1、11.6 拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換及其收斂域1定義：正變換：逆變換：其中： ，稱為復頻率； 為象函數， 為原函數為什么會出現 ？ 考慮到在實際問題中遇到的總是因果信號，這樣正變換表示式中積分下限可以從 開始： 0( )( )( )stF sf t edtf tL)(sF)(tf11( )( )( )2jstjf tF s e dsF sj Ljs00( )( )j tFf t edt ( )( )j tFf t edt 1( )( )2j tf tFedLT()LT2但是 仍包含有 與 兩部分分量，因此逆變換式的積分下限不改變。從狄利赫利條件考慮：絕對可積的條件限制了某些增長信號如（ ）傅

2、里葉變換的存在，而對于階躍信號、周期信號雖未受此約束，但變換式中出現沖激函數 引入一個衰減因子 （ 為任意實數）使它與 相乘，于是 得以收斂：令 ，則得拉普拉斯變換 )(F1( )( )2j tf tFedte0)(1( )( )u tj Fte)(tf( )tef t()100( )( )( )tj tjtFf t eedtf t edt js0( )( )stF sf t edt3下面再求由 得到 的一般表達式：兩邊同乘 得： ，若 是選定的常量，則 ，代入上式，并相應地改變積分上下限，則 2收斂域 從上面討論可知，當函數 乘以衰減因子 以后，就有可能滿足絕對可積的條件。然而是否滿足還要看

3、 的性質與 值的相對關系。例如， 為使其收斂，衰減因子 中的 必須滿足 ,否則, 在 時，仍不能收斂。 下面分析一下一般規律。 )(sF)(tf11( )( )2tj tf t eFedte()11( )( )2jtf tFed jsjddds jdds1( )( )2jstjf tF s e dsj )(tfte)(tf( )tf tetetteet 4函數 乘以因子 后如 則可以進行拉普拉斯變換。 與函數 的性質有關，它指出了收斂條件。根據 ，可將S平面劃分為兩個區域：通過 的直線是收斂區的邊界，稱為收斂軸， 在S平面內稱為收斂坐標。（a）有界的非周期信號的拉普拉斯變換一定存在。（b）對任

4、何周期信號只要稍加衰減就可收斂。 )(tfte0lim( )0,ttf t e0)(tf0005（c）與 成比例增長的函數，收斂坐標落于原點。 , （ ）（d）如果函數按指數規律 增長，只有 時才收斂。 , （ ）（e）如果一些函數比指數函數增長的更快的話，則不能進行拉普拉斯變換。如 。 以上介紹了單邊拉普拉斯變換的收斂條件。由于單邊拉普拉斯變換的收斂問題比較簡單，一般情況下，求函數單邊拉普拉斯變換時不再加注其收斂范圍。 ntlim0nttt e0telim0tttee2te6二、一些常用函數的拉普拉斯變換1階躍函數2指數函數 3（ 是正整數）4沖激函數注意：我們所考慮的拉普拉斯變換是從零開始

5、積分的，因此， 區間的函數值與變換結果無關。例如：經變換得：那么拉普拉斯逆變換為： 01( )stu tedtsL01,ttsteeedts Lntn10!nnstnntt edts L0t( )tf te1( )f tsL 11( )teu tsL7從第二個圖中可看出，函數在 時產生跳變。我們用 、 分別表示 從左邊、右邊趨近于 時所得 值。 0t)0(f)0(ft0)0(f8所以對第二個圖而言， ， 。為便于研究在 點發生跳變現象，我們規定：單邊拉普拉斯變換定義式積分下限從 開始。這樣定義的好處是把 處沖激函數的作用考慮在變換中。 起始狀態：在激勵接入之前的瞬時（ ）系統的狀態。它總結了為

6、了計算未來響應所需要的過去的全部“信息”。 初始狀態：在激勵接入之前的瞬時（ ）系統的狀態。 如果只考慮初始狀態（ ），則不能對系統問題作出正確解答。（今后未加標注， 均指 ） 由以上規定可寫出沖激函數的 ： 如果沖激出現在 時刻（ ），則有： (0 )0f(0 )1f0t00( )( )stF sf t edt0t 0t 0t 0t0t 0tLT0( )( )1sttt edtL0tt 00t0000()()ststtttt edteL9三、求解拉普拉斯逆變換 求拉普拉斯逆變換方法有三種：查表、部分分式展開、用留數定理。 含有高階導數的線性、常系數微分方程式變換成S的多項式，或變換成兩個S的

