1、近年中考數學壓軸題大集合(一)一、函數與幾何綜合的壓軸題1.如圖，在平面直角坐標系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為 B、D且AD與B相交于 E 點.已知:A(-2,-6), C(1,-3)(1)求證：E點在y軸上；(2)如果有一拋物線經過 A, E, C三點，求此拋物線方程.(3)如果AB位置不變，再將DC水平向右移動k(k>0)個單位，此時AD與BC相交于E'點， 如圖，求 AE' C的面積S關于k的函數解析式.解(1)(本小題介紹二種方法，供參考)DOC (1 + k,-3)A (2,-6)方法一：過 E作EOx軸，垂足 O'，AB/EO'/ D

2、CEOAB又 DO'.EO AB.AB=6,DO EO BO ,DB CD DBBO' DBEO 1DCDC=3,.EO' =2p DO EO又丁，. DODB AB.DO' DO,即O與O重合,EO 2DB - 3 1AB 6E在y軸上方法二：由D (1, 0), A (-2, -6),得DA直線方程:再由 B (-2, 0),C (1, -3),得 BC 直線方程：y=-x-2y=2x-2 x聯立得yE點坐標(0,-2),即E點在y軸上(2)設拋物線的方程 y=ax2+bx+c(aw 咂 A (-2,-6), C (1, -3)4a 2b c 6 E (0,

3、-2)三點，得方程組 a b c 3c20解得 a=-1,b=0,c=-2，拋物線方程y=-x2-2(3)(本小題給出三種方法，供參考)由(1)當DC水平向右平移k后，過AD與BC的交點E作E'Fx軸垂足為F。同(1)可得：EF EF 1 得：EF=2-DB312DC?DBAB DC方法一：又. EF/AB E-F DF, DF AB DB1 r v 1.ccL小 AEC= S ADC - S EDC=一DC?DB DC?DF 221 -=DC ? DB =DB=3+ k3S=3+k為所求函數解析式方法二：BA / DC ,S bca= Sabda1 1Sa AEC= Sa BDE B

4、D ? E F -3k 23k22.S=3+k為所求函數解析式.證法三：Sa dec : Saaec=DE，： AE' DC ： AB=1 : 2同理：Sa DE C : Sa DEB = 1 ： 2,又 Sa DEC : Sa ABE =DC2 : AB2=1-2-21 .S AEC6S梯形ABCD ABCD ? BD 3 k99 2.S=3+k為所求函數解析式.2.已知：如圖，在直線坐標系中，以點 M (1, 0)為圓心、直徑 AC為2d2的圓與y軸交于A、D兩點.(1)求點A的坐標；(2)設過點A的直線y = x+b與x軸交于點B.探究：直線AB是否。M的切線？并對你的 結論加以

5、證明；S h(3)連接BC,記 ABC的外接圓面積為S1、O M面積為S2,若三一，拋物線S24y=ax2+bx+c經過B、M兩點，且它的頂點到 x軸的距離為h .求這條拋物線的解析式解(1)解：由已知 AM = <2 , OM = 1,在 RtAAOM 中，AO = Jam 2_OM 21 ,點A的坐標為A (0, 1)(2)證：.直線 y=x+b 過點 A (0, 1)，1 = 0+b 即 b=1.-.y = x+ 1令 y=0 則 x= 1. .B (-1, 0),ab=y'BO2 AO2” 1222在 ABM 中，AB = 22. , AM = V2 , BM =2AB2

6、 AM 2( .2)2 ( .2)24 BM 2ABM 是直角三角形，/ BAM =90°直線AB是。M的切線(3)解法一：由得/ BAC =90°, AB=j2, AC = 2 <2 ,.bc= JAB""Ac2v'(V2)2(2際2 汨 / BAC = 90° ABC的外接圓的直徑為 BC, SiBC)2?(V)2?AC 2而 S2()2 ?("2設經過點B(1, 0)、M (1, 0)的拋物線的解析式為:y=a (+1) (x 1), (awQ 即 y = ax2 a, a= ±5,a= ±5，

