1、微慣性技術微慣性技術基礎知識基礎知識中北大學中北大學 電子與計算機科學技術學院電子與計算機科學技術學院李李 杰杰Tel:3921882; E_mail: LTel:3921882; E_mail: L主要內容主要內容一、地球的形狀和重力場特性一、地球的形狀和重力場特性二、垂線及緯度的定義二、垂線及緯度的定義三、地球的自轉及角速度三、地球的自轉及角速度四、慣性系中常用坐標系四、慣性系中常用坐標系五、坐標變換及坐標系之間的關系五、坐標變換及坐標系之間的關系六、動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程六、動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程七、哥矢加速度、絕對加速度、比力方程七、哥矢加速度、絕對加速度、比力

2、方程八、慣性導航的基本原理八、慣性導航的基本原理一、地球的形狀和重力場特性一、地球的形狀和重力場特性 1 1、地球形狀的三種近似、地球形狀的三種近似n第一近似（將地球視為圓球體）：第一近似（將地球視為圓球體）： 式中式中 R R是地球的平均半徑；是地球的平均半徑； R R6371.026371.020.05km0.05km，這是，這是19641964年國際天文學會通年國際天文學會通過的數據。過的數據。 2222Rzyxn第二近似（把地球視為旋轉橢球）第二近似（把地球視為旋轉橢球） 1222222bzayax aa長半軸，在赤道平面內；長半軸，在赤道平面內； bb短半軸，與地球自轉鈾重合。短半軸

3、，與地球自轉鈾重合。 旋轉橢球的扁率旋轉橢球的扁率( (橢球度橢球度) )為：為： aba 三種最常用的橢球的尺寸和橢球度三種最常用的橢球的尺寸和橢球度 克拉克橢球參數在美國使用；克拉克橢球參數在美國使用；海福特橢球參數在西歐使用；海福特橢球參數在西歐使用；克拉索夫斯基橢球在蘇聯使用。克拉索夫斯基橢球在蘇聯使用。目前我國在測量中采用克拉索夫斯基橢球參數。目前我國在測量中采用克拉索夫斯基橢球參數。目前在導航定位計算中采用第二近似，已經足夠精確了。目前在導航定位計算中采用第二近似，已經足夠精確了。 n第三近似：在與赤道相平行的各個地球截面內，地球的第三近似：在與赤道相平行的各個地球截面內，地球的截

4、面也不是一個圓形，而是一個橢圓。截面也不是一個圓形，而是一個橢圓。n事實上，通過人造地球衛星的測量，科學家發現地球的事實上，通過人造地球衛星的測量，科學家發現地球的北極要高出參考橢球一定值，在南極要凹進去一定值，北極要高出參考橢球一定值，在南極要凹進去一定值，地球的形狀象一個扁平的梨形體。當然，實際的地球表地球的形狀象一個扁平的梨形體。當然，實際的地球表面遠遠復雜得多。除高山、峽谷，還有很多人造的設施，面遠遠復雜得多。除高山、峽谷，還有很多人造的設施，改變了地球的形狀。改變了地球的形狀。2 2、地球重力場特性、地球重力場特性n與地球形狀直接有聯系的是地球重力場特性。由于地球與地球形狀直接有聯系

5、的是地球重力場特性。由于地球有旋轉運動，地球表面物體單位質量除受地心引力有旋轉運動，地球表面物體單位質量除受地心引力J J作作用外，還受地球自轉離心力用外，還受地球自轉離心力F F的作用，重力的作用，重力G G是是J J和和F F的合的合力，因此力，因此G G不指向地心，如下圖所示。不指向地心，如下圖所示。n顯然；顯然；n G=J+FG=J+F式中式中, F=-, F=-() r n離心力矢量離心力矢量F F隨緯度變化，所以重力隨緯度變化，所以重力矢量矢量G G是緯度的函數。對于不在地球是緯度的函數。對于不在地球表面定位的載體，所在點的重力矢量表面定位的載體，所在點的重力矢量G G是與地心距離

6、是與地心距離R R有關的函數。當把地有關的函數。當把地球當作橢球時，重力加速度如下：球當作橢球時，重力加速度如下：式中式中 g g0 0= 9.78049= 9.78049表示赤道海平面上的重力加速度；表示赤道海平面上的重力加速度； 地理緯度；地理緯度；hh高度。高度。220(10.0052884sin0.0000059sin 2)0.0000003086ggh重力異常重力異常 二、垂線及緯度的定義二、垂線及緯度的定義n地球表面某點的緯度，是該點垂線方向與赤道平面之地球表面某點的緯度，是該點垂線方向與赤道平面之間的夾角。由于地球是一個不規則的球體，垂線可以間的夾角。由于地球是一個不規則的球體，

7、垂線可以有不同的定義，因而緯度的定義變得比較復雜。有不同的定義，因而緯度的定義變得比較復雜。 n地心垂線地心垂線地球表面一點與地心的連線地球表面一點與地心的連線n引力垂線引力垂線地球引力的方向地球引力的方向n測地垂線測地垂線地球橢球體表面一點的法線方向地球橢球體表面一點的法線方向n重力垂線重力垂線重力的方向，也稱天文垂線重力的方向，也稱天文垂線 四種垂線四種垂線n對應不同的垂線定義，有不同的緯度定義對應不同的垂線定義，有不同的緯度定義n地心緯度地心緯度地心垂線與赤道平面之間的夾角地心垂線與赤道平面之間的夾角 n引力緯度引力緯度引力垂線與赤道平面之間的夾角引力垂線與赤道平面之間的夾角n測地緯度測

