1、第三章 恒定磁場第第 3 3 章章 恒定磁場恒定磁場 實驗表明，導體中有恒定電流通過時，在導體內部和實驗表明，導體中有恒定電流通過時，在導體內部和它周圍的媒質中它周圍的媒質中 ，不僅有，不僅有恒定電場恒定電場 ，同時還有不隨時間變，同時還有不隨時間變化的磁場化的磁場 ，簡稱，簡稱 恒定磁場恒定磁場（Static Magnetic Field）。）。 恒定磁場和靜電場是性質完全不同的兩種場，但在分析恒定磁場和靜電場是性質完全不同的兩種場，但在分析方法上卻有許多共同之處方法上卻有許多共同之處。 學習本章時注意類比法的應用，特別是學習本章時注意類比法的應用，特別是“磁電比擬磁電比擬”。 恒定磁場的知

2、識結構框圖如下。恒定磁場的知識結構框圖如下。磁感應強度（B B）（畢奧沙伐定律）H H 的旋度B B 的散度基本方程磁位( )（J J=0）m分界面上銜接條件磁矢位（A A）邊值問題數值法解析法分離變量法鏡像法有限元法有限差分法電感的計算磁場能量及力磁路及其計算圖3.0 恒定磁場知識結構框圖基本實驗定律 (安培力定律）21211222112)sinsinrdldlIIkdFandrrel dl dIIdF212)1(2214012)(lRlReldIlIdF204安培力作用方式安培力作用方式如圖所示如圖所示3.1.1 3.1.1 安培力定律安培力定律式中真空中的磁導率式中真空中的磁導率 701

3、04H/mH/m3.1.2 3.1.2 畢奧畢奧沙伐定律沙伐定律 磁感應強度磁感應強度 電流之間相互作用力通過磁場傳遞電流之間相互作用力通過磁場傳遞: :BlIdRel dIlIdFlllR204對比對比: : 電荷之間相互作用力通過電場傳遞。電荷之間相互作用力通過電場傳遞。EqeRdVqFRV2041定義定義磁感應強度磁感應強度lRRel dIB204單位單位 T（wb/m2）特斯拉。特斯拉。式中式中 rrR 畢奧薩伐爾定律的應用畢奧薩伐爾定律的應用 一一. .畢奧薩伐爾定律畢奧薩伐爾定律 靜電場靜電場: 取取dqEdEEd磁磁 場：取場：取lIdBdBBd20d4dRelIBR畢薩定律：畢

4、薩定律：Re單位矢量單位矢量大小：大小：20sind4dRlIB方向：方向： 右手螺旋法則右手螺旋法則 ? ? ?PlIdRBlIdlId電流元電流元 在磁場中的受力特點在磁場中的受力特點:(1) 電流元在磁場中的方向不同電流元在磁場中的方向不同,受力也不同受力也不同;存在一個方向使存在一個方向使0dFlId0dF定義定義lIFBddmaxB(2) 當電流元的取向與當電流元的取向與 磁感應強度的磁感應強度的方向垂直時方向垂直時, 受到的磁場力最受到的磁場力最 大大;磁感應強度的大小磁感應強度的大小定義該方向為磁感應強度的方向定義該方向為磁感應強度的方向BlIdmaxddFF 例題例題3-1 真

5、空中載電流為真空中載電流為I的的2L長直細導線在導線外任一點長直細導線在導線外任一點 P 所引起的磁感應強度所引起的磁感應強度. 解解：選擇柱坐標系：選擇柱坐標系, 直導線產生的磁場與直導線產生的磁場與 角無關，角無關， 1) 1) 2) z = 0 3) z = 0 半直線2/32202020) (444lllRzzdzIeReRdzIRel dIBLeIB202/ 12)(22/ 12)(240LzLzLzLzIe2/ 12202）（LLIeB2/ 12204）（LLIeB1) 方向方向: 四條線在四條線在P點產生的磁感應強度方向都是垂直點產生的磁感應強度方向都是垂直紙面向里紙面向里(如圖

6、所示如圖所示). 由例由例3-1,單個長度為單個長度為2l的細導線在的細導線在P點產生點產生的磁感應強度為的磁感應強度為: ellIB2220)2()2()2(2)2()2()2(22220220ababIbabaIB練習練習: :課本習題課本習題3-1-12) 方向方向: 任意元電流在任意元電流在 P點產生的磁感應強度的方點產生的磁感應強度的方 向是垂直紙面向里向是垂直紙面向里, 大小為大小為 ，所以，所以 3) 方向方向: 磁感應強度方向都是垂直紙面向里磁感應強度方向都是垂直紙面向里. P點磁場點磁場是是 兩個半無限長的直線和一個半圓周共同產生兩個半無限長的直線和一個半圓周共同產生, ,

7、半圓周磁感應強度是整圓周的一半半圓周磁感應強度是整圓周的一半. .204RIdldBRIRdRIdlRIB20)(2024020240zzeRIeRIB4400004)4)類似于類似于1),1),得得5)5)是兩個半無限的載流導線和一個半圓周，所以是兩個半無限的載流導線和一個半圓周，所以產生的磁感應強為：產生的磁感應強為： 習題習題 3-1-33-1-3 求兩平行長的直線的單位長度的受力求兩平行長的直線的單位長度的受力. . 產生的磁感應強度為：產生的磁感應強度為： dIB20dIIBlIFF221012zebaabIB2/1220)2(zeRIRIB44200 磁場的高斯定理磁場的高斯定理-

8、 -磁通連續性定理磁通連續性定理靜電場：靜電場：磁磁 場：場：?dSBiSeqSdD(靜電場是有源場靜電場是有源場)一一. 磁力線磁力線1. 規定規定 (1) 方向：磁力線切線方向為磁感應強度方向：磁力線切線方向為磁感應強度BB的單位面積上穿過的磁力線條數的單位面積上穿過的磁力線條數BSNBdd的方向的方向(2) 大小：垂直大小：垂直為磁感為磁感應強度應強度的大小的大小:仿照靜電場的仿照靜電場的 E 線，恒定磁場可以用線，恒定磁場可以用 B 線描繪，線描繪，B 線的微分方程線的微分方程0d lB直角坐標系中直角坐標系中dzBdyBdxBzyx圖3.2.7 兩根異向長直流導線的磁場分布圖3.2.