7、拋物線的解析式為 y=5x25或y= 5x2+5解法二：(接上)求得，h=5由已知所求拋物線經過點B (1, 0)、M (1、0),則拋物線的對稱軸是y軸，由題意得拋物線的頂點坐標為(0, ±5)，拋物線的解析式為 y=a (x0) 25又 B (1,0)、M (1,0)在拋物線上，. ai5=0, a= i5，拋物線的解析式為 y= 5x25或y= 5x2+5解法三：(接上)求得，h=5因為拋物線的方程為 y=ax2+bx+c (awQ由已知得 a b c 04ac b24aa= - 5解得 b 0 或c 5，拋物線的解析式為y= 5x25或y= 5x2+5.3.如圖，在直角坐標系

8、中，以點P (1, 1)為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點，拋物線y ax2 bx c(a 0)過點A、B,且頂點C在OP上.求OP上劣弧AB的長;(2)求拋物線的解析式;(3漁拋物線上是否存在一點 D,使線段OC與PD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存 在，請說明理由.fy解(1)如圖，連結PB,過P作PMx軸，垂足為 M.在 RtAPMB 中, ./ MPB = 60°,PB=2,PM=1, ./ APB = 120AB的長=120商43(2)在 RtAPMB 中，PB=2,PM=1,則 MB = MA = 73 .又 OM=1 , A (1 V3 , 0) , B

9、(1+ 73 , 0),由拋物線及圓的對稱性得知點C在直線PM上，則 C(1 , 3).點A、B、C在拋物線上，則0 a(1.3)2 b(1.3) ca 10 a(1 v13)2 b(1 石)c 解之得 b 23 a b cc 2拋物線解析式為y x2 2x 2(3)假設存在點 D,使OC與PD互相平分，則四邊形OPCD為平行四邊形，且 PC/ OD.又 PC/y 軸，點 D 在 y 軸上，. OD = 2,即 D (0, 2)又點D (0, 2)在拋物線 y2x 2x 2上，故存在點 D (0, 2),使線段OC與PD互相平分.4.如圖，在平面直角坐標系內,RtABC的直角頂點C (0, J

10、3)在y軸的正半軸上，A、B是x軸上是兩點，且 OA : OB= 3:1,以OA、OB為直徑的圓分別交 AC于點E,交BC 于點F.直線EF交OC于點Q.(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)請猜想：直線 EF與兩圓有怎樣的位置關系？ 并證明你的猜想.(3)在 AOC中，設點M是AC邊上的一個動點， 過M作MN II AB交OC于點N.試問：在x軸上是否 存在點P,使得 PMN是一個以MN為一直角邊的 等腰直角三角形？若存在，求出 P點坐標；若不存 在，請說明理由.解(1)在 RHABC 中，OCLAB, . AOCQCOB.-.OC2=OA OB. OA : OB=3 ： 1,C(

11、0, 73), (、3)2 3OBgOB. .OB=1.OA=3. A(-3,0),B(1,0).設拋物線的解析式為y2axbx9a3b c 0,0,解之，得c.3 ,2、3, 3四經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y(2)EF 與。Oi、O O2都相切.證明：連結OE、OE、OF. . / ECF = /AEO = / BFO=90°, 四邊形EOFC為矩形. .QE=QO.1 = / 2. / 3=/ 4,Z2+Z4= 90°, EF與。O1相切.同理：EF理。O2相切.(3)作MP LOA于P,設MN = a,由題意可得 MP=MN = a. . MN II OA,

12、CMNA CAO.MN CNAOCO3 a解之,此時,四邊形MN OP3、3 3. 2OPMN是正方形.3.3 3. 23.3 P(二310).考慮到四邊形PMNO此時為正方形，點P在原點時仍可滿足 PNN是以MN為一直角邊的等腰直角三角形 .角形且故X軸上存在點P使得 PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角3.33 一P("30)或 P(0,0).25.如圖，已知點A(0, 1)、C(4, 3)、E(15 , 23), P是以AC為對角線的矩形 ABCD內部(不 48在各邊上)的一個動點，點 D在y軸，拋物線y=ax2+bx+1以P為頂點.(1)說明點A、C、E在一條條直線上;(2

13、)能否判斷拋物線y=ax2+bx+1的開口方向？請說明理由；(3)設拋物線y = ax2+bx+1與x軸有交點F、G(F在G的左側),AGAO與AFA。的面積差為3,且這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點. 這時能確定b的值；若不能，請確定 a、b的取值范圍.(本題圖形僅供分析參考用)解(1)由題意，A(0 , 1)、C(4, 3)確定的解析式為:y=將點E的坐標E(15,生)代入y=1x+1中，左邊=空， 4828邊=1x15+1二史, 248a、b的值嗎？若能，請求出a、1:左邊=右邊,'點E在直線y=-x+1上,即點A、C、E在一條直線上(2)解法一：由于動點P在矩形ABCD內部