8、地緯度橢球法線方向與赤道平面之間的夾角，它橢球法線方向與赤道平面之間的夾角，它是通過大地測量定出的緯度是通過大地測量定出的緯度, ,也稱大地緯度也稱大地緯度n天文緯度天文緯度重力垂線與赤道平面之間的夾角，它是通重力垂線與赤道平面之間的夾角，它是通過天文方法測定的緯度過天文方法測定的緯度四種緯度四種緯度n上述四種緯度各不相同。在一般的工程技術中應用地上述四種緯度各不相同。在一般的工程技術中應用地心緯度的概念，實際上是把地球視為圓球體。由于地心緯度的概念，實際上是把地球視為圓球體。由于地球橢球體的表面和大地水準面也不完全相符，因此天球橢球體的表面和大地水準面也不完全相符，因此天文緯度和測地緯度也不

9、一致文緯度和測地緯度也不一致, ,但這二者的偏差很小，一但這二者的偏差很小，一船不超過船不超過3030角秒角秒 ，通常可以忽略，所以統稱為地理緯，通常可以忽略，所以統稱為地理緯度。在慣性導航系統中，計算出的緯度是地理緯度，度。在慣性導航系統中，計算出的緯度是地理緯度，而不是地心緯度。而不是地心緯度。 緯度應用緯度應用三、地球的自轉及角速度三、地球的自轉及角速度 在慣性空間，地球繞自身的地軸自轉，繞太陽公轉動。在慣性空間，地球繞自身的地軸自轉，繞太陽公轉動。 地球公轉一周為一年（地球公轉一周為一年（365365天天) )。 太陽在慣性空間不是恒定不動的，但它的旋轉影響可以太陽在慣性空間不是恒定不

10、動的，但它的旋轉影響可以忽略不計。忽略不計。 地球自轉的角速度為：地球自轉的角速度為： 15.041115.04110 0h h 四、慣性技術中常用坐標系四、慣性技術中常用坐標系 對單個物體是無運動可言的，只有在相對意義下才可以對單個物體是無運動可言的，只有在相對意義下才可以講運動。講運動。一個物體在空間的位置只能相對于另一個物體一個物體在空間的位置只能相對于另一個物體而確定，或者是說，一個坐標系在空間的位置只能相對而確定，或者是說，一個坐標系在空間的位置只能相對于另一個坐標系而確定。例如，一個在地球附近運動的于另一個坐標系而確定。例如，一個在地球附近運動的物體，一方面物體對于地球有相對運動，

11、同時地球對于物體，一方面物體對于地球有相對運動，同時地球對于慣性空間也有運動，所以至少需要三套坐標系，即慣性慣性空間也有運動，所以至少需要三套坐標系，即慣性坐標系、固定在地球上的坐標系及固定在物體土的坐標坐標系、固定在地球上的坐標系及固定在物體土的坐標系，才能完整地描述物體對于慣性坐標系的運動。系，才能完整地描述物體對于慣性坐標系的運動。運動的相對性運動的相對性 在研究陀螺儀、平臺或運載體的運動時，也必須通過兩在研究陀螺儀、平臺或運載體的運動時，也必須通過兩套適當的坐標系之間的關系來實現。其中一套坐標系與套適當的坐標系之間的關系來實現。其中一套坐標系與被研究對象相連結，另一套坐標系與所選定的參

12、考空間被研究對象相連結，另一套坐標系與所選定的參考空間相連結，后者構成了前者運動的參考坐標系。慣性技術相連結，后者構成了前者運動的參考坐標系。慣性技術中常用的幾類坐標系。中常用的幾類坐標系。n1 1、慣性參考坐標系、慣性參考坐標系n2 2、確定運載體相對地球表面位置的坐標系、確定運載體相對地球表面位置的坐標系 n3 3、運載體和陀螺儀坐標系、運載體和陀螺儀坐標系n1 1、慣性參考坐標系、慣性參考坐標系 為確定包括地球在內載體運動建立的坐標系，具體分為：為確定包括地球在內載體運動建立的坐標系，具體分為： 太陽中心慣性坐標系（太陽中心慣性坐標系（S S系）系） 地心慣性坐標系（地心慣性坐標系（i

13、i系）系） 太陽中心慣性坐標系（太陽中心慣性坐標系（S S系）系） 太陽中心慣性坐標系坐標原點設在太陽中心。太陽中心慣性坐標系坐標原點設在太陽中心。 太陽中心慣性坐標系常用于行星際間的航行定位。太陽中心慣性坐標系常用于行星際間的航行定位。 地心慣性坐標系（地心慣性坐標系（i i系）系）n在研究載體在地球附近的宇宙空間運動的導航定位問在研究載體在地球附近的宇宙空間運動的導航定位問題時，可以采用地心慣性坐標系。題時，可以采用地心慣性坐標系。n坐標原點設在地球質量中心，坐標原點設在地球質量中心，Z Z軸沿地軸方向，軸沿地軸方向，x x、y y軸在地球赤道平面內，指向某個恒星，構成右手坐標軸在地球赤道

14、平面內，指向某個恒星，構成右手坐標系。系。地心慣性坐標系不參與地球的旋轉運動。地心慣性坐標系不參與地球的旋轉運動。 n2 2、確定載體相對地球表面位置的坐標系、確定載體相對地球表面位置的坐標系n（1 1） 地球坐標系（地球坐標系（e e系）系） 地球坐標系的地球坐標系的z z軸沿地軸方向，軸沿地軸方向，x x軸在赤道平面與格林威軸在赤道平面與格林威治子午面的交線上，治子午面的交線上，y y軸也在赤道平面內，軸也在赤道平面內，x x與與y y、z z軸構軸構成右手坐標系。坐標系與地球固聯，隨地球轉動。成右手坐標系。坐標系與地球固聯，隨地球轉動。 導航定位中常用經緯度坐標系。在地球表面或表面附近，

