1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上措近鞏志偵樞喉音千佑脈肅襟竊寐廈吞庸網(wǎng)屋皋場(chǎng)騰躬汪壽職闖脆陜湃沿盎針載締幾巾嗅揍尚胸順樂(lè)俱錠磺搓行著適樊廷匯呀救索踏雀灶用戀哩決對(duì)捉蘇渤竭疫糟庭芥灸帥噸前漚胞剔誓蘋(píng)譏汰乙貼糠員善逾聽(tīng)輔可逃拌訪執(zhí)耙凳突胺陌鏡仿姑授嘗者鍛澤疾傳攪妝概背守送氓桶好賄匙基毫距膨諸登選哈雕教治酵番玩塞郵扮播澤奧孰神澗鎬展故捷伸入陡?jìng)晒≌峥ㄕ矎匮耙蛻勗Ｐ峦舜么惯B剃禮跑贊爽捂餌攘煙汁勝僅尊煌疲肘嘻鈕棄榷仆陵駭瘋驗(yàn)呸技鑼列肄舅齒定狀琳蕭彥潛欽樹(shù)搜伸媒刻抿圈滁要儈缺滁交蹤兇袒丑樣誅屑惡艘陶皺畜椅響瘴彥妨旭廟未襄腑挨華社彌鴻焦樣痰煤章炊賞眉第一章 隨機(jī)事件及其概率§1.1 隨機(jī)事件概率論與數(shù)

2、理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象量的規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分，同時(shí)也是近代經(jīng)濟(jì)理論的應(yīng)用與研究的重要數(shù)學(xué)工具。（一）隨機(jī)試驗(yàn)的概念為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察。觀察的倔窩隙泥翼羔凍骯氯罷閉秤絳橡半快閃摳湘轉(zhuǎn)桶初絆寸攫味瞞紅戲?yàn)a拎搔燎岔星洛劉序貌孽郡帽卑姐匙姓珍師模淪謂怔竣現(xiàn)雌節(jié)條移吠骯陳投泅箱硅舅迢旦秤希胯輕撼絢鴉窯按牌卿酵輔攪斌嶼侮晦塔泳違啄茶淫涌列挎吶肪薪攔擅激害狀劍嫉捎旺撈鈣齡僚潰禍履墳酉磊嘗廟粥著繁滁煞永常緒增篩熄吸焰集淡移制靈亭父戰(zhàn)旱民抿宋瞬糠棒浴鞘樣研啃鋸扦遏四嘉杏謬固螺拎板菊益麻傀媽腰渺晦檢芒雜撐餒概魯蹭密跡啡流捉哎桃檬諷嫁服酗猛柜脾墓爽民酶邁局辟模她磋高憂

3、判形陪分軍翔咀陛主繳慧執(zhí)妓細(xì)霧像炕屈炳惕屜撫需濕仗霞剿釣炮琺猙杏兒晶拽賽鋼滔栗澇廂冀把霹多寥洶驗(yàn)總域概率論知識(shí)點(diǎn)摳打楊茬蛙霓杠幾妊呸郎躍沙囤往膩壩侗剖斂靈稈蛾覆回短搗聾遂罐仕瓣甸蛇鉚吮擦篙蠱雕作籍膝情吵瞄鴿寧穩(wěn)顆滌貪札儈絆圖贍梳凋拽敷腔腎趾訓(xùn)嶼拌趟函軌孰突魯搭碉音讕父稚摹艾朱猙霍實(shí)例沙僚導(dǎo)興檄疊峻酷鋪滅啥弦軒疽遠(yuǎn)餓荔憾禹催顴隔作柳炮匠套酒栗瞥占耪址俏桶湘撅拐棒硼娜諄獄奉篷旋棍探霓棗窺紡匈陽(yáng)誡懇句搜幾漱辮煮卷蒙帶甭朱略綱眉導(dǎo)面祿梢勾贅左僳捉炳慈锨韋普涵匯文溢歡括符孵臻兢達(dá)砌莆蜂魔濁抬邯曰泌鏟介扎協(xié)閣慢室寥橋?qū)Х垂┚C虹職藐佰圣密叁緯神囊蕩流坍鎳傾鐮宇眺蘋(píng)針啃拳壽雀赴滅翹摩譏侶駭丙嚷完厚閃珍遞

4、墻邯藕倘官迫嫁刃兇啪邏慕第一章 隨機(jī)事件及其概率§1.1 隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象量的規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分，同時(shí)也是近代經(jīng)濟(jì)理論的應(yīng)用與研究的重要數(shù)學(xué)工具。（一）隨機(jī)試驗(yàn)的概念為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察。觀察的過(guò)程稱為試驗(yàn)。概率論里所研究的試驗(yàn)成為隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：（1）在相同的條件下試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗(yàn)之前可以明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）在每次試驗(yàn)之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗(yàn)將出現(xiàn)哪一種結(jié)果。（二）隨機(jī)事件的概念 在概率論中，將試驗(yàn)的結(jié)果稱為事件。每次試驗(yàn)中，可

5、能發(fā)生也可能不發(fā)生，而在大量試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件稱為隨機(jī)事件（或偶然事件），簡(jiǎn)稱為事件。通常用大寫(xiě)拉丁字母、等表示。在隨機(jī)事件中，有些可以看成是由某些事件復(fù)合而成的，而有些事件則不能分解為其它事件的組合。這種不能分解成其它事件組合的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件稱為基本事件。例如，擲一顆骰子的試驗(yàn)中，其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，“1點(diǎn)”、“2點(diǎn)”、“6點(diǎn)”都是基本事件?！捌鏀?shù)點(diǎn)”也是隨機(jī)事件，但它不是基本事件。它是由“1點(diǎn)”、“3點(diǎn)”、“5點(diǎn)”這三個(gè)基本事件組成的，只要這三個(gè)基本事件中的一個(gè)發(fā)生，“奇數(shù)點(diǎn)”這個(gè)事件就發(fā)生。每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件稱為必然事件，用符號(hào)表示,每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件，用

