1、1、教學目標掌握如下兩個關系：環(huán)形跑道問題教師寄語：拼一個春夏秋冬，換一生無怨無悔。23（ 1 ）環(huán)形跑道問題同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次（ 2）環(huán)形跑道問題同一地點出發(fā)，如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次2、遇見多人多次相遇、追及能夠借助線段圖進行分析3、用比例解、數論等知識解環(huán)形跑道問題知識精講本講中的行程問題是特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關鍵是看我們是否能夠準確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。一、在做出線段圖后，反復的在每一段路程上利用：路程和=相遇時間×速度和

2、路程差=追及時間×速度差二、解環(huán)形跑道問題的一般方法：環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次這個等量關系往往成為我們解決問題的關鍵。環(huán)線型同一出發(fā)點直徑兩端同向：路程差nSnS+0.5 S相對 （ 反向 ） ：路程和nSnS-0.5 S模塊一、常規(guī)的環(huán)形跑道問題1】一個圓形操場跑道的周長是500 米，兩個學生同時同地背向而行黃鶯每分鐘走66 米，麻雀每分鐘走59 米經過幾分鐘才能相遇?周老師和王老師沿著學校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走55 米，周老師每分鐘走65 米。已知林蔭道周長是480 米，他們從同一地點同時背

3、向而行。在他們第10 次相遇后，王老師再走米就回到出發(fā)點。2】上海小學有一長300 米長的環(huán)形跑道，小亞和小胖同時從起跑線起跑，小亞每秒鐘跑 6 米，小胖每秒鐘跑4米， (1)小亞第一次追上小胖時兩人各跑了多少米？(2) 小亞第二次追上小胖兩人各跑了多少圈？小張和小王各以一定速度，在周長為500 米的環(huán)形跑道上跑步小王的速度是200 米 /分小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，1 分鐘后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米 / 分？小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？一條環(huán)形跑道長400 米，甲騎自行車每分鐘騎450 米，乙跑步每分鐘250 米，兩人同

4、時從同地同向出發(fā)，經過多少分鐘兩人相遇？210 米，一圈跑道小新和正南在操場上比賽跑步，小新每分鐘跑250 米，正南每分鐘跑長 800 米，他們同時從起跑點出發(fā)，那么小新第三次超過正南需要多少分鐘？幸福村小學有一條200 米長的環(huán)形跑道，冬冬和晶晶同時從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6 米，晶晶每秒鐘跑4 米，問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米，第2 次追上晶晶時兩人各跑了多少圈？小明和小剛清晨來到學校操場練習跑步，學校操場是400 米的環(huán)形跑道，小剛對小明說： “咱們比比看誰跑的快”，于是兩人同時同向起跑，結果10 分鐘后小明第一次從背后追上小剛，同學們一定知道誰跑得快了，小明的速度是每分鐘跑

5、140 米， 那么如果小明第3次從背后追上小剛時，小剛一共跑了米如圖 1，有一條長方形跑道，甲從A點出發(fā)，乙從C點同時出發(fā)，都按順時針方向奔跑，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑4.5 米。當甲第一次追上乙時，甲跑了圈。3】兩名運動員在湖的周圍環(huán)形道上練習長跑甲每分鐘跑250 米，乙每分鐘跑200米，兩人同時同地同向出發(fā)，經過45 分鐘甲追上乙；如果兩人同時同地反向出發(fā)，經過多少分鐘兩人相遇？，兩人從同一地點出發(fā)，小明每秒跑3 米，小雅每秒跑4 米，反兩人在環(huán)形跑道上跑步向而行，45 秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇一條環(huán)形跑道長400 米，小青每分鐘跑260 米，小蘭每分鐘跑210 米

6、，兩人同時出發(fā)，經過多少分鐘兩人相遇甲、乙兩人從400 米的環(huán)形跑道上一點A 背向同時出發(fā)，8 分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1 米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是多少米 ?4】在 300 米的環(huán)形跑道上，田奇和王強同學同時同地起跑，如果同向而跑 秒相遇，如果背向而跑則半分鐘相遇，求兩人的速度各是多少？2 分 30在 400 米的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人同時同地起跑，如果同向而行3 分 20 秒相遇，如果背向而行40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？5】周老師和王老師沿著學校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走55 米，周老師每分鐘走 65 米。已知

