高一數學必修第二冊同步高效課堂（人教A版2019）6.3.1平面向量基本定理第

6章平面向量及其應用學習目標理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義.掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量.會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題．目錄CATALOG01.平面向量基本定理03.題型強化訓練02.用基底表示向量的一般方法04.小結及隨堂練習6.3.1平面向量基本定理01平面向量基本定理學習新知上節我們學習了向量的運算，知道位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示類似地，平面內任一向量是否可以由同一平面內的兩個不共線向量表示呢？學習新知向量的加法三角形法則中強調“首尾相連”；平行四邊形法則中強調的是“共起點，不共線”.OABACB向量的減法(三角形法則)(1)起點相同；(2)減向量的終點指向被減向量的終點.學習新知

一般地，我們規定實數λ與向量a

的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa

，它的長度與方向規定如下∶設λ、μ為實數，那么:(1)λ(μa)=(λμ)a(2)(λ+μ)a=λa+μa(3)λ(a+b)=λa+λb(1)|λa|=|λ||a|；(2)λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算.向量的線性運算的結果仍是向量.學習新知我們學習了向量的運算，知道位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.類似地，平面內任一向量是否可以由同一平面內的兩個不共線向量表示呢？學習新知

我們知道，已知兩個力，可以求出它們的合力；反過來，一個力可以分解為兩個力．我們可以根據解決實際問題的需要，通過作平行四邊形，將力F分解為多組大小、方向不同的合力.類似地，我們能否通過作平行四邊形，將向量a分解為兩個向量，使向量a是這兩個向量的和呢？學習新知探究如圖(1)，設是同一平面內兩個不共線的向量，是這一平面內與都不共線的向量.如圖(2)，在平面內任取一點O，作，.將按的方向分解，你有什么發現？圖(1)圖(2)學習新知如圖，過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于點M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于點N，根據向量的平行四邊形法則，有由共線可知,存在實數

，使得：所以即也就是說，與都不共線的向量都可以表示成的形式.當與或共線的非零向量時，也可以表示成的形式；當是零向量時，同樣可以表示成的形式.（為什么？）學習新知當是與或共線的非零向量時，也可以表示成的形式.當是零向量時，同樣可以表示成的形式.綜上所述：平面內任一向量都可以按的方向分解,表示成的形式，而且這種表示形式是唯一的.

（為什么是唯一的？）學習新知綜上所述：平面內任一向量都可以按的方向分解,表示成的形式，而且這種表示形式是唯一的.

（為什么是唯一的？）如果

還可以表示成

的形式，那么可得：所以如果

不全為0，不妨設

，那么由此可得

共線，這與已知

不共線相矛盾.

所以即有且只有一對實數

，使

學習新知平面向量基本定理

如果e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一個基底唯一表示，這為我們研究問題帶來了極大的方便

如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使

a=λ1e1+λ2e2．學習新知【練習】判斷正誤(1)平面內不共線的任意兩個向量都可作為一組基底．(

)(2)基底中的向量可以是零向量．(

)(3)平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也

是唯一確定的．(

)(4)已知e1，e2是平面α內兩個不共線向量，若存在實數λ，μ使得λe1＋μe2

＝0，則λ＝μ＝0.(

)√ⅹ√√學習新知平面向量相等的充要條件

如果e1，e2不共線,且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2,那么【練習】已知e1，e2不共線，且a=

e1+

2e2，b=ke1-e2，若a//b,則實數

k的值為：

.

02用基底表示向量的一般方法6.3.1平面向量基本定理學習新知例1：OABP圖6.3-4解：學習新知平面向量的等和線，“爪”字型圖及性質：ABCD學習新知ABCD學習新知學習新知學習新知例2：CABD圖6.3-5學習新知CABD向量的數量積是否為零，是判斷相應的兩條線段(或直線)是否垂直的重要方法之一．例2：學習新知學習新知03題型強化訓練6.3.1平面向量基本定理能力提升題型一：平面向量基本定理能力提升題型一：平面向量基本定理能力提升題型二：用基底表示向量能力提升題型二：用基底表示向量能力提升題型三：平面向量基本定理的應用能力提升題型三：平面向量基本定理的應用能力提升題型三：平面向量基本定理的應用04小結及隨堂練習6.3.1平面向量基本定理課堂總結1平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使

a=λ1e1+λ2e2．平面向量相等的充要條件

如果e1，e2不共線,且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2,那么課堂總結2用基底表示向量平面向量基本定理的應用課堂總結3作業習題6.31,11(1)題6.3.