1、1-2-2運動圖像相遇和追及問題概念、規律、方法與解題技巧1. x-t圖象的物理意義問題1反映做直線運動物體的位移隨時間變化的關系。問題2圖線上任一點的切線斜率值表示該時刻的速度，斜率正負表示速度的方向。問題3圖線與時間軸平行物體處于靜止狀態。2. v-t圖像的物理意義問題4v-t圖像反映做直線運動物體的速度隨時間變化的關系；問題5圖線上任一點的切線斜率值表示該時刻加速度，斜率正負表示加速度的方向。加速度由圖線的切線斜率決定，與速度的大小和方向無關；問題6圖線與時間軸間的面積表示位移，位移是矢量，時間軸上方的面積表示正向位移，下方的面積表示負向位移，它們的代數和表示總位移，絕對值求和表示總路程

2、。【特別提醒】a.速度是矢量，v-t圖像在t軸上方代表的“正方向”，1軸下方代表的是“負方向”，所以v-t圖像只能描述只有兩個方向的“直線運動”情況，如果做曲線運動，則畫不出物體的“v-t圖像”；b.v-t圖像沒有時間t的“負軸”，因時間沒有負值，畫圖像要注意這一點；3. 追及和相遇問題問題7討論追及、相遇的問題，其實質就是分析兩物體在相同時間內能否到達相同的空間位置的問題。問題8兩個物體運動，各物體可列各自的運動方程，將兩物體運動的時間關系，空間關系在方程中體現出來，問題基本能解決。有的題目，兩物體的速度也有關系，例如：兩物體距離最大或最小時，適好追上或適好追不上，適好不相撞等，這時再加上速

3、度關系方程，問題就迎刃而解了。問題9常見的情況有：a.物體A追上物體B:開始時，兩個物體相距x0,則A追上B時，必有xA-xB=x0,且vA-vBb.物體A追趕物體B:開始時，兩個物體相距x0,要使兩物體恰好不相撞，則A追上B時，必有xAxB=x0,且vA=vB問題10追及問題的解題步驟c.根據對兩物體運動過程的分析，畫出物體運動的示意圖。d.尋找問題中隱含的臨界條件。例如：速度相等時是兩個物體恰能追上或恰不相碰，或相距最遠或最近時；位置相同時的速度關系，是判斷有幾次相遇的條件。e.由運動示意圖，分析清楚兩物體運動的位移關系，時間關系和速度關系，列相關的運動方程。f.檢查所列方程數是否與未知數

4、相等，相等方程組可解，不相等還需要重新審題，找隱含條件，補充方程。g.聯立方程求解后，對結果進行分析，從實際情況和數學角度看結果是否合理。【特別提醒】用相對運動求解更簡捷。即將其中一個運動物體做為參考系，分析另一個物體的運動，先確定相對速度和加速度，將兩個運動物體的問題變換成一個運動物體的問題來求解。用圖像法求解更直觀。注意圖像的斜率、截距、與橫軸所圍的面積的物理意義。,、基礎訓練考點v-t圖像在解題中的應用例題1摩托車在平直公路上從靜止開始起動，a=1.6m/s2,稍后勻速運動，然后減速,一一2a2=6.4m/s,直到停止，共歷時130s,行程1600m。試求：摩托車行駛的最大速度vm；若摩

5、托車從靜止起動，a1、a2不變，直到停止，行程不變，所需最短時間為多少解：整個運動過程分三個階段：勻加速運動；勻速運動；勻減速運動。可借助v-t圖像表示，如圖，利用推論有：解得：vm=12.8m/s（另一解舍去）借助v-t圖像可以證明，當摩托車先以勻加速運動當速度達到最大時，緊接著以勻減速運動直到停止時，行程不變，而時間最短，如圖所示設最短時間為tmin,則解得tmin=50s討論：問題11v-t圖象的圖線上任一點的切線斜率值表示該時刻加速度，斜率正負表示加速度的方向。問題12圖線與時間軸間的面積表示位移，時間軸上方的面積表示正向位移，下方的面積表示負向位移。問題13v-t圖象能直觀的看到速度