7、多項式之比，稱為S的有理函數。一般形式：其中： ， 為實數， 為正整數。 將 、 寫為：式中， 叫作 的 “零點”，是 的根。 叫作 的 “極點”，是 的根。 110110( )( )( )mmmmnnnna sasaA sF sB sb sbsbiaibnm,)(sA)(sB12( )()().()mmA saszszsz12( )()().()nnB sb spspspmzzz,21)(sF0)(sAnppp,21)(sF0)(sB10 按照極點的不同特點，部分分式展開有以下幾種情況：極點為實數，無重根例如， 式中 互不相等這樣可利用常用函數的（分母多項式的階次高于分子多項式的階次）為求得

8、 ，將 乘以 兩端，123( )( )()()()A sF sspspsp312123KKKspspsp321,pppLT111312123( )KKKf tspspspLLL312123p tp tp tK eK eK e1K)(1ps 312123( )KKKF sspspsp11則得令 ，代入上式得：同理可求得其它 包含共軛復數極點這種情況仍可采用上述方法求解系數，但計算較麻煩。有多重極點我們考慮將 分解為：式中，在 處，分母多項式 有 重根，即 階極點。 13121123()()() ( )sp Ksp Ksp F sKspsp1ps 111() ( )spKsp F s() ( )i

9、iispKsp F s)(sF1( )( )( )( )()( )kA sA sF sB sspD s1ps )(sBkk12將 展開：這里 表示展開式中與極點 無關的其余部分。求出 ：我們引入符號： 對它進行微分：這樣可給出 ， )(sF111121111( )( ).()()()( )kkkKKKE sF sspspspD s)()(sDsE1p11K1111()( )kspKspF s11( )()( )kF sspF s1111121111( )( )().()()( )kkkE sF sKKspKspspD s211213111( )2().(1)().kkdF sKKspKkspd

10、s1121( )spdKF sds1213121( )2spdKF sds13得到系數的一般表達式：例例1.6.1求下列函數的逆變換求下列函數的逆變換解： 寫成部分分式展開形式： 分別求 111111( )(1)!iiispdKF sids1,2,ik（其中）10(2)(5)( )(1)(3)ssF ss ss)(sF312( )13KKKF ssss1010 2 5100( )1 33sKsF s 2110( 12)( 1 5)(1) ( )20( 1)( 1 3)sKsF s 3310(3) ( )3sKsF s 14 例例1.6.2求下列函數的逆變換求下列函數的逆變換解：將 展開：易求得

11、 為求出與重根有關的各系數，令 1002010( )313(3)F ssss310010( )(20) ( )33ttf teeu t32( )(1)sF ss s)(sF131112232( )(1)(1)(1)KKKKF sssss20( )2sKsF s 312( )(1)( )sF ssF ss15那么： 11123ssKs1221122()2ssdsKdsss2132311122()22ssdsKdsss 323222( )(1)(1)(1)F sssss23( )(222) ( )2tttf tt eteeu t16四、拉普拉斯變換的性質1線性：若 則 2原函數微分若 則 其中 是

12、 階導數 的初始值。 11( )( )f tF sL22( )( )f tF sL1 1221122( )( )( )( )K f tK f tK F sK F sL( )( )f tF sL( )( )(0)df tsF sfdtL11( )0( )( )(0)nnn rnrnrd f ts F sfdts L)0()(rfrrrdttfd)(173原函數的積分若 則 式中 是 積分式在 的取值。 4時域延時(時域平移)若 則 5S域平移若 則 ( )( )f tF sL1( )(0)( )tF sffdssL01(0)( )ffd)(tf0t( )( )f tF sL000() ()( )