9、8 兩根相同方向長直流導線的磁場分布圖3.2.9 兩對上下放置傳輸線的磁場分布圖3.2.10 兩對平行放置傳輸線的磁場分布(2) 與電流相互交鏈，服從右手螺旋定則與電流相互交鏈，服從右手螺旋定則(3) 磁力線不相交磁力線不相交二二. .磁通量磁通量SNBddSBmdd通過面元的磁力線條數通過面元的磁力線條數 通過該面元的磁通量通過該面元的磁通量SdBSd對于有限曲面對于有限曲面SBmd磁力線穿入磁力線穿入對于閉合曲面對于閉合曲面SmSBd規定規定: :0m磁力線穿出磁力線穿出0m2. 磁力線的特征磁力線的特征: (1) 無頭無尾的閉合曲線無頭無尾的閉合曲線三三. .磁場的高斯定理磁場的高斯定理

10、BS磁場線都是閉合曲線磁場線都是閉合曲線 00BSdBSm 磁場是無源場（渦旋場）磁場是無源場（渦旋場）例例 證明在證明在 磁力線磁力線 為平行直線的空間中，同一根磁力線為平行直線的空間中，同一根磁力線 上各點的上各點的磁感應強度值相等。磁感應強度值相等。abS解解SmSBd0SBSBbabaBB 3-2 3-2 磁場的安培環路定理磁場的安培環路定理一一. .磁場的安培環路定理磁場的安培環路定理靜電場靜電場: 0d lE靜電場是保守場靜電場是保守場磁磁 場場:?d lB 以無限長載流直導線為例以無限長載流直導線為例 rIB20LlBdLlBdcosLrrId20I0磁場的環流與環路中所包圍的電

11、流有關磁場的環流與環路中所包圍的電流有關 ILPIBrrLrldd 若環路中不包圍電流的情況？若環路中不包圍電流的情況？IL 若環路方向反向，情況如何？若環路方向反向，情況如何？IBrLld rdLLrrIlBd2d0I01dlI1B2B2dl1012 rIB1r2rL2022 rIBlBlBdd21對一對線元來說對一對線元來說 2211cosdcosdlBlB2201102d2drIrrIr0d環路不包圍電流，則磁場環流為零環路不包圍電流，則磁場環流為零 12 推廣到一般情況推廣到一般情況 kII 1nkII1 在環路在環路 L 中中 在環路在環路 L 外外 L1I2IiI1kInIkIP

12、LiLlBlBdd則磁場環流為則磁場環流為 LilBd010kiiI內）LIkii(10 安培環路定律安培環路定律 恒定電流的磁場中，磁感應強度沿一閉合路徑恒定電流的磁場中，磁感應強度沿一閉合路徑 L 的線積分的線積分等于路徑等于路徑 L 包圍的電流強度的代數和的包圍的電流強度的代數和的 0 倍倍內iLIlB0d環路上各點的環路上各點的磁場為所有電磁場為所有電流的貢獻流的貢獻例例3.2.13.2.1 試求無限大截流導板產生的磁感應強度試求無限大截流導板產生的磁感應強度 B解：分析場的分布，取安培環路（與電流交鏈，成右手螺旋解：分析場的分布，取安培環路（與電流交鏈，成右手螺旋）LKLBLBl d

13、BL021根據對稱性根據對稱性BBB21By02Key02Ke0 x0 x解：這是平行平面磁場，選用圓柱坐標系，解：這是平行平面磁場，選用圓柱坐標系，eB)(B應用安培環路定律應用安培環路定律, ,得得202120lRIdBdlBeB210R2I) 1 ( 例例 3.2.23.2.2 試求載流無限長同軸電纜產生的磁感應強度。試求載流無限長同軸電纜產生的磁感應強度。圖圖3.2.12 3.2.12 同軸電纜截面同軸電纜截面1R01)212221RIRII取安培環路取安培環路 交鏈交鏈的部分電流為的部分電流為)(1R圖圖3.2.1 3.2.1 無限大截流導板無限大截流導板22232232223222

14、,32RRRIRRRIIIRR)3的圓面積的電流為這時穿過半徑為應用安培環路定律，得應用安培環路定律，得2022232230lRR)R( IdBdlB0R)43B的分布圖如圖示)(BeB223223RRR2I) 3(21) 2RR200lIdBdlBeB2I0) 2( 圖圖3.2.12 3.2.12 同軸電纜截面同軸電纜截面恒定電場恒定電場與與靜電場靜電場一些典型幾何圖形的對比一些典型幾何圖形的對比dVeR)r(JB;dVeR)r(E)r(J)r(RR2020441eRIB;eREIR2200 xyeKB;eEK2200共同特征共同特征:0012. 2. 媒質的磁化媒質的磁化( (Magnet

15、ization) 媒質的磁化產生的物理現象和分析方法與靜電場媒質的極化類同。媒質的磁化產生的物理現象和分析方法與靜電場媒質的極化類同。2) 媒質的磁化媒質的磁化無外磁場作用時，媒質對外不顯磁性，無外磁場作用時，媒質對外不顯磁性， n1ii0m圖3.2.14 磁偶極子 用用磁化強度磁化強度（Magnetization Intensity）M 表示磁化的程度，即表示磁化的程度，即)(米安A/mVn1ii0VmMlim1) 磁偶極子磁偶極子分子電流，電流方向與分子電流，電流方向與 方向成右手螺旋關系方向成右手螺旋關系ISdSmIdAm2 2磁偶極矩磁偶極矩 在外磁場作用下，磁偶極子發生旋轉，在外磁場

