1、第四節(jié) 對(duì)面積的曲面積分4.1 學(xué)習(xí)目標(biāo)了解對(duì)面積的曲面積分的概念、性質(zhì)，掌握對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算方法，會(huì)用曲面積分求一些幾何量與物理量 .4.2 內(nèi)容提要1.定義 設(shè)函數(shù)f x, y, z在光滑曲面 上有界，將曲面 任意分成n小塊 Si( Si也表示第i小塊曲面的面積)，在 Si上任取一點(diǎn) Mi( i, i, i),作乘積f( i, i, i) Sin(i 1,2,L ,n),并作和 f i, i, isi ,記各小曲面直徑的最大值為，如果對(duì)曲1 1面的任一分法和點(diǎn)(i, i, i)的任意取法，當(dāng) 0時(shí)，上述和式的極限都存在且相等，則稱此極限值為函數(shù) f x,y,z在曲面上對(duì)面積的曲面積分

2、或第一類曲面積分，記nf(x,y,z)dS lim0 i 1f( i, i, i)【注】定義中的“ Si”是面積元素，因此，Si 0 .2 .性質(zhì)關(guān)于曲面具有可加性，若12,且1與2沒(méi)有公共的內(nèi)點(diǎn)，則f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS;12當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，積分結(jié)果在數(shù)值上等于曲面的面積S ,即f (x, y, z)dS S .3 .對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算設(shè)曲面 由z z x, y給出， 在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?Dxy, 函數(shù)z z x, y在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，被積函數(shù)f (x, y,z)在 上連續(xù)，則22f (x, y,z)dSf(x, y,z(x,y

3、)J1 dxdyDxy、x y同樣地:x x y,zf (x, y, z)dSf x y,z , y,z , 1Dyz,22x xdydz ，2y .dzdx . zx,y,z dS, y ym1 x,y,z dS z 一z x, y, z dS:y y z,xf（x, y,z）dSf x, y z,x ,zDxz4 .對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用設(shè)曲面上任意一點(diǎn) x, y, z處的面密度是x, y, z ,則曲面的質(zhì)量m x, y, z dS.曲面的質(zhì)心 x, y, z曲面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22x z x, y, z dS ,222x y z x, y,z dS.22Ix y z x,y,z dS Iy2

4、2Iz x y x,y,z dS, I。4.3 典型例題與方法基本題型I :計(jì)算對(duì)面積的曲面積分例1 填空題設(shè)：x8y2）dS 8 y2 z2 4,則 0（x2 y2）dS .222 八解 由積分區(qū)域的對(duì)稱性知乙x dSydS ? z dS,于是一 22 c 2乙x y）dS -（x222y2 z2）dS .而積分在,222,一上進(jìn)行，x y z 4,代入上式得,乙（x2dS 8 43221283128故應(yīng)填.3例2選擇題、i2222 ,設(shè)：x y z a （z 0） ,1為 在第一卦限中的部分，則有（A）xdS4xdS .（B）ydS 4 xdS .11（C）zdS4xdS .（D）xyzd

5、S4 xyzdS解因?yàn)榍媸巧习肭蛎妫?關(guān)于yoz面對(duì)稱且被積函數(shù)fi(x, y, z) x ,f2(x, y, z) xyz都是變量 x 的奇函數(shù)，于是 xdS xyzdS 0 .類似地， 關(guān)于xoz面對(duì)稱且f3(x,y,z) y是變量y的奇函數(shù)，于是 ydS 0 .而 xdS 0, xyzdS O,11故應(yīng)選(C).事實(shí)上，由對(duì)稱性，zdS 4 zdS, zdS xdS (Q正確.111【方法點(diǎn)擊】 在計(jì)算對(duì)面積的曲面積分時(shí)，應(yīng)注意下列技巧：(1)利用對(duì)稱性，但要注意，曲面關(guān)于某坐標(biāo)面對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于相應(yīng)變量具有奇偶性，兩者缺一不可.(2)利用積分曲面的方程化簡(jiǎn)被積函數(shù).例3 計(jì)算曲面積