13、stf tt u ttF seL( )( )f tF sL( )()tf t eF s L186尺度變換若 則 7初值若函數 及其導數 可以進行 ，且 ，則8終值若 及其導數 可進行 ，且 ，而且 存在，則 ( )( )f tF sL1()( ),0sf atFaaaLdttdf)(LT( )( )f tF sL0lim( )(0 )lim( )stf tfsF s)(tfdttdf)(LT( )( )f tF sLlim( )tf t0lim( )lim( )tsf tsF s)(tf199卷積定理若 則有： 11( )( )f tF sL22( )( )f tF sL1212( )*( )

14、( )( )f tf tF sF sL1212( )( )( )*( )f tf tF sF sL20例例1.6.3下圖所示電路，在 時開關 閉和，求輸出信號解：（1）列寫微分方程將此式改寫為只含有一個未知函數 的形式（2）再將上試中各項取 得 0t K( )?cv t 0( )( )( )( )0cctRi tv tEu tv t( )cv t( )( )( )ccdv tRCv tEu tdtLT( )( )ccERCsV sV ss21解此代數方程， 得（3）求 的逆變換， 將 表示式分解為以下形式 ( )1(1)()cEEV ssRCsRCs sRC( )cV s( )cV s11(

15、)1cV sEssRC1( )( )(1) ( )tRCccv tV sEeu tL22 例例1.6.4下圖所示電路,在t=0時，開關K閉合，接入信號源 ，求電流 ，電感起始電流等于零。解：（1） （2） ( )sinme tVt( )?i t sinmdiLRiVtdt(0)0i22( )( )mVLsI sRI ss222211( )()()mmVVI sRLsR sLssL23 （3）將 分解，設其中 ( )I s012( )()mVKKKI sRLsjsjsL 0222211RLsKsRL 111112sjKRRsjjsjLL 22112RjLRL 24所以 其中 波形如下圖 ：*21

16、KK221( )sincosRLtmVRi tettLLRL 222sincosRLtmVLeRtLtLR 222222sin()RLtmVLeRLtLR LRarctg25 261.7連續時間系統的傅里葉分析一、傅里葉形式的系統函數 設 、 、 分別表示 、 、 的傅里葉變換：引用傅里葉變換的時域卷積定理可得： 把 、 、 傅里葉變換式改用符號 、 、 表示，則得: 是一個加權函數，把頻譜密度為 的信號改造為 的響應信號。 )(R)(H)(E)(tr)(th)(te( )( )r tRF( )( )h tHF( )( )e tEF( )( )* ( )r th te t( )( ) ( )R

17、HE )(tr)(th)(te)( jR)( jH)( jE()() ()R jH jE j )( jH)( jE()() ()R jH jE j 27 任意激勵信號的傅里葉分解可看作無窮多項 信號的疊加 概括起來，在線性時不變系統分析中，無論時域頻域的方法都可以按信號分解，求響應再疊加的原則來處理。 如圖所示一個 低通網絡，在輸入端加矩形脈沖 ，我們用傅里葉分析方法來求它在輸出端的響應。 jte1() ()( )() ()22j tj tH jE jdr tH jE jede 1()( )()22j tj tE jde tE jede RC)(1t28我們知道： 令 ，得 激勵信號 的傅里葉

18、變換為： 2( )( )dti tCdt2122( )( )( )( )( )dttti tRtRCdt122()()()()VjVjRCjVj 1211()1()()1RCRCVjH jVjjRCj 1RC()H jj )(1t1()(1)j tEVjej 222sin()()jEe29 為了便于進行逆變換以求得 波形，我們把 寫作： 22212sin()()()()()jVjH jVjEej 2()2()jVje22222sin()()EVj 242(21)(),2( )2(21)2(22)(),2nnarctgnnarctg (0,1,2,)n )(2t)(2jV30 下面畫出輸入幅度譜

19、與響應的幅度譜以及輸入波形與輸出波形。(暫不討論相位特性) 2()(1)jEVjejj (1)(1)jjEEeejj ()2( )( )()( )()tttE u tu tE eu teu t()(1) ( )1()ttEeu tEeu t3132二、無失真傳輸 線性系統引起的信號失真由兩方面因素造成： 幅度失真，系統對信號中各頻率分量幅度產生不同程度的衰減。 相位失真，系統對各頻率分量產生的相移不與頻率成正比。 注意：線性系統的幅度失真與相位失真都不產生新的頻率分量，但非線性失真可能產生新的頻率分量。 研究無失真傳輸的條件。 無失真：指響應信號與激勵信號相比，只是大小與出現時間的不同，而無波