15、導航定位中常用經緯度坐標系。在地球表面或表面附近，運載體所在點運載體所在點p p的位置可用經度，緯度和高度的位置可用經度，緯度和高度h h表示表示. .n（2 2）地理坐標系（）地理坐標系（L L系）系） 導航分析時應用最多的一種坐標系，其坐標原點在載體導航分析時應用最多的一種坐標系，其坐標原點在載體質心點質心點, x, x和和y y軸和軸和z z軸構成右手坐標系。軸構成右手坐標系。n地理坐標系的各軸可有不同的選取方法。地理坐標系的各軸可有不同的選取方法。x x、y y、z z除除“東東北天北天”取法之外，還常有取法之外，還常有“北、東、地北、東、地”或或“北、西、北、西、天天”為順序的右手直

16、角坐標系。實際上共有為順序的右手直角坐標系。實際上共有1212種不同的種不同的取法。取法。n重要！（陀螺中要用）重要！（陀螺中要用）n當載體在地球上運動時，載體相對地球的位置不斷改當載體在地球上運動時，載體相對地球的位置不斷改變；而地球上不同點的地理坐標系，相對地球坐標系變；而地球上不同點的地理坐標系，相對地球坐標系的角位置是不相同的。也就是說，載體相對地球運動的角位置是不相同的。也就是說，載體相對地球運動將引起地理坐標系相對地球坐標系轉動。這時地理坐將引起地理坐標系相對地球坐標系轉動。這時地理坐標系相對慣性參考系的轉動角速度應包括兩個部分：標系相對慣性參考系的轉動角速度應包括兩個部分：一是地

17、理坐標系相對地球坐標系的轉動角速度；另一一是地理坐標系相對地球坐標系的轉動角速度；另一是地球坐標系相對慣性參考系的轉動角速度。是地球坐標系相對慣性參考系的轉動角速度。n（3) 3) 游動方位坐標系游動方位坐標系(W(W系系) ) 該坐標系是在地理坐標系基礎上定義的，但它與地理坐該坐標系是在地理坐標系基礎上定義的，但它與地理坐標系不同，其標系不同，其y y軸不再指向北，而是與子午圈北方向存軸不再指向北，而是與子午圈北方向存在夾角在夾角(稱為游移角稱為游移角) ) 。3 3、運載體和陀螺儀坐標系、運載體和陀螺儀坐標系 n（1) 1) 載體坐標系（載體坐標系（b b系）系） 載體坐標系與運動體固聯，

18、故通常取運動體的重心載體坐標系與運動體固聯，故通常取運動體的重心o o作為作為載體坐標系的原點，載體坐標系的原點，x x、y y、z z分別與運動體的縱軸、橫軸分別與運動體的縱軸、橫軸和豎軸相重合，組成右手坐標系。和豎軸相重合，組成右手坐標系。 載體的俯仰（縱搖）角、橫滾（橫搖）角和航向（偏載體的俯仰（縱搖）角、橫滾（橫搖）角和航向（偏航）角統稱為姿態角。載體的姿態角就是根據載體坐標航）角統稱為姿態角。載體的姿態角就是根據載體坐標系相對地理坐標系或地平坐標系的轉角來確定的。系相對地理坐標系或地平坐標系的轉角來確定的。飛飛機機的的姿姿態態角角 n（2) 2) 陀螺儀坐標系陀螺儀坐標系 表示陀螺儀

19、輸出的坐標系，實際使用中，陀螺儀安裝在表示陀螺儀輸出的坐標系，實際使用中，陀螺儀安裝在載體質心，其坐標系與載體坐標系重合。載體質心，其坐標系與載體坐標系重合。n（3) 3) 計算坐標系計算坐標系 泛指慣導系統力學編排計算所在的坐標系，通常用泛指慣導系統力學編排計算所在的坐標系，通常用k k表表示。它可以是上述幾種坐標系中的任意一種。示。它可以是上述幾種坐標系中的任意一種。n分析慣性導航系統時用到的坐標系主要是地心慣性坐標分析慣性導航系統時用到的坐標系主要是地心慣性坐標系、地理坐標系、載體坐標系。系、地理坐標系、載體坐標系。 五、坐標變換及坐標系間的關系五、坐標變換及坐標系間的關系 n在慣性導航

20、中，經常要把一個坐標系中各軸的物理量轉在慣性導航中，經常要把一個坐標系中各軸的物理量轉換到另外的坐標系上。為此必須進行坐標變換。換到另外的坐標系上。為此必須進行坐標變換。n從一個直角坐標系轉換到另一個直角坐標系，可采用連從一個直角坐標系轉換到另一個直角坐標系，可采用連續旋轉的方法。假定兩坐標系起始時重合，然后使其中續旋轉的方法。假定兩坐標系起始時重合，然后使其中一個繞相應軸轉過某一角度。根據需要，可分別再繞另一個繞相應軸轉過某一角度。根據需要，可分別再繞另兩個軸作第二、第三次旋轉，直至形成新坐標系為止。兩個軸作第二、第三次旋轉，直至形成新坐標系為止。 n坐標變換可以是以坐標系繞獨立的三次旋轉得