16、作用下，磁偶極子發生旋轉， 轉矩為轉矩為 Ti=miB ， 旋轉方向使磁偶極矩方向與外磁場旋轉方向使磁偶極矩方向與外磁場方向一致，對外呈現磁性，稱為磁化現象方向一致，對外呈現磁性，稱為磁化現象。n1ii0m圖3.2.16媒質的磁化3 3）磁化電流）磁化電流4 4）磁偶極子與電偶極子對比）磁偶極子與電偶極子對比體磁化電流體磁化電流dSJIMJmmm模型模型 電量電量產生的電場與磁場產生的電場與磁場電電偶偶極極子子磁磁偶偶極極子子SmdI0PpnpePnmeMKMJmnmeMK面磁化電流面磁化電流 有磁介質存在時，場中任一點的有磁介質存在時，場中任一點的 B 是自由電流是自由電流 和磁化電流和磁化

17、電流共同作用共同作用在真空中產生的磁場。在真空中產生的磁場。結論：結論： 磁化電流具有與傳導電流相同的磁效應磁化電流具有與傳導電流相同的磁效應例例 3.2.3 判斷磁化電流的方向。判斷磁化電流的方向。qdP3. 3. 一般形式的安培環路定律一般形式的安培環路定律sJlBdI)II(Idsm00m00L有磁介質時有磁介質時將將 代入上式，得代入上式，得MJmlMsMlBdId)(IdLsL0移項后移項后Id)(L0lMB定義定義磁場強度磁場強度m/A0 MBH則有則有IdLlH說明說明: : H 的環量僅與環路交鏈的自由電流有關。的環量僅與環路交鏈的自由電流有關。 環路上任一點的環路上任一點的

18、H 是由系統全部載流體產生的。是由系統全部載流體產生的。 電流的正、負僅取決于環路與電流的交鏈是否滿足右手螺旋關系，電流的正、負僅取決于環路與電流的交鏈是否滿足右手螺旋關系， 是為正，否為負。是為正，否為負。sJsHlHdd)IdsLs( JH 恒定磁場是有旋的恒定磁場是有旋的圖3.2.18 H 與I 成右螺旋關系4. 4. B B 與與H H 的構成關系的構成關系實驗證明，在各向同性的線性磁介質中實驗證明，在各向同性的線性磁介質中式中式中 磁化率，無量綱量，代入磁化率，無量綱量，代入 中中 HMmxmxMBH0HHHMHBr0m00)x1()(式中式中 相對磁導率，無量綱，相對磁導率，無量綱

19、， ，單位，單位 H/m。 rr0構成關系構成關系HB例例3.2.4: : 一矩形截面的鐲環，如圖示，試求氣隙中的一矩形截面的鐲環，如圖示，試求氣隙中的B和和H。圖圖3.2.20 3.2.20 鐲環磁場分布鐲環磁場分布解：解： 在鐲環中在鐲環中, , ， 有限，故有限，故H = 0。HB取安培環路（與取安培環路（與I I交鏈），由交鏈），由 ，得，得NIdLlHNIrH,rNI eHeBrNI05. 5. H 的旋度的旋度sLdIdsJlHssdd)(sJsH積分式對任意曲面積分式對任意曲面S S都成立，則都成立，則JH 恒定磁場是有旋的恒定磁場是有旋的例例 3.2.43.2.4 有一磁導率為

20、有一磁導率為 ，半徑為，半徑為a 的無限長導磁圓柱，其軸線的無限長導磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流處有無限長的線電流I I，圓柱外是空氣，圓柱外是空氣( (0)，如圖所示。試求圓柱，如圖所示。試求圓柱內外的內外的 B，H 與與 M 的分布。的分布。解：磁場為平行平面場解：磁場為平行平面場, ,且具有軸對稱性，應用且具有軸對稱性，應用安培環路定律安培環路定律, ,得得IH2dllH磁場強度磁場強度02IeH磁化強度磁化強度HBMa0a2I0e磁感應強度磁感應強度BaIaI2020e 圖3.2.21 磁場分布3.3 3.3 恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條

21、件3.3.1 3.3.1 恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程媒質的性能方程媒質的性能方程HB 例例 3.3.13.3.1 試判斷試判斷 能否表示為一個恒定磁場？能否表示為一個恒定磁場？eFeeFa)b(byax)a(2xy1F2不可能表示恒定磁場不可能表示恒定磁場。0a2)d(1)F(1)b(22F恒定磁場的基本方程表示為恒定磁場的基本方程表示為S0dSBIdllH（磁通連續原理磁通連續原理）（安培環路定律（安培環路定律）0 BJH （無源無源）（有旋有旋）恒定磁場是有旋無源場恒定磁場是有旋無源場, ,電流是激發磁場的渦旋源電流是激發磁場的渦旋源000yFxFay1x11 )(FF1可以表示

22、為恒定磁場可以表示為恒定磁場。解：3.3.2 3.3.2 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件1. 1. B 的銜接條件的銜接條件在媒質分界面上，包圍在媒質分界面上，包圍P P 點作一小扁圓柱，點作一小扁圓柱，令令l0，則根據，則根據 , , 可得可得0dsSBn2n1BBB 的法向分量連續的法向分量連續2. 2. H 的銜接條件的銜接條件 H 的切向分量不連續的切向分量不連續KHHt 2t 1H 的切向分量連續的切向分量連續當當 K = 0t 2t 1HH 3. 3. 分界面上的折射定律分界面上的折射定律 當兩種媒質均勻、各向同性，且分界面無自由電流線密度當兩種媒質均勻、各向同性，且分界面無