20、形上的變化。設激勵信號為 ，響應信號為 ，無失真傳輸的條件為： 為常數， 為滯后時間滿足此條件， 波形是 波形經 時間的滯后，雖然幅度方面有系數 倍的變化，但波形形狀不變。 )( te)( tr0()()rtK ettK0t)( tr)( te0tK33 信號是經過系統傳輸的，為了實現無失真傳輸，對系統函數 應提出怎樣的要求？ 借助于傅里葉變換的延時定理可得： ，而且我們知道 ，所以為滿足無失真傳輸應有：其幅度和相位特性為： )( jH0()()j tR jKE je ()() ()R jH jE j 0()()()j tjH jKeH je 34 從以上圖形中看出：要使信號在通過線性系統時，

21、不產生失真，必須在信號全部頻帶內，要求系統頻率響應的幅度特性是一個常數，相位特性是一通過原點的直線。 要保證沒有相位失真，必須使響應中各頻率分量與激勵中各對應分量滯后同樣的時間，這一要求反映到相位特性上就是一條通過原點的直線。為什么? 設激勵信號 波形如圖所示，它由基波與二次諧波兩個頻率分量組成。 )(te35那么根據無失真條件為了使基波與二次諧波得到相同的延遲時間，以保證不產生相位失真，應有：因此各諧波的相移須滿足以下關系我們將這個關系推廣到其他高次諧波頻率，可得到如下結論： 為使信號傳輸時不產生相位失真，信號通過線性系統時諧波的相移必須與其頻率成正比，即： 這與我們一開始得出的結論是一致的

22、。 tEtEte12112sinsin)()2sin()sin()(212111tKEtKEtr11211211sin()sin2()2KEtKEt12011)2t常數(比如112120)(t36如果相位失真，則波形是不一樣的。 37 無失真傳輸的條件：這是在頻域方面提出的。如果用時域特性表示，即對上式求傅里葉逆變換，得：這表明：當信號通過線性系統時，為了不失真，沖激響應也應該是沖激函數，僅僅是時間滯后 。三、理想低通濾波器及其沖激響應 理想濾波器：就是將濾波網絡的某些特性理想化而定義的濾波網絡。理想低通濾波器具有矩形幅度特性和線性相移特性。這種低通濾波器將低于某一頻率 的所有信號予以傳送，而

23、無任何失真，將頻率高于 的信號完全衰減。 稱為：截止頻率。 寫出理想低通濾波器的系統函數 。 0()j tH jKe )()(0ttKth0tccc()()()jH jH je 38其中： 將 進行傅里葉逆變換，這樣可求得網絡的沖激響應： 為其它值, 0, 1)(ccjH0( )t )( jH0111( )()()22ccj tj tj th tH jH jedeed L0()000sin()12()()ccjt tcccttej tttt39我們畫出它的波形 從這個波形，我們可以看出一些問題：按照沖激響應的定義，激勵信號在時刻加入，然而，響應在為負值時卻已經出現，似乎網絡可以預測激勵信號，具

24、有未卜先知的本領。為什么？唯一的答案：實際上不可能構成具有這種理想特性的網絡。也就是說，理想低通濾波器是不可實現的。401.8連續時間信號的抽樣 由連續時間信號變成離散時間信號是通過抽樣來完成的。 抽樣：利用周期性抽樣脈沖序列 ，從連續信號 中抽取一系列的離散值，得到抽樣信號，即離散時間信號，用 表示。 什么是抽樣器？抽樣器可以看成是一個電子開關，開關每隔 秒閉合一次。對于理想抽樣器，閉合時間應無窮短，對于實際的抽樣器，閉合時間是 秒， 。這樣就使輸入信號得以抽樣，得到連續信號的抽樣輸出信號。現在面臨幾個問題： 信號被抽樣后其頻譜將會有什么變化？ 能不能從抽樣信號 中不失真地恢復出原來的信號

