1、6.2L.Hospital法則法則 在第三章中我們已經知道，當分子分母都是無窮小在第三章中我們已經知道，當分子分母都是無窮小或都是無窮大時，兩個函數之比的極限可能存在也可或都是無窮大時，兩個函數之比的極限可能存在也可能不存在，即使極限存在也不能用能不存在，即使極限存在也不能用“商的極限等于極商的極限等于極限的商限的商”這一運算法則。這種極限稱為未定式這一運算法則。這種極限稱為未定式 ,00 本節我們就利用本節我們就利用Cauchy中值定理來建立求未定式中值定理來建立求未定式極限的極限的L.Hospital法則，利用這一法則，可以直接求法則，利用這一法則，可以直接求 和和00這兩種基本未定式的極

2、限，也可間接求出這兩種基本未定式的極限，也可間接求出 1 ,0 ,000等其它類型的未定式的極限等其它類型的未定式的極限洛必達法則洛必達法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定義定義.00)()(lim,)()(,)()(型未定式型未定式或或稱為稱為那末極限那末極限大大都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與兩個函數兩個函數時時或或如果當如果當 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)()(,0)1(xFxfxFx

3、fxFxfxFxFxfaaxFxfxaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外點點點的某領域內點的某領域內在在都趨于零都趨于零及及函數函數時時當當設設定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則. .,該法則仍然成立該法則仍然成立時時以及以及時時當當 xaxx證證定義輔助函數定義輔助函數, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU內任取一點內任取一點在在 ,為端點的

4、區間上為端點的區間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯西中值定理的條xFxf則有則有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時時當當,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 注注定理的條件：分子分母都是無窮??；分子分母定理的條件：分子分母都是無窮??；分子分母 都可導，且分母的導數不等于都可導，且分母的導數不等于0；導數之比的；導數之比的 極限存在或為極限存在或為定理的結論：函數之比的極限等于導數之比的定理的結論：函數之比的極限等于導數之比

5、的 極限極限未定式為止未定式為止使用法則，直到不再是使用法則，直到不再是續續所要求的條件，則可繼所要求的條件，則可繼定理中對定理中對滿足滿足還是未定式，且還是未定式，且若若)(),()(),()()(lim0 xgxfxgxfxgxfxx )()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx )()(lim0 xgxfxx xxxxxxxxx,000換成換成將將仍有類似的結論仍有類似的結論型的極限型的極限時時00 x如：如：定理定理)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)(|)(),()2(0)(lim)(lim)1(|)(),( 或或則則或或時可導，且時可導，且在在

6、上有定義，且上有定義，且在在設設AxgxfxgxfAxgxfxgNxxgxfxgxfNxxgxfxxxxx 關于關于型的極限型的極限，有下述定理，有下述定理定理定理)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)()(),()2()(lim)(lim)1()(),(000000 或或則則或或可導，且可導，且的某鄰域內有定義，且的某鄰域內有定義，且在在設設AxgxfxgxfAxgxfxgxgxfxgxfxxgxfxxxxxxxxxx xxxxxxxxx,000換成換成將將結論仍成立結論仍成立例例1 1.123lim2331 xxxxxx求求)00(解解12333lim221 xxxx

7、原式原式)00(266lim1 xxx.23 例例2xxxeexxxsin2lim0 )00(xeexxxcos12lim0 )00(xeexxxsinlim0 )00(xeexxxcoslim0 2 注注在反復使用法則時，要時刻注意檢查是否為在反復使用法則時，要時刻注意檢查是否為未定式，若不是未定式，不可使用法則。未定式，若不是未定式，不可使用法則。例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00

8、()( axbxxcoscoslim0 例例5證明證明0lnlim xxx)0,(0lim xxex證證分兩種情況分兩種情況正整數正整數若若 則連續使用則連續使用次法則，得次法則，得xxxxeex !limlim 0 正整數正整數若若 )10( rr 記記則連續使用則連續使用次法則，得次法則，得xxxxexex )1()1(limlim xrxex )1()1(lim xrxex 11)(1()1(lim rxxxe 11)(1()1(lim 0 本例說明：本例說明： 都趨于都趨于時，時，當當xexxx ,ln但它們趨于但它們趨于+的速度有快有慢的速度有快有慢由慢到快依次是：由慢到快依次是：對