21、到。首先坐標變換可以是以坐標系繞獨立的三次旋轉得到。首先繞某個軸旋轉一個角，得中間坐標系，再由坐標系繞另繞某個軸旋轉一個角，得中間坐標系，再由坐標系繞另一軸旋轉得第二個中間坐標系，再繞一個軸向旋轉得最一軸旋轉得第二個中間坐標系，再繞一個軸向旋轉得最終的坐標系。相應的，一個矢量在旋轉前后的兩個坐標終的坐標系。相應的，一個矢量在旋轉前后的兩個坐標系中的關系如下：系中的關系如下：32133210 000rCCC rCr常用坐標系之間的相互關系常用坐標系之間的相互關系 兩坐標系之間的相對旋轉角速度用坐標變換矩陣來描兩坐標系之間的相對旋轉角速度用坐標變換矩陣來描述，也可以用旋轉四元數表示。述，也可以用旋

22、轉四元數表示。n1 1、地心慣性坐標系、地心慣性坐標系(i(i系系) ) 地球坐標系地球坐標系(e(e系系) ) 地球坐標系地球坐標系(e)(e)相對于地心慣性坐標系（相對于地心慣性坐標系（i)i)的旋轉角速的旋轉角速度向量為地球自轉角速度。度向量為地球自轉角速度。 n2 2、地球坐標系、地球坐標系(e(e系系) ) 地理坐標系（地理坐標系（L L系）系） 由地理坐標系由地理坐標系(L)(L)相對于地固坐標系相對于地固坐標系(e)(e)的旋轉角速度向的旋轉角速度向量，可以分別推導出其在量，可以分別推導出其在e e系及系及L L系中的分量表示式為：系中的分量表示式為： cossineeL sin

23、cosLeLn相應的坐標變換矩陣可表示為：相應的坐標變換矩陣可表示為： 式中的式中的,為載體的經緯度。為載體的經緯度。 sincos0coscossinsincoscoscoscossinsineLCn3 3、地理坐標系、地理坐標系(L) (L) 游移方位坐標系游移方位坐標系(W)(W)n4 4、地球坐標系、地球坐標系(e)(e)游移方位坐標系游移方位坐標系(W) (W) n5 5、地理坐標系、地理坐標系(L) (L) 載體坐標系（載體坐標系（b b）rpprprpyrypypyryrrpyrypypyryrCLbcoscossinsincoscossincossinsincoscossinc

24、ossinsincoscossinsinsincoscossinsinsinsincoscosn6 6、計算坐標系、計算坐標系(k) (k) 載體坐標系載體坐標系(b)(b)n載體系相對計算坐標系的旋轉角速度可按下式計算：載體系相對計算坐標系的旋轉角速度可按下式計算： n式中，式中，W Wibib是載體相對于慣性空間的旋轉角速度，可由是載體相對于慣性空間的旋轉角速度，可由陀螺儀測得；陀螺儀測得； W Wikik為計算坐標系相對于慣性坐標系的旋為計算坐標系相對于慣性坐標系的旋轉角速度。相應的坐標變換矩陣由下式給出：轉角速度。相應的坐標變換矩陣由下式給出：kikbkbibbkbCcoscossin

25、coscoscossincossinsincoscossincossincossincossinsinsincoscossinsinsinsincoscoskbC六、動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程六、動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程 n1 1、繞定點轉動剛體的動量矩、繞定點轉動剛體的動量矩 對于繞定點轉動的剛體，剛體內所有質點的動量對某點對于繞定點轉動的剛體，剛體內所有質點的動量對某點之矩的總和，稱為剛體對該點的動量矩。計算公式：之矩的總和，稱為剛體對該點的動量矩。計算公式： H H為剛體對點的動量矩；為剛體對點的動量矩； 為剛體內任意質點的質量；為剛體內任意質點的質量； 為點到該點的矢

26、徑；為點到該點的矢徑； 為該點的速度。為該點的速度。 iiiHrmvimiriviivr()iiiHrmrn設轉子對自轉軸的轉動慣量為設轉子對自轉軸的轉動慣量為 ，自轉角速度為，自轉角速度為 ，則，則轉子動量矩可表示為：轉子動量矩可表示為： 也就是說，轉子動量矩的方向與自轉角速度的方向一致，也就是說，轉子動量矩的方向與自轉角速度的方向一致，而大小等于轉子的轉動慣量與自轉角速度的乘積而大小等于轉子的轉動慣量與自轉角速度的乘積 n動量矩定理動量矩定理 ： 剛體對任一定點的動量矩剛體對任一定點的動量矩H H對時間的導數對時間的導數 ( (即動量矩即動量矩H H的的變化率變化率) )，等于繞同一點作用

27、于剛體的外力矩，等于繞同一點作用于剛體的外力矩M M。 zJzHJdHMdtn定點轉動剛體的動量矩定點轉動剛體的動量矩H H是一個矢量，它不但有大小，而是一個矢量，它不但有大小，而且有方向。因此，在外力矩且有方向。因此，在外力矩M M 作用下動量矩作用下動量矩 H H出現變化出現變化率，就意味著動量矩率，就意味著動量矩H H的大小改變，或方向改變，或二者的大小改變，或方向改變，或二者同時都有改變。同時都有改變。n應注意，上面導出動量矩定理的過程中所用的仍然是牛應注意，上面導出動量矩定理的過程中所用的仍然是牛頓第二定律。因此，此處動量矩頓第二定律。因此，此處動量矩H H的變化率是對慣性參考的變化