25、？ 滿足什么樣的條件？ SampleCTRSDTS )(tp)(txa)(txaTT( )ax t)(txa41一、理想抽樣1抽樣42沖激函數序列 為： 理想抽樣輸出為 由于單位抽樣信號的抽樣特性，當 時 下面討論理想抽樣后信號頻譜發生的變化。 各信號的傅里葉變換用下式表示： )(tT( )()TmttmT ( )( )( )aaTx tx tt ( )( ) ()aamx tx ttmTmTt ()0tmT ( )() ()aamx tx mTtmT43 表示離散時間信號的 ，對 取 ：現在關鍵是求出 來，代入上式則理想抽樣輸出的頻譜就得到了。下面求 是周期函數，可表示成傅里葉級數： ：抽樣

26、角頻率 ：抽樣頻率 ()( )( )j taaaXjDTFT x tx t edt ()( )TTjDTFTt ()( )aaXjDTFT x t DTFTFT ( )( )( )aaTx tx ttFT1()()()2aTaXjjXj ()Tj()Tj( )Tt( )sjktTkktA e2sT 1sfT44因此系數根據傅里葉級數可求得： （以上結果的得出基于以下考慮：在 的區間內，只有一個沖激 ，而 時， 都在積分區間之外；而且在連續時間信號與系統中， ） kA222211( )()TTssTTjktjktkTmAt edttmT edtTT2211( )TsTjktt edtTT2Tt

27、( ) t0m ()tmTdtttff)()()0(1( )sjktTkteT45 這樣可求得： 1()( )sjktTTkjDTFTtDTFTeT 112()sjktskkDTFT ekTT 2()()ssskkkkT 12()()()2asakXjkXjT 1()()askXjkdT 1() ()askXjkdT 112()()asakkXjjkXjjkTTT46 由上式看出：一個連續時間信號經過理想抽樣后，它的頻譜將以抽樣頻率 為間隔重復，這樣就使頻譜產生周期延拓。因此只要各延拓分量與原頻譜分量不發生頻率上的交疊，就有可能恢復出原信號。 Ts247 從上圖可以看出，只要 ，那么原信號的頻

28、譜和各次延拓分量的頻譜彼此不重疊。在 的情況下，采用一個截止頻率為 的理想低通濾波器，就可得到不失真的原信號的頻譜。理想低通濾器為： 可得 hs2hs22s()01,()2()()0,( )sjH jH jH jet 為其它值2, 02),()(ssaajXjX48 如果信號的最高頻率 ，則各周期延拓分量產生頻譜的交疊，這稱為混疊現象。我們把抽樣頻率的一半 稱為折疊頻率： 這樣，我們得出結論：要想抽樣后能夠不失真地還原出原信號，則抽樣頻率必須大于兩倍信號頻譜的最高頻率（ ）。即奈奎斯特抽樣定理：2抽樣的恢復 信號如果滿足奈奎斯特抽樣定理，即信號譜的最高頻率小于折疊頻率，則抽樣后不會產生頻率混疊

29、。即。 那么將 通過這樣一個理想低通濾波器： 2sh()2sTs2hs2hsff21()(),2saaXjXjT )(jXa49這樣就得到原信號的頻譜： 求其 得： 理想低通濾波器不可實現，但是在一定精度范圍內，可用一個可實現的濾波器來逼近它。 抽樣信號 模擬信號? 理想低通濾波器的沖激響應為： ()()()()aaaYjXjH jXj IFT)()(txtyaa22sin()sin()12( )()222sssj tj tsttTTh tH jededttT 50理想低通濾波器的輸出為： 抽樣內插公式 ( )( )( )( )( ) ()aaaay tx tx th txh td( ) ()()amxmTh td ( ) () ()amxh tmT d () ()amx mT h tmTsin()()()amtmTTx mTtmTT51 我們稱： 為內插函數（即連續時間信號與系統中的抽樣函數）。如圖所示： 等于各 乘上對應的內插函數的總和。在每一個抽樣點上，只有該點所對應的內插函數不為零，這就使得各抽樣點上的值不變。而抽樣點之間的信號則由各加權抽樣函數波形的延伸疊加而成。見下圖。 )()(sinmTtTmTtT)(txa)(mTxa52 只要抽樣頻率高于 倍信號最高頻率，那么整個模擬信號就可完全用它的抽樣值來代表，而不會丟失任何信息。這就是奈奎斯特抽樣定