1、 泉港區天竺中學 鄭忠山平行四邊形的應用 動點問題引言引言 動點問題常見的類型有: 單動點型、雙動點型及多動點型單動點型、雙動點型及多動點型本節課重點來探究平行四邊形的應用之動點問題平行四邊形的應用之動點問題圖形中的點、線運動，構成了數學中的一個新問題-動態幾何動態幾何。該題型常常集幾何、代數知識于一體，滲透數學思想方法，特別是方程思想、數形結合思想、分類討論思想等的運用，有較強的選拔功能，故為近年的熱點中考壓軸題它通常分為三種類型：動點問動點問題、動線問題、動形問題題、動線問題、動形問題。 如何解動點型問題？如何解動點型問題？知識回顧知識回顧文文 字字 敘敘 述述（1 1）平行四邊形的性質：

2、）平行四邊形的性質：（2 2）平行四邊形的判定：）平行四邊形的判定：文文 字字 敘敘 述述平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點平行四邊形的對邊平行且相等平行四邊形的對角相等、鄰角互補平行四邊形的對角線互相平分兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形對稱性對稱性邊邊角角對角線對角線邊邊角角對角線對角線例例1、已知：在四邊形ABCD中，ADBC,ABAD, 點Q是BC邊上一定點，AD=12cm,CQ=2cm,點P從點A出發沿AD邊以1cm/s的

3、速度向D運動.設運動時間為t秒，則當t=_秒時，四邊形PQCD是平行四邊形？ABCDPQ分析分析： 這是一道單動點型單動點型的動點問題（1）AP=_;PD=_. （用含t的代數式表示） （2）若四邊形PQCD是平行四邊形， 只需條件：_ 因此可列方程：_t12-tPD=CQ12-t=210解題策略：解題策略：動中求靜，化動為靜，構建方程模型動中求靜，化動為靜，構建方程模型. . 運用了數形結合、方程思想運用了數形結合、方程思想. .合作交流，探索新知合作交流，探索新知變式變式1： 在四邊形ABCD中，ADBC,ABAD, AD=12cm,BC=21cm,點P從點A以1cm/s的速度向點D運動，

4、同時點Q從點C以1.5cm/s的速度向點B運動.設運動時間為t秒問當t為何值時，以P、D、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？分析分析： 這是一道雙雙動點型動點型的動點問題（1）AP=_;PD=_. CQ=_;BQ=_. （用含t的代數式表示） （2）若四邊形PQCD是平行四邊形， 只需條件：_ 因此可列方程：_ABCDPQt12-tPD=CQ12-t=1.5t1.5t21-1.5t合作交流，探索新知合作交流，探索新知變式變式1： 在四邊形ABCD中，ADBC,ABAD, AD=12cm,BC=21cm,點P從點A以1cm/s的速度向點D運動，同時點Q從點C以1.5cm/s的速度向點B運動.設運

5、動時間為t秒問當t為何值時，以P、D、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？解解： 依題意得依題意得AP=t，CQ=1.5t. 則則 PD=12-t. ADADBCBC，即，即PDPDCQCQ當當PD=CQPD=CQ時，四邊形時，四邊形PQCDPQCD是平行四邊形是平行四邊形 12-t=1.5t 解得解得t=4.8 當當t=4.8秒時，秒時，四邊形四邊形PQCDPQCD是平行四邊形是平行四邊形. .ABCDPQ合作交流，探索新知合作交流，探索新知ABCD 變式變式2： 在四邊形ABCD中ADBC,ABAD,AD=12cm,DC=15cm，BC=21cm,AB=12cm, 點P從點A以1cm/s的速

6、度向點D運動，同時點Q從點C以1.5cm/s的速度向點B運動. 當其中一點停止運動時，另一點也停止運動，設運動時間為t秒（1）填空：AP=_, BQ=_. （用含t的代數式表示）；（2）若PBQ的面積為S，求出S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；t21-1.5t解：解：BQ=21-1.5t，AB=12 S= BQ AB = (21-1.5t) 122121即S=-9t+126 (0t12)PQ合作交流，探索新知合作交流，探索新知 變式變式2： （3）若點P從點A以1cm/s的速度沿ADCB方向運動，同時點Q從點C以1.5cm/s的速度沿CBAD方向運動.在P、Q運動過程中，問是否存在

7、以點P、D、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.探究動點關鍵：探究動點關鍵：化動為靜，分類討論，關注全過程化動為靜，分類討論，關注全過程PQABCDPQ圖ABCD圖合作交流，探索新知合作交流，探索新知 解：解： （3）存在.tp=(12+15+21) 1=48(秒)， tQ=(21+12+12) 1.5=30(秒)Q先到達.PQABCD圖ABCD圖PQ合作交流，探索新知合作交流，探索新知 1）若）若P在在AD上，上，Q在在BC上時，如圖上時，如圖依題意得PD=12-t，CQ=1.5t當PD=CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形則 12-t=1.5t， 解得

8、 t=4.8 2）若）若P在在BC上，上，Q在在AD上時，如圖上時，如圖依題意得QD=45-1.5t，PC=t-27當QD=PC時，四邊形QPCD是平行四邊形則 45-1.5t=t-27， 解得 t=28.8綜上所述，存在以綜上所述，存在以P、D、C、Q為頂點的四邊為頂點的四邊形是平行四邊形，其中形是平行四邊形，其中t=4.8秒或秒或t=28.8秒秒.中考演練中考演練 如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，ADBC5，DC7，AB13，點P從點A出發，以每秒3個單位的速度沿ADDC向終點C運動，同時點Q從點B出發，以每秒1個單位的速度沿BA向終點A運動.在運動期間，當四邊形PQBC為平行四邊形時，運動時間為（ ）秒. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6ABCDPQA分析：分析： 建立方程模型求解建立方程模型求解設運動時間為t秒，則PC