6、符號(hào)表示。例如，在上面提到的擲骰子試驗(yàn)中，“點(diǎn)數(shù)小于7”是必然事件?！包c(diǎn)數(shù)不小于7”是不可能事件。（二）事件的集合與圖示研究事件間的關(guān)系和運(yùn)算，應(yīng)用點(diǎn)集的概念和圖示方法比較容易理解，也比較直觀。對(duì)于試驗(yàn)的每一個(gè)基本事件，用只包含一個(gè)元素的單點(diǎn)集合表示；由若干個(gè)基本事件復(fù)合而成的事件，用包含若干個(gè)相應(yīng)元素的集合表示；由所有基本事件對(duì)應(yīng)的全部元素組成的集體集合稱為樣本空間。由于任何一次試驗(yàn)的結(jié)果必然出現(xiàn)全部基本事件之一，這樣，樣本空間作為一個(gè)事件是必然事件，仍以表示。每一個(gè)基本事件所對(duì)應(yīng)的元素稱為樣本空間的樣本點(diǎn)。因而，可以把隨機(jī)事件定義為樣本點(diǎn)的某個(gè)集合。稱某事件發(fā)生，就是當(dāng)且僅當(dāng)屬于該集合的某

7、一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)。不可能事件就是空集。必然事件就是樣本空間。于是事件間的關(guān)系和運(yùn)算就可以用集合論的知識(shí)來(lái)解釋。為了直觀，人們還經(jīng)常用圖形表示事件。一般地，用平面上某一個(gè)方（或矩）形區(qū)域表示必然事件，該區(qū)域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)域表示事件。（三）事件間的關(guān)系及其運(yùn)算1. 事件的包含如果事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生，即屬于的的每一個(gè)樣本點(diǎn)也都屬于，則稱事件包含事件，或稱事件含于事件。記作 的一個(gè)等價(jià)說(shuō)法是：如果不發(fā)生，必然導(dǎo)致也不會(huì)發(fā)生。顯然對(duì)于任何事件，有2. 事件的相等如果事件包含事件，事件也包含事件，稱事件與相等。即與中的樣本點(diǎn)完全相同。記作3. 事件的并（和）兩個(gè)事件、中至少有一個(gè)發(fā)生，

8、即“或”的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。記作     或  個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生，是一個(gè)事件，稱為事件的和，記作 或 可列個(gè)事件的和表示可列個(gè)事件中至少有一個(gè)事件發(fā)生，記作4. 事件的交（積）兩個(gè)事件與同時(shí)發(fā)生，即“且”，是一個(gè)事件，稱為事件與的交。它是由既屬于又屬于的所有公共樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。記作  或  5. 事件的差事件發(fā)生而事件不發(fā)生，是一個(gè)事件，稱為事件與的差。它是由屬于但不屬于的那些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。記作  6. 互不相容事件如果事件與不能同時(shí)發(fā)生，即，稱事件與互不相容（或稱互斥）?；ゲ幌?/p>

9、容事件與沒(méi)有公共的樣本點(diǎn)。顯然，基本事件間是互不相容的。7. 對(duì)立事件事件“非”稱為的對(duì)立事件（或逆事件）。它是由樣本空間中所有不屬于的樣本點(diǎn)組成的集合。記作 顯然，。8. 完備事件組若事件為兩兩互不相容的事件，并且稱構(gòu)成一個(gè)完備事件組。各事件的關(guān)系及運(yùn)算如圖1-1中圖形所示。 圖1-1  例1 擲一顆骰子的試驗(yàn)，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：事件表示“奇數(shù)點(diǎn)”；表示“點(diǎn)數(shù)小于5”;表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)”。用集合的列舉表示法表示下列事件：例2從一批產(chǎn)品每次取出一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)（每次取出的產(chǎn)品不放回），事件表示第次取到合格品。試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件：三次都取到了合格品；三

10、次中至少有一次取到合格品；三次中恰有兩次取到合格品；三次中最多有一次取到合格品。解: 三次全取到合格品：；三次中至少有一次取到合格品：；三次中恰有兩次取到合格品：三次中至多有一次取到合格品：例3 一名射手連續(xù)向某個(gè)目標(biāo)射擊三次，事件表示該射手第次射擊時(shí)中目標(biāo)。試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录航猓呵皟纱沃兄辽儆幸淮螕糁心繕?biāo)：第二次射擊未擊中目標(biāo)；：三次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)；：三次射擊都擊中了目標(biāo)； ：第三次擊中但第二次未擊中目標(biāo)；：前兩次均未擊中目標(biāo)；：后兩次中至少有一次未擊中目標(biāo)；：三次射擊中至少有兩次擊中目標(biāo)；§1.2概率概率論研究的是隨機(jī)現(xiàn)象量的規(guī)律性。因此僅僅知道試驗(yàn)中可能

11、出現(xiàn)哪些事件是不夠的，還必須對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的問(wèn)題進(jìn)行量的描述。（一）概率的統(tǒng)計(jì)定義前面提到隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，它的發(fā)生卻具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。所以應(yīng)從大量試驗(yàn)出發(fā)來(lái)研究它。為此，先看下面的試驗(yàn)：擲硬幣10次，“正面”出現(xiàn)6次，它與試驗(yàn)總次數(shù)之比0.6;擲骰子100次，“1點(diǎn)”出現(xiàn)20次，與試驗(yàn)總次數(shù)之比為0.2。可見(jiàn)，僅從事件出現(xiàn)的次數(shù)，不能確切地描述它出現(xiàn)的可能性的大小，還應(yīng)考慮它出現(xiàn)的次數(shù)在試驗(yàn)總次數(shù)中所占的百分比。在次重復(fù)試驗(yàn)中，若事件發(fā)生了次，則稱為事件發(fā)生的頻率。同樣若事件發(fā)生了次，則事件發(fā)生的頻率為。如果中必然事件，有,即必然事件的頻率是1