14、，點P的縱坐標大于點 A的縱坐標，而點A 與點P都在拋物線上，且 P為頂點，這條拋物線有最高點，拋物線的開口向下解法二：.拋物線 y=ax2+bx+c的頂點P的縱坐標為4a-b2 ,且P在矩形ABCD內部，4a，av0,，拋物線的開口向下(3)連接 GA、FA, Sagao S；afao=3- GO - AO - - FO - AO=3OA=1 , ,GOFO=6.設 F (x1,0)、G (x2,0),貝U x1、1- a< 0, - x1 - x2= < 0, - - x1 < 0V x2,aGO= x2, FO= x1,即 x2+x1=6, 1.- x2+x1=- x2

15、( x1)=6 ,b.be 一 =6 ,a ab= -6a,，拋物線解析式為：19a) , 頂點3 v av 0.，9y=ax26ax+1,其頂點P在矩形ABCD內部，x2為方程ax2+bx+c=0的兩個根，且 xvx2,又P的坐標為(3,1 v 1 9av由方程組y= ax26ax+1y= - x+121得：ax2 (6a+) x=0 26a 11x=0 或 x=2 =6+ .a 2a當x=0時，即拋物線與線段 AE交于點A,而這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點，則1v 4a T <3,由 1<1_b!得一Y >0, 4a4a 4a有：0 v 6+ -J- w I2L ,

16、解得：< a< 2a 4912綜合得： <a< b= -6a,一 vbv，912236.已知兩點0(0, 0)、B(0, 2), OA過點B且與x軸分別相交于點 0、C, O A被y軸分成 段兩圓弧，其弧長之比為3 ： 1,直線l與。A切于點0,拋物線的頂點在直線l上運動.(1)求。A的半徑；(2)若拋物線經過 0、C兩點，求拋物線的解析式；(3)過l上一點P的直線與。A交于C、E兩點，且PC = CE,求點E的坐標；(4)若拋物線與x軸分別相交于 C、F兩點，其頂點P的橫坐標為 m,求 PEC的面積關 于m的函數解析式.解(1)由弧長之比為3： 1,可得/ BAO =

17、 90o再由 AB = AO = r,且 0B = 2,得 r = J2(2)0A的切線l過原點，可設l為y=kx任取l上一點(b, kb),由l與y軸夾角為45o可得：b= kb 或 b= kb,得 k = 1 或 k= 1, ，直線l的解析式為y= x或y=x又由 r= J2,易得 C(2, 0)或 C( 2, 0)由此可設拋物線解析式為y= ax(x 2)或y= ax(x+2)再把頂點坐標代入l的解析式中得a=1，拋物線為 y=x22*或丫= x2 + 2x6分(3)當l的解析式為y= x時，由P在l上，可設P(m, - m)(m >0)過 P 作 PPx 軸于 P',OP

18、 = |m|, PP= |m|, . OP=2m2,又由切割線定理可得：OP2=PCPE,且PC= CE,得PC=PE=m=PP 7分.C 與 P'為同一點,即 PE± x 軸于 C, m= 2, E(-2, 2)8 分同理，當l的解析式為y=x時，m=-2, E(-2, 2)(4)若C(2, 0),此時l為y=x, P與點。、點C不重合，.二mO且m2, 當 m<0 時，FC=2(2-m),高為 |yp|即為一m,c 2(2 m)( m) 2 o .S= m 2m2同理當 0vmv2 時，S=m2+2m；當 m>2 時，S= m2- 2m；7.如圖，直線y kx

19、 4與函數y m(x 0, m 0)的圖像交于A、B兩點，且與x、y軸分別 x交于C、D兩點.(i)若 COD的面積是 AOB的面積的J2倍，求k與m之間的函數關系式；(2)在(i)的條件下，是否存在k和m ,使得以AB為直徑的圓經過點 P(2,0).若存在, 求出k和m的值；若不存在，請說明理由.解(1)設 A(xi, yi) , B(x2, y2)(其中 xiX2, yi由 S COD,i一 一OC22S得 S CODOD22. (- OD yi2, 2( S aodi-OD -2S BOD )V2), OC又。C 4,(yi y2 )8 ,即(yi y2)4y1y2由y m可得x m,代