23、自由電流線密度K，則，則2121tantan折射定律折射定律圖3.3.1 分界面上 B 的銜接條件圖3.3.2 分界面上 H 的銜接條件 在媒質分界面上，包圍在媒質分界面上，包圍P P 點作一矩形回路點作一矩形回路 。 l令令 , , 根據根據02l, IdllH可得可得11211lKlHlHtt例例.3.3.2.3.3.2 分析鐵磁媒質與空氣分界面上磁場的折射情況。分析鐵磁媒質與空氣分界面上磁場的折射情況。解：解：, 0102,0tantan110202 它表明它表明只要鐵磁物質側的只要鐵磁物質側的B不與分界面平行，不與分界面平行，那么在空氣側的那么在空氣側的B 可認為近似與分界面垂直。可認

24、為近似與分界面垂直。圖圖3.3.33.3.3鐵磁媒質與空氣分界面上磁場的折鐵磁媒質與空氣分界面上磁場的折射射 即即yxxn2yt 22410HHeeeeHA/m)1230(yx0222eeHBT解：解：T4030865yx0yx0111)()( eeeeHBHB,21KHHtt448KHHt1t210222nnBH0n1n230BB n2n1BB 圖圖3.3.4 3.3.4 含有含有K K的分界面銜接條件的分界面銜接條件 例例 3.3.3 設設x = 0平面是兩種媒質的分界面平面是兩種媒質的分界面. .1=50, , 分界面上有面電流分界面上有面電流023z4eKA/m ，且且 A/m，試求，

25、試求 B1，B2與與 H2 的分布。的分布。 yx186eeH 若面電流若面電流 , , 答案有否變化？答案有否變化？zy43eeK 若表達式是三維的形式，則只能用矢量式了若表達式是三維的形式，則只能用矢量式了 VmMMBHiV00limHdll dHl dH平行1. 媒質的磁化媒質的磁化: 分子電流分子電流 分子磁矩分子磁矩 磁化強度磁化強度M磁化電流磁化電流Jm 磁化電流強度磁化電流強度Im 順磁材料和逆磁材料順磁材料和逆磁材料2. 磁場強度磁場強度H3.3.與靜電場中的介質極化對比與靜電場中的介質極化對比 介質的極化強度介質的極化強度 媒質的磁化強度媒質的磁化強度 VpPiVlim)(0

26、EPVmMiVlim)(BMmEPED0BMBH110qdVSdDSkIll dH4.4.安培定律可解的情況安培定律可解的情況本節小結本節小結0)/(ldlIHIdlHl dHlkklS補充例題：補充例題：(使用安培環路定律求使用安培環路定律求分區均勻分區均勻的問題的問題) 同軸電纜的同軸電纜的內導體半徑為內導體半徑為R1, 外導體的半徑為外導體的半徑為R2 , 外導體的厚度可以忽略不計外導體的厚度可以忽略不計.內外導體之間對半填充兩種導磁媒質，求磁感應強度和磁場強度內外導體之間對半填充兩種導磁媒質，求磁感應強度和磁場強度. 解解: :在兩種媒質分界面兩側中在兩種媒質分界面兩側中, , 相同相

27、同 不同不同, , 且且當當 時時, , 當當 時時, BHnnBBBB2211,10RIRl dHl212,2211eRIHeRIB21012IHHIdHdH)(222102222121RR利用兩種媒質分界面上的銜接條件利用兩種媒質分界面上的銜接條件: :或或1122BB222211HH聯立聯立，得，得eIH)(21221eIB)(212121eIH)(211223. 4. 1 磁矢位磁矢位1. 矢量分析中矢量分析中 磁矢位磁矢位 與與 磁位磁位 的幾個結論的幾個結論: : 1)1)包括靜電場包括靜電場(=0=0)在內的所有三個恒定場都是在內的所有三個恒定場都是無源場無源場， 但是靜電場中但

28、是靜電場中0 處，處， D= E=。2)2)三個恒定場中無旋處三個恒定場中無旋處E= B =J=0 矢量函數可以用一個標量函數矢量函數可以用一個標量函數 表達。表達。1)1)當當 中中 時，由于時，由于 稱稱 為為磁矢位。磁矢位。JH0J使得存在AB0ABA根據矢量恒等式根據矢量恒等式: :定義庫侖規范條件定義庫侖規范條件 得得JAAAAAJAJBJH22)()(0AzzyyxxJAJAJAJA2222矢量形式的泊松方程矢量形式的泊松方程44,44VzzVyyVxxVRdVJARdVJARdVJARdVJA或)()1() (1) ()1() () (4)1() (4) (40020rJRrJR

29、rJRRrJABdVRrJdVRrJdVRerJBR這里使用且根據比薩定律得：根據比薩定律得：得令040dVRJA 注意注意1 1）這個方程其他形式參看課本，）這個方程其他形式參看課本， 特別要注意特別要注意 A 與與 J ( (或或 K, I) )方向相同；方向相同；2 2）有電流存在的區域）有電流存在的區域, ,只能選擇磁矢位；只能選擇磁矢位；3 3）對比畢薩定理表達式，）對比畢薩定理表達式，A 的表達式已經簡化，從而更加容易計算和分析。的表達式已經簡化，從而更加容易計算和分析。例例 3-7 應用磁矢位分析真空中磁偶極子的磁場應用磁矢位分析真空中磁偶極子的磁場.解解: 注意到注意到討論的區

30、域討論的區域J=0,0,并且題中使用的是圓周并且題中使用的是圓周 1) 磁矢位方向與圓周上相應電流元電流方向一致；磁矢位方向與圓周上相應電流元電流方向一致；2)SnlldSaedzzyxadyzyxadxzyxalad)(),(),(),()4)1( 41200dSReeIAdSReIARaSRzSz)4,0dSeeIAeerRSrzRr讓可求出又可確定；BABA例例3-8: 空氣中有一長度空氣中有一長度為為l, 截面積為截面積為S, z軸上的短軸上的短銅線銅線. .電流密度電流密度J沿沿e ez z方向方向. .設電流是均勻分布的設電流是均勻分布的, ,求離銅線較遠處求離銅線較遠處( )(