6、、加速度和位移的變化規律，確定解題方案。R答案19m考點追及問題的臨界情況分析例題2客車以20m/s的速度行駛，突然發現同軌前方120m處有一貨車正以6m/s的速度勻速前進。于是客車緊急剎車，以0.8m/s2的加速度勻減速運動，試判斷兩車是否相撞解析：設客車剎車t時間后兩車速度相等，則代入相關數據，解得t=17.5s兩車的位移分別為由于飯=乂客x貨Xo=2275m-10m120n=2.5ma0故兩車會相撞。討論相遇問題的本質特征是什么所列相關的運動方程如何體現兩物體運動的位移關系，時間關系和速度關系哪個關系是臨界關系考點v-t圖像的理解與創新運用例題3蹦床運動員從某一高度降落到蹦床上，彈起后運

7、動員到達的高度比下落開始的高度更高.不計空氣阻力，圖描述運動員這一運動過程的速度時間圖象中，可能正確的是分析由于不計空氣阻力，運動員從高hi處先自由下落，加速度為g,接觸到蹦床時的速度為v=2ghi.運動員彈起后的高度h2>hi,由于運動員上升的加速度也為g,所以運動員離開蹦床的速度v2=%；'2gh2,且v2>vi.運動員從接觸蹦床到離開蹦床的時間內，運動員的速度由向下運動的速度Vi逐漸變為向上的速度V2,即運動員的速度先由向下運動的速度很快減小到0,再由0很快增大到向上的速度V2.題目所給的速度時間圖象都是以豎直向下為正方向的.選項A中顯示的向下的速度大小Vi等于向上的

8、速度大小V2,不符合題目的要求，是錯誤的.選項B中顯示的速度方向都是向下的，不符合題目的要求，也是錯誤的.選項C中盡管顯示的向下的速度Vi小于向上的速度V2,但上升的加速度大于下降的加速度，也不符合題目的要求，同樣是錯誤的.選項D正確地描述了運動員的速度變化情況.選項D正確討論：運動員從接觸蹦床到離開蹦床的時間內，運動員的速度由向下運動的速度Vi逐漸變為向上的速度V2的過程中，是運動員的速度先由向下運動的速度逐漸減小到0,再由0逐漸增大到向上的速度V2的嗎在這個過程中，有沒有比V2更大的速度學生要注意加速度的變化，曲線的切線斜率是加速度，任意時刻的加速度只能有一個值，加速度隨著時間變化是連續變

9、化的，下落和上拋節段加速度相同，是兩條平行的直線，兩條直線的連接曲線是加速度變化的正弦曲線，但是接點切線應該是連續的。習題精選（1）v隨時間t的變化關系的圖線是圖中的1.將物體豎直向上拋出后，能正確表示其速率（D）2 .物體A、B的s-t圖像如圖所示，由圖可知A.從第3s起，兩物體運動方向相同，且B.兩物體由同一位置開始運動，但物體VA>VBA比B遲3s才開始運動C.在5s內物體的位移相同，5s末A、D.5s內A、B的平均速度相等B相遇3 .兩個質點甲與乙，同時由同一地點向同一方向做直線運動，它們的速度一時間圖象如圖所示.則下列說法中正確的是（AB）A.第4s末甲、乙將會相遇B.在第2s

10、末甲、乙速度相等C.在第4s末甲、乙速度相等D.第2s末甲、乙將會相遇甲4 .如圖示是兩個物體甲、乙做直線運動的速度圖象，它們的加速度分別是則下列說法錯誤的是（D）A.甲做勻加速直線運動，乙做勻減速直線運動B.甲和乙的速度方向相同C.甲和乙的加速度方向相反ai、a2,D.甲的加速度數值比較大5 .某物體運動的速度圖象如圖，根據圖象可知（2A.02s內的加速度為1m/sAC)B.05s內的位移為10mC.第1s末與第3s末的速度方向相同D.第1s末與第5s末加速度方向相同6.如圖是某物體做直線運動的速度圖象，下列有關物體運動情況判斷正確的是（A2A.刖兩秒加速度為5m/sB. 4s末物體回到出發

