1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷A一、單項選擇題(本大題共20小題，每小題2分，共40分)1、A, B為二事件，則 AUBA AB B、 AB C、 AB D 、 AUB2、設(shè)A, B, C表示三個事件，則ABC表示A、A, B, C中有一個發(fā)生B、A, B, C中恰有兩個發(fā)生G A, B, C中不多于一個發(fā)生 D、A, B, C都不發(fā)生3、A、B 為兩事件，若 P(AUB) 0.8, P(A) 0.2, P(B) 0.4,則 成立A、P(AB) 0.32 B 、P(A B) 0.2 C、P(B A) 0.4 D、P(B A) 0.484、設(shè)A, B為任二事件，則A、P(A B) P(A) P(B) B、

2、P(AU B) P(A) P(B)G P(AB) P(A)P(B) D 、P(A) P(AB) P(AB)5、設(shè)事件A與B相互獨立，則下列說法錯誤的是A、A與B獨立、A與 B 獨立 C、P(AB) P(A)P(B) D、A與 B一定互6、設(shè)離散型隨機變量X的分布列為其分布函數(shù)為F(x),則F(3)A 0 B 、0.3設(shè)離散型隨機變量C 、0.8 D 、1X的密度函數(shù)為f(x)cx4 ,0,譚1 ,則常數(shù)8、設(shè)XN(0,1),密度函數(shù)(x)2xe亍，則(x)的最大值是A、09、設(shè)隨機變量X可取無窮多個值0,1,2,，其概率分布為p(k；3)3k一 e k!3,k 0,1,2,L ,則下式成立的是

3、一1A EX DX 3 B、EX DX 131_1_G EX 3, DX D、EX - , DX 9 3310、設(shè)X服從二項分布B(n,p),則有A E(2X 1) 2np B 、D(2X 1) 4np(1 p) 1G E(2X 1) 4np 1 D 、D(2X 1) 4np(1 p)11、獨立隨機變量X,Y,若XN(1,4) , YN(3,16),下式中不成立的是4 B、EXY 3 C、DXY 12 D、EY2 16DP XA 1 B 、0 C 、1 D 、-1 214、已知 EX 1, DX 3 ,貝U E 3 X2 2 =A、9 B 、6 C、30 D、3615、當X服從()分布時，EX

4、 DX。A、指數(shù) B、泊松C、正態(tài) D、均勻16、下列結(jié)論中，不是隨機變量X與Y不相關(guān)的充要條件A、E(XY) E(X)E(Y) B 、D X Y DX DYG Cov X ,Y 0X與Y相互獨立17、設(shè) X b(n, p)且 EX 6,DX 3.6 ,則有An10, p0.6 B、n20, p0.3Cn15, p0.4 D、n12, p0.518、設(shè)p x,y , p x ,p y分別是二維隨機變量，的聯(lián)合密度函數(shù)及邊緣密度函數(shù),則 是與 獨立的充要條件。A EE E B、DD DC 與不相關(guān) D 、對x, y,有px,y p x p y19、設(shè)是二維離散型隨機變量，則 X與Y獨立的充要條件

5、是A E(XY) EXEy B、D(X Y) DX DY C 、X 與Y不相關(guān)D t X ,Y的任何可能取值x *Pj PgPgj20、設(shè)X,Y的聯(lián)合密度為p(x,y)4xy0,0 x,y 1其它若F(x,y)為分布函數(shù)，則F(0.5,2)A 0 B 、1 C 、1 D 、1 42、計算題(本大題共6小題，每小題7分，共42分) 1、若事件 A 與 B相互獨立，P(A) 0.8 P(B) 0.6。求：P(A B)和 PA|(A B)2、設(shè)隨機變量 X: N(2,4),且 (1.65) 0.95。求 P(X 5.3)0, x 03、已知連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為F(x)0 x 4,求E和D41,

6、 x 44、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x) A Barctgxx求：(1)常數(shù)A和B;(2) X落入(-1 , 1)的概率；(3) X的密度函數(shù)f (x)5、某射手有3發(fā)子彈，射一次命中的概率為2,如果命中了就停止射擊，3否則一直獨立射到子彈用盡。求：(1)耗用子彈數(shù)X的分布列；(2) EX ; (3) DX4xv. 0 x.y 16、設(shè)，的聯(lián)合密度為P* J其:求：(1)邊際密度函數(shù)P (x), p (y); (2) E , E ; (3) 與 是否獨立三、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)0 其它1 -2、設(shè) f(x, ) 一 e x 0(0) XjX2，,xn。為的一