7、林蔭道周長是480 米，他們從同一地點同時背向而行。在他們第10 次相遇后，王老師再走米就回到出發(fā)點。在周長為200 米的圓形跑道條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以6 米 /秒， 5 米 /秒的騎車速度同時同向出發(fā)，沿跑道行駛。問：16 分鐘內，甲追上乙多少次?在環(huán)形跑道上，兩人在一處背靠背站好，然后開始跑，每隔4 分鐘相遇一次；如果兩人從同處同向同時跑，每隔20 分鐘相遇一次，已知環(huán)形跑道的長度是1600 米，那么兩人的速度分別是多少？6】甲、 乙二人在操場的400 米跑道上練習競走，兩人同時出發(fā)，出發(fā)時甲在乙后面，出發(fā)后 6 分甲第一次超過乙，22 分時甲第二次超過乙。假設兩人的速度保持不變，

8、問：出發(fā)時甲在乙后面多少米？7】在 400 米的環(huán)行跑道上，A， B 兩點相距100 米。甲、乙兩人分別從A， B 兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲甲每秒跑5 米，乙每秒跑4 米，每人每跑100 米，都要停 10 秒鐘。那么甲追上乙需要時間是多少秒？8】在環(huán)形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每12 分鐘相遇一次，如果兩人速度不變， 其中一人改成按逆時針方向跑，每隔 4 分鐘相遇一次，問兩人跑一圈各需要幾分鐘？9】有甲、乙、丙3 人 , 甲每分鐘行走120 米 , 乙每分鐘行走100 米 , 丙每分鐘行走70米 . 如果 3 個人同時同向, 從同地出發(fā), 沿周長是300 米的圓形跑道行走, 那

9、么多少分鐘之后 ,3 人又可以相聚在跑道上同一處10甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點同時出發(fā)，背向而行. 現在已知甲走一圈的時間是70 分鐘，如果在出發(fā)后45 分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時間是多少分鐘 ?11林琳在450 米長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知她前一半時間每秒跑5 米，后一半時間每秒跑4 米，那么她的后一半路程跑了多少秒？某人在 360 米的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5 米，后一半時間每秒跑 4 米，則他后一半路程跑了多少秒？12甲、 乙、 丙在湖邊散步，三人同時從同一點出發(fā)，繞湖行走，甲速度是每小時5.4千米， 乙速度是每小時4.2 千米，她們二人同方向行

10、走，丙與她們反方向行走，半個小時后甲和丙相遇，在過5 分鐘，乙與丙相遇。那么繞湖一周的行程是多少？13甲和乙兩人分別從圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運動，當乙走了100 米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60 米處又第二次相遇。求此圓形場地的周長？如圖，A、 B 是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B 點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C離 A點 80米；在D點第二次相遇，D點離B點 6O米 . 求這個圓的周長如圖，有一個圓，兩只小蟲分別從直徑的兩端A與 C 同時出發(fā)，繞圓周相向而行它們第一次相遇在離A點8 厘米處的B 點，第二次相遇在離C 點處 6 厘

11、米的 D 點，問，這個圓周的長是多少?AA、 B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇，在 D點第二次相遇已知C離 A有 75 米，D離 B有 55 米，求這個圓的周長是多少米？14】兩輛電動小汽車在周長為360 米的圓形道上不斷行駛，甲車每分行駛20 米甲、乙兩車同時分別從相距90 米的A， B 兩點相背而行，相遇后乙車立即返回，甲車不改變方向，當乙車到達B 點時，甲車過B 點后恰好又回到A點此時甲車立即返回（乙車過B 點繼續(xù)行駛），再過多少分與乙車相遇？周長為 400 米的圓形跑道上，有相距100 米的A， B 兩點甲、乙兩人分別從A， B 兩點同時相背