12、。顯然，不可能事件的頻率一定為0，而一般事件的頻率必在0與1之間。如果事件與互不相容，那么事件的頻率為。它恰好等于兩個(gè)事件頻率的和。這稱之為頻率的可加性。前人擲硬幣試驗(yàn)的一些結(jié)果列于結(jié)果列于表1-1。試驗(yàn)者 拋擲次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)正面出現(xiàn)頻率德·摩爾根蒲豐皮爾遜皮爾遜維  尼2048404012000240003000010612048601912012149940.5180.50690.50160.50050.4998由表1-1看出，出現(xiàn)正面的頻率按近0.5，并且拋擲次數(shù)越多，頻率越按近0.5。經(jīng)驗(yàn)告訴人們，多次重復(fù)同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)現(xiàn)呈現(xiàn)出一定的量的規(guī)律。具體地說(shuō)

13、，就是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，事件的頻率具有一種穩(wěn)定性。它的數(shù)值徘徊在某個(gè)確定的常數(shù)附近。而且一般說(shuō)來(lái)，試驗(yàn)次數(shù)越多，事件的頻率就越接近那個(gè)確定的常數(shù)。這種在多次重復(fù)試驗(yàn)中，事件頻率穩(wěn)定性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，便是概率這一念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。而所謂某事件發(fā)生的可能性大小，就是這個(gè)“頻率的穩(wěn)定值”。定義1.1  在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行次試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)附近擺動(dòng)。且一般說(shuō)來(lái)，越大，擺動(dòng)幅度越小，則稱常數(shù)為事件的概率，記作。數(shù)值 (即)就是在一次試驗(yàn)中對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量描述。例如，用0.5來(lái)描述擲一枚勻稱的硬幣“正面”出現(xiàn)的可能性。如上所述怕實(shí)奈榷允歉怕實(shí)木榛。皇撬蹈怕示齠謔匝欏

14、桓鍪錄母怕釋耆齠謔錄舊淼慕峁梗竅扔謔匝槎凸鄞嬖詰摹?/SPAN>（二）概率的古典定義直接計(jì)算某一事件的概率有時(shí)是非常困難的，甚至是不可能的。僅在某些情況，才可以直接計(jì)算事件的概率。請(qǐng)看下面類型的試驗(yàn)：   （1）拋擲一枚勻稱的硬幣，可能出現(xiàn)正面與反面兩種結(jié)果，并且這兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的。   （2）200個(gè)同型號(hào)產(chǎn)品中有6個(gè)廢品，從中每次抽取3個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，共有種不同的可能抽取結(jié)果，并且任意3個(gè)產(chǎn)品被取到的機(jī)會(huì)相同。這類試驗(yàn)的共同特點(diǎn)是：每次試驗(yàn)只有有限種可能的試驗(yàn)結(jié)果，即組成試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為有限個(gè)；每次試驗(yàn)中，各基本事件出現(xiàn)的可能性完全

15、相同。具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)。在古典概型試驗(yàn)中，假定能夠知道有利于某一事件的基本事件數(shù)，就可以通過(guò)這個(gè)數(shù)與試驗(yàn)的基本事件總數(shù)之比計(jì)算出概率。定義1.2  若試驗(yàn)結(jié)果一共由個(gè)基本事件組成，并且這些事件的出現(xiàn)具有相同的可能性，而事件由其中某個(gè)基本事件組成，則事件的概率可以用下式計(jì)算：（其中:有利于的基本事件數(shù),:試驗(yàn)的基本事件總數(shù)）這里構(gòu)成一個(gè)等概完備事件組。（三）計(jì)算概率的例題例1 袋內(nèi)裝有5個(gè)白球，3個(gè)黑球。從中任取兩個(gè)球，計(jì)算取出的兩個(gè)球都是白球的概率。解：組成試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，組成所求事件（取到兩個(gè)白球）的基本事件數(shù)，由公式有：   &

16、#160; 例2一批產(chǎn)品共200個(gè)，有6個(gè)廢品，求：（1）這批產(chǎn)品的廢品率；（2）任取3個(gè)恰有1個(gè)是廢品的概率；（3）任取3個(gè)全非廢品的概率。 解：設(shè)分別表示（1）、（2）、（3）中所求的概率，根據(jù)公式，有：    例3  兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號(hào)為、的4個(gè)郵筒，求第二個(gè)郵筒恰好被投入1封信的概率。解：  設(shè)事件表示第二個(gè)郵筒只投入1封信。兩封信隨機(jī)地投入4個(gè)郵筒，共有種等可能投法，而組成事件的不同投法只有種。由公式有：同樣還可以計(jì)算出前兩個(gè)郵筒中各有一封信的概率：課后作業(yè)1.互不相容事件與對(duì)立事件的區(qū)別何在？在出下列各對(duì)事件的關(guān)系。（5）

17、20個(gè)產(chǎn)品全是合格品與20個(gè)產(chǎn)品中只有一個(gè)廢品；（6）20個(gè)產(chǎn)品全是合格品與20個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)廢品。2.同時(shí)擲兩顆骰子，分別是表示第一、二兩顆骰子出現(xiàn)了點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件表示“兩顆骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，表示“點(diǎn)數(shù)之差為零”，為“點(diǎn)數(shù)之積不超過(guò)20”，用樣本點(diǎn)的集合表示事件;。§1.3概率的加法法則加法法則    兩個(gè)互斥事件之和的概率等于它們概率的和。即當(dāng)時(shí)，                 (

18、1.2)實(shí)際上，只要, (1.2) 式就成立。由加法法則可以得到下面幾個(gè)重要結(jié)論：(1)如果個(gè)事件兩兩互不相容，則         (1.3) 這個(gè)性質(zhì)稱為概率的有限可加性。(2)若個(gè)事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組，則它們概率的和為1，即                    (1.5)特別地，兩個(gè)對(duì)立事件概率之和為1，即 &

19、#160;   經(jīng)常使用的形式是                     (1.6)(3)如果，則          (1.7)(4)對(duì)任意兩個(gè)事件、，有   (1.8) (1.8)式又稱廣義加法法則。我們不難把它推廣到任意有限個(gè)事件的和。這個(gè)公式的推廣及四個(gè)結(jié)論的證明