7、組觀察值，求 的極大似然估計概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷答案及評分標準單項選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分）題號12345678910答案BDCDDDDCAD題號11111111121234567890答案CCBBBDCDDB計算題（本大題共6小題，每小題7分，共42分）1、解：:A與B相互獨立 . P(A B) P(A) P(B) P(AB) ( 1 分)又 P(AA B)PA(A B)P(A B)(1分)P(AB)P(A B)P(A)P(B)P(A B)(2分)0.13(1分)2、:P(X 5.3)/5.3-21 2(5分)(1.65) 1 0.95 0.053、:由已知有U 0,4

8、(3分)則:4、:由5(F(有:_ B 2_ B 2P(1)F(1)F(f(x)F (x)(1 x2)解之有:(3分)1)(2分)(2分)5、:X123P2/32/91/93(3分)EX139(2分) V EX22/xi Pi12232239 一 2DX EX_ 2 (EX)2393881(2分)6、解：(1) ; p (x)p(x, y)dy10 4xydy 2xp (x)2x, 0 x 10, 其它同理：p （x）2y, 0 y 10, 其它(3分)一1222(2) E xp (x)dx 2x dx 一 同理：E 一 033 P(x,y) p (x)p (y):與獨立三、應(yīng)用題（本大題共2

9、小題，每小題9分，共18分）1、解：x1,x2，,xn的似然函數(shù)為:1 nn 131 xL（x1, x2，,xn，）-e e （3 分）i 1n_解之有：$ - xi X （6分）n i 14、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且已知E（X 1）（ X 2）1求解：E(X) D(X) ,E(X 1)(X2) E(X2 3X 2)D(X) E(X)2 3E(X) 2 1所以2 21 0,得 1.三、（共18分，每題6分） 1、設(shè)總體X N （52,62），現(xiàn)隨機抽取容量為36的一個樣本，求樣本均值X落入（50.8,53.8）之間的概率.解：XN(52,1),P50.8 X 53.8 = (53.

10、8 52)(50.8 52)(1.8)( 1.2)=0.9641 1 0.88490.8492、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)Aex,xB,01 Ae (x 1), x.3分1分0, x 1,1.1求：(1) A , B的值；(2) PX -.3解：(1)由連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的連續(xù)性，得lim F(x) F(0), lim F(x) F (1), x 0x 1A B即解得A B 0.5B 1 A(2) PX11、, 八八1 1 F(1) 1 0.5 0.5333、箱子中有一號袋1個，二號袋2個.一號袋中裝1個紅球，2個黃球，二號 袋中裝2個紅球，1個黃球，今從箱子中任取一袋，從中任取一球

11、，結(jié)果為紅 球，求這個紅球是從一號袋中取得的概率.解：設(shè)Ai =從箱子中取到i號袋, i 1,2B=抽出的是紅球P(B) P(A1)P(B|A。P(A2)P(B|A2).2分112 2 53 3 3 3 9P(A1|B)P(A)P(B|A1)2P(A)P(B| Ai) i 1四、(8分)設(shè)隨機變量X具有密度函數(shù)f(x)Ax, 0 x 1,0, 其它.(1)常數(shù)A; (2) X的分布函數(shù).(1)因為f (x)dxXxd oXxd2X o1ks 0X1X o X,2a X 3級班題試B計統(tǒng)理數(shù)與論率概五、(8分)某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別為60、30、10件，現(xiàn)從中隨機抽取一件，

12、記Xi1,若抽到i等品，0,沒有抽到i等品.求Xi, X 2的聯(lián)合分布律.解：設(shè)Ai,A2, A3分別表示抽到一、二、三等品,P(Xi 0,X2 0) P(A3) 0.1, P(Xi 1,X20) P(A1) 0.6P(X1 0,X2 1) P(A2) 0.3, P(X1 1,X21) 0X1, X2的聯(lián)合分布律為X2X01010.10.30.60.0.8分(每個2分)六、(10分)設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為(1)求邊緣概率密度；(2)判斷隨機變量X和Y是否獨立.7、已知隨機向量(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)一 、3xy2, 0 x 2,0 y 1 ,則旦X)=f f (x, y)230,其

13、他-8、隨機變量X的數(shù)學期望EX ，方差DX 2, k、b為常數(shù)，則有E(kX b)=_kb,； D(kX b)=k2 29、若隨機變量XN(2, 4), YN(3, 9),且X與Y相互獨立。設(shè)Z= 2X-丫+ 5,則ZN(-2, 25)10、？，？是常數(shù) 的兩個無偏 估計量,若D(?) D(2),則稱？比？有效。1、設(shè) A、B為隨機事件，且 P(A)=0.4, P( B)=0.3, P(AU B)=0.6 ,則 P( AB )=_0.3 02、設(shè) X?B(2, p) , Y?B(3, p)，且 PX1= 5 ,則 PY 1= 19 0 9273、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，且Y =3