20、入y kx 4可得y2 4y km 0 xyyi y24, yi y2i6 4km 8 ,即又方程的判別式所求的函數關系式為mi6 4km 8 0,，2 ,ek (m 0).m使得以AB為直徑的圓經過點 P(2,0).則AP BP,過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為 MAP 與 BPN 都與 APM 互余，MAPV2), 2(yi8,Rt MAPsRt NPB , 契PNMPNBX2即m2-2-i,2 y2(Xi 2)(x22)yi y2°,(-yi2)(- y22)N1V2 0,2m(yi y2)4y1y2(W丫2)20 知yiV2 4yi y22 ,代入得2 m6i , 38m

21、i20,，存在k ,m ,使得以AB為直徑的圓經過點 P(2,0),且38.已知拋物線y mx(m 5)x 5(m 0)與 x 軸交于兩點 A(x1,0)、B(x2,0)(為 x2),與y軸交于點C,(1)(2)(3)(4)求拋物線和直線且 AB=6.BC的解析式.在給定的直角坐標系中，畫拋物線和直線若e P過A、b、C三點，求e P的半徑.拋物線上是否存在點 M,過點M作MNBC.積比為1 3的兩部分？若存在，請求出點解(1)由題意得:xx2m 5,x x2 mx軸于點N,使的坐標；若不存在,5八一,x2 x1 6.mMBN被直線BC分成面 請說明理由 .(x1 x2)2 4x1x236,2

22、036,解得mi 1,m2經檢驗m=1,，拋物線的解析式為:4x5.或：由“2mx (m 5)x5 0得,0,5八.一 6, m 1. m拋物線的解析式為y2 .x 4x5.由 x2 4x5,x21. .A ( 5,0), B (1, 0), C (0,5).設直線BC的解析式為y kx b,5, b0. k5,5.直線BC的解析式為y 5x 5.(2)圖象略.(3)法一:在 RtDAOC 中，QOAOC 5,OAC 45 .BPC90 .又 BCOB2 OC2 .26, e P 的半徑 PB V26 713.2由題意，圓心P在AB的中垂線上，即在拋物線y2x 4x 5的對稱軸直線x2上，設P

23、 ( 2, h) (h>0),連結 PB、PC,則 PB2(1 2)2h2,PC2(5 h)2 22,_. . 2_2.(5 h) 2 ,解得 h=2.,2. 222由 PB PC ,即(1 2) hP( 2, 2), eP 的半徑 PB 瓜1 2)2 22 A.法三：延長cp交e P于點f.Q CF 為 e P 的直徑， CAF COB 90 .又 ABC AFC, DACF DOCB.CF AC cl AC BC,CF .BC OCOC又 AC52 52 5.2, CO 5,BC . 52 12 .26,CF(4)設MN交直線BC于點 巳點M的坐標為(t,t2 4t 5),則點E的坐

24、標為(t,5t 5).若 Sdmeb：Sdenb 1:3，則 ME: EN 1:3.24EN : MN 3:4, t2 4t 5 -(5t 5).55 40斛得t1 1 (不合題息舍去)，t2 -， M -, 一33 9若 Sdmeb：Sdenb 3:1，則 ME:EN 3:1.EN :MN 1:4, t2 4t 5 4(5t 5).解得t3 1 (不合題意舍去)，t4 15, M 15,280 .5 40存在點M,點M的坐標為 一， 或(15, 280)3 99.如圖，O M與x軸交于A、B兩點，其坐標分別為 A( 3,0)、B(1,0),直徑CD，x軸于N,直線CE切。M于點C,直線FG切

25、。M于點F,交CE于G,已知點 G的橫坐標為3.(1)若拋物線y x2 2x m經過A、B、D三點，求m的值及點D的坐標.(2)求直線DF的解析式.(3)是否存在過點 G的直線，使它與(1)中拋物線的兩個交點的橫坐標之和等于4?若存在，請求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請說明理由解(1)二拋物線過A、B兩點,( 3) 1 m , m=3.2 ，拋物線為y x 2x 3.又拋物線過點 D,由圓的對稱性知點 D 為拋物線的頂點.D點坐標為(1,4).(2)由題意知：AB=4. CDx 軸，NA=NB=2. ，ON=1.由相交弦定理得： NA NB=ND NC,NC>4=2X2. .-.