11、點C. 6s末物體距出發點最遠D. 8s末物體距出發點最遠7 .（2007寧夏）甲乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向作直線運動刻同時經過公路旁的同一個路標.在描述兩車運動的v-t圖中（如圖），直線a、b分別描述了甲乙兩車在020秒的運動情況.關于兩車之間的位置關系，下列說法正確的是（C）A.在010秒內兩車逐漸靠近C.在515秒內兩車的位移相等8 .礦井里的升降機從靜止開始做勻加速運動，做勻速運動，經過6s；再做勻減速運動,經過3s,它的速度達到3m/s；然后3s后停止。求升降機上升的高度，并畫出它v/Cm.s-1)時,t=0B.在1020秒內兩車逐漸遠離D.在t=10秒時兩車在公路上相遇的速

12、度圖象。R答案127m圖略9 .一車處于靜止狀態，車后相距s0=25m處有一個人，當車開始起動以lm/s2的加速度前進的同時，人以6m/s速度勻速追車，能否追上若追不上，人車之間的最小距離為多少R答案1不能追上，最小距離為7m10 .從一定高度的氣球上自由落下兩個物體，第一物體下落1s后，第二物體開始下落，兩物體用長93.1m的繩連接在一起。問：第二個物體下落多長時間繩被拉緊R答案1t=9s：、能力提升考點加速度圖像與速度圖像的類比例題1（2010全國）汽車由靜止開始在平直的公路上行駛，060s內汽車的加速度隨時間變化的圖線如右圖所示。問題14畫出汽車在060s內的v-t圖線;問題15求在這6

13、0s內汽車行駛的路程。解：由加速度圖像可知前10s汽車勻加速，后20s汽車勻減速恰好停止，出為圖像的面積加舞府利用-1L表示速度的變化，此兩段的面積相等。最大速度為20m/s。所以速度圖像為7速度圖像的面積求出位移。汽車運動的面積為勻加速、勻速、勻減速三段的位移之和。201003060s=s1s2s3=101030201020=900m討論：速度是位移的變化率，加速度是速度的變化率，速度圖像中的曲線，縱坐標值是速度，曲線斜率是位移變化率（速度），所圍面積是位移。類比理解，加速度的圖像中的曲線，縱坐標值是加速度，曲線斜率是加速度變化率，所圍面積是速度。考點追及問題的一般情況例題2（2008四川）

14、A、B兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛.當B車在A車前84m處時，B車速度為4m/s,且正以2m/s2的加速度做勻加速運動；經過一段時間后，B車加速度突然變為零.A車一直以20m/s的速度做勻速運動.經過12s后兩車相遇.問B車加速行駛的時間是多少解：設A車的速度為va,B車加速行駛時間為t,兩車在t0時相遇.則有sA=VAt01 2小Sb=VbI+at+（Vb+at）（t0t）2Sa=Sb+S式中s=84m由式得22(VB-VA)to-sit-21ot二0a代入題給數據有t2-24t+108=0解得ti=6s,t2=18st2=18s不合題意，舍去.因此,B車加速行駛的時間為6s討論：追及問題

15、，應該畫出運動示意圖，列方程要注意物體運動的位移關系，時間關系和速度關系是否在公式中體現出來，如果有一項沒有體現出來，往往不能求解。再從隱含條件和臨界條件中找沒有體現出來關系，補上相應的方程問題也就迎刃而解了。考點追及問題的綜合分析例題3甲、乙兩輛摩托車沿直線同方向運動.甲做加速度為ai的勻加速運動，當其速度為v0時，從甲的前方與甲相距為d的位置，乙開始做初速度為零、加速度為22的勻加速運動.則關于甲乙相遇的情況，以下說法中正確的是()A,若a2=a1，兩車只能相遇一次B.若a2>a1，兩車可能相遇兩次C.若a2a1，兩車可能相遇兩次D.若a2>a1，兩車不可能不相遇分析分別寫出甲