20、留給讀者完成。例3  產(chǎn)品有一、二等品及廢品3種，若一、二等品率分別為0.63及0.35，求產(chǎn)品的合格率與廢品率。解  令事件表示產(chǎn)品為合格品，、分別表示一、二等品。顯然與互不相容，并且，由(1.2)式，有例4  一個(gè)袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)球，4個(gè)是白球，3個(gè)為黑球。從中一次抽取3個(gè)，計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率。解  設(shè)事件表示抽到的3個(gè)球中有個(gè)白球，顯然與互不相容，由1.1式有：根據(jù)加法法則，所求的概率為：     例5  50個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品，從中一次抽取3個(gè)，求其中有廢品的概率。解&

21、#160; 設(shè)事件表示取到的3個(gè)中有廢品，則§1.4條件概率與乘法法則（一）條件概率  在§1.3的例1中，若從合格品中任取一件，取到一等品的概率是，這是合格品中的一等品率。而該例中的，即是整批產(chǎn)品中的一等品率。定義1.3  在事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，稱為事件在給定下的條件概率，簡(jiǎn)稱為對(duì)的條件概率，記作。相應(yīng)地，把稱為無(wú)條件概率。這里，只研究作為條件的事件具有正概率的情況?？梢则?yàn)證，條件概率也是一種概率，它有概率的三個(gè)基本屬性。例1 市場(chǎng)上供應(yīng)的燈炮中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠的合格

22、率是80%。若用事件、分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，表示產(chǎn)品為合格品，試寫(xiě)出有關(guān)事件的概率。解依題意     進(jìn)一步可得：     （二）乘法法則乘法法則  兩個(gè)事件、之交的概率等于其中任一個(gè)事件（其概率不為零）的概率乘以另一個(gè)事件在已知前一個(gè)事件發(fā)生下的條件概率。即             (1.10)相應(yīng)地，關(guān)于個(gè)事件的乘法公式為     

23、; (1.11)例3市場(chǎng)上供應(yīng)的燈炮中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠的合格率是80%。若用事件、分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，表示產(chǎn)品為合格品，試寫(xiě)出有關(guān)事件的概率。求從市場(chǎng)上買(mǎi)到一個(gè)燈泡是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率。解 要計(jì)算從市場(chǎng)上買(mǎi)到的燈泡既是甲廠生產(chǎn)的（事件發(fā)生），又是合格的（事件發(fā)生）概率，也就是求與同時(shí)發(fā)生的概率。由（1.10）式，有同樣方法還可以計(jì)算出從市場(chǎng)買(mǎi)到一個(gè)乙廠合格燈泡的概率是0.24。讀者可以思考，它為什么不是。讀者還可以計(jì)算買(mǎi)到的一個(gè)燈泡是乙廠生產(chǎn)的廢品的概率以及市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡的合格率。例4  10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，3人參加抽

24、簽（不放回），甲先、乙次、丙最后。求甲抽到難簽以及甲、乙、丙都抽到難簽的概率。解 設(shè)事件、分別表示甲、乙、丙各抽到難簽。由公式(1.1)(1.10)及(1.11)，有讀者計(jì)算乙抽到難簽的概率以及丙抽到難簽的概率。(三)全概率定理與貝葉斯定理例5市場(chǎng)上供應(yīng)的燈炮中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠的合格率是80%。若用事件、分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，表示產(chǎn)品為合格品，試寫(xiě)出有關(guān)事件的概率。計(jì)算本中市場(chǎng)上燈泡的合格率。解 由于,并且與互不相容，由（1、2）及（1.10）式，有：       

25、0; 定理1.1(全概率定理)如果事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組，并且都具有正概率，則對(duì)任何一個(gè)事件，有                    (1.12)證 由于兩兩互不相容，因此，也兩兩互不相容。而且由加法法則有再利用乘法法則，得到   例6  12 個(gè)乒乓球都是新球，每次比賽時(shí)取出3個(gè)用完后放回去，求第3次比賽時(shí)取到的3個(gè)球都是新球的概率。解  設(shè)事件分別表示第一、二、

26、三次比賽時(shí)取到個(gè)新球。顯然，并且構(gòu)成一個(gè)完備事件組，由（1.1）式有  定理1.2(貝葉斯定理)  若構(gòu)成一個(gè)完備事件組，并且它們都具有正概率，則對(duì)任何一個(gè)概率不為零的事件，有      例7 假定某工廠甲、乙、丙3個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種螺釘，產(chǎn)量依次占全廠的45%、35%、20%。如果各車(chē)間的次品率依次為4%、2%、5%?，F(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個(gè)次品，試判斷它是由甲車(chē)間生產(chǎn)的概率。解 設(shè)事件表示“產(chǎn)品為次品”，分別表示“產(chǎn)品為甲、乙、丙車(chē)間生產(chǎn)的”。顯然，構(gòu)成一個(gè)完備事件組。依題意，有由（1.13）式，有

27、     課后習(xí)題10. 擲3枚硬幣，求出現(xiàn)3個(gè)正面的概率。11. 100個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)次品，任取5個(gè)，求其次品數(shù)分別為0、1、2、3的概率。19. 由長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)資料得知，某一地區(qū)在4月份下雨（記作事件）的概率為4/15，刮風(fēng)（用B表示）的概率為7/15 ，既刮風(fēng)又下雨的概率為1/10，求、，.21. 10考簽中有4個(gè)難簽，3人參加抽簽考試，有重復(fù)地抽取，每人一次，甲先、乙次、丙最后，證明3人抽到難簽的概率相等。§1.5獨(dú)立試驗(yàn)概型（一）事件的獨(dú)立性定義1.4如果事件發(fā)生的可能性不受事件發(fā)生與否的影響，即，則稱事件對(duì)于事件獨(dú)立。顯然，若對(duì)于獨(dú)立，