6、分(2x 2y z)ds,其中 是平面2x 2y z 2 O被三個(gè)坐標(biāo)面所截下的在第一卦限的部分 .解法一 ：z 2 2x 2y,zx2, zy2.在xoy平面上的投影是三角形，記為D : O x 1,0 y 1 x.(2x 2y z)ds2g. 1 zx2 zy2dxdy6dxdy 3.DD解法二 (2x 2y z)ds 2dS 2g2、2g ?223 .【方法點(diǎn)擊】在解法二中，將曲面方程代入到了曲面積分里，因?yàn)榉e分曲面是一個(gè)三角形，最后用到了三角形的面積公式.例4計(jì)算I(x2 y2)dS ,為立體配y7 z 1的邊界.【分析】根據(jù)積分曲面的方程，確定投影區(qū)域，計(jì)算曲面面積微元dS,將曲面積

7、分轉(zhuǎn)化為投影區(qū)域上的二重積分進(jìn)行計(jì)算.解設(shè) 12,1為錐面z xx2 y2 , 0 z 1 ,在1上，22dS J1x-y dxdy = V2dxdy,圖4-12為z 1上x(chóng)2 y21部分，在 2上，dS dxdy，22i, 2在xOy面的投影區(qū)域?yàn)镈：x y 1,所以(x21y2)dS +(x2 y22)dS2(x222y )、.2dxdy (x y )dxdyD21(.2 1) (x2y2)dxdy (1 、2) d3dD10,-2).例5計(jì)算 z2dS ,其中為 x2 y24介于z 0,z 6之間的部分.【分析】 積分曲面如圖11-13所示，此積分為對(duì)面積的曲面積分，積分曲面關(guān)于xoz面

8、，yoz面對(duì)稱，被積函數(shù)是偶函數(shù)，則有z2dS = 4故可利用對(duì)稱性解之.解 設(shè)1 : x <4 y2 ,其在yoz面的投影域?yàn)镈yz：z2dS = 4dS . 1 xy2 xz2dydzdydzz2dS =4zD yz,2 dzdy 4 y24 6z2dz0dy 288 .圖4-2【注】該題不能將積分曲面向xoy面作投影，因?yàn)橥队盀榍€，不是區(qū)域.基本題型II ：對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用1例6求物質(zhì)曲面S: z - (x y )(0 z 1)的質(zhì)量，其面號(hào)度z(x,y,z) S).2解 S在xoy平面上的投影區(qū)域 D : x2 y2 (J2)2.是，所求質(zhì)量為M1(xy. R y2)dS

9、 1 (x2 y2). 1 x2 y2dxdy 22 d-1 2d2 0,2212 ,r 1 r rdr0r3.1 r2dr (1 6,3)15試求半徑為R的上半球殼的質(zhì)心，已知其各點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到鉛錘直徑的距離.且任意點(diǎn)以球心為原點(diǎn),鉛錘直徑為z軸建立直角坐標(biāo)系，則球面方程為y2 z2R2,M(x, y,z)處的密度為4.4 教材習(xí)題解答設(shè)球殼的質(zhì)心坐標(biāo)為(x,y,z),由對(duì)稱性知，x y 0.z dS其中 為上半球面z Jr2x2dS1 z22zdxdy yR_ dxdy Jr2 x2 y2，于是球殼的質(zhì)量為其中dS R y .R2x2y2dxdy在xoy面上的投影域:2R .利用極坐標(biāo)

10、計(jì)算上述二重積分，得- Ry R-x22R3.22R2dxdy d d20022Mxyz dSy2dSR .dxdy22x yR x2 y2dxdyD2d立R4.3,于是半球殼的質(zhì)心坐標(biāo)為4R (0,0, 3) .2 R43 R4R1 2R3321 .有一個(gè)分布著質(zhì)量的曲面，在點(diǎn)(x, y, z)處它的面密度u(x,y, z),用對(duì)面積的曲面積分表示這曲面對(duì)于x軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：假設(shè)u(x, y, z)在曲面 上連續(xù)，應(yīng)用元素法，在曲面上任取一直徑很小的曲面塊dS ,設(shè)(x, y, z)使曲面塊dS內(nèi)的一點(diǎn)，則由曲面塊 dS很小，u(x, y,z)的連續(xù)性可知，曲面塊dS的質(zhì)量近似等于u(x,