31、)的磁場其強度的磁場其強度. 解解: 選擇坐標系原點在銅線中心選擇坐標系原點在銅線中心, 根據對稱性，有根據對稱性，有 由由A泊松方程的積分解得泊松方程的積分解得lr JSIeJJz且.4444402/2/02/2/000zllzllSzerIlIdlredlJdSerdVrJdVRJA. rRlr由磁矢位的定義可知由磁矢位的定義可知:eryxrIlrxeryerIlAByxo222024)(4補充例題補充例題 1 兩根無限長細直導線，相距為兩根無限長細直導線，相距為2a, 導線通有導線通有相反的電流相反的電流I, 求空間任意一點的磁矢位求空間任意一點的磁矢位.解解: :電流僅電流僅 z 方向

32、方向, ,是平行平面矢量場是平行平面矢量場( (仿照例仿照例3-1).3-1). 同理同理當當 時時, , LLrLrLIzrdzIA122102210124lnL222202ln2rLrLIAzerrLrLLrLIAAA.ln122222210212zeayxyaxIA22220)()(ln2 磁矢位對應的邊界銜接條件磁矢位對應的邊界銜接條件: : 1212121212121212011ttnnslnnSVnttttB dSA dlAA (BB)AAA dSAdVAA( HH )eK(A )(A )K(HHK )等價于等價于特別對平行平面磁場；特別對平行平面磁場；A只有只有z方向方向分量分量

33、nAeexAeyAeHeHnAyAeexAeyAeHeHexAeyAAHexAeyAAHeAAeAAxyxxtxyxxtyxyx22222221111111112222221111112221111)(111)(1)(1)(1)(1)(1KnAnA221111例例 3-9 一半徑為一半徑為a的長直圓柱導體通有電流的長直圓柱導體通有電流,電流密度電流密度 . 求導體求導體內外的磁矢位內外的磁矢位(內外磁導率均為內外磁導率均為 )解解: :由對稱性可知由對稱性可知 ，Az僅僅為僅僅為 的函數且滿足方程的函數且滿足方程 ( (是平行平面矢量場是平行平面矢量場) ). 邊值問題為邊值問題為zzeJJ0

34、zzeAAJA02有限1221121201, 0|1|1; 0|, 0)(1,)(1AAAAAaAaJAaaaaz方程積分后得方程積分后得使用前面的四個條件確定四個參數后得使用前面的四個條件確定四個參數后得43221201lnln4CCACCJAz和zzzzeaaJAeaJAln2)(42022201和3.5 3.5 磁位及其邊值問題磁位及其邊值問題3.5.1 3.5.1 磁位磁位 的引出的引出mmH0H恒定磁場無電流區域恒定磁場無電流區域lHdLmm標量磁位，標量磁位，簡稱磁位簡稱磁位（Magnetic PotentialMagnetic Potential），單位：），單位：A（安培）。（

35、安培）。 磁位磁位 僅適合于無自由電流區域，且無物理意義。僅適合于無自由電流區域，且無物理意義。m磁位磁位 的特點：的特點：m 等磁位面（線）方程為等磁位面（線）方程為 常數，等磁位面（線）與磁場強度常數，等磁位面（線）與磁場強度 H 線垂直線垂直m 的多值性的多值性m則則 AmBmAAlBmAd,dlHlH在恒定磁場中，在恒定磁場中， 設設B 點為參考磁位，點為參考磁位，由安培環路定律，得由安培環路定律，得圖圖3.5.5 3.5.5 磁位磁位 與積分路徑的關系與積分路徑的關系m3.5.2 3.5.2 磁位邊界條件磁位邊界條件 nnmmttmmBBnnHH2122112121 磁位磁位與電位有

36、相似但也有不同與電位有相似但也有不同, ,如兩點間的磁壓定義為：如兩點間的磁壓定義為： 必須選障礙面等辦法使磁位唯一必須選障礙面等辦法使磁位唯一 ( (看課本看課本P115).).mBmAmBAmABmBmAdl dHUIddddBmAAlBAlBmAlHlHlHlHImAmA 推論推論 多值性多值性 磁屏障面磁屏障面kImAmA mH0 B0)()(mHB0m02m0H磁位函數的拉普拉斯方程磁位函數的拉普拉斯方程因而在空間媒質的磁導率因而在空間媒質的磁導率為常數情況下為常數情況下3.5.3. 磁場的拉普拉斯方程磁場的拉普拉斯方程在磁場的無電流區域，即在磁場的無電流區域，即 處處)(21122

37、121ttmmHH 或)(2112121211nnmmBBnn或 磁場的唯一性定理為：磁場的唯一性定理為：滿足拉普拉斯方程，且滿滿足拉普拉斯方程，且滿足一定邊界條件的標量磁位函數是唯一的足一定邊界條件的標量磁位函數是唯一的。以磁位函。以磁位函數所表示的媒質交界面處邊界條件為數所表示的媒質交界面處邊界條件為0J習題習題 3-5-1 題目請閱讀書題目請閱讀書, 如圖所示如圖所示.解解: 在在 內有恒定電流內有恒定電流, ,不能使用磁位函數不能使用磁位函數, ,而在其他區域建立磁位函數如下：而在其他區域建立磁位函數如下：邊界條件邊界條件: :四個條件可以確定四個系數，最后得四個條件可以確定四個系數，

38、最后得 注注: 零磁位的選擇比零電位寬松零磁位的選擇比零電位寬松.21RR24321211222112,0, 00, 0RCCRCCRRmmmmImmmm22210201|, 0|, 0|0|)(2);0(02211RIRmm)(2);0(0222111ReIHRHmm補充例題補充例題2 有一個載電流有一個載電流I的無限長直導線的無限長直導線, 求圖中求圖中A, P兩點磁壓兩點磁壓.解解: 注意到注意到 , , 并且磁壓計算中的積分并且磁壓計算中的積分與路徑無關與路徑無關, 因此選擇因此選擇如圖所示便于計算的如圖所示便于計算的積分路徑，得積分路徑，得P109 利用磁矢位可以計算通過任意曲面利用