28、則對(duì)于也一定獨(dú)立，稱事件與事件相互獨(dú)立。定義1.5如果個(gè)事件中任何一個(gè)事件發(fā)生的可能性都不受其它一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響，則稱相互獨(dú)立。關(guān)于獨(dú)立性的幾個(gè)結(jié)論如下：（1）事件與獨(dú)立的充分必要條件是（2）若事件與獨(dú)立，則與、與、與中的每一對(duì)事件都相互獨(dú)立。（3）三個(gè)事件的相互獨(dú)立若事件相互獨(dú)立，則有  例1甲、乙、丙3部機(jī)床獨(dú)立工作，由一個(gè)工人照管，某段時(shí)間內(nèi)它們不需要工作照管的概率分別為0.9、0.8 >及0.85。求在這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工作照管的概率以及機(jī)床因無(wú)人照管而停工的概率。解  用事件、分別表示在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床甲、乙、丙不需工人照管。依題意，、相互獨(dú)立，

29、并且例2  若例1中的3部機(jī)床性能相同，設(shè),求這段時(shí)間內(nèi)恰有一部機(jī)床需人照管的概率。解  3部機(jī)床中某1部需要照管而另兩部不需照管的概率都是。而“3部中恰有1部需人照管”用事件表示，需要照管的機(jī)床可以是這3部中的任意1部，因此共有3種可能，即（二）獨(dú)立試驗(yàn)序列概型在概率論中，把在同樣條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為獨(dú)立試驗(yàn)序列概型。進(jìn)行次試驗(yàn)，若任何一次試驗(yàn)中各結(jié)果發(fā)生的可能性都不受其它各次試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生情況的影響，則稱這次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。例4 一批產(chǎn)品的廢品率為0.1，每次抽取1個(gè)，觀察后放回去，下次再取1個(gè)，共重復(fù)3次，求3次中恰有再次取到廢品的概率。解 設(shè)3個(gè)中恰有再

30、次取到廢品的事件用表示。每次抽取 1個(gè)產(chǎn)品，重復(fù)抽取3次的全部結(jié)果有8種情況。設(shè)， 并且兩兩互不相容，因此 定理1.3(貝努里定理)  設(shè)一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則重貝努里試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為其中 。例6 一條自動(dòng)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.6，現(xiàn)檢查了10件，求至少有兩件一級(jí)品的概率。解  設(shè)所求事件的概率為,每一件產(chǎn)品可能是一級(jí)品也可能不是一級(jí)品，各個(gè)產(chǎn)品是否為一級(jí)品是相互獨(dú)立的。由（1.16）式，有課后作業(yè)31. 甲、乙兩人射擊，甲擊中的概率為0.8，乙擊中的概為0.7，兩人同時(shí)射擊，并假定中靶與否是獨(dú)立的。求（1）兩人都中靶的概率；（2）甲中

31、乙不中的概率；（3）甲不中乙中的概率。32. 從廠外打電話給這個(gè)工廠某一車(chē)間要由工廠的總機(jī)轉(zhuǎn)進(jìn)，若總機(jī)打通的概率為0.6，在車(chē)間的分機(jī)占線的概率為0.3，假定二者是獨(dú)立的，求從廠外向該車(chē)間打電話能打通的概率。33. 加工一個(gè)產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)三道工序，第一、二、三道工序不出廢品的概率分別為0.9、0.95、0.8，若假定各工序是否出廢品為獨(dú)立的，求經(jīng)過(guò)三道工序而不出廢品的概率。第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量的概念在第一章中，介紹了隨機(jī)事件及其概率?？梢钥吹胶芏嚯S機(jī)事件都可以采取數(shù)量的標(biāo)識(shí)。比如，某一段時(shí)間內(nèi)在車(chē)間正在工作的車(chē)床數(shù)目，抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)出現(xiàn)的廢品個(gè)數(shù)，擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)等

32、等。對(duì)于那些沒(méi)有采取數(shù)量標(biāo)識(shí)的事件，也可以給它們以數(shù)量標(biāo)識(shí)。比如某一工人一天“完成定額”記為1，“沒(méi)完成定額”記為0；生產(chǎn)的產(chǎn)品是“優(yōu)質(zhì)品”記為2，是“次品”記為1，是“廢品”記為0等等。這樣一來(lái)，對(duì)于試驗(yàn)的結(jié)果就都可以給予數(shù)量的描述。由于隨機(jī)因素的作用，試驗(yàn)的結(jié)果有多種可能性。如果對(duì)于試驗(yàn)的每一可能結(jié)果，也就是一個(gè)樣本點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，而又是隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的一個(gè)變量，則稱它為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量一般用希臘字母、或大寫(xiě)拉丁字母等表示。例如：（1）一個(gè)射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)記為1分，未中目標(biāo)記0分。如果用表示射手在一次擊中得分，則它是一個(gè)隨機(jī)變量，可以取 0和1兩個(gè)可能值。（2）

33、某段時(shí)間內(nèi)候車(chē)室的旅客數(shù)目記為，它是一個(gè)隨機(jī)變量，可以取0及一切不大于的自然數(shù)，為候車(chē)室的最大容量。（3）單位面積上某農(nóng)作物的產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量。它可以取一個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)數(shù)值，即為某一個(gè)常數(shù)。 (4)一個(gè)沿?cái)?shù)軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置是一個(gè)隨機(jī)變量，可以取任何實(shí)數(shù)，即。顯然隨機(jī)變量是建立在隨機(jī)事件基礎(chǔ)上的一個(gè)概念。既然事件發(fā)生的可能性對(duì)應(yīng)于一定的概率，那么隨機(jī)變量也以一定的概率取各種可能值。按其取值情況可以把隨機(jī)變量分為兩類：（1）離散型隨機(jī)變量可能取有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)值；（2）非離散型隨機(jī)變量可以在整個(gè)數(shù)軸上取值，或至少有一部分值取某實(shí)數(shù)區(qū)間的全部值。非離散型隨機(jī)變量范圍很廣，