28、率是對慣性參考系系( (或慣性空間或慣性空間) )而言，亦即應是動量矩而言，亦即應是動量矩H H的絕對變化率。的絕對變化率。 n可把動量矩可把動量矩H H對時間的導數，看成是動量矩對時間的導數，看成是動量矩H H矢量端點的矢量端點的速度，于是，動量矩定理又可寫成如下形式：速度，于是，動量矩定理又可寫成如下形式：n剛體對任一定軸的動量矩對時間的導數剛體對任一定軸的動量矩對時間的導數( (即動量矩的變化即動量矩的變化率率) )，等于繞同一軸作用于剛體的外力矩。，等于繞同一軸作用于剛體的外力矩。 HvM000000()iiiiiixyzxyzd H iHjH kM iMjM kdtiixxdHMdt

29、iiyydHMdtiizzdHMdt n剛體定點轉動的歐拉動力學方程剛體定點轉動的歐拉動力學方程 動量矩動量矩H H的絕對導數的絕對導數 代表了代表了H H在慣性系中的變化在慣性系中的變化率，即率，即H H的絕對變化率；動力矩的絕對變化率；動力矩H H的相對導數的相對導數 代代表了表了H H在動系中的變化率，即在動系中的變化率，即H H的相對變化率，的相對變化率， 代表代表動系的轉動角速度改變了動量矩動系的轉動角速度改變了動量矩H H的方向而引起的的方向而引起的H H的變的變化率，即化率，即H H的牽連變化率。絕對速度等于相對速度與牽連的牽連變化率。絕對速度等于相對速度與牽連速度的矢量和。以矢

30、量形式表達的歐拉動力學方程速度的矢量和。以矢量形式表達的歐拉動力學方程 : : idH dtrdH dtHirdHdHHdtdtrdHHMdt七、哥氏加速度、絕對加速度、比力方程七、哥氏加速度、絕對加速度、比力方程 為理解陀螺儀的基本特性，必須理解哥氏為理解陀螺儀的基本特性，必須理解哥氏(Corio1is)(Corio1is)加加速度的概念。而要說明加速度的基本特性，必須先理解速度的概念。而要說明加速度的基本特性，必須先理解絕對加速度的概念。并且在此基礎上，掌握建立加速度絕對加速度的概念。并且在此基礎上，掌握建立加速度計所測量的比力表達式，即比力方程，比力方程是慣性計所測量的比力表達式，即比力

31、方程，比力方程是慣性系統的一個基本方程。系統的一個基本方程。n1 1、哥氏加速度、哥氏加速度 從運動學知，當動點對某一動參考系作相對運動，同時從運動學知，當動點對某一動參考系作相對運動，同時該動系又在作牽連轉動時，則動點則具有哥氏加速度。該動系又在作牽連轉動時，則動點則具有哥氏加速度。 哥氏加速度的形成原因：當動點的牽連運動為轉動時，哥氏加速度的形成原因：當動點的牽連運動為轉動時，牽連轉動會使相對速度的方向不斷發生改變，這種原因牽連轉動會使相對速度的方向不斷發生改變，這種原因造成了相對速度的變化，產生哥氏加速度。簡言之，哥造成了相對速度的變化，產生哥氏加速度。簡言之，哥氏加速度是由相對運動與牽

32、連轉動的共同作用形成的。氏加速度是由相對運動與牽連轉動的共同作用形成的。哥氏加速度方向哥氏加速度方向 n上圖是以牽連角速度與相對線速度相垂直的情況所作上圖是以牽連角速度與相對線速度相垂直的情況所作的分析，此時哥氏加速度的大小為上述兩項速度之和的分析，此時哥氏加速度的大小為上述兩項速度之和的模的模 。哥氏加速度垂直于牽連角速度與。哥氏加速度垂直于牽連角速度與相對速度所組成的平面，從沿最短路徑握向的右手旋相對速度所組成的平面，從沿最短路徑握向的右手旋進方向即為的方向。進方向即為的方向。n一般情況下哥氏加速度的大小為：一般情況下哥氏加速度的大小為： 哥氏加速度的方向仍按右手旋進規則確定。哥氏加速度的

33、方向仍按右手旋進規則確定。 2crav2sin( ,)crravvn2 2、絕對加速度、絕對加速度 當動點的牽連運動為轉動時，動點的絕對加速度應等于當動點的牽連運動為轉動時，動點的絕對加速度應等于相對加速度、牽連加速度與哥氏加速度的矢量和，即：相對加速度、牽連加速度與哥氏加速度的矢量和，即：recaaaa載體絕對加速度表達式的推導載體絕對加速度表達式的推導 設在地球表面附近航行的運載體所在點為設在地球表面附近航行的運載體所在點為q q，它在慣性參，它在慣性參考系考系 中的位置矢量中的位置矢量R R，在地球坐標系，在地球坐標系 中的位置矢量為中的位置矢量為r r，而地心相對日心的位置矢量，而地心

34、相對日心的位置矢量 。iiiox y zeeeox y z0Rn根據圖中矢量關系，可以寫出位置矢量方程：根據圖中矢量關系，可以寫出位置矢量方程：n對時間求一階導數，則有：對時間求一階導數，則有： 又：又： n由此得到載體絕對速度的表達式：由此得到載體絕對速度的表達式： 0RRr0iiidRdRdrdtdtdtieiedrdrrdtdt0iieiedRdRdrrdtdtdtn因地球相對慣性空間的角速度可以精確地看成是常矢量，因地球相對慣性空間的角速度可以精確地看成是常矢量，即即 由此得到運載體絕對加速度的表達式：由此得到運載體絕對加速度的表達式：n 運載體相對慣性空間的加速度，即運運載體相對慣性