12、而跑，兩人相遇后，乙即轉身與甲同向而跑，當甲跑到A時，乙恰好跑到B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么甲追上乙時，甲從出發(fā)開始，共跑了多少米?在一圓形跑道上，甲從 A 點、 乙從 B 點同時出發(fā)反向而行，6 分后兩人相遇，再過 4 分甲到達 B 點，又過8 分兩人再次相遇. 甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？15】如下圖所示的三條圓形跑道，每條跑道的長都是0.5 千米，A、 B、 C三位運動員同時從交點O出發(fā)，分別沿三條跑道跑步，他們的速度分別是每小時4 千米，每小時8 千米，每小時6 千米。問：從出發(fā)到三人第一次相遇，他們共跑了多少千米？16】甲、 乙兩車同時從同一點A出發(fā)，沿周長 6 千米的

13、圓形跑道以相反的方向行駛甲車每小時行駛65 千米，乙車每小時行駛55 千米一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調頭；一旦甲車從后面追上一車，則甲車立刻調頭，那么兩車出發(fā)后第11 次相遇的地點距離有多少米？二人沿一周長400 米的環(huán)形跑道均速前進，甲行一圈4 分鐘，乙行一圈7 分鐘，他們同17時同地同向出發(fā)，甲走10 圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時二人都要擊掌。問第十五次擊掌時，甲走多長時間乙走多少路程？下如右圖所示，某單位沿著圍墻外面的小路形成一個邊長乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發(fā)如果甲每分走那么經過多少時間甲才能看到乙？300 米的正方形甲、90 米，乙每分走70 米，如圖，一

14、個長方形的房屋長13 米，寬 8 米甲、乙兩人分別從房屋的兩個墻角出發(fā)，甲每秒鐘行3 米，乙每秒鐘行2 米 . 問 : 經過多長時間甲第一次看見乙?18下圖是一個邊長90 米的正方形，甲、乙兩人同時從A 點出發(fā)，甲逆時針每分行75 米，乙順時針每分行45 米兩人第一次在CD邊（不包括C， D兩點）上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？19如圖， 8 時 10 分 , 有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距60 米的A， B 兩地順時針方向沿長方形ABCD的邊走向D點 . 甲 8 時 20 分到D點后, 丙、 丁兩人立即以相同速度從D點出發(fā) . 丙由 D向 A走去,8 時 24 分與乙在E點相遇；丁由D向

15、 C走去， 8 時 30分在F點被乙追上 . 問三角形BEF的面積為多少平方米?20甲、乙兩人從周長為1600 米的正方形水池ABCD相對的兩個頂點A， C同時出發(fā)繞池邊沿ABCDA的方向行走。甲每分行50 米，乙每分行46 米，甲、乙第一次在同一邊上行走，是發(fā)生在出發(fā)后的第多少分？第一次在同一邊上行走了多少分？21如圖， 長方形ABCD中 AB BC=5 4。 位于A點的第一只螞蟻按A BCDA的方向，位于C點的第二只螞蟻按C B A D C的方向同時出發(fā)，分別沿著長方形的邊爬行。如果兩只螞蟻第一次在B 點相遇，則兩只螞蟻第二次相遇在( ) 邊上。(A) AB ( B) BC ( C) CD

16、22在一個周長90 厘米的圓上，有三個點將圓周三等分。A， B， C三個爬蟲分別在這三點上，它們每秒依次爬行10 厘米、 5 厘米、 3 厘米。如果它們同時出發(fā)按順時針方向沿圓周爬行，那么它們第一次到達同一位置需多長時間？模塊二、環(huán)形跑道變道問題23】如圖2，一個邊長為50 米的正方形圍墻，甲、乙兩人分別從A、 C兩點同時出發(fā)，沿鬧墻按順時針方向運動，已知甲每秒走5 米，乙每秒走3 米，則至少經過秒甲、乙走到正方形的同一條邊上。24】如圖是一個跑道的示意圖，沿ACBEA走一圈是400米，沿 ACBDA走一圈是275米，其中A到 B 的直線距離是75米甲、乙二人同時從A點出發(fā)練習長跑，甲沿ACB

17、DA的小圈跑，每100米用24秒，乙沿ACBEA的大圈跑，每100米用 21 秒，問：乙跑第幾圈時第一次與甲相遇？發(fā)多長時間甲、乙再次在A相遇？25】如圖所示，大圈是400 米跑道，由A到 B 的跑道長是200 米，直線距離是50 米。父子倆同時從A 點出發(fā)逆時針方向沿跑道進行長跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到B 點便沿直線跑。父親每100 米用 20 秒，兒子每100 米用 19 秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時，第一次與父親相遇？26如圖 , 學校操場的400 米跑道中套著300 米小跑道, 大跑道與小跑道有200 米路程相重甲以每秒6 米的速度沿大跑道逆時針方向跑, 乙以每秒4