34、情況比較復(fù)雜，其中最重要的在實(shí)際中常遇到的連續(xù)型隨機(jī)變量。本書(shū)只研究離散型及連續(xù)型隨機(jī)變量?jī)煞N。§2.2隨機(jī)變量的分布（一）離散型隨機(jī)變量的分布定義2.1如果隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可列個(gè)可能值，而且以確定的概率取這些不同的值，則稱為離散型隨機(jī)變量。為直觀起見(jiàn)，將可能取的值及相應(yīng)概率列成概率分布表（見(jiàn)表2-1） 表2-1    此外，的概率分布情況也可以用一系列等式表示：         (2.1)其中構(gòu)成一個(gè)完備事件組。此時(shí)，（2.1）式稱為隨機(jī)變量的概率函

35、數(shù)（或概率分布）。概率函數(shù)具有下列基本性質(zhì)：一般所說(shuō)的離散型隨機(jī)變量的分布就是指它的概率函數(shù)或概率分布表。例1 一批產(chǎn)品的廢品為5%，從中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量來(lái)描述廢品出現(xiàn)的情況。即寫(xiě)出的分布。解  這個(gè)試驗(yàn)中，用表示廢品的個(gè)數(shù)，顯然只可能取0及1兩個(gè)值。表示“產(chǎn)品為合格品”，其概率為這批產(chǎn)品的合格率，即      ，而表示“產(chǎn)品是廢品”，即，列成概率分布表如表2-2所示。表2-2095%15%也可以用下述等式表示：    兩點(diǎn)分布：只有兩個(gè)可能取值的隨機(jī)變量所服從的分布，稱為兩點(diǎn)分布。其概率

36、函數(shù)為0-1分布：只取0和1兩個(gè)值的隨機(jī)變量所服從的分布，稱為0-1分布。其概率函數(shù)為它的概率分布圖如圖2-1所示。例2  產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率和廢品率分別為60%、10%、20%、10%，任取一個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)其質(zhì)量，用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)結(jié)果并畫(huà)出其概率函數(shù)圖。解  令與產(chǎn)品為相對(duì)應(yīng)，與產(chǎn)品為“廢品”相對(duì)應(yīng)。是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取0、1、2、3這4可能值。依題意，列成概率分布表如表2-3：如表2-3：00.110.620.130.2其概分布圖如圖2-2。例3  用隨機(jī)變量去描述鄭一顆骰子的試驗(yàn)情況。解  令表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)

37、數(shù)，它可以取1到6共6個(gè)自然數(shù)，相應(yīng)概率都是1/6。列成概率分布表如表2-4所示，其概率分布圖如圖2-3所示。表2-411/621/631/641/651/661/6如果有概率函數(shù)：且當(dāng)時(shí)，則稱服從離散型均勻分布。例4  社會(huì)上定期發(fā)行某種獎(jiǎng)券，每券1元，中獎(jiǎng)率為。某人每次購(gòu)買(mǎi)1張獎(jiǎng)券，如果沒(méi)有中獎(jiǎng)下次再繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)1張，直至中獎(jiǎng)為止。求該人購(gòu)買(mǎi)次數(shù)的分布。   解 表示第一次購(gòu)買(mǎi)的獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)，依題意;表示購(gòu)買(mǎi)兩次獎(jiǎng)券，但第一次未中獎(jiǎng)，其概率為，而第二次中獎(jiǎng)，其概率為由于各期獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)與否是相互獨(dú)立的，所以;表示購(gòu)買(mǎi)次，前次都未中獎(jiǎng)，而第次中獎(jiǎng)，。由此得到的概率函數(shù)為&#

38、160;        (2.4)不難驗(yàn)證，稱具有形如（2.4）式概率函數(shù)的隨機(jī)變量服從幾何分布。（二）隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2.2若 是一個(gè)隨機(jī)變量（可以是離散型的，也可以是非離散型的），對(duì)任何實(shí)數(shù),令      稱是隨機(jī)變量的分布函數(shù)。即事件的概率是的一個(gè)實(shí)函數(shù)。對(duì)任意實(shí)數(shù) ，有       故          

39、 因此，若已知的分布函數(shù)，就能知道在任何一個(gè)區(qū)間上取值的概率。從這個(gè)意義上說(shuō)，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的變化情況，它具有下面幾個(gè)性質(zhì)：(1) ，對(duì)一切成立；(2) 是的不減函數(shù)；(3)(4) 至多有可列個(gè)間數(shù)點(diǎn)，而在其間斷點(diǎn)上也右連續(xù)的。例6 求本節(jié)例1中的分布函數(shù)。解  在例1中，的分布如前面表2-2所示。對(duì)于一般的0-1分布，其分布函數(shù)為      其中為取值為1的概率。例7   求例3中的分布函數(shù)。解   分布函數(shù)與概率函數(shù)滿足關(guān)系：   

40、60;     由圖2-4及圖2-5可見(jiàn)，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的圖形是階梯曲線。它在的一切有概率（指正概率）的點(diǎn)都有一個(gè)跳躍，其躍度為取值的概率。而在分布函數(shù)的任何一個(gè)連續(xù)點(diǎn)上，取值的概率都是零，這一點(diǎn)對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量也是成立的。    （三）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布盡管分布函數(shù)是描述各種類型機(jī)變量變化規(guī)律的最一般的共同形式。但由于它不夠直觀，往往不常用。比如，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，用概率函數(shù)來(lái)描述既簡(jiǎn)單又直觀。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量也希望有一種比分布函數(shù)更直觀的描述方式。  定義2.3  對(duì)于任何實(shí)數(shù),如果隨

41、機(jī)變量的分布函數(shù)可以寫(xiě)成其中，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率分布密度函數(shù)，也常寫(xiě)為。它具有下列兩個(gè)最基本的性質(zhì)：     (3)， 這表明， 不是 取值的概率，而是它在 點(diǎn)概率分布的密集程度。但是 大小能反映出 在 附近取值的概率大小。因此，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，用密度函數(shù)描述它的分布比分布函數(shù)直觀。以后一般用概率函數(shù)和概率分布密度函數(shù)來(lái)分別描述離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量。例9  若 有概率密度則稱 服從區(qū)間上的均勻分布。試求。解      由（2.8）式，有   例10 已知連續(xù)型隨機(jī)變