26、NC=1. .C點坐標為(1, 1).設直線 DF交CE于P,連結 CF,貝U/ CFP=90.2+/3=/ 1 + 7 4=90 GC、GF是切線，8GC=GF. .3=/4.1 = /2.GF = GP.GC=GP.可得CP=8.P點坐標為(7, 1)設直線DF的解析式為ykk b 4則解得7k b 1 b，八一一，527 直線DF的解析式為：y 5x 2788(3)假設存在過點 G的直線為y kx b1,則 3k1b11, b13k1 1.y k1 x 3k11 o由方程組2得x2(2 k1)x 4 3kl 0y x22x3由題意得2 kl 4, k16.當k16時,40 0,.方程無實

27、數根，方程組無實數解 .，滿足條件的直線不存在.1 210.已知一次函數 y -x bx c的圖象經過點 A (3, 6),并與x軸父于點B (1, 0)和點C,頂點為P.(1)求這個二次函數的解析式，并在下面的坐標系中畫出該二次函數的圖象；(2)設D為線段OC上的一點，滿足/ DPC=/ BAC ,求點D的坐標；(3)在x軸上是否存在一點 M,使以M為圓心的圓與 AC、PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由解(1)解:.二次函數bxC 的圖象過點 A (3, 6), B (1, 0)9得2123bb解得，這個二次函數的解析式為:由解析式可求P ( 1,

28、2), 畫出二次函數的圖像C (3, 0)(2)解法一：易證：/ ACB=/PCD = 45°又已知:PCBC/ DPC=/BAC . DPCA BACDC解法二:PCAC易求AC6x2, PC2.2, BC 4OD 3D?0過A作AEx軸,設拋物線的對稱軸交 x軸于垂足為E.F.亦可證PEPFAEB sx pfd、EB.FD易求：AE = 6,EB = 2, PF= 2_ 5FD. D ,03(3)存在.(1 °)過M作MH，AC , MG，PC垂足分別為 H、G,設AC交y軸于S, CP的延長 線交y軸于T,SCT是等腰直角三角形，M是ASCT的內切圓圓心，MG =MH

29、 =OM又 mc J2om 且 om + mc = oc720M OM 3,得 OM 3 霹 3M 3,2 3,0(2°)在x軸的負半軸上，存在一點 M '同理 OM +OC=M C, OM OC 720M得 OM372 33五 3,0即在x軸上存在滿足條件的兩個點.11.在平面直角坐標系中，A (1, 0), B (3, 0).(1)若拋物線過 A, B兩點，且與y軸交于點(0, 3),求此拋物線的頂點坐標；(2)如圖，小敏發現所有過 A , B兩點的拋物線如果與 y軸負半軸交于點 C, M為拋 物線的頂點，那么 ACM與4ACB的面積比不變，請你求出這個比值；(3)若對稱

30、軸是 AB的中垂線l的拋物線與x軸交于點E, F,與y軸交于點C,過C 作CP/ x軸交l于點P, M為此拋物線的頂點.若四邊形PEMF是有一個內角為 60°的菱 形，求次拋物線的解析式.解(1) y x2 2x 3,頂點坐標為(1, 4).(2)由題意，設 y=a (x+1) (x 3),即 y = ax2 2ax 3a,_ACS3CB=1%X2而 a>0,S/xacb=6A、1(3a+4a) 2 4a=a,2作MD ±x軸于D,1 - . 1又 Saacm 一 Saaco + Socmd - Samd = - 1 3a+ Saacm : Saacb = 1 : 6

31、.(3)當拋物線開口向上時，設 y=a(x1)2+k,即y= ax2-2ax+a+k,有菱形可知 a k = k , a+k>0, k<0,k= a2，EF v2 .ay= ax2 2ax+ ,2記l與x軸交點為D,6若/ PEM = 60 ,則/ FEM =30 , MD = DE tan30 =,6a= -63拋物線的解析式為y 1、6x2 2 v6x 336若/ PEM= 120° ,則/ FEM = 60°,MD = DE tan60 =,2 k= , a= 6 ,22、6拋物線的解析式為 y J6x2 2J6x .2當拋物線開口向下時，同理可得yIvW

