1、本講我們主要分享“三類角平分線模型”的相關知識，主要包括：三角形的兩個內角的角平分線相交；三角形的兩個外角的角平分線相交;三角形一個內角及一個外角的角平分線相交；而這些三角形的角平分線的經典考察題型，必須讓學生掌握這些證明過程，同時至于其他未涉及內容我們將會在后續更新出來，也請大家持續關注針對于文章中有什么問題也希望大家可以留言、評論指教交流類型一在扁M中如圖.EF.CP為AABC和厶6的角平分銭，上F與上4為E1/尸=90+厶4推理方法：如圖戈可得ZJ+2(x-by)=180ssZP+(x+y>180化閒可得7類型二如圖，BP、CP為乙眈和ZJUE的危平分線，求NF與厶4之間的關系為Z

2、P=-ZA.ATCE推理方法：如圖,可得2y=2x十Z4,yx+ZP?化簡可得ZP二?厶.類型三如圖，BP、CP為ZCBD和厶肚£的角平分線，則與厶之閭的關系為ZP=90：-ZJ2推理方法：如圖，2v+2=180=+Z,x+j7+ZP=18O化簡可得ZP=9QC-AA.那么針對于以上的三類關于三角形的角平分線的相關模型結論我們又如何快速記憶呢？這個時候我們可以觀察一下：類型一：三角形內角的角平分線；類型二：三角形外角的角平分線；類型三：三角形一內一外的角平分線；緊接著我們聯系三種模型的相關結論可以看出，不管是內外角的角平分線相交所形成的角（ZP），它的角度結論有一個一半的ZA,所以我

3、們可以采用（內加外減,不內不外，不加不減）口訣的進行快速記憶.口訣含義:內加：如果是三角形的兩個內角的角平分線相交所形成的的角度就是“90°+”一半的ZA；外減：如果是三角形的兩個外角的角平分線相交所形成的的角度就是“90°-一半的ZA；不內不外，不加不減：如果既不全是內角，也不全是外角，而是一個內角一個外角的角平分線相交，則既不“+”也不“-”90°,直接等于一半的ZA.1內角平分線模型如圖，aABC中，點P是ZABC與ZACB平分線的交點，猜想ZP與ZA有怎樣的大小關系？解:.'.ZPBC=-ZA8CA兩律式：(1)ZP-90*+-ZA2(2)ZA=2

4、ZP-18fl"同理可得：Zpcb-Zacb/.ZPBC+ZPCB-(ZABC4-ZACB)2/ZA0C+ZACB=13Os，*ZA.iac"-Zf-Ciao*-Za)2【公式應用】1如圖，在ABC中，點O是ZABC與ZACB的角平分線的交點，若ZBAC=80°,則ZBOC=若ZBOC=110°，則ZA=2如圖，在ABC中，ZA=20°，ZABC與ZACB的角平分線交于D1，ZD1BC與ZD1CB的角平分線交于點D2,以此類推ZD2BC與ZD2CB的角平分線交于點D3,則ZBD3C的度數是.A2外角平分線模型如圖，ABC中，若點P是ZCBD與Z

5、BCE平分線的交點，ZP與ZA又有怎樣的大小關系？S：7ZDfiOZA+ZACBCDBC-£氏zlACB個扌、-2同理可'得：丄ZBCE=：-4+丄ZA9C。°曲-ZA*丫的平ZDBC厶亠8-20；.ZP&C=-ZDBCr片2同理可得；zec-Z6<£.'.ZPBC+ZBCPs-ZA+2厶A匚旦*KA厶*-2；AB<T2214十-iS>-*EnZPBC+ZBCPZA-(ZACEk/ABC)iJi_Zpbc+Zbcp=ib&5-ZpjZa.cb+Za0-c=ibo*-Za/.iso4"-Zp=Za+-1呂。

6、'1Za)2化簡得；ZP-W°丄m2【公式應用】1如圖，在ABC中，ZABC,ZACB的平分線交于點O,D是ZACB外角與內角ZABC平分線交點，E是ZABC,ZACB外角平分線交點，若ZBOC=120°則ZD=度.3內角外角平分線模型如圖，ABC中，若點P是ZABC與ZACF平分線的交點，ZP與ZA又有怎樣的大小關系？CB解；TPB平分ZABC.F.ZPBC=-ZABC兩桂式UZP=7ZAJ-<2)ZA=2ZP同瑕可得=,/P<F=-ACF.'Zcf=Za+ZabcZACFiZA+-ZaBC222即PCF=-Za+Zpec2又*z：PCF=z：

7、p+ZPec-ZP=-ZA【公式應用】1如圖，BA1和CA1分別是ABC的內角平分線和外角平分線，BA2是ZA1BD的角平分線，CA2是ZA1CD的角平分線，BA3是ZA2BD的角平分線，CA3是ZA2CD的角平分線，若ZAl=a，則ZA2013為度.2.AABC中，點0是ZABC和ZACB的平分線的交點.CM丄OC，交BO延長線于點M.若ZA=70°，則ZM=度.3認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.（1）探究1：如圖1,在ABC中，0是ZABC與ZACB的平分線BO和CO的交點，試分析ZBOC與ZA有怎樣的關系？請說明理由.（2）探究2：如圖2中

8、，O是ZABC與外角ZACD的平分線BO和CO的交點，試分析ZBOC與ZA有怎樣的關系？請說明理由.（3）探究3：如圖3中，O是外角ZDBC與外角ZECB的平分線BO和CO的交點，則ZBOC與ZA有怎樣的關系？（直接寫出結論）（4）拓展：如圖4,在四邊形ABCD中，O是ZABC與ZDCB的平分線BO和CO的交點，則ZBOC與ZA+ZD有怎樣的關系？（直接寫出結論）.（5）運用：如圖5,五邊形ABCDE中，ZBCD、ZEDC的外角分別是ZFCD、ZGDC,CP、DP分別平分ZFCD和ZGDC且相交于點P,若Z圖1圉2圖m蛋4圉5這是角平分線的三個公式，記之前可以自己試著推導一遍，這樣更容易記牢。

9、ZD=90°+1/2ZA結論：ZD=90°+1/2ZA我們在這里呢給出兩種證明方法證明一解：TBD、CD為角平分線ZCBD=1/2ZABC,ZBCD=1/2ZACB。在BCD中：ZD=180°-(ZCBD+ZBCD)=180。一1/2(ZABC+ZACB)=180。一1/2(180°-ZA)=180°-1/2x180°+1/2ZA=90°+1/2ZA證明二A解：連接AD并延長交BC于點EBD、CD為角平分線AZCBD=1/2ZABC,ZBCD=1/2ZACBOVZBDE是ABD的外角AZBDE=ZBAD+ZABD=ZBAD+1/2ZABC同理可得ZCDE=ZCAD+1/2ZACB又VZBDC=ZBDE+ZCDEAZBDC=ZBAD+1/2ZABC+ZCAD+1/2ZACB=ZBAC+1/2(ZABC+ZACB)=ZBAC+1/2(180°-ZBAC)=90°+1/2ZBAC例題應用如斷BO*CO分別平分ZABCfilZACB,(1)求ZBOC的度數：<2)jiZA=60'!ZfiOC=;ZA=100t+ZBO匚二;口)山<1X(2)的結果，WW-tZBOCrjZAZM的數處關系C4)利川你