14、X -2,則E(Y)=L。4、設(shè)隨機變量X服從0,2上的均勻分布，Y=2X+1,則D(Y)= 4/3。5、設(shè)隨機變量X的概率密度是：f(x) 3x 0 x 1，且 PX0.784 ，則=0.6 Of (X)0 其他6、利用正態(tài)分布的結(jié)論，有1 / 2 / 人 (171。-(x 4 x 4)e dx -7、已知隨機向量(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x y) |xy2, 0 x 2,0 y 1 ,則E(Y)= 3/4。0,其他8、設(shè)(X, Y)為二維隨機向量，口沖、口 Y)均不為零。若有常數(shù)a0與b使P Y aX b 1,則X與Y的相關(guān)系數(shù) xy工。9、若隨機變量XN (1 , 4), YN(2

15、, 9),且X與Y相互獨立。設(shè)Z= X- 丫+ 3,則ZN (2, 13)。10、設(shè)隨機變量XN(1/2 ,2),以丫表示對X的三次獨立重復觀察中“X 1/2”出現(xiàn)的次數(shù)，則PY 2 = 3/81、設(shè) A, B為隨機事件，且 P(A)=0.7 , P(AB)=0.3,則 P(A B) 06。2、四個人獨立地破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1111,則密碼能被譯出的概率是11/2454365、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且3P X 2 P X 4 ,則=66、設(shè)隨機變量 X N (1,4),已知(0.5)=0.6915 ,(1.5)=0.9332，則 P X 20.6247。7、隨

16、機變量X的概率密度函數(shù)f(x)1 x2 2x 1e則 E(X)=n8、已知總體X N (0, 1),設(shè)X, X ，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，則Xi2x2(n)i 19、設(shè)T服從自由度為n的t分布，若P T，則PTxy, 0 x 2,0 y 1 ,則 E(X)= 4/3。0,其他10、已知隨機向量(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)1、設(shè) A, B為隨機事件，且 P(A)=0.6, P(AB尸 P( AB ),則 P(B)= 0.4 2、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X1- , Y1-,則P(X =Y)= 0.5P 0.5 0.5 P 0.5 0.5一 ,3、設(shè)隨機變量X服從以n, p為參

17、數(shù)的二項分布，且 EX=15, DX=10,則n= 45。/x2 4x 4、.、一C一14、設(shè)隨機變重X N(,),其密度函數(shù)f (x) 褒e，則 =-2。5、設(shè)隨機變量X的數(shù)學期望EX和方差DX0都存在，令丫 (x ex )/ jk ,則DY=J6、設(shè)隨機變量X服從區(qū)間0, 5上的均勻分布，丫服從5的指數(shù)分布，且X, 丫相互獨立，則(X Y)的聯(lián)合密度函數(shù) f ( x, y)= e 5y 0 x 5,y 00 其它7、隨機變量X與Y相互獨立，且D(X)=4, D(Y)=2,則D(3X -2Y )= 44。8、設(shè)Xi,X2, ,Xn是來自總體X N (0, 1)的簡單隨機樣本，則(Xi X)2

18、服從的分布為x2(n 1)。9、三個人獨立地向某一目標進行射擊，已知各人能擊中的概率分別為1,1,1 ,則目標能被擊中的概率是3/55 4 310、已知隨機向量(X Y)的聯(lián)合概率密度f(x,y) 4xe2y, 0 1,y0 其它則 EY = 1/21、設(shè) A,B 為兩個隨機事件，且 P(A)=0.7, P(A-B)=0.3,則 P(AB)=0.6。2、設(shè)隨機變量X的分布律為XP1,且X與Y獨立同分布，則隨機變量Z = maxX, Y的分布律為Z3、設(shè)隨機變量 X N (2 ,2),且 P2 X 4 = 0.3 ,則 PX 0 =024、設(shè)隨機變量X服從2泊松分布，則PX 1 =1 e205、