11、y, z)dS ,這部分質(zhì)量可近似看作集中在點(diǎn)(x, y, z)上，該點(diǎn)到x軸的距離等于x2 y2 ,于是曲面對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 2222、dI x (z y )u(x, y,z)dS ,所以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：Ix (y z )u(x,y,z)dS2 .按對(duì)面積的曲面積分的定義證明公式f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f (x, y,z)dS ,其中 由 i 和 2 組成12證明：因?yàn)閒 (x, y,z)在曲面上對(duì)面積的積分存在，所以不論把曲面怎樣分割，積分和總保持不變，因此在分割曲面時(shí)，可以永遠(yuǎn)把 1和2的邊界曲線作為分割線，從而保證 §整個(gè)位于 i上，于是 上的積分和等于

12、i上的積分和加上2上的積分和，即f( i, i, i) Sif( i, i, i) Sif( i, i, i) Si()(l)( 2)令各小塊的直徑的最大值趨向于0,去極限得到：f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS123 .當(dāng) 時(shí)xoy面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域 D時(shí)，曲面積分f(x,y,z)dS和二重積分有什么關(guān)系。解：當(dāng) 時(shí)xoy面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域 D時(shí)， 在xoy上的投影區(qū)域即為 D, 上的f(x, y,z)恒為 f (x, y,0),并且 zx zy0 ,所以 f (x, y,z)dS f (x, y,0)dxdy ,即曲面積分與二重積分相等。4 .計(jì)算曲面積分 f x

13、, y,zdS,其中 為拋物面z 2 x2 y2在xoy面上方的部分，f x, y, z分別如下：22(2) f x, y,z x y ；(3) f x,y,z 3z.I解(2) f x, y, zdS= x2 y2 弋 1 z2x zy2dxdy ,其中 Dxy為 在 xoy面上Dxy的投影區(qū)域，即22Dxy : x y 2 z 0 .x,y,zdS= x2Dxy22y 1 4(x)dxdy- -22 上014149-305.(3) fX, y,zdS32Dxy計(jì)算(1)錐面(2)錐面解(1)影區(qū)域均為Dxy： x2dS所以2222x y 1 4(x y )dxdy2o 3d11110y2d

14、S,其中是:Jx2y2及平面z3( x2y2)被平面中屬于錐面部分為y2 1 z1所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面z 0和z 3所截部分。1 ,上底面部分為2在xoy面上的投DxyDxydS =所截的錐面為:x2 y2 dSx2y2 dS2 2zxzy dxdy(-.2 1)dxdy 2z 3 x2 y2(Dxy ：x216x2、3(x2 y2)6y2.3(x2y2)2xDxy2y dxdy1 3d03),dxdy 2dxdy(x2 y2)dS2(x2Dxy2、y )dxdy 96.計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分:4x(1) (z 2x y)dS,其中 為平面一32-1在第一卦限中的部分.3 4424 2

15、斛 z 4 2x-y , dS'1( 2)( §)dxdy 一,44、61一(z 2x y)dS4gdxdy 4.613Dxy3(2)(2xy 2x2 x z)dS,其中 為平面 2x 2y42261 dxdy3z 6在第一卦限中的部分斛 z 4 2x - y, dS 7 32(2xy 2x x z)dS (2xyDxy3:3 dx00(3)(x y z)dS ,其中1 ( 2)( 2) dxdy 3dxdy22x x 6 2x 2y)3dxdy3 x,cCC 2cc、，27(63x2x2xy2y)dy一14為球面x2 y2 z2 a2上z h(0 h a)的部分.2c2VcdS 1 (adxdy 222a x y(x y z)dS(x y Jax y )g-2=Dxy. ax2a2 仔 r2(cos sin )0H'7 rdxdy y2dr0-022a r(a3 ah2)(4)(xy yz zx)dS,其中 為錐面 z Jx2 y；有限部分. 22_解 dS 、1222 y 2 dxdy . 2dxdy, x y x y22Dxy: xy 2ax1(xy yz zx)dS 2 xy (x y)(x2 y2 )2 dxdyDxy2 .22-被枉面x y2 ax所截得的J，d22acosr2 sin cos2 ,r (c