39、磁矢位可以計算通過任意曲面S磁通量：磁通量： 磁場與靜電場也有磁場與靜電場也有比擬關系比擬關系如下如下: : erIH2PACAcpmAPIerderIl dHU120)2(60lSSml dASdASdB 無電流區域恒定磁場無電流區域恒定磁場 無自由電荷區域靜電場無自由電荷區域靜電場 所以對應關系為：所以對應關系為：在邊界條件相似情況下在邊界條件相似情況下, 我們求得某一靜電場結果之后我們求得某一靜電場結果之后, 把把相應的結果按照上述關系轉換，就得到恒定問題的結果相應的結果按照上述關系轉換，就得到恒定問題的結果.注意注意: 請結合恒定電場比擬關系及其對應量歸納請結合恒定電場比擬關系及其對應

40、量歸納.ll dH0ll dE0)(0SSdSBSdB)(0SSdSDqSdDHBEDmHE00BH00DEnnttBBHH2111nnttDDEE211102m02/ 1qEHDBm圖圖3.5.8 3.5.8 恒定磁場與恒定磁場與恒定電流場的比擬恒定電流場的比擬3.5.3 3.5.3 磁位磁位 、磁矢位、磁矢位 A 與電位與電位 的比較的比較m位位 函函 數數比較內容比較內容引入位函數的依據引入位函數的依據位與場的關系位與場的關系微分方程微分方程位與源的關系位與源的關系電位電位)(m磁位磁位)(磁矢位磁矢位（A）0E0H0BE0pdlE202mH0pmdlH0m2ABSlddSBlAJA20

41、2 A(有源或無源）(無源）(有源或無源）VR4dVV0R4dVJA4Im答：可以。答：可以。 下述兩個場能進行磁電比擬嗎？下述兩個場能進行磁電比擬嗎？3.6 3.6 鏡像法鏡像法（Image Method in Static Magnetic Field） 聯立求解，得聯立求解，得IIII12112122 ,21ttHH IIIsinr2Isinr2Isinr2I 由由 得得由由 得得I)II (cosr2Icosr2Icosr2I21211 n2n1BB 例例 3.6.13.6.1 圖示一載流導體圖示一載流導體 I 置于磁導率為置于磁導率為 的無限大導板上方的無限大導板上方 h 處，為求處

42、，為求媒質媒質 1 與媒質與媒質 2 中的中的 B 與與 H 的分布，試確定鏡像電流的大小與位置？的分布，試確定鏡像電流的大小與位置？2解： 根據唯一性定理，在無效區放置鏡像電流，用分界面銜接條件確定 與 。II 圖圖3.6.1 3.6.1 兩種不同磁介質的鏡兩種不同磁介質的鏡像像 與靜電場鏡像法類比與靜電場鏡像法類比 ，這里的，這里的 原因何在？原因何在？ ),q2q,qq(2122121 ,1,12211 例例3.6.23.6.2 空氣與鐵磁媒質的分界面如圖所示，線電流空氣與鐵磁媒質的分界面如圖所示，線電流 I 位于空氣位于空氣 中，試求磁中，試求磁場分布。場分布。0空氣中空氣中)rIrI

43、(2221101eeB鐵磁中鐵磁中)(0,222222HBHB為有限rIrIrIHB0200222222)2(2 空氣中空氣中 B 線垂直于鐵磁平板，表明線垂直于鐵磁平板，表明鐵磁平板表面是等磁位面鐵磁平板表面是等磁位面。鏡像電流鏡像電流0I2IIII2002002 解：解：圖圖3.6.2 線電流線電流 I I 位于無限大鐵板上方的鏡位于無限大鐵板上方的鏡像像 鐵磁中磁感應強度鐵磁中磁感應強度 B2=0 =0 嗎？嗎？課本課本p144 習題習題312，求圖中的鏡像電荷，求圖中的鏡像電荷求解時注意有效區域，以及具體的方向求解時注意有效區域，以及具體的方向3.6.1. 磁鏈磁鏈(全磁通全磁通)及其

44、計算及其計算穿過導線回路所圍成面積的磁通量稱穿過導線回路所圍成面積的磁通量稱磁鏈磁鏈, 用用 表示表示.對于密繞線圈對于密繞線圈 03210321SSSSSSdBSdBSdBSdBSdBSSdBNNroIN例例 求螺繞環電流的磁場分布及螺繞環內的磁通量求螺繞環電流的磁場分布及螺繞環內的磁通量(磁鏈磁鏈) 解解 h1R2RSrd 在螺繞環內部做一個環路，可得在螺繞環內部做一個環路，可得LldBLlB drB2NI0rNIB2/0 若在外部再做一個環路，可得若在外部再做一個環路，可得 0iI0外B螺繞環內的磁通量為螺繞環內的磁通量為21dRRmSBrhrNIRRd2210120ln2RRhNI3.