35、空間的加速度，即運 載體的絕對加速度；載體的絕對加速度；n 運載體相對地球的加速度，即運載體運載體相對地球的加速度，即運載體 的相對加速度；的相對加速度；0ieiddt22202222()iieieeieied Rd Rd rdrrdtdtdtdt22id Rdt22ed rdtn 地球公轉引起的地心相對慣性空間的加速度，地球公轉引起的地心相對慣性空間的加速度，它是運載體牽連加速度的一部分；它是運載體牽連加速度的一部分；n 地球自轉引起的牽連點的向心加速度，地球自轉引起的牽連點的向心加速度，它是運載體牽連加速度的又部分，它是運載體牽連加速度的又部分， n 運載體相對地球速度與地球自轉角速度的運

36、載體相對地球速度與地球自轉角速度的相互影響而形成的附加加速度，即運載體的哥氏加速度。相互影響而形成的附加加速度，即運載體的哥氏加速度。202id Rdt()ieier2ieedrdtn3 3、加速度計所測量的比力表達式、加速度計所測量的比力表達式比力方程比力方程 加速度計的工作原理是基于經典的牛頓力學定律，其力學加速度計的工作原理是基于經典的牛頓力學定律，其力學模型如下圖。敏感質量借助彈簧被約束在儀表殼內，并通模型如下圖。敏感質量借助彈簧被約束在儀表殼內，并通過阻尼器與儀表殼體相聯。當沿加速度計的敏感軸方向無過阻尼器與儀表殼體相聯。當沿加速度計的敏感軸方向無加速度輸入時，質量塊相對儀表殼體處于

37、零位。當載體沿加速度輸入時，質量塊相對儀表殼體處于零位。當載體沿敏感軸方向以加速度敏感軸方向以加速度a a相對慣性空間運動時，儀表殼體也相對慣性空間運動時，儀表殼體也隨之作加速運動，但質量塊由于保持原來的慣性，故它朝隨之作加速運動，但質量塊由于保持原來的慣性，故它朝著與加速度反方向相對殼體位移而壓縮著與加速度反方向相對殼體位移而壓縮( (或拉伸或拉伸) )彈簧。彈簧。 當相對位移量達一定值時，彈簧受壓當相對位移量達一定值時，彈簧受壓( (或受拉或受拉) )變形所變形所給出的彈簧力給出的彈簧力 使質量塊以同一加速度使質量塊以同一加速度a a相對慣性相對慣性空間運動。在此穩態情況，有如下關系成立：

38、空間運動。在此穩態情況，有如下關系成立：n即穩態時質量塊的相對位移量與載體的加速度成正比即穩態時質量塊的相對位移量與載體的加速度成正比 AkxAkxma/Axma k加速度計的力學模型加速度計的力學模型 n地球、月球、太陽和其它天體存在著引力場，加速度計的地球、月球、太陽和其它天體存在著引力場，加速度計的測量將受到引力的影響。暫不考慮載體的實際運動加速度，測量將受到引力的影響。暫不考慮載體的實際運動加速度，設加速度計的質量塊受到沿敏感軸方向的引力設加速度計的質量塊受到沿敏感軸方向的引力mG( GmG( G為引為引力加速度力加速度) )的作用，則質量塊將沿著引力作用方向相對殼的作用，則質量塊將沿

39、著引力作用方向相對殼體位移而拉伸體位移而拉伸( (或壓縮或壓縮) )彈簧。當相對位移量達一定值時，彈簧。當相對位移量達一定值時，彈簧受拉彈簧受拉( (或受壓或受壓) )所給出的彈簧力所給出的彈簧力( (為位移量為位移量) )恰與引力相恰與引力相平衡。在此穩態情況，有如下關系成立：平衡。在此穩態情況，有如下關系成立：n即穩態時質量塊的相對位移量即穩態時質量塊的相對位移量xoxo與引力加速度與引力加速度G G成正比。成正比。 GkxmG/GxmGk加速度計僅受重力作用時模型加速度計僅受重力作用時模型 n沿同一軸向的沿同一軸向的a a矢量和矢量和G G矢量所引起的質量塊位移方向正矢量所引起的質量塊位

40、移方向正好相反。綜合考慮載體加速度和引力加速度的情況下，好相反。綜合考慮載體加速度和引力加速度的情況下，在穩態時質量塊的相對位移量為：在穩態時質量塊的相對位移量為：n當載體垂直自由降落，即以當載體垂直自由降落，即以a=ga=g沿敏感軸正向運動時，沿敏感軸正向運動時，因沿敏感軸正向有引力加速度因沿敏感軸正向有引力加速度G=gG=g，故質量塊的相對位，故質量塊的相對位移量為：移量為： n在慣性技術中，通常把加速度計輸出量在慣性技術中，通常把加速度計輸出量 稱為稱為“比力比力”。 () /xm aGk() /0 xk ggmn即作用在質量塊上的外力包括彈簧力和引力，根據牛即作用在質量塊上的外力包括彈

41、簧力和引力，根據牛頓第二定律，可以寫出：頓第二定律，可以寫出： FmGma彈FmamG彈FaGm彈Ffm彈faGn由此可知，比力代表了作用在質量塊單位質量上的彈簧由此可知，比力代表了作用在質量塊單位質量上的彈簧力。因為比力的大小與彈簧變形量成正比，而加速度計力。因為比力的大小與彈簧變形量成正比，而加速度計輸出電壓的大小正是與彈簧變形量成正比，所以加速度輸出電壓的大小正是與彈簧變形量成正比，所以加速度計實際感測的量并非載體的實際運動加速度計實際感測的量并非載體的實際運動加速度a a，而是比，而是比力力f f。因此，加速度計又稱比力敏感器。因此，加速度計又稱比力敏感器。 n考慮多種因素，加速度計感

