壁管的近似理論； (2)精確的扭轉理論。精確的扭轉理論。解：解：(1) 利用薄壁管的近似理論可求得利用薄壁管的近似理論可求得maxTr t22max()TD34161(2) 利用精確的扭轉理論可求得利用

13、精確的扭轉理論可求得18010029161230290334. 622 . MPa18010201300332. 565 . MPa 例：一空心圓軸，內外徑之比為例：一空心圓軸，內外徑之比為=0.5，兩端受扭轉力偶矩作用，最大許可扭矩為，兩端受扭轉力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內外徑之比仍若將軸的橫截面面積增加一倍，內外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強度計算）。（按強度計算）。解：設空心圓軸的內、外徑原分別為解：設空心圓軸的內、外徑原分別為d、D，面，面 積增大一倍后內外徑分別變為積增大一倍后內外徑分別變為d1

14、 、 D1 ，最最 大許可扭矩為大許可扭矩為1由TDTD113434161161()() 由得DDDD1222214105241052(.)(.)得TTDD1133/222828 . 例：一空心軸例：一空心軸=d/D=0.8，轉速，轉速n=250r/m, 功率功率N=60kW，=40MPa，求軸的外直徑，求軸的外直徑D和和內直徑內直徑d。解：解：mNn9549954960250229176.N m由mDD34346161229176161084010().(.)得D 791 . mm,.d 633 mm 例：水平面上的直角拐，例：水平面上的直角拐，AB段為圓軸，段為圓軸，直徑為直徑為 d，在端

15、點，在端點C受鉛垂力受鉛垂力P作用，材料的剪作用，材料的剪切彈性模量為切彈性模量為G，不計，不計BC段變形。求段變形。求C點的鉛點的鉛垂位移。垂位移。CL5TU12解：解：CVABaP a lG Iap3224Pa lGd 例：已知一直徑例：已知一直徑d=50mm的鋼制圓軸在扭的鋼制圓軸在扭轉角為轉角為 6時，軸內最大剪應力等于時，軸內最大剪應力等于90MPa，G=80GPa。求該軸長度。求該軸長度。解：解：T lG Ip( ) 1max( )TWt2( )( )12得：lG IWptmax618080100059010296. 233.m例：圓截面橡膠棒的直徑例：圓截面橡膠棒的直徑d=40m

16、m,受扭后受扭后,原來原來表面上的圓周線和縱向線間夾角由表面上的圓周線和縱向線間夾角由 90變為變為 88。如桿長。如桿長 l=300mm，試求兩端截面間的扭，試求兩端截面間的扭轉角；如果材料的剪變模量轉角；如果材料的剪變模量G=2.7MPa，試求桿，試求桿橫截面上最大剪應力和桿端的外力偶矩。橫截面上最大剪應力和桿端的外力偶矩。CL5TU13解：由解：由ld2得ld2230024030max G272180. 009425.MPamWtmax009425100041663.118.N m 例：傳動軸傳遞外力偶矩例：傳動軸傳遞外力偶矩5kNm,材材料的料的=30MPa, G=80GPa, =0.

17、5/m,試選試選擇軸的直徑。擇軸的直徑。解：解：由500016301036d得d 947 . mm由50008010321800594d.得 d 924 . mm 例：一圓鋼管套在一實心圓鋼軸上，長度均例：一圓鋼管套在一實心圓鋼軸上，長度均為，鋼管與鋼軸材料相同，先在實心圓軸兩為，鋼管與鋼軸材料相同，先在實心圓軸兩端加外力偶矩，使軸受扭后，在兩端把管與端加外力偶矩，使軸受扭后，在兩端把管與軸焊起來，去掉外力偶矩。求此外管與內軸的軸焊起來，去掉外力偶矩。求此外管與內軸的最大剪應力。最大剪應力。CL5TU14解：外管與內軸承受的扭矩相等，設為解：外管與內軸承受的扭矩相等，設為Tmm lG Ip內T

18、 lG IT lG Ipp內外 例：兩端固定的圓截面等直桿例：兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面，在截面C受外力偶矩受外力偶矩m作用，試求桿兩端的支座反力作用，試求桿兩端的支座反力偶矩。偶矩。CL5TU15解：解：mmmAB靜力平衡方程為：靜力平衡方程為：ABACCB 0變形協調條件為：變形協調條件為：maG Im bG IApBp0即：即：作業：（作業：（P68-71）3、4、6、8、10、11、17、195-6 非圓截面桿扭轉的概念非圓截面桿扭轉的概念 圓截面桿扭轉時的應力和變形公式圓截面桿扭轉時的應力和變形公式,均建立均建立在在平面假設平面假設 的基礎上。的基礎上。 對于非圓截面桿對于非

19、圓截面桿,受扭時橫截面不再保持受扭時橫截面不再保持為平面，桿的橫截面已由原來的平面變成了曲為平面，桿的橫截面已由原來的平面變成了曲面。這一現象稱為截面翹曲。面。這一現象稱為截面翹曲。 因此因此,圓軸扭轉時的應力、變形公式對非圓圓軸扭轉時的應力、變形公式對非圓截面桿均不適用。截面桿均不適用。CL5TU20非圓截面桿在扭轉時有兩種情形非圓截面桿在扭轉時有兩種情形:CL5TU211.自由扭轉或純扭轉自由扭轉或純扭轉在扭轉過程中在扭轉過程中,桿的各橫截面的翹曲不受任何約桿的各橫截面的翹曲不受任何約束束,任意兩相鄰橫截面的翹曲程度完全相同。此任意兩相鄰橫截面的翹曲程度完全相同。此時橫截面只有剪應力時橫截面只有剪應力,而沒有正應力。而沒有正應力。2.約束扭轉約束扭轉扭轉時扭轉時,由于桿的端部支座的約束由于桿的端部支座的約束,使桿件截面使桿件截面翹曲受到一定限制翹曲受到一定限制,而引起任意兩相鄰橫截面而引起任意兩相鄰橫截面的翹曲程度不同的翹曲程度不同,將在橫截面上產生附加的正將在橫截面上產生附加的正應力。應力。CL5TU21 對于矩形和橢圓形的實體截面桿，由于約束對于矩形和橢圓形的實體截面桿，由于約束