9、數函數、冪函數、對數函數、冪函數、指數函數指數函數這一點從圖上即可看出這一點從圖上即可看出oxyxy ln xy xey 例例6 6.3tantanlim2xxx 求求)( 解解直接應用法則比較麻煩，先變形，再用法則直接應用法則比較麻煩，先變形，再用法則xxxxxxxxcos3cos3sinsinlim3tantanlim22 )00(xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22 xxxcos3coslim2 xxxsin3sin3lim2 3 例例711sinlim20 xxexx)00(xxexxx1cos1sin2lim0 分母分母1，分子振蕩而沒有極限，分子振蕩而沒有極限L

10、.Hospital法則法則“失效失效”xxexexxxxxx1sin1lim11sinlim020 但但01 0 注注分子分母中出現分子分母中出現xxxxxx1cos,1sin,cos,sin,0時時或或時時 不可使用不可使用L.Hospital法則法則例例8 8.tantanlim20 xxxxx 求求解解30tanlimxxxx 原式原式22031seclimxxx xxxx6tansec2lim20 xxxtanlim310 .31 注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法但與其它求極限方法尤其是等價無窮小的代尤其是等價無窮小

11、的代換換結合使用，可以簡化運算過程，效果會更結合使用，可以簡化運算過程，效果會更好，使用起來也更有效。好，使用起來也更有效。型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 關鍵關鍵: :通過適當的恒等變形通過適當的恒等變形將其它類型未定式化將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型為洛必達法則可解決的類型 .),00()( 仍可使用仍可使用L.Hospital法則來求極限法則來求極限型型 0. 1步驟步驟:,10 .000100 或或即將其中之一個因子下放至分母就可轉化為即將其中之一個因子下放至分母就可轉化為型型或或 00例例9xxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxx

12、x xx 0lim0 注意注意：對數因子不下放，要放在分子上：對數因子不下放，要放在分子上型型 . 2步驟步驟:0101 .0000 例例1010).1sin1(lim0 xxx 求求)( 解解xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型00,1 ,0. 3 步驟步驟: ln01ln0ln01000取對數取對數.0 例例1111.lim0 xxx 求求)0(0解解xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 xxxe1lnlim0 2011limxxxe 0e . 1 例例1212.lim111xxx 求求)1( 解解xxxeln111li

13、m 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1 13 3解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對數得取對數得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1 14 4解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達法則失效。洛必達法則失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：注意：洛必達法則的使用條件洛必達法則的使用條件幾點說明幾點說明 L

14、.Hospital法則只是求未定式極限的一種有效方法則只是求未定式極限的一種有效方法，是充分條件，當定理的條件滿足時，所求的法，是充分條件，當定理的條件滿足時，所求的極限存在或為極限存在或為，當定理的條件不滿足時，主要是，當定理的條件不滿足時，主要是指（指（3）不成立，即導數之比的極限不易求出，或）不成立，即導數之比的極限不易求出，或不存在但不不存在但不，函數之比的極限未必不存在，此時，函數之比的極限未必不存在，此時L.Hospital法則：法則：“失效失效”xxxxxx1cos,1sin,cos,sin,0時時或或時時若出現若出現 不宜使用不宜使用L.Hospital法則法則L.Hospit

15、al法則只能對法則只能對 ，00這兩種基本未定式這兩種基本未定式才可直接應用，其它類型的未定式必須先轉化才可直接應用，其它類型的未定式必須先轉化L.Hospital法則與等價無窮小的代換結合使用法則與等價無窮小的代換結合使用 效果會更好效果會更好使用使用L.Hospital法則前宜先行約去可約因子，特別法則前宜先行約去可約因子，特別 是極限不為是極限不為0的因子，宜將確定后的極限值提到極的因子，宜將確定后的極限值提到極 限號外，以簡化計算（這相當于提前使用了一次限號外，以簡化計算（這相當于提前使用了一次 乘積極限的運算法則）乘積極限的運算法則）可考慮進行恒等變形或引入適當的變量代換，以可考慮進行恒等變形或引入適當的變量代換，以 簡化計算簡化計算三、小結三、小結洛必達法則洛必達法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型0