32、x2 -46x, yV6x2 2J6x.336212.已知：在平面直角坐標系 xOy中，一次函數的圖象與x軸交于點A,拋物經過0、a兩點。b；以D為圓心,(1)試用含a的代數式表示(2)設拋物線的頂點為 D,若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在。DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優弧兩部分。D內，它所在的圓恰與 0D相切，求。D半徑的長及拋物線的解析式；（3）設點B是滿足（2）中條件的優弧上的一個動點，拋物線在 x軸上方的部分上是否存 在這樣的點P,使得？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由。解（1）解法一：二,一次函數的圖象與x軸交于點A，點A的坐標為（4, 0）;拋物線經過O、A兩點

33、解法二：:一次函數的圖象與x軸交于點A，點A的坐標為（4,0).,拋物線經過O、A兩點,它沿x軸翻折后所得劣弧為，顯然D'圖1拋物線的對稱軸為直線（2）由拋物線的對稱性可知，DO = DA.點 O 在O D 上，且/ DOA =/ DAO又由（1）知拋物線的解析式為.點D的坐標為（）當 時，如圖1 ,設。D被x軸分得的劣弧為所在的圓與。D關于x軸對稱，設它的圓心為 點D與點D也關于x軸對稱 點O在O D'上，且。D與。D相切 點O為切點D'O ± OD ./ DOA = Z D'OA = 45 °.ADO為等腰直角三角形，點D的縱坐標為拋物線

34、的解析式為 當 時，同理可得：拋物線的解析式為綜上，O D半徑的長為，拋物線的解析式為（3）拋物線在x軸上方的部分上存在點 P,使得設點P的坐標為（x, y）,且y>0當點P在拋物線上時（如圖2）點B是。D的優弧上的一點過點P作PE± x軸于點E由解得：（舍去），點P的坐標為當點P在拋物線上時（如圖3）同理可得,解得:，點P的坐標為綜上，存在滿足條件的點 P,點P的坐標為或y軸正半軸交于點 A、B。(舍去)13.在直角坐標系中，O經過坐標原點O,分別與x軸正半軸、(1)如圖，過點A作。的切線與y軸交于點C ,點O到直線AB的距離為123 一,sin ABC 一，求直線AC的解析

35、式；55(2)若。經過點M (2, 2),設 的內切圓的直徑為d,試判斷d+AB的值是否會 發生變化，如果不變，求出其值，如果變化， 求其變化的范圍。解(1)如圖1,過。作于G,(3, 0)AB是。 的直徑切。設直線 AC 的解析式為直線 AC 的解析式為（ 2）結論：的值不會發生變化設 的內切圓分別切 OA、OB、AB于點P、Q、T,如圖2所示則在 x 軸上取一點N ，使 AN=OB ，連接 OM 、 BM 、 AM 、 MN平分的值不會發生變化，其值為 4。14.已知：O是坐標原點，P(m,n)(m>0)是函數y = - (k> 0)上的點，過點P作直線PAX OP x 

36、9;'于P,直線PA與x軸的正半軸交于點A (a, 0) (a>m).設 OPA 的面積為 s,且 s=n41 +萬(1)當n= 1時，求點A的坐標；(2)若OP=AP,求k的值；n4(3 )設n是小于20的整數，且kw2，求OP2的最小值.解過點P作PQx軸于Q,則PQ=n, OQ=m、“ i 5(1)當 n= 1 時，s=42s (2)解 1: OP=AP PAX OPOPA是等腰直角三角形am = n = - 2. n4 1-1 + = 2 an即 n4 4n2+ 4= 0k2-4k+ 4=0k= 2解 2: 1 OP = APPAX OPOPA是等腰直角三角形m= n設4

37、OPQ的面積為S1s- 2=SIHu貝.1 1 “ n4、 - 2 , mn= 2(1 + 4)即：n44n2+4 = 0k2-4k+ 4=0k= 2(3)解 1:PAX OP, PQXOAOPQsOAP設： OPQ的面積為S1,則S1=PO2s AO21目2k即：一n41 + 72 k2 n+孑n4 2 4(1+7)n2化簡得：2n4+ 2k2 k n4- 4k= 0 (k2) (2kn4) = 04.*=2或女=會舍去)，當n是小于20的整數時，k=2.OP2= n2+m2= n2+又 m>0, k= 2,n是大于0且小于20的整數當 n= 1 時，OP2= 5當 n=2 時，OP2