19、已知隨機變量X的概率密度為fX(x),令Y 2X ,則Y的概率密度fY(y)為fX(-) 226、設(shè)X是10次獨立重復試驗成功的次數(shù)，若每次試驗成功的概率為0.4 ,則D(X) 24n2(X i X )2c7、X, X ，X是取自總體N , 2的樣本，則x2(n 1)。22y8、已知隨機向量(X, Y)的聯(lián)合概率密度f(x,y) 4xe , 0 x 1,y 0,則EX = 2/3。0 其它9、稱統(tǒng)計量以參數(shù) 的無偏估計量,如果E()=。10、概率很小的事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,這個原理稱為小概率事件原理。1、設(shè) A、B為兩個隨機事件，若 P(A)=0.4 , P(B)=0.3 , P

20、(A B) 0.6,則 P(AB) 0.3。2、設(shè)X是10次獨立重復試驗成功的次數(shù)，若每次試驗成功的概率為0.4,則E(X2) 18.4 o3、設(shè)隨機變量XN(1/4 ,9),以Y表示對X的5次獨立重復觀察中“X 1/4”出現(xiàn)的次數(shù)，則PY 2 = 5/164、已知隨機變量X服從參數(shù)為 的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4),則 =2V3 o5、稱統(tǒng)計量為參數(shù) 的無偏估計量，如果E( )=0 。6、設(shè) X N(0,1),Y x (n),且 X, Y相互獨立，則 P2D.p1與p2的關(guān)系無法確定5、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f （x）,則Y = 7 5 X的密度函數(shù)為（B1、對任意兩個事件A和B

21、,若P（AB） 0,則（D ）A. ABB. ABC. P(A)P(B) 0D. P(A B) P(A)1, P(B| A) P(B| A),則必有(B )02、設(shè)A、B為兩個隨機事件，且0 P(A) 1, 0 P(B)A. P(A|B) P(A | B) B. P(AB) P(A)P(B) C.P(AB)P(A)P(B)D. A、B互不相容3、設(shè)(x)為標準正態(tài)分布函數(shù),Xi ：,藍i 1, 2,100，且 P(A) 0.7,Xi, X2100,X100相互獨立。令Y Xi ,則由中 i 1心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于(B )A. (y) By 70(y - ) C；21(y 70

22、) D(-707)3和2 , 4上服從均勻分布，則E(XY) ( A )04、已知隨機變量X和Y相互獨立，且它們分別在區(qū)間1,A. 3B. 6 C. 10 D. 125、設(shè)隨機變量 X N( N , 9) , Y NU , 25),記 6 P X 3, p? Y 5,則(B )A. P1VP2B.p = p2C.p1p2D.P1 與 P2的關(guān)系無法確定1、設(shè)A1,A2兩個隨機事件相互獨立，當 A1,A2同時發(fā)生時，必有A發(fā)生，則(A )。A. P(A1A2) P(A) B.P(A1A2) P(A) C. P(A1 A2) P(A) D.P(A1)P(A2) P(A)2、已知隨機變量X的概率密度

23、為fX(x),令Y2X 3,則Y的概率密度fY(y)為(A )。A.，(fB.(1)C.，(守 D.2fX(y73)3、兩個獨立隨機變量X,Y,則下列不成立的是(C )A. EXY EXEY B. E(X Y) EX EY C. DXY DXDY D. D(X Y) DX DY 1 事件A發(fā)生一4、設(shè)(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)，Xi -Ii 1, 2, 100,且 P(A) 0.9, X1, X2, , X100i 0,否則100相互獨立。令Y Xi ,則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于(B )。 i 1A. (y) B .(產(chǎn))C . (y 90) D .(-90)395、設(shè)總體X的

24、數(shù)學期望EX=仙，方差DX= 1, X, X K是來自總體X的簡單隨機樣本，則下列 卜的估計量中最有效的是(B )1、若事件A1, 4 , A3兩兩獨立，則下列結(jié)論成立的是(B )。A. A1,A2,A3相互獨立B.從，&，囚3兩兩獨立C. P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A)D. A, A2, A3相互獨立2、連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)f (x)必滿足條件(C )03、設(shè)X1,X2是任意兩個互相獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為f1(x)和f2(x),分布函數(shù)分別為E(x)和 F2(x)，則(B )。A. f1(x) f2(x)必為密度函數(shù)B.F(x) F2(x)必為分布

25、函數(shù)C. E(x) Fz(x)必為分布函數(shù)D.f1(x) f2(x)必為密度函數(shù)4、設(shè)隨機變量X, Y相互獨立，且均服從0, 1上的均勻分布，則服從均勻分布的是(B )。A X Y B .(X, YC.X - YD. X + Y5、設(shè)(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)，1 事件A發(fā)生一n Xi ,hmi 1, 2, , n,且P(A) p, Xi, X2, L , Xn相互獨立。令YXi,則由中心極限0,否則i 1定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于(B )。A. (y) B .( / np ) C . (y np) D .( y np ),np(1 p)np(1 p)三(5)、市場上出售的某種商品由三個廠