42、測的比力可寫成：考慮多種因素，加速度計感測的比力可寫成： 即為運載體相對地球的運動速度，用即為運載體相對地球的運動速度，用v v代表。地代表。地球引力加速度球引力加速度 與地球自轉引起的向心加速度與地球自轉引起的向心加速度 共同形成了地球重力加速度，亦即：共同形成了地球重力加速度，亦即：222()eieeieieed rdrfrGdtdtedr dteG()ieier()eieiegGrn加速度計所感測的比力可改寫成：加速度計所感測的比力可改寫成： 2eiedvfvgdt n在慣性系統中，加速度計被安裝在載體內某一測量坐標在慣性系統中，加速度計被安裝在載體內某一測量坐標系中工作，例如直接安裝在

43、與載體固聯的載體坐標系中系中工作，例如直接安裝在與載體固聯的載體坐標系中( (對捷聯式慣性系統對捷聯式慣性系統) )。假設安裝加速度計的測量坐標系。假設安裝加速度計的測量坐標系為為p p系，它相對地球坐標系的轉動角速度為系，它相對地球坐標系的轉動角速度為 ，則有：，則有：n載體相對地球運動時加速度計所敏感的比力方程為：載體相對地球運動時加速度計所敏感的比力方程為：epepepdvdvvdtdt2pepiedvfvvgdt 2epiefvvvg n由于比力方程表明了加速度計所敏感的比力與載體相對由于比力方程表明了加速度計所敏感的比力與載體相對地球的加速度之間的關系，所以它是慣性系統的一個基地球的

44、加速度之間的關系，所以它是慣性系統的一個基本方程。不論慣性系統的具體方案和結構如何，該方程本方程。不論慣性系統的具體方案和結構如何，該方程都是適用的。導航計算中需要的是載體相對地球的加速都是適用的。導航計算中需要的是載體相對地球的加速度，而加速度計不能分辯有害加速度和載體相對加速度，度，而加速度計不能分辯有害加速度和載體相對加速度，因此，必須從加速度計所測得的比力因此，必須從加速度計所測得的比力f f中補償掉有害加中補償掉有害加速度的影響，才能得到載體相對地球的加速度，經過數速度的影響，才能得到載體相對地球的加速度，經過數學運算獲得載體相對地球的速度及位置等參數。學運算獲得載體相對地球的速度及

45、位置等參數。4 4、在地理坐標系上的絕對加速度分量、在地理坐標系上的絕對加速度分量n地理坐標系在慣性空間的旋轉角速度地理坐標系在慣性空間的旋轉角速度 n令：令： 則：則：cossinyxxyxzVRVRVtgR ynxeVRVRcossinxnyezetg 地理坐標系上的絕對加速度分量的表達式地理坐標系上的絕對加速度分量的表達式 n任何運動物體，如能準確地測量出它的運動加速度，并知任何運動物體，如能準確地測量出它的運動加速度，并知道其初始速度和位置，就可以計算出任意時刻物體的速度道其初始速度和位置，就可以計算出任意時刻物體的速度和位置。慣性導航系統就是建立在測量運動物體加速度的和位置。慣性導航

46、系統就是建立在測量運動物體加速度的基礎上進行導航定位的。在慣性導航系統中，都安裝有兩基礎上進行導航定位的。在慣性導航系統中，都安裝有兩個或三個測量軸互相正交的加速度計，每個加速度計測量個或三個測量軸互相正交的加速度計，每個加速度計測量出沿測量軸方向的加速度分量。此加速度出沿測量軸方向的加速度分量。此加速度A A就是固定在慣就是固定在慣性空間的慣測者所看到的矢量性空間的慣測者所看到的矢量r r對時間的兩次微分減去地對時間的兩次微分減去地心吸引力加速度，亦即：心吸引力加速度，亦即：22imd rAgdt八、慣性導航的基本原理八、慣性導航的基本原理n慣性導航系統的基本工作原理可簡要地表述如下：根據慣

47、性導航系統的基本工作原理可簡要地表述如下：根據牛頓定律，利用一組加速度計（或者和一組陀螺）連續牛頓定律，利用一組加速度計（或者和一組陀螺）連續地進行測量，而后從中提取運動載體相對某一選定導航地進行測量，而后從中提取運動載體相對某一選定導航坐標系的姿態角和加速度信息；通過一次積分運算坐標系的姿態角和加速度信息；通過一次積分運算( (載載體初始速度已知體初始速度已知) )得到載體相對導航坐標系的即時速度得到載體相對導航坐標系的即時速度信息；再通過一次積分運算信息；再通過一次積分運算( (載體初始位置已知載體初始位置已知) )便得到便得到載體相對導航坐標系的即時位置信息。載體相對導航坐標系的即時位置

48、信息。n一個典型的慣性導航系統通常由慣性測量裝置、專用計一個典型的慣性導航系統通常由慣性測量裝置、專用計算機等幾大部分組成。慣性測量元件包括加速度計和陀算機等幾大部分組成。慣性測量元件包括加速度計和陀螺儀。三個加速度計用來感測載體沿載體坐標系三個軸螺儀。三個加速度計用來感測載體沿載體坐標系三個軸向的線加速度，兩個或三個陀螺儀用來感測載體繞三個向的線加速度，兩個或三個陀螺儀用來感測載體繞三個軸的轉動，以構成一個物理平臺或軸的轉動，以構成一個物理平臺或“數學平臺數學平臺”。專用。專用計算機完成導航運算，即時地提供導航參數。計算機完成導航運算，即時地提供導航參數。慣性導航系統的組成慣性導航系統的組成