16、、乙的運動學方程，判斷它們是否相遇，就是判斷經過相同時間，它們的位置是否相同.以速度為V0時甲的位置為坐標原點建立如圖所示的坐標系，并以此時為計時起點.經過時間t,甲、乙的位置坐標分別為X1、X2,則,1.2xi=v0t+a1t1 .2X2=d+a2t甲乙相遇的條件是X二X221 .2即_a2-a1)t2-v0td=02當方程無解時，表示甲、乙不能相遇；當方程有解時，表示甲、乙可能相遇.判別式.：=v02-2(a2-a1)d22當a2<a1時，判力1J式=v02(a2a1)d>v0>0"te成立，方程必有兩解，方程的解分別為t12=V0v；-2(a2fda2-a1顯

17、然兩個解一正、一負，其中負值者表示甲乙在計時起點前相遇，不符合題意，應舍去，所以甲乙只能相遇一次.d當a2=ai時，萬程變為一次萬程d-v0t=0,顯然解為t=,所以甲乙只能相遇一V。次.當a2>ai時，判別式A=v；-2(a2-ai)d的值可能小于0,這種情況下甲乙不相遇；判別式A=v；-2(a2ajd的值也可能等于0,這種情況下甲乙只能相遇一次；判別式=v；-2(a2-ai)d的值還可能大于0,方程的解分別為兩個解都大于0,這種情況下甲乙相遇2次；解正確答案是選項A、B討論：(1)在利用數學方法求解物理題時，一定要注意解的物理意義，并要結合題目要求進行取舍。(2)是否可以利用v-t圖

18、象討論甲、乙兩輛摩托車相遇的情況呢考點相同加速度的追及問題例題4一懸崖高為h,某一時刻從懸崖頂部自由下落一石子A,同時從懸崖正下方的地面上豎直上拋一石子B,B的初速度為vO.求AB兩石子相遇的地方.(不記空氣阻力)分析A做自由落體運動，B做豎直上拋運動.分別寫出A、B的運動學方程，相遇條件是：經過相同時間，A、B的位置相同.求出相遇的條件即可求出相遇的地點.解法一：A做自由落體運動，經過時間t下落的距離為：B做豎直上拋運動，經過時間t上升的距離為：相遇條件時hAhB=h解上述三個方程得相遇時間t=-V0相遇地點距離地面的高度hB=h-四r''2v0,iI解法二：選取坐標如圖所示

19、.IA、B的運動方程分別為:II相遇條件是在時刻t：xA=xBoh*77777777解得相遇時間：t=nV0相遇地點距離地面的高度：x=h-嗎2V2討論：問題16解法一容易想到，也好懂.解法二先建立坐標系再求解，較抽象，但這是求解問題的基本方法，在物理總復習中最好能掌握這種方法.問題17本題有解的條件是h趴>0,即v2Agh.這是因為要有解，必須是A下落2V22的時間小于B在空中運動的時間，即問題18可進一步思考：A、B是在B上升過程中相遇，還是在B下降過程中相遇。此題解法，用相對運動法是否會更簡捷。習題精選（2）1.（2010天津）質點做直線運動的v-t圖象如圖所示，規定向右為正方向，