38、= 585一 9-4一9+94當 n=3 時，OP2= 32+屐當n是大于3且小于20的整數時，即當n=4、5、6、19時，OP2得值分別是:42 + * 52+* 62+ 去、192+74245619-192+ 烏182+-42>- > 32+令>51921 8232OP2的最小值是5.解 2:Op2=n2+m2=n2+k22 22=+；?= (n-2)2 +4當n=2時，即當n=J2時，OP2最小；又二門是整數，而當 n=1時，OP2=5; n=2時，OP2= 5 OP2的最小值是5.解 3:PAXOP, PQXOAOPQsP AQPQ _ OQQA= PQn _ m a

39、 m n化簡得：2n4+ 2k2- k n4- 4k= 0 (k2) (2kn4) = 04，k=2或k=2(舍去)解 4: PAX OP, PQXOAOPQsp AQsiOQ2ssi PQ2化簡彳導:2n4+ 2k2 k n4- 4k= 0(k2) (2kn4) = 0n4 k=2 或 k=2X舍去)解 5: PAX OP, PQXOAOPQsOAP. OP = OQOA OPOP2 = OQ OA化簡彳導:2n4+ 2k2 k n4- 4k= 0(k2) (2kn4) = 04k= 2 或 k= 2(舍去)15.如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A (18,0),B

40、 (18,6),C (8, 6),四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發，分別坐勻速運動，其中點 P 沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有 一點到達自己的終點時，另一點也停止運動。(1)求出直線 OC的解析式及經過 O、A、C三點的拋物線的解析式。(2)試在中的拋物線上找一點D,使得以O、A、D為頂點的三角形與 4AOC全等，請直接寫出點D的坐標。(3)設從出發起，運動了 t秒。如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點 Q的坐標，并 寫出此時t的取值范圍。(4)設從出發起，運動了 t秒。當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，

41、這時，直線 PQ能否把梯形的面積也 分成相等的兩部分，如有可能，請求出t的值; 如不可能，請說明理由。解(1) ;。、C兩點的坐標分別為 O 0,0 ,C 8,6設OC的解析式為y kx b ,將兩點坐標代入得：,33k 一，b 0, y 一 x44A, O是x軸上兩點，故可設拋物線的解析式為 y a x 0 x 18再將C 8,6代入得：a403 2x4027 x20(2) D 10,62323(3)當Q在OC上運動時，可設 Q m, m ,依題意有：m -m 2t44.,m 8t, .,q 8tg , 0 t 555 5當Q在CB上時，Q點所走過的路程為 2t , OC = 10,，CQ=

42、 2t 10.Q 點的橫坐標為 2t 10 8 2t 2,，Q 2t 2,6 , 5 t 10(4)二梯形OABC的周長為44,當Q點OC上時，P運動的路程為t,則Q運動的路程為22 t OPQ中，OP邊上的高為： 22 t1 ,梯形OABC的面積=-18 1023, Sopq 522 t 35251 一 .6 84,依題意有：2 t 22 t84整理得：t2 22t 140 00, 這樣的t不存在當Q在BC上時，Q走過的路程為 22 t,，CQ的長為：22 t 10 12 t一一一11梯形 OCQP 的面積=-6 22 t 10 t =36w84X 22，這樣的t值不存在綜上所述，不存在這樣

43、的 t值，使得P, Q兩點同時平分梯形的周長和面積.一 122.316.已知：如圖，拋物線 y -x x m與x軸父于A、B兩點，與y軸父于C點,33ZACB =90°,(1)求m的值及拋物線頂點坐標；(2)過A、B、C的三點的。M交y軸于另一點 D,連結DM并延長交。M于點E,過E 點的。M的切線分別交x軸、y軸于點F、G,求直線FG的解析式；(3)在(2)條件下，設P為CBD上的動點( 問是否存在一個常數 k,始終滿足 AHH- AP=k, 請說明理由.解(1)由拋物線可知，點 C的坐標為(0 且 m v 0.設 A (xi, 0), B (x2, 0).則有 xi xP不與C、

