1、12.3.12.3.1平面向量的基平面向量的基本定理本定理21e2e OCABMN OCOMON 如圖111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe a12e ea 思考：一個平面內的兩個不共線的向量 、 與該平面 內的任一向量 之間的關系.31e2e OCABMNa OCOMON 如圖111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe 41122 +aee 1122 +aee 這就是說平面內任一向量 都可以表示成的形式5平面向量基本定理：12121 122 +e eaaee 如果 、是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向

2、量 ，有且只有一對實數 、，使12e e 這里不共線的向量 、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.6 不共線向量有不同的方向,它們的位置關系可用夾角來表示,關于向量的夾角,我們規定:7向量的夾角：向量的夾角：已知兩個非零向量已知兩個非零向量 和和 ，作，作 ， ，abOAa OBb 則則AOB= AOB= (0(0180)180)叫做向量叫做向量 與與 的夾角的夾角. .ababOabAB當當= 0時，時， 與與 同向；同向；ab當當= 180時，時， 與與 反向；反向；ab當當= 90時，時， 與與 垂直，記作垂直，記作 。ababababab共起點81212,3 .e eee 例1：已知

3、向量（如圖），求作向量-2.5作法:1e2eOA2.OACB作 BC1e-2.51.O如圖，任取一點23e 1,2.5OAe 作OC則， 就是所求的向量2, 3 .OBe 112212121122112212121122121200AaaeeBeeCaaeeDeee e .對平面中的任一向量 ，使 的實數、有無數對 .對實數、，不一定在平面內 .空間任一向量 可以表示為， 這里、是實數 .若實數、使則如果 、 是平面內所有向量的一組基底，那么（ ）,D練習:102.3.2 平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐標表示及坐標表示11 把一個向量分解為兩個互相垂直的向把一個向量分解為兩個互相垂直

4、的向量，叫作把向量正交分解量，叫作把向量正交分解ABCDoxyij思考：思考：如圖如圖，在直角坐標系中在直角坐標系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).設設 ，填空：，填空：,OAi OBj （1）| |_,|_,|_;ijOC（2）若用）若用 來表示來表示 ，則：，則：, i j ,OC OD _,_.OCOD34ij 57ij 1153547（3）向量）向量 能否由能否由 表示出來？可以的話表示出來？可以的話，如何表示？如何表示？CD , i j 23CDij ABCDoxyija平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示如圖，如圖， 是分別與是分別與x軸、軸、y軸

5、方向相同軸方向相同的單位向量，若以的單位向量，若以 為基底，則為基底，則, i j , i j +aaijxyxy 對于該平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 、 ，可使 這里，我們把（這里，我們把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐標，記作的（直角）坐標，記作a( , )ax y其中其中，x x叫做叫做 在在x x軸上的坐標軸上的坐標，y y叫做叫做 在在y y軸上的坐標，軸上的坐標，式叫做式叫做向量的坐標表示。向量的坐標表示。aa那么那么i =（ ， ） j =( ， )0 =（ ， ） 1 00 10 014OxyijaA(x, y)a1以原點以原點O為起點作為起點作 ，點，點A的

6、位置由誰確定的位置由誰確定?aOA 由由a 唯一確定唯一確定2點點A的坐標與向量的坐標與向量a 的坐標的關系？的坐標的關系？兩者相同兩者相同向量向量a坐標（坐標（x ，y）一一 一一 對對 應應概念理解概念理解3兩個向量相等的等價條件，利用坐標如何表示？兩個向量相等的等價條件，利用坐標如何表示？2121yyxxba 且且15 4.符號(x,y)在直角坐標系中有雙重意義，它既可以表示一點又可以表示一個向量，為加以區分，在敘述中常說點(x,y) 或向量(x,y).16OxyAijaxy +axiy j +OAxiy j (1)若向量 +OAxiy j 經過原點,則向量OA的坐標(x,y)就是終點的坐標（）假若向量不經過原點,如左圖，（x1,y1）(x2,y2),(1212yyxxa結論：結論：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標17例例2.如圖，分別用基底如圖，分別用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出，并求出 它們的坐標。它們的坐標。ijabcd AA1A2解：如圖可知解：如圖可知1223aAAAAij (2,3)a同理同理23( 2,3);23( 2, 3);23(2, 3).bijcijdij 181.平面向量基本定理：12121 122 +e eaaee 如果 、是同一平面內的兩個線的向