45、7 3.7 電電 感感3.7.1 3.7.1 自感自感 在線性各向同性媒質中，在線性各向同性媒質中，L L 僅與回路的幾何尺寸、媒質參數有關，與僅與回路的幾何尺寸、媒質參數有關，與回路的電流無關。回路的電流無關。自感計算的一般步驟：自感計算的一般步驟：),(0iLLLIBHA設設回路的電流與該回路交鏈的磁鏈的比值稱為自感。回路的電流與該回路交鏈的磁鏈的比值稱為自感。LIdsSB即即單位：單位：H（亨利亨利）IL 自感又分為內自感自感又分為內自感 L Li i 和外自感和外自感 L0 。0iLLLILii內自感是導體內部僅與部分電流交鏈的磁鏈與回路電流比值。內自感是導體內部僅與部分電流交鏈的磁鏈

46、與回路電流比值。IL00外自感是導體外部閉合的磁鏈與回路電流的比值。外自感是導體外部閉合的磁鏈與回路電流的比值。圖圖3.7.1 3.7.1 內磁鏈與外磁鏈內磁鏈與外磁鏈解：解： 總自感總自感設安培環路包圍部分電流設安培環路包圍部分電流 ，則有，則有I221221LRIRIIdlH210212,2RIBRIH磁鏈中的匝數，可根據磁鏈中的匝數，可根據212RIINN:I1:I因此，有因此，有sRoil IdRRl INd100212211828011lILii內自感內自感例例 3.7.13.7.1試求圖示長為試求圖示長為 的同軸電纜的自感的同軸電纜的自感 L。l圖3.7.3 同軸電纜內導體縱截面穿

47、過寬度為穿過寬度為 , ,長度為長度為 l 的矩形面積的的矩形面積的磁通為磁通為dldR2Idd210SB圖3.7.2 同軸電纜截面1) 1) 內導體的內自感內導體的內自感 )R0(L11i021LLLLii,IRRR)RRR( III22232232223222HB,2)RRR( I2IH02223223ld2)RRR( IBdSd222322302i)RR(8)RR( l)RR(2lRRRln)RRR(2l22232223022232302322223230工程上視同軸電纜外導體為面分布的電流，故忽略此部分的內自感工程上視同軸電纜外導體為面分布的電流，故忽略此部分的內自感 。)0L(2i3

48、 3） 內、外導體間的外自感內、外導體間的外自感 )(210RRL120RR000RR2ld2II1IL21lndl)RRR(2II1NdI1L32RR2222322302i2i故總電感為總電感為02i1iLLLL,2IB0ld2Idd0002 2）外導體內自感）外導體內自感 2i2idIII1L32RR2223223RRRIIN 例例 3.7.23.7.2 設傳輸線的長度為設傳輸線的長度為 , , 試求試求圖示兩線傳輸線的自感。圖示兩線傳輸線的自感。l解：解：總自感總自感0iLL2LSB d00RDR0ldx)xD(21x21IRRDlnIl0RRDlnlIL000設設z02z01RDRln

49、2IRRDln2IIeAeAlAlAd2100lARRDlnlIL000HBeH0)xD(2Ix2II設設總自感為總自感為RRDlnl4lLL2L000i內自感內自感4lL2,8lL0i0i解法一解法一)(0LB由解法二解法二)(0LA由RRDlnlI0圖3.7.4 兩線傳輸線的自感計算3.7.2 3.7.2 互感互感12121IM12121IM式中，式中，M21 為互感，單位：為互感，單位：H（亨利）亨利） 互感是研究一個回路電流在另一個回路所產生的磁效應，它不僅與兩個回路的互感是研究一個回路電流在另一個回路所產生的磁效應，它不僅與兩個回路的幾何尺寸和周圍媒質有關，還和兩個回路之間的相對位置

50、有關。幾何尺寸和周圍媒質有關，還和兩個回路之間的相對位置有關。 在線性媒質中，回路在線性媒質中，回路1 1的電流的電流 產生與回路產生與回路2 2相交鏈的磁鏈相交鏈的磁鏈 與與 成正比。成正比。1I211I同理，回路同理，回路2 2對回路對回路1 1的互感可表示為的互感可表示為21212IM2112MM可以證明可以證明計算互感的一般步驟：計算互感的一般步驟：設ALdlA圖3.7.5 電流I1 產生與回路2交鏈的磁鏈12212111IMdISSBBH例例 3.7.33.7.3 試求圖示兩對傳輸線的互感。試求圖示兩對傳輸線的互感。解：根據互感定義，只需假設一對傳輸線的電解：根據互感定義，只需假設一

51、對傳輸線的電流方向；另一對傳輸線的回路方向。流方向；另一對傳輸線的回路方向。導線導線 B 的作用的作用BDBC2lI0mBmBln由于這兩個部分磁通方向相同(H)(H)導線導線 A的作用的作用ACADln2Ild0SmAmASB2IB0圖3.7.6 兩對傳輸線的互感 若回路方向相反，互感會改變嗎？若回路方向相反，互感會改變嗎？ 它反映了什么物理意義？它反映了什么物理意義？BDACBCADlIMmln20BDACBCADl ImBmAmln203.7.3 3.7.3 聶以曼公式聶以曼公式應用磁矢位應用磁矢位 A 計算互感與自感的一般公式。計算互感與自感的一般公式。1. 1. 求兩導線回路的互感求

52、兩導線回路的互感 將式（將式（1 1）代入式（）代入式（2 2）得）得21ll211021dRdI4ll則兩細導線回路間的互感則兩細導線回路間的互感 21l12l21o12121MRdd4IMll若回路若回路1 1、2 2分別由分別由 N1、N2 細線密繞，互感為細線密繞，互感為 21ll21o211221Rdd4NNMMll設回路設回路 1 1 通以電流通以電流 I I1 1，則空間任意點的磁矢位為，則空間任意點的磁矢位為1l110RdI4lA)1(穿過回路穿過回路2 2 的磁通為的磁通為2l21d2lA)2(圖3.7.9 兩個細導線電流回路2. 2. 用聶以曼公式計算回路的外自感用聶以曼公

53、式計算回路的外自感外自感外自感 21ll21o00Rdd4ILll設導體的半徑設導體的半徑 R 遠小于導線回路的曲率半徑，且認為電流均勻分布，則遠小于導線回路的曲率半徑，且認為電流均勻分布，則內自感內自感80lLi總自感總自感 2l1l021oi08lRdd4LLLll1l110RdlI4A電流電流 I 在在 上產生的磁矢位為上產生的磁矢位為2l 212ll21ol20Rdd4IdlllA與與 交鏈的磁通為交鏈的磁通為2l設回路中有電流設回路中有電流 I ，總磁通總磁通 = = 外磁通外磁通+ +內磁通內磁通；計算外磁通時，可以認為電流是；計算外磁通時，可以認為電流是集中在導線的軸線集中在導線