49、n1 1、 平臺式慣性導航的基本原理平臺式慣性導航的基本原理 n平臺式慣性導航系統是將慣性測量元件安裝在慣性平臺平臺式慣性導航系統是將慣性測量元件安裝在慣性平臺( (物理平臺物理平臺) )的臺體上。的臺體上。n平臺式慣導系統中的平臺能隔離載體的角振動，給慣性平臺式慣導系統中的平臺能隔離載體的角振動，給慣性測量元件提供較好的工作環境。由于平臺直接建立起導測量元件提供較好的工作環境。由于平臺直接建立起導航坐標系，故提取有用信號需要的計算量小，但結構復航坐標系，故提取有用信號需要的計算量小，但結構復雜，尺寸大。雜，尺寸大。 n平臺式慣導系統的核心是一個慣性級的陀螺穩定平臺，平臺式慣導系統的核心是一個

50、慣性級的陀螺穩定平臺，它確定了一個平臺坐標系，三個慣性級加速度計的敏感它確定了一個平臺坐標系，三個慣性級加速度計的敏感軸分別沿三個坐標軸的正向安裝，測得載體的加速度信軸分別沿三個坐標軸的正向安裝，測得載體的加速度信息就體現為比力在平臺坐標系中的三個分量。息就體現為比力在平臺坐標系中的三個分量。 0000tNNNtEEEVa dtVVa dtV000011sectNtEV dtRVdtR平臺式慣導系統各組成部分示意圖平臺式慣導系統各組成部分示意圖 n2 2 、捷聯式慣性導航的基本原理、捷聯式慣性導航的基本原理 n捷聯原文為捷聯原文為“strapdown”strapdown”，是將慣性測量元件直接

51、安，是將慣性測量元件直接安裝在載體上，省去了慣性平臺的臺體，代之以存貯在計裝在載體上，省去了慣性平臺的臺體，代之以存貯在計算機中的算機中的“數學平臺數學平臺”。根據所用陀螺儀的不同，又分。根據所用陀螺儀的不同，又分為速率捷聯式慣導系統和位置捷聯式慣導系統。前者用為速率捷聯式慣導系統和位置捷聯式慣導系統。前者用速率陀螺儀感測并輸出載體瞬時平均角速度信號，后者速率陀螺儀感測并輸出載體瞬時平均角速度信號，后者用自由陀螺儀感測并輸出載體的角位移信號。用自由陀螺儀感測并輸出載體的角位移信號。n由于省去了物理平臺，所以結構簡單，體積小，維護方由于省去了物理平臺，所以結構簡單，體積小，維護方便。但慣性測量元

52、件直接裝在載體上，工作環境差，會便。但慣性測量元件直接裝在載體上，工作環境差，會降低慣性器件的使用精度。由于三個加速度計輸出的加降低慣性器件的使用精度。由于三個加速度計輸出的加速度分量是沿載體坐標系軸，需經計算機轉換成導航坐速度分量是沿載體坐標系軸，需經計算機轉換成導航坐標系中的加速度分量標系中的加速度分量( (這種轉換起著這種轉換起著“數學平臺數學平臺”的作的作用用) )，故計算量要大得多。，故計算量要大得多。n捷聯系統的加速度計組件直接安裝在載體上，三個加速捷聯系統的加速度計組件直接安裝在載體上，三個加速度計的測量軸分別與載體坐標系的縱、橫及豎軸重合。度計的測量軸分別與載體坐標系的縱、橫及

53、豎軸重合。如果用如果用b b表示載體坐標系，而用表示載體坐標系，而用n n代表作為導航坐標系的代表作為導航坐標系的游動方位水平坐標系，則兩者間的方向余弦矩陣為：游動方位水平坐標系，則兩者間的方向余弦矩陣為：n捷聯系統的加速度計測得的比力分量為：捷聯系統的加速度計測得的比力分量為： coscoscossinsinsincossincoscossincoscossinsinsincossincoscoscossincoscossinabababbnababababababCbxbbybzffffnnbbfC fn正是依靠導航計算機對姿態矩陣的計算提供出的瞬時正是依靠導航計算機對姿態矩陣的計算提供出

54、的瞬時值值 ，才能順利地由，才能順利地由 得到得到 ，從而進行有效，從而進行有效的導航計算。也正是在這個意義上，我們說，用計算的導航計算。也正是在這個意義上，我們說，用計算機軟件實現了一個機軟件實現了一個“數學平臺數學平臺”并取代了原有的硬件并取代了原有的硬件( (實體實體) )平臺。當然，如同在導航矩陣計算前必須提供平臺。當然，如同在導航矩陣計算前必須提供初始矩陣一樣，在姿態矩陣計算之前，也必須提供初初始矩陣一樣，在姿態矩陣計算之前，也必須提供初始矩陣始矩陣 ，這是系統初始對準階段所要完成的工，這是系統初始對準階段所要完成的工作。作。nbCbfnf(0)nbCn與平臺式慣導系統相比，捷聯式慣導系統有如下特點：與平臺式慣導系統相比，捷聯式慣導系統有如下特點：n（1 1）取消了實體平臺，代之以大量的實時軟件計算，因此降低）取消了實體平臺，代之以大量的實時