1、1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa性質性質1 行列互換行列互換, 行列式不變行列式不變. 即即(稱為稱為D的轉置行列式的轉置行列式) D記記TD記記 性質性質1表明表明, 在行列式中行與列的地位是對稱的在行列式中行與列的地位是對稱的, 因之因之凡是有關行的性質凡是有關行的性質, 對列也同樣成立對列也同樣成立. 一、行列式的性質一、行列式的性質 2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 11122212000nnnnaaaaaa 在上一節中在上一節中, 我們從行列式的定義得到我們從行列式的

2、定義得到, 下三角行列下三角行列式等于對角線元素的乘積式等于對角線元素的乘積. 由性質由性質1, 對于上三角行列式對于上三角行列式也有同樣的結論也有同樣的結論.11121222000Tnnnnaaaaaa1122nna aa1niiia11121222000nnnnaaaaaa3機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質性質2. 行列式的兩行行列式的兩行(列列)互換互換, 行列式反號行列式反號. 1112111121121212121212nniiinjjjnjjjniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1111111111212222122211klnlkn

3、klnlknnnknlnnnnlnknnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 即即4機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如,571571 266853.825825 3615675673612668530 cbacba再如再如,cbacba cbacba 5機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Cor1. 如果行列式有兩行如果行列式有兩行(列列)相同相同, 則行列式為零則行列式為零. 性質性質3 111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakakaaaaaaaaa111111112122212211jnjnjnjnnnjnnnnj

4、nnakaaaaaakaaaaakakaaaaa 一個數乘以行列式某一行一個數乘以行列式某一行(列列), 等于用這個等于用這個數乘以這個行列式數乘以這個行列式. 即即6機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)有公因子有公因子k, 則可將這則可將這個公因子提到行列式外個公因子提到行列式外. Cor1. Cor2. 如果行列式的有兩行如果行列式的有兩行(列列)成比例成比例, 則行列式為零則行列式為零.Cor3. 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)全為零全為零,則行列式為零則行列式為零.例如例如123331182122 1282 2 3113 ,11

5、4 1263642841 126332184120963321 7機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 應用應用44434241343332312423222114131211kakakakakakakakakakakakakakakaka44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaak4(1)44434241343332313433323114131211aaaaaaaakakakakaaaaa44434241343332313433323114131211aaaaaaaaaaaaaaaak=0(2)8機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 如果行

6、列式某一行如果行列式某一行(列列)是兩組數的和是兩組數的和, 則此行則此行列式等于兩個行列式的和列式等于兩個行列式的和, 這兩個行列式的這一行這兩個行列式的這一行(列列)分別是第一組數和第二組數分別是第一組數和第二組數, 而其余各行而其余各行(列列)與原來行與原來行列式的相應各行列式的相應各行(列列)相同相同. 性質性質4. 11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabababaaabbbaaaaaaaaa即即11111111111112122221222122111jjnjnjnjjnjnjnn

7、njnjnnnnjnnnnjnnaabaaaaabaaabaaaaabaaabaaaaaba9機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如600300301395200199204100103600300130039520012002041003100 600300300395200200204100100 60030013952001204100310機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 行列式的某一行行列式的某一行(列列)乘以一個數加到另一行乘以一個數加到另一行(列列), 行列式不變行列式不變. 性質性質5. 即即111211112112121211221212nniiiniiinjjjni

8、jijinjnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaa111111111112122221222211klnkklnklnkklnnnknlnnnnknknlnnaaaaaacaaaaaaaaacaaaaaaaaacaaaQ. E. F.11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 基本思想基本思想: 化高階行列式為較低階的行列式化高階行列式為較低階的行列式. 定義定義. 在在n階行列式階行列式D中中,劃去元素劃去元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列列, 剩下的剩下的(n 1)2個元素依原順序組成一個個元素依原順序組成一個n 1階行列式階行列式稱為元素稱為

9、元素aij 的的余子式余子式, 記為記為Mij . 在余子式在余子式Mij 的前面貫的前面貫以符號以符號( 1)i+j, 稱稱Aij =( 1)i+j Mij 為元素為元素aij的的代數余子式代數余子式. nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 12機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa例如三階行列式例如三階行列式的代數余子式為：的代數余子式為：2223113233

10、aaMaa1213213233aaMaa1213312223aaMaa12132 1213233( 1)aaAaa 22231 1113233( 1)aaAaa 12133 1312223( 1)aaAaa 余子式余子式代數余子式代數余子式13機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa2123123133aaMaa1113223133aaMaa1113322123aaMaa11132 2223133( 1)aaAaa 21231 21231

11、33( 1)aaAaa 11133 2322123( 1)aaAaa 余子式余子式代數余子式代數余子式14機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa2122133132aaMaa1112233132aaMaa1112332122aaMaa11122 3233132( 1)aaAaa 21221 3133132( 1)aaAaa 11123 3332122( 1)aaAaa 余子式余子式代數余子式代數余子式15機動 目錄 上頁 下頁 返回 結

12、束 有了代數余子式的概念有了代數余子式的概念, 我們回憶三階行列式的展開我們回憶三階行列式的展開式式.333231232221131211aaaaaaaaaD 112233122331132132a a aa a aa a a132231122133112332a a aa a aa a a112233233212213323311321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa2223212321221 11 21 3111213323331333132( 1)( 1)( 1)a

13、aaaaaaaaaaaaaa111112121313a Aa Aa A16機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 n階行列式階行列式D等于它的任一行等于它的任一行(列列)元素與其元素與其對應的代數余子式的乘積之和對應的代數余子式的乘積之和. 定理定理1. 即即 1122,iiiiininDa Aa Aa A(1,2, )in或或1122,jjjjnjnjDa Aa Aa A(1,2, )jn031521413 52411 03523 )0341()1( 1312153 20 第第1列展開列展開例子例子17機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 行列式按一行行列式按一行(列列)展開的這個性質特別適用于計

14、算展開的這個性質特別適用于計算某一行某一行(列列)有諸多有諸多“0”的行列式的計算的行列式的計算, 因為此性質可因為此性質可將其化成低一階的行列式的計算將其化成低一階的行列式的計算. 11212221200nnnnnaaaaaaa111112100na AAA 例子例子1111a A2221 1112( 1)nnnnaaaaa18機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 計算計算n階行列式階行列式nD 解解: 將行列式按第一列展開將行列式按第一列展開1 11000000000000( 1)nnabaabDaa11000000000( 1)0nnbabbabb 1( 1)nnnab Q. E

15、. F.19機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 由于行列由于行列式中式中, 上上(下下)三角形行列式容易計算三角形行列式容易計算, 因此因此計算行列式的一個基本方法是利用行列式的性質計算行列式的一個基本方法是利用行列式的性質, 把行把行列式化成上列式化成上(下下)三角形行列式進行計算三角形行列式進行計算. 三、行列式的計算三、行列式的計算 2101044614753124025973313211 D例例2. 求下行列式求下行列式D的值的值20機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2101044614753124025973313211 D3 解解:210104461475312402201001

16、3211312 rr21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 23機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 24機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 Q. E. F.25機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 證明證明證明證明:Q. E. D.26機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求下行列式求下行列式D的值的值.解解:D D 27機動 目錄 上頁 下