18、 米的速度沿小跑道順時針方向跑 , 兩人同時從兩跑道的交點A處出發(fā) , 當他們第二次在跑道上相遇時, 甲共跑了多少米?乙27有一種機器人玩具裝置，配備長、短不同的兩條跑道，其中長跑道長400 厘米，短跑道長300 厘米，且有200 厘米的公用跑道（如下圖 ） 。機器人甲按逆時針方向以每秒6厘米的速度在長跑道上跑動，機器人乙按順時針方向以每秒4 厘米的速度在短跑道上跑動。如果甲、乙兩個機器人同時從A點出發(fā)，那么當兩個機器人在跑道上第3 次迎面相遇時，機器人甲距離出發(fā)點A點多少厘米?A20020028下圖是一個玩具火車軌道，A 點有個變軌開關，可以連接B 或者C. 小圈軌道的周長是 1.5 米，大

19、圈軌道的周長是3 米 . 開始時，A 連接C，火車從A 點出發(fā)，按照順時針方向在軌道上移動，同時變軌開關每隔1 分鐘變換一次軌道連接. 若火車的速度是每分鐘 10 米，則火車第10 次回到 A 點時用了秒鐘 .29】下圖中有兩個圓只有一個公共點A，大圓直徑48 厘米，小圓直徑30 厘米。兩只甲蟲同時從A 點出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行。問：當小圓上甲蟲爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠？30】三個環(huán)行跑道如圖排列，每個環(huán)行跑道周長為210 厘米；甲、乙兩只爬蟲分別從A、B 兩地按箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、 2 號環(huán)行跑道作“8”字形循環(huán)運動，乙爬蟲繞3、 2 號環(huán)行跑道作

20、“8”字形循環(huán)運動，已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別為每分鐘20厘米和每分鐘l5 厘米，甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了多少厘米?B一個圓周長90 厘米， 3 個點把這個圓周分成三等分，3 只爬蟲A， B ， C 分別在這3 個點上它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行A的速度是10 厘米 /秒， B的速度是5 厘米 / 秒， C 的速度是3 厘米 / 秒， 3 只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置？31如圖所示，甲沿長為400 米大圓的跑道順時針跑步，乙則沿兩個小圓八字形跑步（ 圖中給出跑動路線的次序：1 2 3 4 1） 。如果甲、乙兩人同時從A點出發(fā)，且甲、乙二人的速度分別是每秒3 米

21、和 5 米，問兩人第三次相遇的時間是出發(fā)后秒。32如圖，兩個圓環(huán)形跑道，大圓環(huán)的周長為600 米，小圓環(huán)的周長為400 米。甲的速度為每秒6 米，乙的速度為每秒4 米。甲、乙二人同時由A點起跑，方向如圖所示，甲沿大圓環(huán)跑一圈，就跑上小圓環(huán)，方向不變，沿小圓環(huán)跑一圈，又跑上大圓環(huán)，方向也不變；而乙只沿小圓環(huán)跑。問：甲、乙可能相遇的位置距離A點的路程是多少？（ 路程按甲跑的計算 ）模塊三、環(huán)形跑道變速問題33甲、乙兩人沿400 米環(huán)形跑道練習跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去。相遇后甲比原來速度增加2 米秒，乙比原來速度減少2 米秒，結果都用24秒同時回到原地。求甲原來的速度。34環(huán)形跑道周長是500 米， 甲、 乙兩人從起點按順時針方向同時出發(fā)。甲每分跑120米，乙每分跑100 米，兩人都是每跑200 米停下休息1 分。甲第一次追上乙需多少分？35甲、乙兩人同時同地同向出發(fā)，沿環(huán)形跑道勻速跑步如果出發(fā)時乙的速度是甲的 2.5倍，當乙第一次追上甲時，甲的速度立即提高25% ，而乙的速度立即減少20% ，并