20、則該質點在前8s內平均速度的大小和方向分別為（B）A.0.25m/s向右B.0.25m/s向左C. 1m/s向右D. 1m/s向左2 .有兩個光滑固定斜面AB和BCA和C兩點在同一水平面上，如圖，一個滑塊自A點以速度Va上滑，到達B點時速度減小為零，緊接著沿BC滑下.設滑塊從A點到C點的總時間是tc,那么下面的圖中，能夠表示滑塊速度的大小v隨時間t變化規律的是（C）3 .（2007海南）兩輛游戲賽車a、b在兩條平行的直車道上行駛.t=0時兩車都在同一計時線處，此時比賽開始.它們在四次比賽中的的比賽中，有一輛賽車追上了另一輛（AC）vt圖如圖所示.哪些圖對應DABC4 .獵狗能以最大速度vi=1

21、0m/s持續地奔跑,野兔只能以最大速度V2=8m/s的速度持續奔跑。一只野兔在離洞窟s1=200m處的草地上玩耍，被獵狗發現后徑直朝野兔追來。兔子發現獵狗時，與獵狗相距s=60m,兔子立即掉頭跑向洞窟。設獵狗、野兔、洞窟總在同一直線上，求：野兔的加速度至少要多大才能保證安全回到洞窟。一一.2R答案1a=4m/s5 .從同一地點以相同速度20m/s先后豎直上拋兩個小球，第二個小球比第一個小球晚1s,則第二個小球拋出后經過多長時間與第一個小球相遇（不計空氣阻力）6 .（2011湖南）甲乙兩輛汽車都從靜止出發做加速直線運動，加速度方向一直不變。在第一段時間間隔內，兩輛汽車的加速度大小不變，汽車乙的加

22、速度大小是甲的兩倍；在接下來的相同時間間隔內，汽車甲的加速度大小增加為原來的兩倍，汽車乙的加速度大小減小為原來的一半。求甲乙兩車各自在這兩段時間間隔內走過的總路程之比。R答案15:77 .甲、乙兩輛汽車沿平直公路相向勻速行駛，速度均為20m/so當它們之間相距150m時甲車剎車以a=5m/s2的加速度勻減速行駛，從此時刻起，經多少時間兩車相會R答案15.5s8 .石塊A從塔頂自由下落距離ha時，石塊B從離塔頂hb處自由下落，結果兩石塊同時到達地面，則塔高為多少2答案h，hab4ha:、綜合創新考點速度圖像的理解與創新運用例題1一升降機的高度為1,以加速度a勻加速上升，忽然間頂部有一小螺絲釘脫離

23、.試求螺絲釘落到升降機地板上所需要的時間.分析升降機勻加速上升過程中，頂部有一小螺絲釘脫離，螺絲釘做豎直上拋運動.分別寫出螺絲釘脫落后螺絲釘的運動方程和電梯的運動方程，再加上螺絲釘落到地板上的幾何條件：位置相同，就可求得時間.圖1解法一：如圖所示，以豎直向上的方向為正方向建立坐標系.設螺絲釘脫落的瞬間，升降機的速度為v.螺絲釘是以速度v做豎直上拋運動，其運動學方程為而升降機地板則以速度v,加速度為a向上做勻加速直線運動，其運動學方程為1 2x2=vtat2經過時間t,螺絲釘落到升降機地板上的條件是X2=X1解法二以電梯為參考系，螺絲釘的初速度為0,加速度為g+a,加速度的方向豎直向下.在電梯中

24、看來，螺絲釘做初速度為0,加速度為g+a的勻加速直線運動，當運動位移為l時，螺絲釘落在電梯地板上.即螺絲釘落到升降機地板上所需要的時間討論：(1)以地面為參考系，本題容易犯的錯是將螺絲釘脫離升降機后的運動看作是自由落體運動，其實，在螺絲釘脫落前，二者一直以共同速度運動，所以在脫落瞬間，由于慣性，螺絲釘還具有向上的速度.本題以加速上升的電梯為參考系，可以使分析、解和討論大為簡化.大多數題都以地面為參考系而不加說明，但有些問題選擇其他物體為參考系可以簡化問題的分析和求解，不過在變換參考系來解題時，一定要明確物體的位移、速度和加速度都要做相應變化.(2)如果給定了螺絲釘脫落時的初速度v,我們還可以繼