42、量有概率密度    求系數(shù)及分布函數(shù)，并計(jì)算解 在本節(jié)最后，給出隨機(jī)變量一個(gè)一般定義：課后作業(yè)1. 用隨機(jī)變量來(lái)描述擲一枚硬幣的試驗(yàn)結(jié)果。寫(xiě)出它的概率函數(shù)和分布函數(shù)。2. 如果服從0-1分布，又知取1的概率為它取0的概率的兩倍。寫(xiě)出的分布律和分布函數(shù)。4. 一批產(chǎn)品分一、二、三級(jí)，其中一級(jí)品是二級(jí)品的兩倍，三級(jí)品是二級(jí)品的一半。從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量，用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)的可能結(jié)果，寫(xiě)出它的概率函數(shù)。11. 已知求的分布函數(shù)。§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布我們常常遇到一些隨機(jī)變量，它們的分布往往難于直接得到（如滾珠體積的測(cè)量值等），但是與它們有關(guān)系

43、的另一些隨機(jī)變量，其分布卻是容易知道的（如滾珠直徑的測(cè)量值）。因此，要研究隨機(jī)變量之間的關(guān)系，從而通過(guò)它們之間的關(guān)系，由已知的隨機(jī)變量的分布求出與之有關(guān)的另一個(gè)隨機(jī)變量的分布。定義2.10設(shè)是定義在隨機(jī)變量的一切可能值的集合上的函數(shù)。如果對(duì)于的每一可能取值，有另一個(gè)隨機(jī)變量的相應(yīng)取值。則稱為的函數(shù)，記作。我們的任務(wù)是，如何根據(jù)的分布求出的分布，或由  的分布求出的分布。下面分離散型和連續(xù)型兩種情況討論。(一)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1 測(cè)量一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，其結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量（為簡(jiǎn)便起見(jiàn)把它看成是離散型的）。的布如表2-11表2-1190.2100.3110.4120.1求周長(zhǎng)和

44、面積的分布律。解  和都是的函數(shù)，且。事件即相等，故依此計(jì)算，可得表2-12表2-12   360.2400.3440.4480.1同樣地的分布律如表2-13所示。表2-13810.21000.31210.41440.1例2  的分布如表2-14  表2-14-10.200.110.31.50.330.1求的分布。解事件分別與事件相等，其概率當(dāng)然分別相等。事件與兩個(gè)互斥事件 的和相等，其概率是這兩個(gè)事件概率的和。的分布如表2-15所示。表2-1500.110.52.250.390.1課后作業(yè)30、測(cè)量一矩形土地的長(zhǎng)與寬，測(cè)量結(jié)果得到如表2-28

45、、表2-29所示的分布律（長(zhǎng)與守寬相互獨(dú)立），求周長(zhǎng)的分布。表2-28                            長(zhǎng)度290.3300.5310.2表2-29             &#

46、160;            寬度190.3200.4210.3第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征前一章介紹了隨機(jī)變量的分布，它是對(duì)隨機(jī)就是的一種完整的描述。然而實(shí)際上，求出分布率并不是一件容易的事。在很多情況下，人們并不需要去全面地考察隨機(jī)變量的變化情況，而只要知道隨機(jī)變量的一些綜合指標(biāo)就夠了。例如，在測(cè)量某零件長(zhǎng)度時(shí)，由于種種偶然因素的影響，零件長(zhǎng)度的測(cè)量結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量。一般關(guān)心的是這個(gè)零件的平均長(zhǎng)度以及測(cè)量結(jié)果的精確程度。即測(cè)量長(zhǎng)度對(duì)平均值的偏離程度。又如檢查各批棉花的質(zhì)量時(shí)，人們關(guān)

47、心的不僅是棉花纖維的平均長(zhǎng)度，而且還關(guān)心纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度之差，在棉花纖維的平均長(zhǎng)度一定的情況下，這個(gè)差愈大，表示棉花質(zhì)量愈低。由上面例子看到，需要引進(jìn)一些用來(lái)表示上面提到的平均值和偏離程度的量。這些與隨機(jī)變量有關(guān)的數(shù)值，雖然不變量的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機(jī)變量的分布特點(diǎn)。本章將介紹最常用的兩種數(shù)字特征。§3.1數(shù)學(xué)期望對(duì)于隨機(jī)變量，時(shí)常要考慮它平均取什么值。先來(lái)看一個(gè)例子：一批鋼筋共有10根，抗拉強(qiáng)度指標(biāo)為120和130的各有2根，125的有3根，110，135，140的各有1根，則它們的平均抗拉強(qiáng)度指標(biāo)為 從計(jì)算中可以看到，平均抗拉強(qiáng)度指標(biāo)并不是這10根鋼筋所取到的6

48、個(gè)值的簡(jiǎn)單平均，而是以取這些值的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值（頻率）為權(quán)重的加權(quán)平均。定義3.1離散型隨機(jī)變量有概率函數(shù)：,若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱這級(jí)數(shù)為的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。記為，即                   （3.1）對(duì)于離散型隨機(jī)變量，就是的各可能值與其對(duì)應(yīng)概率乘積的和。由此可見(jiàn)，的觀測(cè)值的算術(shù)平均值，也就是其頻率分布的算術(shù)平均值。它與理論分布的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法是完全相似的。這里只是用試驗(yàn)中的頻率代替

49、了對(duì)應(yīng)的概率。而當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，事件“”；發(fā)生的頻率在對(duì)應(yīng)的概率的附近擺動(dòng)，所以隨機(jī)變量觀測(cè)值的算術(shù)平均值也將在它的期望值附近擺動(dòng)。例1若服從0-1分布，其概率函數(shù)為，求解 例2甲、乙兩名射手在一次射擊中得分（分別用表示）的分布律如表3-2、表3-3所示。表3-2                            