44、D重合)，連結PA交y軸于點H, 如果存在，請寫出求解過程；如果不存在，又OC是RtA ABC的斜邊上的高，AOCscobOA OCOC 0Bxi，即2 xi x2= mmx2- m2= 3m ,解得而mv 0,故只能取m = 0 或 m=m = 313(x、.3)2 41 22.3這時，y x x 333故拋物線的頂點坐標為(4)(2)解法一：由已知可得:73,0), A (73,C (0,-3) , D (0,3),拋物線的對稱軸是 x= <3 ,也是。M的對稱軸,連結CE DE是。M的直徑,丁./ DCE = 90°, .,直線x= 翼,垂直平分 CE,.E點的坐標為(2

45、 J3 , 3)OA OM. 3/。"，/AOC = /DOM =90 ,OCOD3/ ACO = / MDO = 30°, AC / DE. ACXCB,CB IDE又 FGDE, FG / CB由B (3<3 , 0)、C (0, 3)兩點的坐標易求直線CB的解析式為:yNx 33可設直線FG的解析式為y= x + n,把(2 J33,3)代入求得n= 5故直線FG的解析式為y =1解法二：令y=0,解，x232 3,日x 3=0 得3xi = 33 , X2= 3 33即 A ( xr3 , 0), B ( 3V3 , 0)根據圓的對稱性，易知：OM半徑為2 d

46、3, M (貶,0)在 RtBOC 中，Z BOC =90°, OB=373, OC=3，/CBO = 30°,同理，/ ODM =30°o而/BME=/DMO, / DOM =90°, . DE，BC DEXFG,. .BC / FG ./ EFM = Z CBO=30°在 RtAEFM 中，/ MEF =90°, ME = 2#,/ FEM =30°,MF = 4“Q,，OF=OM + MF=5j3, .F點的坐標為（5百,0）在 RtOFG 中，OG=OF tan30 = 5 X= 53 .G點的坐標為（0, 5）直線

47、 FG的解析式為y = x 53（3）解法一：存在常數 k= 12,滿足 AH-AP= 12連結CP 由垂徑定理可知AD AC, ./ P=Z ACH(或利用/ P=/ABC=/ACO) 又. / CAH =/ PAC,ACHA APCACAHAPAC即 AC 2= AH AP在 RtAAOC 中，AC2=AO2+OC2= ( E) 2+32= 12(或利用 AC 2 = AO- AB = <3 >4 V3 = 12，AH- AP = 12解法二：存在常數 k=12,滿足 AH-AP= 12設 AH=x, AP = y由相交弦定理得 HD-HC = AH-HP即(3x2 3)(3

48、. x 3) x(y x)化簡彳導:xy= 12即 AHH- AP=12近年中考數學壓軸題大集合(二)17.如圖，在平面直角坐標系內，O C與y軸相切于D點，與x軸相交于A (2, 0)、B (8, 0)兩點，圓心 C在第四象限.(1)求點C的坐標；(2)連結BC并延長交。C于另一點 巳 若線段BE上有一點P,使得AB2=BP-BE,能否推出 APXBE?請給出你的結論，并說明理由；(3)在直線BE上是否存在點 Q,使彳導AQ2= BQ- EQ?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，也請說明理由 解(1) C (5,-4);(2)能。連結 AE , BE是。O 的直徑，/ BAE=90 .AB B

49、E 在4ABE與4PBA中，AB2=BP- BE ,即 ,又 BP AB '/ ABE= / PBA,ABEAPBA ./ BPA= / BAE=90 , IP API BE .(3)分析：假設在直線EB上存在點Q,使AQ2=BQ- EQ. Q點位置有三種情況：若三條線段有兩條等長，則三條均等長，于是容易知點C即點Q;若無兩條等長，且點Q在線段EB上，由RtEBA中的射影定理知點 Q即為AQ，EB之 垂足；若無兩條等長，且當點 Q在線段EB外，由條件想到切割線定理，知 QA切。C于點A.設Q(t, y (t)，并過點Q作QRx軸于點R,由相似三角形性質、切割線定理、勾股定理、三角函數或直線解析式等可得多種解法.解題過程： 當點Qi與C重合時，AQi=QiB=QiE,顯然有AQi2=BQi . EQ1 ,Q1(5,-4)符合題意； 當