25、續討論：在什么條件下，螺絲釘在上升階段落”到升降機的地板上在什么條件下，螺絲釘在下降階段落”到升降機的地板上在什么條件下，螺絲釘在脫落點上方落”到升降機的地板上在什么條件下，螺絲釘在脫落點下方落”到升降機的地板上(3)本題還有另一種草圖情景，如圖2所示，這是假設螺絲釘在脫落點下方落”到升降機地板上的.圖1和圖2所示的兩個草圖，表示相遇的位移關系是一樣的，即(以豎直向上的方向為正方向)X2=X1.(4)本題也可以先畫出螺絲釘和升降機的速度圖象，以豎直向上的方向為正方向，它們的v-t圖象如圖3所示，兩者在時刻t相遇.請思考：三角形ABC的面積”、三角形BCD的面積”、三角形ABD的面積”分別表示什

26、么物理意義如果螺絲釘在上升階段或下降上升階段落”到升降機的地板上，如何畫螺絲釘和升降機的速度如果螺絲釘在脫落點上方或脫落點下方落”到升降機的地板上，如何畫螺絲釘和升降機的速度考點兩個物體運動方向垂直的相遇問題例題2一輛長為Li=5m的汽車以vi=15m/s的速度在公路上勻速行駛，在離鐵路與公路的交叉點&=175m處，汽車司機突然發現離交叉點S2=200m處有一列長為L2=300m的列車以V2=20m/s的速度行駛過來，為了避免事故的發生，汽車司機立刻使汽車減速，讓火車先通過交叉點，求汽車減速的加速度至少多大(不計汽車司機的反應時間，結果保留3位有效數字).，一，一，、一LnSn解析：列

27、車駛過交叉點用時間：t=L2S2V2解得：t=25s19右汽車在25s內的位移為S1=175m,則：S1=V1t-at2a=0.64m/s2此時由v=v1-at,得v=1m/s,因此汽車已經在25s前沖過了交叉點，發生了事故，不合題意.要使汽車安全減速，必須在小于25s的時間內汽車速度減小為零，這樣才能使它的位移小于175m.由v12=2asi92倚：a=-m/s,汽車減速的加速度至少為0.643m/s2.14討論:問題19此題不經過討論，直接由公式v12=2asi得結果是否可以如何已知改一下:5=200m,再做這道題是否有新的收獲這里面的數據關系是否搞清楚了問題20再加一問：汽車要搶在火車前

28、通過鐵路，加速運動的加速度至少是多少這問題是否也要討論考點曲線與直線運動的相遇問題例題3（2006上海）如圖所示，一足夠長的固定斜面與水平面的夾角為37。，物體A以初速度v1從斜面頂端水平拋出，物體B在斜面上距頂端L=15m處同時以速度v2沿斜面向下勻速運動，經歷時間t物體A和B在斜面上相遇37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2）（）,則下列各組速度和時間中滿足條件的是A.vi=16m/s,V2=15m/s,t=3sB.vi=16m/s,V2=16m/s,t=2sC.vi=20m/s,V2=20m/s,t=3s解析設平拋物體落到斜面上的時間為D.v1=20m/s,V2=16m/s,t=2st,則1.2-gttan37；=2一,tv1t2v1tan37,3Vl,、=1，時間t內平拋物體的水平2g位移：x=V1t3Vl22g，豎直位移1,29V12y=-gt=.時間t內B物體的位移28g,3v2vSb=v2t=3A、B兩物體相碰時，滿足Jx2+y2=sB+L整理得：I"1=+15.把各選項值代入得：v1=20m/s,v2=20m/s,t=3s8g2g(sin符合上式，故C選項正確習題精選（3）1. 某人在靜止的湖面上豎直上拋一小鐵球（可看成質點），小鐵球上升到最高點后自由下落，穿過湖水并陷入湖底白淤泥中一段深度.不計空氣阻力，