54、的軸線 上，而磁通則是穿過外表面輪廓上，而磁通則是穿過外表面輪廓 所限定的面積。所限定的面積。 1l2l圖3.7.11 單回路的自感2)2)鐵板放在兩線圈的下方鐵板放在兩線圈的下方, , 互感是增加了互感是增加了, ,還是減少了？為什么還是減少了？為什么? ?如何計算？如何計算？ 圖3.7.7 一塊無限大鐵板 置于兩對線圈的下方)(3 3）鐵板插入兩線圈之間后，互感是增加還是減少？為什么？自感是否增加？）鐵板插入兩線圈之間后，互感是增加還是減少？為什么？自感是否增加？圖3.7.8 一塊無限大鐵板 置于兩線圈之間 )(圖 3.7.9 無感線圈 3.8 3.8 磁場能量與力磁場能量與力 磁場作為一

55、種特殊的物質，和電場一樣具有能量磁場作為一種特殊的物質，和電場一樣具有能量。有專家預測，。有專家預測，21世紀將世紀將是以磁力（磁能）作為能源代表的時代。是以磁力（磁能）作為能源代表的時代。 高溫超導體磁場特性的發現與利用，使夢想中之能源高溫超導體磁場特性的發現與利用，使夢想中之能源受控熱聚變受控熱聚變, , 磁磁流體發電，太陽能衛星電站，逐步成為現實，利用磁能作為驅動力的超導體磁流體發電，太陽能衛星電站，逐步成為現實，利用磁能作為驅動力的超導體磁懸浮列車和超導磁動力船己向我們馳來。懸浮列車和超導磁動力船己向我們馳來。3.8.1 3.8.1 恒定磁場中的能量恒定磁場中的能量 媒質為線性媒質為線

56、性； 磁場建立無限緩慢（不考慮渦流及輻射磁場建立無限緩慢（不考慮渦流及輻射）；）； 系統能量僅與系統的最終狀態有關，與能量的建立過程無關。系統能量僅與系統的最終狀態有關，與能量的建立過程無關。假設：假設：磁場能量的推導過程磁場能量的推導過程21kkk22112221121122221211mI21I21I21I )ILMI(21I )MIIL(21IL21IMIIL21W 推廣推廣n1kkkn1in1jjiijn1k2kkmI21IIM21IL21W) ji ( 自有能自有能互有能互有能 是回路是回路k 獨存在時的能量，稱為自有能量。獨存在時的能量，稱為自有能量。自有能量始終大于零自有能量始終

57、大于零。2kkIL213.8.2 3.8.2 磁場能量的分布及磁能密度磁場能量的分布及磁能密度 磁場能量是在建立回路電流的過程中形成的，分布于磁場所在的整磁場能量是在建立回路電流的過程中形成的，分布于磁場所在的整個空間中。個空間中。 與兩回路的電流及互感系數有關，稱為互有能。當兩個載流與兩回路的電流及互感系數有關，稱為互有能。當兩個載流線圈產生的磁通是相互增加的，互有能為正；反之為負。線圈產生的磁通是相互增加的，互有能為正；反之為負。jiijIIM 對于單一回路對于單一回路2m2mIW2LLI21W22rdSr1Ar1H,時，第一項為時，第一項為 0 0r上式表明磁能是以磁能密度的形式儲存在整

58、個場域中。上式表明磁能是以磁能密度的形式儲存在整個場域中。dVwdV21WvmVmBH單位：單位：J J（焦耳）（焦耳）磁能密度22mB21H2121wBH單位：3mJ式中式中 為導電媒質體積元所占體積，為導電媒質體積元所占體積， 為導電媒質的總體積。為導電媒質的總體積。kVV由矢量恒等式由矢量恒等式AHHAAH)(得dV21dV21WVVmBHAH)(0sVdV21d)(21BHSAH散度定理 考慮到考慮到磁通可以用磁矢位磁通可以用磁矢位 A 表示表示，則磁能，則磁能 Wm 可表示為可表示為lA dI21I21Wn1klkkn1kkmkdV21dV21Vn1kkVkJAJA n利用利用 的關

59、系，的關系，dV21WvmHAJH 例例 3.8.13.8.1 長度為長度為 l , ,內外導體半徑分別為內外導體半徑分別為 R1 與與 R2 的同軸電纜，通有電的同軸電纜，通有電流流 I ，試求電纜儲存的磁場能量與自感。，試求電纜儲存的磁場能量與自感。解：解：由安培環路定律由安培環路定律，得，得221121R0RR2IR0R2I2IeeeH磁能為磁能為121R0RR22210d2l)2I(d2l)R2I(21220RRln414lI自感自感1202mRRln412lIW2LV20VmdVH21dV21WBH圖3.8.2 同軸電纜截面3.8.3 磁場力磁場力磁場力應用磁場力應用: : 磁浮列車

60、的原理磁浮列車的原理-1-1(一)電流的磁效應電流的磁效應 在螺旋形的導線上通電，就會在螺旋形導線的中間產生感應在螺旋形的導線上通電，就會在螺旋形導線的中間產生感應磁場，而此感應磁場的大小和導線圈數及電流成正比，當電磁場，而此感應磁場的大小和導線圈數及電流成正比，當電流斷路時感應磁場也會同時消失。磁場方向可由安培右手定流斷路時感應磁場也會同時消失。磁場方向可由安培右手定則決定：右手四指的方向依照導線電流方向握起，則姆指方則決定：右手四指的方向依照導線電流方向握起，則姆指方向則為感應磁場的向則為感應磁場的N N極。極。 磁浮列車的原理磁浮列車的原理-2-2(二二) 磁浮列車浮起的原理磁浮列車浮起