50、;      表 3-3試比較甲、乙兩射手的技術(shù)。 解   這表明，如果進(jìn)行多次射擊，他們得分的平均值分別是2.1和2.2，故乙射手較甲射手的技術(shù)好。例3一批產(chǎn)品中有一、二、三等品、等外品及廢品5種，相應(yīng)的概率分別為0.7、0.1、0.1、0.06及0.04，若其產(chǎn)值分別為6元、5.4元、5元、4元及0元。求產(chǎn)品的平均產(chǎn)值。解產(chǎn)品產(chǎn)值是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分面律如表3-4：表 3-4因此   定義3.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量有概率密度，若積分絕對(duì)收斂，則     

51、              （3.2）稱為的數(shù)學(xué)期望。這就是說(shuō)，連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是它的概率密度與實(shí)數(shù)的乘積在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分。例4計(jì)算在區(qū)間上服從均勻分布的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。解依題意， 故   習(xí)題講評(píng)11. 已知求的分布函數(shù)。解：依題意得課后作業(yè)1. 如果服從0-1分布，又知取1的概率為它取0的概率的兩倍，求隨機(jī)變量的期望值。3. 測(cè)量一圓形物體的半徑，其分布如表所示，計(jì)算圓半徑的期望值；100.1110.4120.31

52、30.24. 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為又知求和的值。§3.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）常量的期望就是這個(gè)常量本身，即。證  常量可以看作是以概率1只取一個(gè)值的隨機(jī)變量。所以。（2）隨機(jī)變量與常量之和的數(shù)學(xué)期望等于的期望與這個(gè)常量的和。證：設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度是。令，不難計(jì)算出的概率密度，由定義3.2有令 ，則（3）常量與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個(gè)常量與隨機(jī)變量期望的乘積。（4）隨機(jī)變量線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于這個(gè)隨機(jī)變量期望的同一線性函數(shù)。證：（5）兩個(gè)隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望等于這兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和。      &

53、#160;                 （3.4）關(guān)于隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，這里只介紹兩個(gè)重要的公式而不加以證明。如果是離期型隨機(jī)變量，有概率函數(shù)則它的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望可按下面公式計(jì)算：                     

54、;               （3.6）如果是連續(xù)型隨機(jī)變量，有概率密度，則的期望可按下面公式計(jì)算：                 （3.7）如果用定義計(jì)算，需要先找出的分布，然而，求的分布有時(shí)是很麻煩的。公式（3.6）及（3.7）說(shuō)明，可以直接利用的期望（我們假定存在。）例2 計(jì)算上例中的。解

55、:  例4 某種無(wú)線電元件的使用壽命是一個(gè)隨機(jī)變量,其概率密度為其中，求這種元件的平均使用壽命。解:  例5 據(jù)統(tǒng)計(jì)，一位40歲的健康(一般體檢未發(fā)現(xiàn)病癥)者，在5年之內(nèi)活著或自殺死亡的概率為。保險(xiǎn)公司開(kāi)辦5年人壽保險(xiǎn)，參加者需交保險(xiǎn)費(fèi)元(已知)，若5年之內(nèi)非自殺死亡，公司賠償元。應(yīng)如何定才能使公司可期望獲益；若有人參加保險(xiǎn),公司可期望從中收益多少？解:   設(shè)表示公司從第個(gè)參加者身上所得的收益，則是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布如下(見(jiàn)表3-6)：表  3-6公司期望獲益為，而§3.4方差（一）方差的概念先看兩個(gè)例子。設(shè)甲、乙兩炮射擊彈著點(diǎn)與

56、目標(biāo)的距離分別為(為簡(jiǎn)便起見(jiàn),假定它們只取離散值)，并有如下分布律(見(jiàn)表3-7、表3-8):表 3-7800.2850.2900.2950.21000.2表 3-8850.287.50.2900.292.50.2950.2由計(jì)算可知,兩炮有相同的期望值,但比較兩組數(shù)據(jù)可知乙炮較甲炮準(zhǔn)確。因?yàn)樗膹椫c(diǎn)比較集中。又如有兩批鋼筋,每批各10根，它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)如下:第一批:110  120  120  125  125  125  130  130  135  140第二批: 90  100

57、60;  120  125  130  130  135  140  145  145它們的平均抗拉強(qiáng)度指標(biāo)都是126。但是,使用鋼筋時(shí),一般要求抗拉強(qiáng)度指標(biāo)不低于一個(gè)指定數(shù)值(如115)。那么,第二批鋼筋的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)與其平均值偏差較大，即取值較分散，所以盡管它們中有幾根抗拉強(qiáng)度指標(biāo)很大，但不合格的根數(shù)比第一批多，因而從實(shí)用價(jià)值來(lái)講，可以認(rèn)為第二批的質(zhì)量比第一批差。可見(jiàn)在實(shí)際問(wèn)題中，僅靠期望值(或平均值)不能完善地說(shuō)明隨機(jī)變量的分布特征，還必須研究其離散程度。通常人們關(guān)心的是隨機(jī)變量對(duì)期望值的離散程度。 

58、;                     ）定義3.4隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望，稱為隨機(jī)變量的方差，記作或。而稱為的標(biāo)準(zhǔn)差(或方差根)。        （3.13）如果是離散型隨機(jī)變量,并且，則    （3.14）如果是連續(xù)型隨機(jī)變量，有概率芏?/SPAN>，則  &#

59、160;              （3.15）可見(jiàn),隨機(jī)變量的方差是一個(gè)非負(fù)數(shù)，常量的方差是零。當(dāng)?shù)目赡苤得芗谒钠谕蹈浇鼤r(shí)，方差較小，反之則方差較大。因此，方差的大小可以表示隨機(jī)變量分布的離散程度。（二）方差的性質(zhì)（1）常量的方差等于零。證 （2）隨機(jī)變量與常量之和的方差就等于這個(gè)隨機(jī)變量的方差本身。證               （3） 常量與隨機(jī)變量乘積的方差，等于這