1、切線長定理切線長定理問題1、經過平面上一個已知點，作已知圓的切線會有怎樣的情形？OOP POPA問題2、經過圓外一點P，如何作已知 O的切線？ O。ABP思考：假設切線PA已作出，A為切點，則OAP=Rt ,連接OP，可知A在怎樣的圓上?用尺規作圖：過 O外一點做 O的切線OPABO在經過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長這點到圓的切線長OPAB切線與切線長的區別與聯系：切線與切線長的區別與聯系：（1 1）切線是一條與圓相切的直線；切線是一條與圓相切的直線；（2 2）切線長是指切線長是指切線上切線上某一點與切點間的線段的長。某一點與切點間的線段的長。 若從若從OO

2、外的一點引兩條切線外的一點引兩條切線PAPA，PBPB，切點，切點分別是分別是A A、B B，連結，連結OAOA、OBOB、OPOP，你能發現什么，你能發現什么結論？并證明你所發現的結論。結論？并證明你所發現的結論。APO。BPA = PB1=2證明：證明：PAPA，PBPB與與OO相切，點相切，點A A，B B是切點是切點 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB 1=2試用文字語言試用文字語言敘述你所發現敘述你所發現的結論的結論12PA、PB分別切分別切 O于于A、BP

3、A = PB1=2 從圓外一點引圓的兩條切線，它從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。條切線的夾角。 切線長定理切線長定理APO。B幾何語言幾何語言:反思：切線長定理為證明線段相等線段相等、角相等角相等提 供了新的方法。12我們學過的切線，常有我們學過的切線，常有 性質：性質：1 1、切線和圓只有一個公共點；、切線和圓只有一個公共點；6 6、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。六個六

4、個2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；、切線和圓心的距離等于圓的半徑；(d=r)3、切線垂直于過切點的半徑；、切線垂直于過切點的半徑；4、經過圓心垂直于切線的直線必過切點；、經過圓心垂直于切線的直線必過切點；5、經過切點垂直于切線的直線必過圓心。、經過切點垂直于切線的直線必過圓心。APOBM 若連結兩切點若連結兩切點A A、B B，ABAB交交OPOP于點于點M.M.你又能得你又能得出什么新的結論出什么新的結論? ?并給出證明并給出證明. .OP垂直平分垂直平分AB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點點A A，B B是切點是切點 PA = PB OPA=OPB PABPAB

5、是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM為頂角的平分線為頂角的平分線 OP垂直平分垂直平分ABAPO。B 若延長若延長PO交交 O于點于點C，連結，連結CA、CB，你又你又能得出什么新的結論能得出什么新的結論? ?并給出證明并給出證明. .CA=CB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點點A A，B B是切點是切點 PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC切線長定理的基本圖形的研究 PA、PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為切點，直線為切點，直線OP交交 O于點于點D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）寫出圖中

6、所有的垂直關系）寫出圖中所有的垂直關系OAPA，OB PB，AB OP（3）寫出圖中所有的全等三角形）寫出圖中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）寫出圖中所有的相似三角形）寫出圖中所有的相似三角形AOC BOC AOPBOP ACPBCP（5）寫出圖中所有的等腰三角形）寫出圖中所有的等腰三角形ABP AOB（6）若）若PA=4、PD=2，求半徑，求半徑OA（2）寫出圖中與）寫出圖中與OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC2224(2)rr解得r=3。PBAO反思：在解決有關圓的切線長的問題時，往往需要我們構建基本圖形。（3）連結圓心和圓外一點）

7、連結圓心和圓外一點（角平分線）（角平分線）（2）連結兩切點）連結兩切點（等腰三角形）（等腰三角形）（1）分別連結圓心和切點）分別連結圓心和切點（直角）（直角）圓外切四邊形的性質圓外切四邊形的性質如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓 O分別相切于點L、M、N、P由切線長定理得：AL=AP， LB=MB NC=MC， DN=PNAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即 AB+CDA=AD+BC 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等DLMNABCOP1 、 如圖，已知AB、AC是 O的切線，B、 C為切點，連結BC交AO于D. 若AD=6，AO=8，求切線AB的長； 若BC=4，B

8、AO=30，求 O的直徑。AC OBD902:(1),6 84 3AB ACAOBACABOBDAOAB ACOB CBDABOABADAOAB平分解分別切于是Rt斜邊上的高 如圖，已知AB、AC是 O的切線，B、 C為切點，連結BC交AO于D. 若BC=4，BAO=30，求 O的直徑。AC OBDsin 6024333sin 6021(2)22:,9060,BDBOBDBOBDBCRtABOBOABAORt BDO 而 在中在中 OABCDE2、如圖，AB是 O的直徑，AD、DC、BC是切線，點A、E、B為切點，若BC=9，AD=4， 求OE的長. OABCDEF 3、教材第105頁練習第1

9、題C OBDP90:,31sin6230603cos3063 32PB PCBPCPBOPB PCOB CRt PBOBOBPOPOBPOBPCBPPOPO平分解 連結OB.分別切于在中故 4、教材第105頁練習第2題AD OFC14EB139D OFC14EB139Azzyyxx1.切線長定理切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 小小 結：結：APO。BECDPA、PB分別切分別切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切線長定理為證明切線長定理為證明線段相等，角線段相等，角相等，弧相等，垂直關系相等，弧相等，垂直關系提供了理