26、家同時供貨，其供應(yīng)量第一廠家為第二廠家的兩倍，第二、第三廠家相等，且第一、第二、第三廠家的次品率依次為2%, 2%, 4%。若在市場上隨機購買一件商品為次品，問該件商品是第一廠家生產(chǎn)的概率為多少？ 解 設(shè)A表示產(chǎn)品由第i家廠家提供，i=1,2, 3 ; B表示此產(chǎn)品為次品則所求事件的概率為P(A |B)P(AJB)P(AJP(B| A)P(B)P(A)P(B | A1) P(A2)P(B | A2) P(A3)P(B | A3)11 0.0221110.020.020.042440.4答：該件商品是第一產(chǎn)家生產(chǎn)的概率為0.425% 35% 40% 次品率分別為 0.03、0.02、(6)、甲、

27、乙、丙三車間加工同一產(chǎn)品，加工量分別占總量的0.01 o現(xiàn)從所有的產(chǎn)品中抽取一個產(chǎn)品，試求(1)該產(chǎn)品是次品的概率；(2)若檢查結(jié)果顯示該產(chǎn)品是次品，則該產(chǎn)品是乙車間生產(chǎn)的概率是多少?解：設(shè)A, A, A3表示甲乙丙三車間加工的產(chǎn)品，B表示此產(chǎn)品是次品（1）所求事件的概率為(2) P(A|B)0.38P(A2)P(B|A2) _ 0.35 0.02P(B) -0.0185答：這件產(chǎn)品是次品的 概率為0.0185,若此件產(chǎn)品是次品，則該產(chǎn)品是乙車間生產(chǎn)的概率為0.38。三（7）、一個機床有1/3的時間加工零件A,其余時間加工零件Bo加工零件A時停機的概率是0.3,加工零件A時停機的概率是 0.4

28、。求（1）該機床停機的概率；（2）若該機床已停機，求它是在加工零件A時發(fā)生停機的概率。解：設(shè)G, C2,表示機床在加工零件A或B, D表示機床停機（1）機床停機夫的概率為（2）機床停機時正加工零件 A的概率為三（8）、甲、乙、丙三臺機床加工一批同一種零件，各機床加工的零件數(shù)量之比為5: 3: 2,各機床所加工的零件合格率依次為94%, 90% , 95%。現(xiàn)從加工好的整批零件中隨機抽查一個，發(fā)現(xiàn)是廢品，判斷它是由 甲機床加工的概率。解設(shè)A1, A2, A3表示由甲乙丙三機床加工，B表示此產(chǎn)品為廢品。（2分）則所求事件的概率為P(A |B)P(AJB)P(B)P(A)P(B|A)3P(A)P(B

29、| A)i 11 0.0620.5 0.06 0.3 0.10 0.2 0.05答：此廢品是甲機床加工概率為 3/7(9)、某人外出可以乘坐飛機、火車、輪船、汽車四種交通工具，其概率分別為5%、15%、30%、50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為100%、70%、60%、90%已知該人誤期到達，求他是乘坐火車的概率。(10 分)解：設(shè)Ai , A2 , A3, A4分別表示乘坐飛機、火車、輪船、汽車四種交通工具,B表示誤期到達。則 P(A2 | B)P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.15 0.3P(B) 4()P(A)P(B|Ai)i 10.05 0 0.15 0.3 0.

30、3 0.4 0.5 0.10.209答：此人乘坐火車的概率為0.209。(10)、某人外出可以乘坐飛機、火車、輪船、汽車四種交通工具，其概率分別為5%、15%、30%、50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為100%、70%、60%、90%。求該人如期到達的概率。解：設(shè)A, M A3, A4分別表示乘坐飛機、火車、輪船、汽車四種交通工具，B表示如期到達。4則 P(B)P(Ai)P(B|A)0.05 1 0.15 0.7 0.3 0.6 0.5 0.9 0.785i 1答：如期到達的概率為0.785。四(1)設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為求(1) A；(2) X 的分布函數(shù) F (x)；(3) P (0.5 X 2 )。1A 2 .1 Af (x)dx Axdx x |0 1(1/2X2) =F(2) F(1/2)=3/4四(2)、已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為求(1) k ; (2)分布函數(shù) F (x) ；(3) P (1.5 X 2.5)2k 22解：(1) f(x)dx 0(kx 1)dx (-x2 x)|0 2k 2 1k 1/2